第19章 四边形课件 2024-2025学年沪科版数学八年级下册

第19章 四边形 19.1 多边形内角和 第2课时 多边形的外角和 1 名师点金 多边形的内角和、外角和与边数之间的关系： 1.多边形的内角和随着边数的增加而增加，每增加一条边， 内角和就增加<m></m> . 2.多边形的外角和恒等于<m></m> ，与边数的多少无关，由此可 以解答以下问题：（1）已知正多边形一个外角的度数，求 正多边形的边数；（2）已知正多边形的边数，求各相等外 角的度数. 2 知识点1 多边形的外角和 1.一个多边形所有内角与外角的和为 ，则这个多边形 的边数是___. 8 返回 基础题 3 2.[2024运城一模] 如果你可以只用一种图形没有重叠、没有 间隙地铺满一个平面，那么这种图形就被称为可以“镶嵌”这 个平面，完美五边形就是这种图形.如图的五边形 是 迄今为止人类发现的第15种完美五边形.若 ，则 _____ . 285 返回 基础题 4 知识点2 正多边形 3.[2024北京东城区一模] 正八边形每个内角的度数为______. 4.若正边形的一个外角为 ，则 ___. 8 5.[2023重庆] 如图，在正五边形 中，连接，那么 的度数为____. 返回 基础题 5 6.下列一定属于正多边形的特征的有( ) ①各边都相等；②各个内角都相等；③各条对角线的长都相 等；④各个外角都相等；⑤从一个顶点引出的对角线将正 边形分成面积相等的 个三角形. B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 返回 基础题 6 7.[2024枣庄] 如图，已知，，是正 边形的三条边， 在同一平面内，以为边在该正 边形的外部作正方形 .若 ，则 的值为( ) A A.12 B.10 C.8 D.6 返回 基础题 7 知识点3 四边形的不稳定性 8.四边形具有不稳定性，当改变四边形的形状时，发生变化 的是( ) C A.四边形的边长 B.四边形的周长 C.四边形的某些角的大小 D.四边形的内角和 返回 基础题 8 9.下列图形中，具有不稳定性的有___个. 3 返回 基础题 9 易错点 不会用内角和、外角和的关系求边数而致错 10.小范将几张六边形纸片分别剪掉了一部分（虚线部分）， 得到了一个新多边形.若新多边形的内角和是其外角和的2倍， 则对应的图形是( ) B A. B. C. D. 返回 基础题 10 11.[2024南昌期末] 如果多边形的每个内角都比与它相邻的外 角的4倍多 . （1）这个多边形的内角和是多少度？ 【解】设这个正多边形的一个外角为 ， 依题意有，解得 ， . 这个正多边形是十二边形. 这个正多边形的内角和为 . 综合应用题 11 （2）求这个多边形的对角线的总条数. 对角线的总条数为 （条）. 返回 综合应用题 12 12.[2024台州期中] 如果一个多边形的各边都相等，且各内角 也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，下图是一组正 多边形，观察每个正多边形中 的变化情况，解答下列问题. 综合应用题 13 （1）将下面的表格补充完整： 正多边形的边数 3 4 5 6 … 的度数 ___ ___ ___ … _ _____ 综合应用题 14 （2）根据规律，是否存在一个正边形，使其中的 ？ 若存在，直接写出 的值；若不存在，请说明理由. 综合应用题 15 不存在，理由如下： 设存在一个正边形，使其中的 ， ，解得 . 不为正整数， 不合题意，舍去. 不存在一个正边形，使其中的 . 返回 创新拓展题 16 13.（1）如图①，这是一个五角星 ， 求 的度数； 创新拓展题 【解】如图①， 是 的外角， . 是 的外角， . , . 创新拓展题 18 （2）如图②，如果点向右移动到 上，直接写出 的度数； . 创新拓展题 19 （3）如图③，当点向右移动到 的另一侧时，直接写出 的度数； . 创新拓展题 20 （4）如图④，求 的度数. 创新拓展题 21 如图②，连接 , 则易得 , . 返回 创新拓展题 22 $$第19章 四边形 3.正方形 第2课时 正方形的判定 1 名师点金 正方形的判定方法：要判定一个四边形是正方形，最常 用的方法就是先证明它是菱形（或矩形），再证明这个菱形 （或矩形）有一个角是直角（或有一组邻边相等），其实质 就是根据正方形的定义来判定.当然也可以先证四边形是平行 四边形，再证有一组邻边相等且有一个角是直角，或证这个 平行四边形的对角线相等并且互相垂直. 2 知识点1 在菱形或矩形的基础上判定正方形 1. 已知菱形中对角线， 相交于 点 ，添加条件：________________________，可使菱形 成为正方形. （答案不唯一） 返回 基础题 3 2.甲、乙、丙三人用同一张矩形纸张接力进行如图所示的操 作：甲任意画一个 ，折叠纸张使得点与点重合，折 痕与边交于点 ，将其展开；乙画出射线，点在延 长线上；丙再折叠纸张使得 落在上，点的对应点为点， 再将其展开，连接， .则下列说法错误的是( ) 基础题 4 A.四边形 为平行四边形 B.在中，若 ， ,则四边形 为正方形 C.若，则四边形 为正方形 D.若射线平分，则四边形 为菱形 √ 基础题 5 【点拨】A.根据题意，得， ， 四边形 为平行四边形，不符合题意； B. 在中， ， . 由选项A得四边形为平行四边形，又 ， 四边形 为正方形，不符合题意； C.， 四边形 为矩形，无法判定其 为正方形，符合题意； 基础题 6 D. 射线平分， . 由选项A得四边形为平行四边形， ， . 四边形 为菱形，不符合题意. 返回 基础题 知识点2 在四边形或平行四边形的基础上判定正方形 3.[2024中山期中] 如图，在四边形中， 是对角线 ， 的交点，能判定这个四边形是正方形的是( ) C A.，， B.， C.， D.，， 基础题 8 【点拨】A.， ， 四边形 为平行四边形. ， 四边形 是矩形，故本选项不符合 题意； B.由，无法判定四边形 是正方 形，故本选项不符合题意； C. ， 基础题 9 ，四边形 是平行四边形. 四边形 是矩形. 又 ， 四边形 是正方形，故本选项符合 题意； D.， ， 四边形 是平行四边形. ， 基础题 四边形 是菱形，不能判定四边形 是正方形，故本选项不符合题意. 返回 基础题 4.[2024郑州模拟] 将一个平行四边形进行如下操作，能判定 它是正方形的是( ) C A.沿一条对角线所在直线翻折，两旁的部分能互相重合 B.沿一条边的垂直平分线翻折，两旁的部分能互相重合 C.绕对角线的交点旋转 ，能与自身重合 D.绕对角线的交点旋转 ，能与自身重合 返回 基础题 12 （第5题） 5.[2024北京海淀区期中] 如图，点， ， ，分别是四边形边，， ， 的中点.则下列说法：①若 ，则 四边形为矩形；②若 ，则四 边形为菱形；③若四边形 是平 A A.1 B.2 C.3 D.4 行四边形，则与互相平分；④若与 互相垂直且相 等，则四边形 是正方形.其中正确的个数是( ) 基础题 13 （第5题） 【点拨】 点，，， 分别是四边形 边，，， 的中点， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形. ①若，则， 四边形 是菱形，故原 说法错误，不符合题意； 基础题 14 ②若，易得， 四边形 为矩形，故原说法错误，不符合题意； ③若四边形 是平行四边形，不能判定 与 互相平分，故原说法错误，不符合 题意； ④若与 互相垂直且相等，易得 ，，则四边形 是正 方形，故原说法正确，符合题意. 综上所述，正确的只有④，故选A. （第5题） 返回 基础题 易错点 混淆特殊四边形的判定导致出错 （第6题） 6.如图，一个四边形顺次添加下列 条件中的三个条件便得到正方形： .两组对边分别相等 .一组对边平行且相等 .一组邻边相等 .一个角是直角 基础题 16 顺次添加的条件： ; ; ,则正确的 是( ) A.① B.③ C.①② D.②③ C （第6题） 基础题 （第6题） 【点拨】①由 得到四边形是平行 四边形，添加 得到四边形是菱形， 再添加 得到是正方形，故①正 确；②由 得到四边形是平行四 边形，添加得到是矩形，再添加 得到是正方形，故②正确； ③由,都能得到四边形是平行四边形，再添加 得到是菱形， 不能得到四边形是正方形，故③不正确. 基础题 18 由矩形和菱形判定正方 形，容易混淆二者需要添加的条 件.由矩形得到正方形只需一组邻 边相等，由菱形得到正方形只需 一个角是直角. （第6题） . . . . 返回 基础题 7.[2024上海普陀区期中] 如图，在四边形 中，对角线 ，相交于点，，，延长 至 点，使，连接 . 综合应用题 20 （1）当时，求证： ； 【证明】， . 又， 四边形 为平行四边 形. ， 四边形 为菱形. . ， . 综合应用题 21 （2）当，且时，求证：四边形 是正 方形. 综合应用题 22 由（1）可知四边形 为平行四边 形，， ， . ， ， 四边形 为平行四边形. ， . 四边形 为菱形. ， . 四边形 为正方形. 返回 综合应用题 23 8.如图， ，，平分 ， . 综合应用题 24 （1）求证：四边形 是平行四 边形； 【证明】平分 ， . ， . . 在和 中， 综合应用题 25 . . 又 ， 四边形 是平行四边形. 综合应用题 （2）过点作于点，若 ， 请直接写出四边形 的形状为________. 正方形 综合应用题 27 【点拨】 四边形 是平行四边 形， ， . . , . 又 ， 四边形 是矩形. 由（1）知， . ， . 四边形 是正方形. 返回 综合应用题 28 9.已知，在矩形中，，，菱形 的三 个顶点，，分别在矩形的边，， 上， ，连接 . 创新拓展题 29 （1）如图①，若，求证：菱形 是正方形. 创新拓展题 30 【证明】 四边形 为矩形，四边形 为菱形， ， . 在与 中， . 创新拓展题 31 . ， . . 菱形 为正方形. 创新拓展题 （2）如图②，当点在矩形的外部时.探究：当点 在边 上运动时，点到直线 的距离是否发生变化？并说明理由. 创新拓展题 33 【解】不变.理由如下： 如图，过作,交 的延 长线于点，连接 ，则 . 四边形 为矩形， ， . 创新拓展题 34 四边形 为菱形， ， ， ， . 在和 中， 创新拓展题 . . 当点在边上运动时，点 到边 的距离不变，为定值2. 创新拓展题 （3）请直接写出 面积的最小值为__________. 【点拨】设，则 ，由（2）得 . 在中， ， 在 中， ， ， ，即 ， . 的最小值为 . 返回 创新拓展题 37 $$第19章 四边形 2.菱形 第1课时 菱形的性质 1 名师点金 1.菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质.菱形的性质 还有：（1）菱形的每一条对角线平分一组对角；（2）菱形 的四条边相等；（3）菱形是轴对称图形；（4）菱形的对角 线互相垂直. 2.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半. . . 2 知识点1 菱形边的性质 1.如图，四边形是菱形，点，分别在， 边上， 添加以下条件不能判定 的是( ) C （第1题） A. B. C. D. 返回 基础题 3 2.如图，在菱形中，对角线，相交于点，点 为 的中点.若，则菱形 的周长为( ) C （第2题） A.6 B.12 C.24 D.48 基础题 4 （第2题） 【点拨】 四边形 为菱形， ，，又 点为的中点，， 菱 形的周长为 . 返回 基础题 5 3.如图，在平面直角坐标系中，，以 为边作菱形 ，则点 的坐标为____________. （第3题） 返回 基础题 6 4.[2024广安] 如图，在菱形 中，点 ，分别是边和 上的点，且 .求证： . 【证明】 四边形 是菱形， ， . ，，即 . . . 返回 基础题 7 知识点2 菱形对角线的性质 （第5题） 5.如图，在菱形中，对角线 ， 相交于点 ，下列结论错误的是 ( ) B A. B. C. D. 返回 基础题 8 （第6题） 6.如图，在菱形中， 是对角线 ，的交点，是边 的中点，若 ，，则 的长是( ) B A.5 B. C.3 D.2 返回 基础题 9 （第7题） 7. 中国结寓意团圆、美满， 以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深 厚的文化底蕴.晓晓家有一个菱形中国结装饰， 对角线，相交于点 ，其示意图如图所 示，测得，，过点 A A. B. C. D. 作于点，连接，则 的长为 ( ) 返回 基础题 10 8.如图，四边形是菱形，，相交于点 ， ，，于点，则 的长是___. （第8题） 基础题 11 （第8题） 【点拨】 四边形是菱形， ， ， ,， ， . 在中，， . 菱形的面积为 ， 即， . 返回 基础题 12 易错点 不会利用对角线所在的直线为对称轴这一性质 而致错 （第9题） 9.如图，点是边长为1的菱形 的对角线上的一个动点，点， 分别是， 边的中点，则 的最小值是( ) B A. B.1 C. D.2 基础题 13 【点拨】如图，取的中点 ，连 接，，则有 .易知 的最小值为线段 的长， 易得 . 解这类问题同学们往往不会利用菱形的轴对称性.利 用对称找点 是解题的关键，将线段和的最小值转化为一条 线段的长是解题通法. . . . . 返回 基础题 14 10.[2024六安二模] 如图，在菱形中，， 分别垂 直，于点，，，相交于点，连接， .解 决下列问题： 综合应用题 15 （1）若 ，则 ______； 【点拨】，分别垂直， 于点 ，， . ， . 综合应用题 16 （2）若，则 _____. 综合应用题 17 【点拨】 四边形 是菱形， ， . ， . ， 都是等边三角形. ， . ， ， 综合应用题 18 ， ， . ， ， . 又，是线段 的垂直 平分线. 综合应用题 平分 . ， ， . 在 中， . . 返回 综合应用题 11.[2024阜阳期中] 如图①②都是由边长为1的小等边三角形 构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段 的 端点均在格点上. （1）如图①， ____； 综合应用题 21 （2）在图②中画出以为边的菱形，且点， 均在 格点上. 【解】所作菱形 如图所示. 返回 综合应用题 22 12.如图，菱形的对角线，相交于点， ， ，与交于点 . 综合应用题 23 （1）求证：四边形 为矩形； 【证明】， ， 四边形 是平行四边形. 又 菱形的对角线， 交于点 ， ，即 . 四边形 是矩形. 综合应用题 24 （2）若，，则菱形 的面积为____. 96 综合应用题 25 【点拨】 四边形 是菱形， ， . 四边形 是矩形， ， . ， . . 菱形的面积为 . 返回 综合应用题 26 13. 如图，在菱形中，点， 分别在边，上，，连接， . 综合应用题 27 （1）求证： ； 【证明】 四边形 是菱形， ， . 在和中， ， . 综合应用题 28 （2）点，分别是， 上的点，若 ， ，试 判断四边形 是什么图形，并证明 你的结论. 综合应用题 29 【解】四边形 是矩形. 证明： 四边形 是菱形， . . ， . . 由（1）得， . 综合应用题 30 又 ， ，即 . 四边形 是平行四边形. ， ， . . 四边形 是矩形. 返回 综合应用题 14. 如图，在菱形中， ， ，是边上一个动点，连接， 的垂直平分线 交于点，交于点，连接， . 创新拓展题 32 （1）求证： ； 创新拓展题 33 【证明】连接 ，如图. 四边形 是菱形， 点，关于直线 轴对称， . 的垂直平分线交于点 ， 交于点 ， . 创新拓展题 34 （2）求 的最小值. 创新拓展题 35 【解】如图，过点作于点 ， 连接，过点作于点 ， ， . 四边形是菱形， ， . . 由（1）得 . . 创新拓展题 36 的最小值为 . ， . 又， . 在 中， ， 的最小值为 . 返回 创新拓展题 $$第19章 四边形 19.1 多边形内角和 第1课时 多边形及其内角和 1 名师点金 1.从<m></m>边形的一个顶点可以引<m></m>条对角线，一个<m></m>边形共 有<m></m>条对角线（<m></m>,<m></m>为正整数）. 2.正多边形必须同时满足“各角相等”“各边相等”两个条件， 两者缺一不可. 3.多边形内角和公式的推导是通过把多边形问题转化为三角 形问题解决的，这种转化方法是解决多边形问题的核心方法. . . . . . . . . 2 知识点1 多边形及相关概念 1.下列图形中不是凸多边形的是( ) C A. B. C. D. 2.从六边形的一个顶点出发，可以画出 条对角线，它们将六 边形分成个三角形，则, 的值分别为( ) C A.4，3 B.3，3 C.3，4 D.4，4 返回 基础题 3 3.在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线， 凸十边形的对角线有( ) C A.29条 B.32条 C.35条 D.38条 返回 基础题 4 知识点2 多边形内角和 4.[2024云南] 一个七边形的内角和等于( ) B A. B. C. D. 5.[2024乐山] 下列多边形中，内角和最小的是( ) A A. B. C. D. 返回 基础题 5 6. 一个多边形除去一个内角后，其余各内角 的和为 ，则这个内角是( ) C A. B. C. D. 返回 基础题 6 7.如图，在多边形中，若 ，则 _____ . 440 基础题 7 【点拨】如图，连接 ，则多边形 为五边形，其内角和为 ， . 返回 基础题 8 8.如图，六边形中，， ， ， ， ，求 的度数. 基础题 9 【解】如图，延长交的延长线于 . ， . 又 ， . 基础题 10 ， . . . . 又 ， . 返回 基础题 易错点 考虑问题不全面而漏解（分类讨论思想） 9.在平面内有 个点，其中每三个点 都能构成等腰三角形，我们把具有这 样性质的 个点构成的点集称为爱尔 特希点集，如图，四边形 的四 或 个顶点构成爱尔特希点集，若平面内存在一个点与， ， ，也构成爱尔特希点集，则 _________. 基础题 12 【点拨】依题意，当 为正五边形的中心点 时即满足题意，如图①， . 基础题 13 当 为正五边形的顶点时也满足题意，如 图②， 易知 ， . 由题意知，，， 为某正五 边形的任意四个顶点时，即满足题意，分点 为正五边形的 中心和顶点两种情况讨论. 返回 基础题 14 10.在四边形中， ， . （1）如图①，若，试求出 的度数； 综合应用题 15 【解】 , , , , . 综合应用题 16 （2）如图②，若的平分线交 于点，且，试求出 的度数. ， , , ， . 又平分， . . 返回 综合应用题 17 11.如图所示，五边形 中， ，且，， ， 求该五边形的周长和面积. 综合应用题 18 【解】如图所示，分别延长， 相交 于点，延长，相交于点 . , , . 综合应用题 19 ，， 均为正三角 形. ,, , , . . 综合应用题 , . 五边形 的周长为 . 易得，， 的高分别 为，， . ， 综合应用题 ， ， 五边形 的面积为 . 返回 综合应用题 12. 剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀 沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中 任选1张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2 张纸片，这样共有3张纸片;从这3张中任选1张，再用剪刀沿 一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张 纸片 如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸 片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，则还有一张多边形纸 片的边数为___. 6 创新拓展题 23 【点拨】由题意可知,每剪一次,所有的多边形的内角和增加 ,最后得到10张纸片,故剪了9次,即增加的度数为 .设还有一张多边形纸片的边数为,可得,解得 . 返回 创新拓展题 24 13.（1）在图①中，互不重叠的三角形共有3个，在图②中， 互不重叠的三角形共有5个，在图③中，互不重叠的三角形 共有7个， ,则在第 个图形中，互不重叠的三角形共有 _________个；（用含 的代数式表示） 创新拓展题 25 （2）若在如图④所示的边形中， 是 边上的点，分别连接, ， ， ,，得到 个互不重 叠的三角形.请根据这样的划分方法写出 边形的内角和公式； 【解】设边形的内角和为 ，则由题意，得 . 创新拓展题 26 （3）若在四边形内部有 个不同的点，按照（1）中的方法 可得个互不重叠的三角形，试探究与 的关系. 设在四边形内部有个不同的点，且按（1）中的方法可得 个互不重叠的三角形，而四边形的内角和为 ，所以 ，则，即 . 返回 创新拓展题 27 $$第19章 四边形 1.矩形 第2课时 矩形的判定 1 名师点金 矩形的判定方法有三种:第一种是有三个角是直角的四边形是 矩形；第二种是定义，即有一个角是直角的平行四边形是矩 形；第三种是对角线相等的平行四边形是矩形.后两种判定方 法的前提是平行四边形. 注意：对角线相等的四边形不一定是矩形，但是对角线互相 平分且相等的四边形是矩形. . . . . 2 知识点1 由矩形的定义判定矩形 1.如图，，，是 各边的中点，请添加一个条件: ________________________，使四边形 是矩形. （答案不唯一） 返回 基础题 3 2.在四边形中，，交于点 ，在下列条件中，不 能判定四边形 为矩形的是( ) C A.，， B.，， C.， D. ， 返回 基础题 4 3.[2024长春] 如图，在四边形中， ， 是边的中点， . 求证：四边形 是矩形. 基础题 5 【证明】是边的中点，. 在和中， . ， . 四边形 是平行四边形. ， 四边形 是矩形. 返回 基础题 6 知识点2 由对角线的关系判定矩形 4.[2024泸州] 已知四边形 是平行四边形，下列条件中， 不能判定 为矩形的是( ) D A. B. C. D. 返回 基础题 7 5.[2024邢台一模] 如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了 部分数据，则下列判断正确的是( ) A （第5题） A.甲是矩形 B.乙是矩形 C.甲、乙均是矩形 D.甲、乙都不是矩形 返回 基础题 8 知识点3 由直角的个数判定矩形 （第6题） 6. 如图，在四边形 中， ，在不添加任何辅助 线的前提下，要想四边形 为矩形，只 需要添加一个条件是___________________ _____. （答案不唯一） 返回 基础题 9 7.如图，在中，，，， 分别为垂足. 基础题 10 （1）求证： ； 【证明】 四边形 是平行四边形， , . , , . 在和中， . 基础题 11 （2）求证：四边形 是矩形. , , . 四边形 是平行四边形， ， ， 四边形 是矩形. 返回 基础题 12 易错点 对矩形的判定方法理解错误而致错 8.在四边形中，， .下列说法能使四边 形 为矩形的是( ) C A. B. C. D. 基础题 13 【点拨】， . 又， . ， . 的长为与 间的距离. ，， . . 四边形 是矩形.故选C. 返回 基础题 14 9. 如图，在中，是的中点，是 的中点，过点作，交的延长线于点 . 综合应用题 15 （1）求证： ； 【证明】 ， ， . 为的中点， . . 为的中点， . 综合应用题 16 （2）连接，若 ，求证：四边形 是矩形. ， ， 四边形 是平行四边形. ，为的中点， . . 四边形 是矩形. 返回 综合应用题 17 10.[2024贵州] 如图，四边形的对角线与 相交于 点，， ，有下列条件： ， . 综合应用题 18 （1）请从以上①②中任选1个作为条 件，求证：四边形 是矩形； 【解】选择①.证明： ， ， 四边形 是平行四边形. 又 ， 四边形 是矩形. 选择②.证明：， ， 四边形 是平行四边形. 又 ， 四边形 是矩形. 综合应用题 19 （2）在（1）的条件下，若 ，，求四边形 的 面积. ，， ， . 四边形 是矩形， 四边形 的面积 . 返回 综合应用题 20 11.[2024无锡天一中学月考] 如图，在中，过点 作 于点，点在边上，，连接， . 综合应用题 21 （1）求证：四边形 是矩形； 【证明】 四边形 是平行四边形， ， . ， . 四边形 是平行四边形. ， . 四边形 是矩形. 综合应用题 22 （2）若，，，求证：平分 . 综合应用题 23 四边形 是平行四边 形， . ， . 由（1）知四边形 是矩 形， ， . 在 中，由勾股定理，得 ，. 又， . 平分 . 返回 综合应用题 24 12. 如图,在中，是边 上的一个动 点，过点作直线,设交的平分线于点 ,交 的外角的平分线于点 . 创新拓展题 25 （1）求证： . 创新拓展题 26 【证明】如图所示. 交的平分线于点,交的外角 的平分 线于点 , , . 创新拓展题 27 ,, . , . , . 创新拓展题 （2）若,,求 的 长. 【解】, , , ,即 . 又,, . 由（1）得, . 创新拓展题 29 （3）连接，,当点在边 上运动 到什么位置时，四边形 是矩形？请 说明理由. 【解】当点运动到的中点时，四边形 是矩形. 理由：当点运动到的中点时， . 又, 四边形 是平行四边形. 由（2）得 ， 四边形 是矩形. 返回 创新拓展题 30 $$第19章 四边形 19.2 平行四边形 第1课时 平行四边形及其边角性质 1 名师点金 1.平行四边形的定义有两个要素：（1）是四边形；（2）两 组对边分别平行. 2.平行四边形的定义既可当性质用，又可当判定用. 3.平行四边形的对边相等，一组邻边的和等于其周长的一半. 2 知识点1 平行四边形的定义 （第1题） 1. 如图，在中， ， ，分别是，， 上的点，且 ，， ，则图中平行 四边形共有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 返回 基础题 3 2.如图，剪两张对边平行的纸条，交叉叠放在一起，重合的 部分构成了一个四边形，这个四边形是____________. 平行四边形 （第2题） 返回 基础题 4 知识点2 平行四边形的性质——对边相等 （第3题） 3.[2024芜湖期中] 如图，在 中，， ， 平分交边于点 ，则 ( ) A A.2 B.3 C.4 D.5 返回 基础题 5 （第4题） 4.[2024泉州期末] 如图，在 中， ，，是 边上的中点，将 沿翻折得到，连接， ， ，三点在同一直线上，则点到 的距 离为( ) D A. B. C. D. 基础题 6 【点拨】如图，作于点 . 基础题 7 是边上的中点， . 由折叠可知，， . 四边形 是平行四边形， ，，， . ， . ， . ， . 基础题 8 . , . ， . 在和 中， 根据勾股定理，得 ，即 ，解得 . 基础题 . （负值已舍去）. （第4题） 返回 基础题 知识点3 平行四边形的性质——对角相等 5.如图，四边形是平行四边形，点在线段 的延长线 上，若 ，则 ____. （第5题） 返回 基础题 11 （第6题） 6. 如图，在 中， 平分且交于点, , 则 的大小是( ) C A. B. C. D. 返回 基础题 12 知识点4 平行线之间的距离及其性质 （第7题） 7. 如图，已知直线 ，点，，在直线上，点 ， ，在直线上， ，若 的面积为5，则 的面积为 ( ) C A.2 B.4 C.5 D.10 返回 基础题 13 （第8题） 8.如图，已知直线， ， ，，都垂直于 ，垂足分别 为， ，则下列选项中，一定成立的是 ( ) A A. B. C. D. 返回 基础题 14 易错点 没有分情况讨论造成漏解 9.在中，的平分线分边为和 两部分， 则 的周长为( ) D A. B. C. D.或 基础题 15 【点拨】如图①，当 ， 时. 四边形 为平行四边形， . 平分， . . 的周长为 ； 基础题 16 如图②，当 ， 时. 同理可得 . 的周长为 综上，的周长为 或 . 基础题 本题利用了分类讨论思 想，把分成和 两 部分，没有明确说明哪部分是 ,哪部分是 ，故分两种情 况讨论. 返回 基础题 18 10.[2024重庆期中] 如图，已知四边形 为平行四边形， ，分别平分和，交于点， . 综合应用题 19 （1）若 ，求 的度数； 【解】平分, ， . 四边形是平行四边形， . . 综合应用题 20 （2）求证： . 综合应用题 21 【证明】 四边形 是平行四边形， , . 平分,平分 , , . . ， . . 返回 综合应用题 22 11.[2024阜阳期中] 如图，点在 内部，， . （1）求证： ； 【证明】 四边形 是平行四边形， , . , . .同理可得 . . 综合应用题 23 （2）若的面积为30，求四边形 的面积. 综合应用题 24 【解】 点在 内部， . 由（1）知 , . . 的面积为30, 四边形 的面积为15. 返回 综合应用题 25 12.如图，分别以的三边,, 为 斜边作等腰直角三角形，得到,, . 创新拓展题 26 （1）如图①,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部 时，连接,，请判断与 的关系. 创新拓展题 27 【解】 四边形 是平行四 边形， ， . ，， 都是 等腰直角三角形， ， 创新拓展题 28 易得 ， ， ， . ， 创新拓展题 . . ， . ， 创新拓展题 即 . . 综上，, . 创新拓展题 （2）如图②,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部 时，连接, ,（1）中结论还成立吗？若成立，请给出证 明；若不成立，请说明理由. 创新拓展题 32 ， 仍然成立.证 明如下： 四边形 是平行四边形， ， . 又，， 都是等腰直角三角形， 易得， ， ， . 创新拓展题 33 ， . . 又 ， . . 创新拓展题 ， . ， 即 . . 综上，, . 返回 创新拓展题 $$第19章 四边形 2.菱形 第2课时 菱形的判定 1 名师点金 判定一个四边形是菱形的方法： 1.若已知邻边相等，要证明一个四边形是菱形，有两种方法： （1）证明四条边都相等；（2）先证明该四边形是平行四边 形，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明. 2 2.若条件中出现两条对角线，要证明一个四边形是菱形，可 考虑利用： （1）对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；（2）对角线 互相垂直的平行四边形是菱形. . . . . 3 知识点1 由边的关系判定菱形 （第1题） 1. 如图，以点 为圆心， 适当的长为半径画弧，交两边于点， ， 再分别以，为圆心， 的长为半径画 弧，两弧交于点，连接， .若 ，则 ( ) A A. B. C. D. 返回 基础题 4 2.[2024上海] 四边形为矩形，过，作对角线 的垂 线，过，作对角线 的垂线.如果四条垂线拼成一个四边 形，那么这个四边形为( ) A A.菱形 B.矩形 C.直角梯形 D.等腰梯形 基础题 5 【点拨】如图. 四边形 为矩形， ， ，，， ， . 四条垂线可以拼成一个菱形. 返回 基础题 6 （第3题） 3. 如图，两张宽度均为 的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐 角为 ，则重合部分构成的四边形 的周长为_____ . 基础题 7 【点拨】如图，过点作于点 ， 于点 ， . 两张纸条宽度均为 ， 四边形为平行四边形，且 . . . 基础题 8 四边形 为菱形. 在中， ， ， 易得 . 四边形 的周长为 . 返回 基础题 4.[2024宿迁] 如图，在四边形 中， ，且 ，是 的中点. 下面是甲、乙两名同学得到的结论： 甲：若连接，则四边形 是菱形； 乙：若连接，则 是直角三角形. 请选择一名同学的结论给予证明. 基础题 10 【解】（答案不唯一）选择甲.证明：如图. ，是 的中点， . ， 四边形 是平行四边形. ， 四边形 是菱形. 返回 基础题 11 知识点2 由对角线关系判定菱形 5.下列命题中,是真命题的是( ) D A.对角线互相平分的四边形是菱形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线平分一组对角的四边形是菱形 D.对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 返回 基础题 12 6.如图，在平面直角坐标系中，四边形 的顶点坐标分别为 ， ，， .求证：四边形 是菱形. 【证明】，，， ， ，， 四边形 为平行四边形.又 ， 四边形 是菱形. 返回 基础题 13 易错点 不熟悉菱形的判定方法导致出错 7.如图，的对角线，交于点 ，以下条件不能 证明 是菱形的是( ) D A. B. C. D. 基础题 14 【点拨】A. ， . 是菱形，故本选项不符合 题意； B. 四边形 是平行四边形， . . 基础题 15 . 是菱形，故本选项不符合 题意； C. ， ，即 ， 是菱形，故本选项不符合 题意； 基础题 D. ， ，无法得到 是菱形，故本选项符合题意.故选D. 返回 基础题 8.如图，在四边形 中， ，，对角线， 交于点，平分 . （1）求证：四边形 是菱形； 【证明】, , 四边形是平行四边形， . 平分， . . 四边形 是菱形. 综合应用题 18 （2）点是边上的动点（不与， 重合），过点作， ， 垂足分别为，，连接， .求 证： . 由（1）可知，四边形 是菱形， . ,, . 四边形是矩形. . 返回 综合应用题 19 9.[2024雅安] 如图，点是对角线的交点，过点 的 直线分别交，于点， . 综合应用题 20 （1）求证： ； 【证明】 四边形 是平行四边形， . 点是 对角线的交点， . 在和中， . 综合应用题 21 （2）当时， ，分别连 接，，求此时四边形 的周长为 _______. 综合应用题 22 【点拨】由（1）知，， . ， 四边形 是平行四 边形. 又， 四边形 是菱形. . 四边形 的周长为 . 返回 综合应用题 23 10.[2024福州期中] 如图，在中，，， 分 别是，的中点，， . 综合应用题 24 （1）求证：四边形 是菱形； 【证明】, , 四边形 是平行四边形. ,分别是, 的中点， ， . 又， . 四边形 是菱形. 综合应用题 25 （2）连接交于点，连接，若， ， 则的长为___， 的长为_____. 1 综合应用题 26 【点拨】 四边形 是菱形， , . ，分别是, 的中点， , . 在中， . 在中， , . 返回 综合应用题 27 11.[2024盐城] 如图①，，，，分别是 各边的 中点，连接，交于点，连接，交于点 ，将四 边形称为 的“中顶点四边形”. 创新拓展题 28 （1）求证：中顶点四边形 是平行四边形； 【证明】 四边形 是平行四边形， ，，， . ，，，分别是 各边的中点， ， . 四边形， 都是平行四边形. ， . 中顶点四边形 是平行四边形. 创新拓展题 29 （2）①如图②，连接，交于点，可得， 两点都 在上，当满足_________时，中顶点四边形 是菱形； 创新拓展题 30 【点拨】由（1）得中顶点四边形 是平行四边形. ， . 中顶点四边形 是菱形. ②如图③，已知矩形 为某平行四边形的中顶点四边形， 请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形.（保留作图痕迹， 不写作法） 创新拓展题 31 【解】如图所示. 返回 创新拓展题 32 $$第19章 四边形 19.2 平行四边形 第2课时 平行四边形的对角线性质 1 名师点金 1.平行四边形的每一条对角线将平行四边形分成两个全等的 三角形，两条对角线将平行四边形分成四对全等的三角形， 对角线是将平行四边形转化为三角形的常用辅助线. 2.若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则该直线平分 平行四边形的周长和面积. . . . . . . 2 知识点1 平行四边形的性质——对角线互相平分 （第1题） 1.[2024芜湖二模] 如图， 的对角 线，交于点，若 ， 的周长为29，则 的值为 ( ) B A.18 B.36 C.38 D.39 返回 基础题 3 2.用若干根木棒搭平行四边形，在长度分别为， ， 的三根木棒中，选择长度是___ 的木棒作为平行四边 形的一边，另两根作为对角线，可搭成平行四边形. 8 返回 基础题 4 （第3题） 3.如图，在中，， 相交于点 ，，， ，则 ______. 【点拨】 四边形 是平行四边形， ，， . , . . . 返回 基础题 5 4.如图，四边形和四边形 都是平行四边形.求证： . 基础题 6 【证明】如图，连接交于点 . 四边形和四边形 都为平行 四边形， ， 即 . ， . 返回 基础题 7 知识点2 平行四边形的面积 （第5题） 5.如图，在中，过点作 ， 垂足为，过点作，垂足为 .若 ，，，则 的长为 ( ) B A.4 B.3 C. D.2 返回 基础题 8 6. 如图，在中，， 为对角线， ， 边上的高为6，则图中阴影部分的面积为( ) C （第6题） A.6 B.15 C.30 D.60 返回 基础题 9 7.如图，在 中，对角线 ，交于点， ， ，垂足分别为， . （1）求证： ； 【证明】 四边形是平行四边形， . ,, . 又， . . 基础题 10 （2）若，求 的长； 【解】, . 在中， . ， . 基础题 11 （3）若，，当时，则 的 面积为_____. 基础题 12 【点拨】, . 四边形 是平行四边形， , . ， . . . 返回 基础题 13 8.的对角线和相交于点，过点 且与边 ，分别相交于点和点 . 综合应用题 14 （1）如图①，求证： ； 【证明】 四边形 是平行四边形， , . , . . 综合应用题 15 （2）如图②，已知，， ， . 综合应用题 16 ①求的度数，并且写出当 为多少度时， ？ 【解】 四边形 是平行四边 形，, , , . 又， . 综合应用题 17 是等腰直角三角形. , . 当 时， ， 当 时， . 综合应用题 ②在①成立的条件下，连接，则 的周长为_______. 综合应用题 19 【点拨】 四边形 是平行四 边形， , . 又, 垂直平分 . 由①知， ，即 ， . 综合应用题 20 . 的周长为 . 返回 综合应用题 9.[2024烟台期末] 在一次数学探究活动中，小明用两条直线 把平行四边形 分割成四个部分，使含有一组对顶角的 两个图形全等. 综合应用题 22 （1）请在图①中的三个平行四边形中画出满足小明分割方 法的直线； 【解】（答案不唯一）作图如 图所示. 综合应用题 23 （2）根据小明的分割方法，你认为把平行四边形分割成满 足以上全等关系的直线有______组.由上述实验操作过程，你 发现小明所画的两条直线的主要特点是__________________ _____________________; 无数 两条直线都经过平行四边形对角线的交点 综合应用题 24 （3）拓展延伸：如图②,将一张平行四边形的纸片 沿过 对角线的中点的直线折叠，折痕交边， 于点 ，，点落在点处，点落在点处.设交 于点 ，分别交，于点，.求证： . 综合应用题 25 【证明】 四边形 是平行 四边形， , , , . . 又， . . 综合应用题 26 由折叠的性质得 , , , , ， . , . 综合应用题 又 , , . . 返回 综合应用题 10.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、 轴分别交于点 ，，是线段的中点，点 ，点 为 轴上一动点. 创新拓展题 29 （1）求直线的表达式，并直接写出点 的坐标； 创新拓展题 30 【解】设直线的表达式为 . 直线与轴、 轴分别相交于点 ， ， 解得 直线的表达式为 . 点的坐标为 . 创新拓展题 31 （2）连接，，以，为边作， 的 顶点恰好落在轴上，求点 的坐标； 创新拓展题 32 如图，连接 . ， ， 创新拓展题 33 线段的中点坐标为 . 又 以，为边的交轴于点，交轴于点 ， 设， ， . . . 创新拓展题 （3）设点是直线上一点，若以，，， 为顶点的四边形为平行四边形，则所有符合条件的点 的坐 标为_________________________________________. 或或 创新拓展题 35 【点拨】设点的坐标为 ，分 两种情况讨论： 第一种情况： 为平行四边形的对角线， 由（2）得的中点坐标为 . 设，连接， 的中点坐标为 . ， 均为平行四边形的对角线， 创新拓展题 36 .解得 . ； 第二种情况：为平行四边形的边，则 也为边， 即， . ， ， 创新拓展题 . 设直线的表达式为 ， 把点， 的坐标代入， 得解得 直线的表达式为 . 创新拓展题 直线的表达式可设为 . 当时，， . .① 又 点在直线 上， .② 创新拓展题 由①②得或 ， ， . 故符合条件的点的坐标为 或 或 . 返回 创新拓展题 $$第19章 四边形 3.正方形 第1课时 正方形的性质 1 名师点金 正方形的两条对角线互相垂直、平分且相等;每条对角线 都平分一组对角;两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直 角三角形;每条对角线所在的直线是正方形的对称轴. . . 2 知识点1 正方形的边角性质 （第1题） 1. 如图，正方形 的面 积为4，点，，，分别为边 ， ，，的中点，则四边形 的面 积为___. 2 返回 基础题 3 （第2题） 2.[2024重庆] 如图，在边长为4的正方形 中，点是上一点，点是 延长线 上一点，连接，，平分交 于点.若，则 的长度为 ( ) D A.2 B. C. D. 基础题 4 （第2题） 【点拨】 四边形 是正方形， ， . . 在和中， . 基础题 5 平分， . 在和中， . ， . 设，则 ， . （第2题） 基础题 在中， ，即 ，解得 . （第2题） 返回 基础题 （第3题） 3.[2024重庆] 如图，在正方形 的 边上有一点，连接，把 绕 点逆时针旋转 ，得到 ，连接 并延长与的延长线交于点.则 的值为( ) A A. B. C. D. 基础题 8 【点拨】如图，过点作 ,交 的延长线于点，则 . 四边形 是正方形， ，， . . 绕点逆时针旋转 ，得到 ， ， . 基础题 9 . . 在和 中， ， . 基础题 易得 . . ， . 设 ，正方形的边 长为 ， 则易得， ， ， . 返回 基础题 知识点2 正方形对角线的性质 4.矩形、菱形、正方形不同时具有的性质是( ) D A.对边平行且相等 B.对角相等 C.对角线互相平分 D.每条对角线平分一组对角 返回 基础题 12 （第5题） 5.如图，在正方形中，对角线， 相交于点，，分别为， 上的一点， 且，连接，.若 ， 则 的度数为( ) C A. B. C. D. 基础题 13 （第5题） 【点拨】 四边形 为正方形， ， . , ， . , ， . 基础题 14 又， . 又， . . . . （第5题） 返回 基础题 6.[2024天津] 如图，正方形的边长为，对角线 , 相交于点，点在的延长线上，，连接 . （第6题） 基础题 16 （第6题） （1）线段 的长为___； 2 【点拨】 四边形 是正方形， ， . 在中， . ， 易得 . ， . 基础题 17 （2）若为的中点，则线段 的长为_ ___. （第6题） 基础题 18 【点拨】如图，延长到点，使，连接 , 过点作，垂足为点 . 为的中点，为 的中点， 基础题 19 . 在中，易知 ， 易得 . ， 易得 . . 在中， ， . . 返回 基础题 知识点3 正方形的对称变换 （第7题） 7.如图，正方形的边长为4，为 上的一点，，为 上的一点， ，为上一个动点，则 的最小值为_____. 基础题 21 （第7题） 【点拨】在上取一点，使得 , 易知点，关于 所在直线对称.连接 ,交于点，连接，则 . 易得的值为 的最小值,又 等于的长， 的长为 的最小值.易得 . 基础题 22 （第7题） 本题容易错在不会利用正方形的 轴对称性，将两条线段的和转化为一条线 段.由于，是固定的点，因此可以作点 或点关于 所在直线的对称点，利用勾 股定理求解即可. . . . . . . 返回 基础题 23 （第8题） 8. 如图，在正方形 中，，，点是边 上的动 点，点是线段 上的动点，若 ，则线段 的长为( ) D A. B. C. D. 基础题 24 【点拨】如图，在上取点关于 的对称 点，过点作 ， 交于点，延长交于点 ，此时点 ，为使 的位置，易知四边形 是矩形， . , . 又 在中， ， . 返回 基础题 25 9.[2024河南] 如图，在平面直角坐标系中， 正方形的边在轴上，点 的坐 标为，点在边上.将 沿 折叠，点落在点处.若点 的坐标为 ，则点 的坐标为_______. 综合应用题 26 【点拨】设正方形的边长为， 与轴相交于点 ， 易知四边形 是矩形， ， ， . 由折叠可得， . 点的坐标为，点的坐标为 ， 综合应用题 27 ， . . 在中， ， 即，解得 . ， 在中， ， 即，解得 . 点的坐标为 . 返回 综合应用题 10.如图，在正方形中，是对角线 上的一点（与点， 不重合）， ，，， 分别为垂足，连 接，，并延长交于点 . 综合应用题 29 （1）求证： ； 【证明】 四边形 为正方形， . 又， . 综合应用题 30 （2）判断与 是否垂直，并说明理由. 综合应用题 31 【解】 .理由如下： 连接交于点 ，如图. 四边形 为正方形， ， . 又 ， . ，， , . 综合应用题 32 又 在正方形中， ， 四边形为矩形. . . 由（1）得 ， . . . . 返回 综合应用题 11. 如图，在正方形中，为 的中 点，连接，将沿所在直线对折得到 ，延长 交的延长线于点 . 综合应用题 34 （1）求证： 是等腰三角形； 【证明】在正方形中, , . 根据折叠的性质，得 ， . 是等腰三角形. 综合应用题 35 （2）若正方形的边长为2，则 的长为_ _. 综合应用题 36 【点拨】设 ， 正方形的边长为2,为 的中点， 沿所在直线对折得到 , , , . . 由（1）得, , 综合应用题 37 在中， ，即 ，解得 . 的长为 . 返回 综合应用题 12. 【模型建立】 （1）如图①，已知和 ， ，，， .用 等式写出线段，， 的数量关系，并说 明理由； 创新拓展题 39 【解】 .理由如下： ，， ， . . . 又， . ， . . 创新拓展题 40 【模型应用】 （2）如图②，在正方形 中，点 ，分别在对角线和边 上， ， .用等式写出线段 ，， 的数量关系，并说明理由； 创新拓展题 41 .理由如下： 如图，过点作于点 ， 于点 . 四边形是正方形， 是正方形的 对角线， ,平分， ， 易得 ， 创新拓展题 42 . ，， . ， . ，， ， ， 易得四边形 是正方形. 创新拓展题 . 易得 ， . ， . ，即 . 创新拓展题 ， . 创新拓展题 【模型迁移】 （3）如图③，在正方形中，点 在对角线上，点在边 的延长线 上，， .用等式写出线 段，， 的数量关系为________ ___________. 创新拓展题 46 【点拨】如图，过点作于点 ， 过点作，交的延长线于点 . ，， ， . . . 又， . 创新拓展题 47 . 在正方形中， ， . . 是等腰直角三角形. . . ， ， 创新拓展题 是等腰直角三角形. . . . 易知 ， . . 返回 创新拓展题 $$第19章 四边形 19.4 综合与实践 多边形的镶嵌 1 名师点金 1.用相同的正多边形镶嵌的条件：（1）边长要相等；（2） 有公共顶点；（3）在公共顶点处各内角的和为<m></m> . 2.能用相同的正多边形镶嵌的只有正三角形、正方形和正六 边形三种. . . . . 2 知识点1 用一种多边形作平面镶嵌 1.只用一种正六边形地砖密铺地板，则能围绕在正六边形的 一个顶点处的正六边形地砖有( ) A A.3块 B.4块 C.5块 D.6块 2. 某商店出售下列四种形状的地砖：①正 三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形.若只选购其中 一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有( ) B A.4种 B.3种 C.2种 D.1种 返回 基础题 3 知识点2 用多种正多边形作平面镶嵌 3.如果用边长相同的正三角形和正六边形两种图形铺满平面， 那么一个顶点处需要( ) C A.三个正三角形、两个正六边形 B.四个正三角形、两个正六边形 C.两个正三角形、两个正六边形 D.三个正三角形、一个正六边形 基础题 4 【点拨】正三角形的每个内角为 ，正六边形的每个内角 为 ， A.由 知三个正三角形、两 个正六边形不符合题意； B.由 知四个正三角形、两 个正六边形不符合题意； 基础题 5 C.由 知两个正三角形、两个正六 边形符合题意； D.由 知三个正三角形、一个 正六边形不符合题意；故选C. 返回 基础题 4.如图是某广场用地砖铺设的部分图案，中央是 一个正六边形的地砖，周围是正三角形和正方 形的地砖.从里向外的第1层包括6个正方形和6个 正三角形地砖，第2层包括6个正方形和18个正 102 三角形地砖，依此递推，第9层中含有正三角形地砖的个数 是_____. 基础题 7 【点拨】 第1层包括6个正三角形地砖， 第2层包括18个正三角形地砖， ， 可知每一层比上一层多12个正三角形地砖， 第层中含有 个正三角形地 砖. 当时， 个. 返回 基础题 8 知识点3 一般图形的平面镶嵌 5.我们知道形状为正五边形的地砖不能铺满 地面，但某公园的一段路面是用型号相同的 特殊的五边形地砖铺成的.如图，是拼铺图案 的一部分，其中每个五边形有3个内角相等， 那么这3个内角都等于_____ . 120 基础题 9 【点拨】因为3个内角放在同一顶点处,组成 一个周角,所以每个内角为 . 故这3个内角都等于 . 返回 基础题 6.在生活中我们经常看到一些拼合图案.如图所示，它们或是 用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成，拼成的图 案要求严丝合缝，不留空隙. 从数学角度看，这些工作就是 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这 类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题. 综合应用题 11 （1）如果限用一种正多边形来覆盖平面的一部分，正六边 形是否能镶嵌成一个平面图形?请说明理由； 综合应用题 12 【解】正六边形能镶嵌成一个平面图形，理由如下： 正六边形的内角和为 ， 正六边形的每一个内角为 . ， 正六边形能镶嵌成一个平面图形. 综合应用题 13 （2）同时用正方形和正八边形是否能镶嵌成一个平面图形? 请说明理由； 综合应用题 14 同时用正方形和正八边形能镶嵌成一个平面图形， 理由如下： 正八边形的内角和为 ， 正八边形的每一个内角为 . ， 同时用1块正方形和2块正八边形能镶嵌成一个平面图形. 综合应用题 15 （3）请你探索，是否存在同时用三种不同的正多边形组合 （至少包含1块正五边形）镶嵌成的平面图形，写出验证过程. 综合应用题 16 存在同时用三种不同的正多边形组合（至少包含1块正五边 形）镶嵌成的平面图形， 正五边形的内角和为 ， 正五边形的每一个内角为 . 正二十边形的内角和为 ， 正二十边形的每一个内角为 . 综合应用题 17 正方形的内角和为 ， 正方形的每 个内角为 ， . 存在同时用三种不同的正多边形组合（至少包含1块正五 边形）镶嵌成的平面图形，此时该平面图形由1块正二十边 形、1块正五边形和1块正方形构成. 返回 综合应用题 $$第19章 四边形 19.2 平行四边形 第4课时 由对角线的关系判定平行四边形 1 名师点睛 灵活选择平行四边形判定定理的方法：1.已知一组对边平行， 可证明该组对边相等或证明另一组对边平行; 2.已知一组对 边相等，可证明该组对边平行或证明另一组对边相等; 3.已 知条件与对角线有关，可证明对角线互相平分. . . . . . . . . . . 2 知识点1 由对角线的关系判定平行四边形 1.四边形的对角线与相交于点 ,下列四组条件中， 一定能够判定四边形 为平行四边形的是( ) B A. B.， C.， D. 返回 基础题 3 2.已知 （如图①），按图 ②、图③所示的尺规作图痕迹， （不需借助三角形全等）就能推 C A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C.对角线互相平分的四边形是平行四边形 D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 出四边形 是平行四边形的依据是( ) 返回 基础题 4 3.[2024河北] 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，中，，平分 的外角 ，是的中点，连接并延长交于点 ，连接 . ______________________________ 基础题 5 求证：四边形 是平行四边形. 证明：， . ，， ， ____. 续表 基础题 6 又， ， （②____）. 四边形 是平行四边形. 若以上解答过程正确，①，②应分别为( ) D 续表 A.， B.， C.， D.， 基础题 7 【点拨】证明：， . ，， ， .又， ， . 四边形 是平行四边形. ，②分别为， . 返回 基础题 8 4.如图①,在中，, 为锐角.要在对角线 上找点,,使四边形 为平行四边形，现有图②中的 甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是( ) A A.甲、乙、丙 B.甲、乙 C.甲、丙 D.乙、丙 返回 基础题 9 知识点2 平行四边形性质和判定的应用 5.如图，在中，对角线，交于点，是 上 任意一点，连接并延长，交于点，连接， . 基础题 10 （1）求证：四边形 是平行四边形； 【证明】 四边形 是平行四边形， ， . 又， . . 四边形 是平行四边形. 基础题 11 （2）若 , ,,则 的长为_________. 基础题 12 【点拨】， . ， ，. ， . . . . . 返回 基础题 13 易错点 混淆平行四边形的判定方法致误 6.如图，在中，对角线 ， 相交于点，，是对角线 上的 两点，给出下列4个条件： ； ； B A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 ； . 其中不能判定四边形 是平行四边形的有( ) 返回 基础题 14 7.[2024达州] 如图，线段，相交于点，且 ， 于点 . 综合应用题 15 （1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为，连接 ， ；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母） 【解】如图，，， 即 为所作. 综合应用题 16 （2）若，请判断四边形 的形状，并说明理由. （若前问未完成，可画草图完成此问） 综合应用题 17 四边形 为平行四边形.理由 如下： ， . ， ， ， . 又， . 四边形 为平行四边形. 返回 综合应用题 18 8.[2024湖南] 如图，在四边形 中， ，点在边 上，____________. 请从“； ， ”这两组条件中任选一组作为已 ①（或） 知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： 综合应用题 19 （1）求证：四边形 为平行四边形； 【证明】选择①： ， . 又， 四边形 为平行四边 形. 选择②：，， . 又， 四边形 为平行四边形. 综合应用题 20 （2）若，，，求线段 的长. 【解】由（1）可知四边形 为平行四边形， ， . . 返回 综合应用题 21 9. 如图，在 中， 对角线,相交于点,, , 为直线上的两个动点（点, 始终 在的外面）.若 , ,连接,,, . 创新拓展题 22 （1）求证：四边形 为平行四边形. 【证明】 四边形 是平行四边形， , . ,, . 四边形 为平行四边 形. 创新拓展题 23 （2）若平分, ,求四边形 的周长. 创新拓展题 24 【解】在中， , . 平分, . . , . 是的垂直平分线. . , 是等边三角形. 创新拓展题 25 . 由（1）可知，四边形 为平行四边 形， . 创新拓展题 （3）若,,四边形 还是平行四边形吗?若 , 呢?简单说明理由. 创新拓展题 27 【解】若, ,则四边 形 是平行四边形.理由如下： ,, , . ,即 . 又, 四边形 为平行四边形. 创新拓展题 28 若, ,则四边形 是平行四边形.理由如下： 易知, . 又, 四边形 为平行四 边形. 返回 创新拓展题 $$第19章 四边形 19.2 平行四边形 第3课时 由边的关系判定平行四边形 1 名师点睛 由“边”的关系判定平行四边形的方法有三种： （1）两组对边平行； （2）两组对边相等； （3）一组对边平行且相等. 2 知识点1 由一组对边关系判定平行四边形 1.[2024苏州期中] 根据下列四边形中所标的数据，一定能判 定为平行四边形的是( ) C A. B. C. D. 返回 基础题 3 2.如图，点，，， 在一条直线 上，，， ， 连接.求证：四边形 是平行四边 形. 【证明】, , . 又,, . . 四边形 是平行四边形. 返回 基础题 4 知识点2 由两组对边关系判定平行四边形 3.如图，在四边形中， ，若添加一个条件，使 四边形 为平行四边形，则下列正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 基础题 5 4.[2024上海崇明区期中] 探究课 上，小明画出 ，利用尺规 B A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等 C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等 作图找一点，使得四边形 为平行四边形.图①~③是其 作图过程：①以点为圆心，长为半径画弧；②以点 为 圆心，长为半径画弧，两弧交于点；③连接， ， 则四边形 即为所求作的图形.在小明的作法中，可直接 判定四边形 为平行四边形的条件是 ( ) 返回 基础题 6 5.要求只用圆规来验证纸片的两边是否平行，现有甲、乙两 种方案如下: 甲 乙 ________________________________________________ _________________________________________________ 基础题 7 甲 乙 ①在纸片的一边上取线段 ； ②用圆规在另一边上截取 ，使 ； ①沿折叠纸片，使 和 重合，和 重合， 交于点 ； 续表 基础题 8 甲 乙 ③连接， ，用圆规比较 和 的长度，若 ，则 . ②用圆规比较， 的长 度，若 ，则 . 对于两个方案，说法正确的是( ) C 续表 A.只有甲方案可行 B.只有乙方案可行 C.甲、乙方案都可行 D.甲、乙方案都不可行 返回 基础题 9 易错点 对平行四边形的判定方法理解错误 6. 下列条件： ， ； ， ； ， ； ， . 其中，能判定四边形 是平行四边形的有( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 基础题 10 【点拨】要准确理解平行四边形的判定方法，本题易混淆平 行四边形的判定方法而错选D. 返回 基础题 11 7.如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，请在所给网格中按下列要求画出图形. 综合应用题 12 （1）在图①中画一个平行四边形，使边长为 （点， 都在格点上）； 综合应用题 13 【解】如图①，平行四边形 即为所求.（画图不唯一） 综合应用题 14 （2）在图②中画一个平行四边形 ，使平行四边形 的面积为8且相邻两边不垂直（点， 都在格点上）. 如图②，平行四边形 即为所求.（画图不唯一） 返回 综合应用题 15 8.[2024杭州期中] 如图，在四边形中， ， 的平分线交于点，交的延长线于点 ，且 . 综合应用题 16 （1）求证：四边形 是平行四边形； 【证明】， . 平分， . . 又， 四边形 是平行四 边形. 综合应用题 17 （2）连接，若， ， ，求四边 形 的面积. 综合应用题 18 【解】， ， 是等边三角形. ， . 又， . . . . 返回 综合应用题 19 9. 如图，在四边形中， ， ，，点，分别从点， 同时出发， 点以的速度由点向点运动，点以 的速度 由点向点 运动.当一点到达终点时，两点均停止运动. 创新拓展题 20 （1）经过几秒四边形 为平行四边形？ 创新拓展题 21 【解】设经过四边形 为平行四边形. 根据题意，得， ， . ， 当时，四边形 是平行四边形. ，解得 . 经过四边形 为平行四边形. 创新拓展题 22 （2）经过几秒直线将四边形 截出一个平行四边形？ 创新拓展题 23 由（1）知，经过四边形 是 平行四边形. 设经过直线将四边形 截 出另一个平行四边形 . 根据题意，得， ， . ， 创新拓展题 24 当时，四边形 是平 行四边形. ，解得 . 综上，经过或直线 将四边形 截出一个平行四边形. 返回 创新拓展题 $$第19章 四边形 19.2 平行四边形 第5课时 三角形的中位线 1 名师点金 三角形的中位线定理反映了三角形的中位线与第三边的双重 关系：一是位置关系，可以用来证明两直线平行；二是数量 关系，可以用来证明线段的倍分关系. . . . . . . 2 知识点1 一条中位线的问题 （第1题） 1.如图，,两点被池塘隔开，,, 三点 不共线.设,的中点分别为, .若 ，则 ( ) B A. B. C. D. 返回 基础题 3 2.[2024驻马店期中] 如图，两个小朋友玩跷跷板，支柱 垂直于地面，是的中点， ，在玩游戏中， 小朋友离地面的最大距离是( ) B （第2题） A. B. C. D. 返回 基础题 4 （第3题） 3.如图，在中，， ， ，分别是，的中点， 的平分 线交于点，则 ( ) B A.0.5 B.1 C.2 D.4 基础题 5 （第3题） 【点拨】，分别是， 的中点， 为 的中位线. ， ， . . 的平分线交于点 ， . . 返回 基础题 6 （第4题） 4.[2024西安二模] 如图，在四边形 中，是边上的一动点， 是 边上的一固定点，，分别是 ， 的中点.当点在上从点向点 移 动时，线段 的长______.（填“逐渐增 大”“逐渐减小”或“不变”） 不变 基础题 7 （第4题） 【点拨】，分别是， 的中点， 是的中位线. . 是边上的一固定点， 的长 度不变. 线段 的长不变. 返回 基础题 8 知识点2 多条中位线的问题 （第5题） 5.如图，在四边形中，点 是对角 线的中点，点，分别是， 的 中点，， ，则 的度数是( ) D A. B. C. D. 基础题 9 （第5题） 【点拨】 点是对角线 的中点，点 ，分别是， 的中点， 是的中位线，是 的 中位线. ， . ， . . 返回 基础题 10 （第6题） 6.如图，在中，点， 分别为 ，的中点，与交于点 ，已知 四边形的周长为4，则 的周长 为___. 8 基础题 11 （第6题） 【点拨】 点，分别为， 的中点， ， . 在平行四边形中， ， 故是的中位线，是 的中位线. ， ， 四边形的周长为 ， 故 的周长为 . 返回 基础题 12 7.如图，在中， ，， ，点 ，分别在,边上，且，点，， 分别 是，，的中点，则 的长为___. 5 （第7题） 基础题 13 （第7题） 【点拨】， ， ， ， . 点，，分别是，， 的中点， 是的中位线，是 的中位线. 基础题 14 ， ， ， . ， . ， . . . . （第7题） 返回 基础题 8.如图，是内一点，，， ， ，，，，分别是，，， 的中点，则 四边形 的周长为____. 20 （第8题） 基础题 16 （第8题） 【点拨】， . , , . ，，，分别是，，， 的中点， , ，， ， . 四边形的周长为 . 返回 基础题 17 9.如图，在中，点,,分别是,, 边的中点.求 证： . 基础题 18 【证明】 点，分别是， 边的中 点， ， . 又是 边的中点， . ， .同理可得 ， . 返回 基础题 19 （第10题） 10.如图，四边形 中， ， ， ， 点，分别为线段， 上的动点 （含端点，但点不与点 重合），点 ，分别为，的中点，则 长度的最大值为_____. 综合应用题 20 【点拨】如图，连接，过点 作 交于点 ， . 点，分别为， 的中点， . 最大时， 最大. 易知点与点重合时， 最大. 综合应用题 21 在中， ， . . ， 易知 . 由勾股定理得 . 综合应用题 ，即 的最大值为 . 返回 综合应用题 （第11题） 11.如图，的周长为64，，， 分 别为，，的中点，，， 分 别为，，的中点， 的周长 为____.如果，， 分 别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上 述方法继续作三角形，那么第 个三角形 的周长是______. 16 综合应用题 24 （第11题） 【点拨】，，分别为，， 的中点，， ， . . 的周长为64， . 综合应用题 25 同理可得 . 第一个三角形的周长为64， 第二个三角形的周长为 ， 第三个三角形的周长为 ， 第 个三角形的周长为 . （第11题） 返回 综合应用题 12.[2024滁州期末] 如图，， 均为等腰直角三角 形，，，点，， 在同一直线 上，与相交于点，为的中点，连接，， . 综合应用题 27 （1）的度数为____ ； 90 综合应用题 28 【点拨】由题意得 ， ， . 在和 中， 综合应用题 29 . . . . . 综合应用题 （2）若为的中点，则 的长为____. 综合应用题 31 【点拨】如图，作于点 ，则 . ， 综合应用题 32 . 为的中点， . 在和 中， . 易知， . 综合应用题 又为的中点， . ，， ， . . . . 综合应用题 . . 返回 综合应用题 13.[2024东莞期中] 如图，在等腰直角三角形 中， ，，，分别为边， 的中点， 延长至点，使，连接，， . 综合应用题 36 （1）求证：四边形 为平行四边形； 【证明】，分别为边， 的中点， 是 的中位线. ， . 又， . 四边形 为平行四边形. 综合应用题 37 （2）求 的长. 【解】为边 的中点， . ， 在中， . 四边形 为平行四边形， . 返回 综合应用题 38 14.如图，在中，平分 交 于点，平分交于点， 为的中点，于点， 于点，于点.请给出 ， ， 之间的等量关系式，并说明理由. 创新拓展题 39 【解】 .理由如下： 如图，分别过点，作 ， ，， ，垂足分 别为点，，， . ，，为 的中点， 易知， . 平分，平分 ， 创新拓展题 40 ， . . ，,,点 为 的中点， 易得 . 返回 创新拓展题 $$第19章 四边形 1.矩形 第1课时 矩形的性质 1 名师点金 1.矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质， 它的特殊性就是四个角都是直角和对角线相等. 2.矩形的两条对角线将矩形分为两对全等的等腰三角形.在解 题时常用到等腰三角形的性质. 3.矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴. . . . . 2 知识点1 矩形的边角性质 （第1题） 1.[2024合肥一模] 小米同学在喝水时想到了 这样一个问题：如图，矩形 为一个正 在倒水的水杯的截面图，杯中水面与 的 交点为，当水杯底面 与水平面的夹角为 时， 的大小为( ) C A. B. C. D. 返回 基础题 3 （第2题） 2.如图，在矩形中， , ，对角线，相交于点 ， 过点作，交于点，则 的长是( ) A A.3 B.2 C.2.4 D.2.5 基础题 4 【点拨】连接 ，如图. 在矩形中，, ， ，，， . 基础题 5 ， . 设，则 ， 在中，由勾股定理,得 ， 即，解得 . 的长是3. 返回 基础题 3.[2024陕西] 如图，四边形 是矩形， 点和点在边上，且 ，求 证： . 基础题 7 【证明】 四边形 为矩形， ， . ， ，即 . 在和中， . 返回 基础题 知识点2 矩形的对角线性质 4.[2024成都] 如图，在矩形 中，对角 线与相交于点 ，则下列结论一定正 确的是( ) C A. B. C. D. 返回 基础题 9 5. 如图，在矩形中，对角线， 相交 于点， ，，则 的长为( ) C （第5题） A.6 B.5 C.4 D.3 返回 基础题 10 知识点3 直角三角形斜边上的中线的性质 （第6题） 6.如图，在中， ， 是 边上的中线，是 的中位线.若 ,则 的长为( ) A A.6 B.4 C.3 D.5 返回 基础题 11 （第7题） 7.如图，在矩形中，点为 延长 线上一点，为的中点，以点 为圆 心，长为半径的圆弧过与 的交点 ，连接.若， ，则 ( ) C A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 基础题 12 （第7题） 【点拨】 四边形 为矩形， . 在中，为斜边 的中点， 易知 . 在中，， ， 由勾股定理得 .故 选C. 返回 基础题 13 易错点 不能灵活运用矩形的性质进行计算 （第8题） 8.[2024威海] 将一张矩形纸片 （四边形 ）按如图所示的方式折叠， 使点落在上的点处，折痕为，点 落在点处，交于点.若 ， ，，则 __. 基础题 14 （第8题） 【点拨】 四边形 是矩形， ， ， 在 中， . 由折叠可得，， ， ， ， 基础题 15 . . 又 ， ， ， . ， （第8题） 基础题 ， 设，则 . 在中， ，即 ，解得. . （第8题） 返回 基础题 （第9题） 9. 出入相补原理是我国古 代数学的重要成就之一.“将一个几何图形， 任意切成多块小图形，几何图形的总面积保 持不变，等于所分割成的小图形的面积之和” 是该原理的重要内容之一.如图，在矩形 A A.2.4 B.2.5 C.3 D.4 中，对角线，相交于点，，， 是边上一点，过点作于点，于点 ， 则 的值是( ) 综合应用题 18 【点拨】如图，连接 . 四边形 是矩形， ，， . 综合应用题 19 . . , . . 返回 综合应用题 （第10题） 10.如图①，在矩形中， 为其 对角线，一动点从点 出发，沿着 的路径行进，过点 作 ，垂足为.设点 的运动路 B A. B. C. D. 程为，的值为，与的函数图象如图②，则 的长为( ) 综合应用题 21 （第10题） 【点拨】由图象得 ，当 时， ， 此时点在 边上，即当 时， ， 设此时，则， . 四边形是矩形， ， . 综合应用题 22 . 在 中， ， 即 ， 解得 ， . （第10题） 返回 综合应用题 11.[2024潍坊] 如图，在矩形中，，点， 分别在边，上.将沿折叠，点的对应点 恰 好落在对角线上；将沿折叠，点的对应点 恰 好也落在对角线上.连接， .求证： 综合应用题 24 （1） ； 综合应用题 25 【证明】 四边形 是矩形， ， ， . . 由折叠可得，， ， ， ， ， 综合应用题 26 ，即 . 在和 中， . 综合应用题 （2）四边形 为平行四边形. 由（1）知， ， ， . 四边形 为平行四边形. 返回 综合应用题 28 12. 小普同学在折叠平行四边形纸片的 过程中发现：如果把平行四边形沿它的一条对角线翻折，会 得到很多结论.例如：在中，，将 沿 直线翻折至，连接，可以得到 . 创新拓展题 29 （1）如图，如果与相交于点，求证： ； 创新拓展题 30 【证明】 四边形 为平行四边 形， ， . . 由折叠可知 ， ， ，， ， 创新拓展题 31 ， ，即 ， . . ， ， 即， . 创新拓展题 （2）如果 ，，当以，，， 为顶点的 四边形是矩形时，求出 的长； 【解】①当四边形 为矩形时，如图①， 创新拓展题 33 则 ， . ， ， . 在中，， ， 易得 ； 创新拓展题 ②当四边形 为矩形时，如图②， ， . 创新拓展题 35 ， ， . 综上可知，当以，，，为顶点的四边形是矩形时， 的长为 或2. 创新拓展题 （3）如果 ，，当 是直角三角形时， 直接写出 的长. 【解】的长为或或或 . 创新拓展题 37 【点拨】 ①当 时，如图③. ， . . ， . 在中， ， ， 易得 ； 创新拓展题 ②当 时，如图④. ， . ， ， . . ， 易得 ； 创新拓展题 39 ③当 时，有两种情况，情况一： 如图⑤，设与相交于点，作 于点 ， . 又 ， ， . 创新拓展题 40 . 由折叠可知 ， . 由（1）可知 ， . ， . . . ； 创新拓展题 情况二：如图⑥,设与相交于 , 在中， ， . 由（1）知 ， . 创新拓展题 42 , 易得 . 综上可知，的长为或或或 . 返回 创新拓展题 $$