广东省深圳市盐田高级中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学模拟卷3

深圳市盐田高级中学2024-2025第一学期期末考试高二数学模拟卷（3） 姓名：___________班级：___________命题人：高伟 审题人：李博 一、单选题 1．已知等差数列中，，则（    ） A．8 B．4 C．16 D．-4 2．设、，向量，，且，，则（      ） A． B． C． D． 3．已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知圆与圆，则圆与圆的公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知双曲线的右焦点到抛物线的准线的距离为4，点是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 6．若动点满足，则动点P的轨迹为（     ） A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线 7．设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图象可能是 A． B． C． D． 8．过双曲线的左焦点作直线与它的两条渐近线分别交于，两点，且，，是坐标原点，则该双曲线的离心率是（    ） A．2 B． C． D．3 9．已知函数，有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．已知等差数列的前项和为，公差为，，若，则下列命题正确的是（   ） A．数列是递增数列 B．和是中的最小项 C．是数列中的最小项 D．满足的的最大值为25 11．如题图所示，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的关系（    ）． A．（1）对应（c） B．（2）对应（a） C．（3）对应（d） D．（4）对应（b） 12．已知函数的极小值点为1，极小值为.则（    ） A． B． C．有3个零点 D．直线与的图像仅有1个公共点 三、填空题 13．已知函数，则 ． 14．已知曲线，过点作曲线的切线，则切线方程 ． 15．已知数列满足，，，则数列的前40项和为 16．已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 四、解答题 17．已知圆C关于y轴对称且经过点和． (1)求圆C的标准方程； (2)过点的直线l与圆C交于A，B两点；若，求直线l的方程． 18．已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和. 19．在平行四边形中（如图1），为的中点，将等边沿折起，连接，且（如图2）. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值. 20．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数的极小值小于0，求实数的取值范围. 21．设双曲线，其虚轴长为，且离心率为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点、，在线段上取点使得，证明：点落在某一定直线上． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 深圳市盐田高级中学2024-2025第一学期期末考试高二数学模拟卷（3） 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A B D B D A D AB 题号 11 12 答案 ABCD ACD 1．B 【详解】解：由等差数列的性质知，所以，所以， 所以， 故选：B 2．D【详解】因为，则，解得，则， 因为，则，解得，即， 所以，，因此，. 故选：D. 3．A【详解】若，则，解得， 所以，“”是“”的充要条件. 故选：A. 4．B【详解】由，则，半径， 由，则，半径， 所以，故两圆相交， 所以公切线条数为2条. 故选：B 5．D 【详解】将代入抛物线方程，可得， 则抛物线方程为，准线方程为， 又双曲线右焦点到抛物线的准线的距离为， 则，又， 可得，所以双曲线方程为. 故选：D. 6．B 【详解】由等式可得 ， 即动点P到定点与定直线的距离之比为且大于1， 而定点不在定直线上，所以动点P的轨迹为双曲线. 故选：B 7．D 【详解】因为函数在处取得极大值， 故时，单调递增，所以， 时， 单调递减，所以， 所以的图像，在时， 在时， 故选D项. 8．A 【详解】由双曲线方程可得渐近线方程为， 又因为，，可知为线段的中点，且， 因此，可知为等腰三角形，即， 连接，如下图所示： 由双曲线性质可得， 所以， 可得，即， 所以. 故选：A 9．D 【详解】易知， 因为有两个极值点，故有两个变号零点， 故在上有两个不同的解， 故所以. 故选：D. 10．AB 【详解】对于选项A：因为即，所以，即， 所以，所以，数列是递增数列，所以选项A正确； 对于选项B：因为，，所以当或时，取最小值，所以选项B正确； 对于选项C：因为数列是递增数列，所以最小项是首项，所以选项C错误； 对于选项D：由不等式，可得，又因为， 所以满足的的最大值为24，所以选项D错误． 故选：AB 11．ABCD 【详解】由于单位时间内注入水的体积相同， 容器（1）水面高度h随时间t的变化率恒定，函数图象为直线，对应（c）； 容器（2）水面高度h随时间t的变化率逐渐变小，函数图象先陡后缓，对应（a）； 容器（3）水面高度h随时间t的变化率先变小后变大，函数图象先陡后缓，再变陡，对应（d）； 容器（4）水面高度h随时间t的变化率逐渐变大，函数图象先缓后陡，对应（b）. 故答案为：ABCD. 12．ACD 【详解】由题意得 则，解得，故A正确. 由，解得，故B错误. ， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以的极大值为， 画出草图，所以有3个零点，故C正确； 直线与的图像仅有1个公共点，故D正确. 故选：ACD. 13．. 【详解】令， 则，所以， 所以 ． 故答案为：. 14． 【详解】设切点坐标为， 由，得， 所以曲线在点处的切线方程为. 因为切线过点，所以，解得. 所以切线方程为. 故答案为:. 15．820 【详解】因为， 当为奇数时，则，是首项为1，公差为1的等差数列； 当为偶数时，则，是首项为2，公差为3的等差数列， ． 故答案为：820． 16． 【详解】由题意，切点弦所在直线的方程为： ， 化简得：. 故答案为：. 17．(1) (2)或 【详解】（1）由圆C关于y轴对称知：圆心C在y轴上，故设圆心；   ∴设圆的标准方程为，   则解得： 故圆C的标准方程为； （2）∵  ∴圆心C到直线l的距离为；   当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时，圆心C到直线l的距离为，满足题意；     当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 即     则圆心C到直线l的距离， 解得     此时直线l的方程为，即；     综上所述：直线l的方程为或． 18．(1) (2) 【详解】（1）因为①， 当时，②， ①②，得． 所以，当时，，满足上式， 所以的通项公式为． （2）由（1）知，得， 则③， ④， ③④得 ， 所以． 19．(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）连接， 在中，， ， 在中，， 同理可得：， 平面 （2）设为的中点，， 平面平面， 平面平面， 又平面平面平面， 平面以点为坐标原点，为轴，为轴，过点且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， ，， 取， 设直线与平面所成角为， （3）设， ，， 设点到平面的距离为， ， ， 是线段上靠近点的三等分点，易求平面的法向量为， 设平面的法向量为， ， . 取， 设平面与平面所成的角为， . 20．(1) (2). 【详解】（1）依题意，函数的定义域为， 当时，，则， ， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由题意得，， 当时，恒成立，所以函数在上单调递增，此时函数不存在极值，不合题意. 当时，令，即，则. 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 所以函数在处取得极小值， 且. 又因为，则等价于， 令， 则，所以函数在上单调递减， 又，所以当时，， 即不等式的解集为， 故实数的取值范围是. 21．(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：设双曲线，其虚轴长为，且离心率为， ∴，，∵， ∴，，∴双曲线的方程为． （2）解：设点，A，的坐标分别为，，，且， ∵，∴， 即，① 设直线的方程为，② 将②代入中整理，得， ∴，，代入①， 整理可得，得，联立②消得， ∴点落在某一定直线上． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$