2025年中考数学（安徽地区专用）一轮复习中考考点探究 课件：第23课时　矩形、菱形、正方形

第五单元　四 边 形 第23课时　矩形、菱形、正方形 第一部分　安徽中考考点探究 01 知识梳理 02 典例探究 03 当堂反馈 目 录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 考点一　矩形的性质与判定 典例1 （2022·安徽）两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2的度数为（　C　） 典例1图 A. α－90° B. α－45° C. 180°－α D. 270°－α C 返回目录 典例2 （2024·淮北二模）在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD是矩形的为（　C　） A. AD＝BC且AC＝BD B. AD＝BC且∠A＝∠B C. AB＝CD且∠A＝∠C D. AB∥CD且AC2＝AB2＋BC2 [方法归纳] 判定一个四边形是矩形的思路 （1） 先证四边形是平行四边形，再证有一个角是直角. （2） 先证四边形是平行四边形，再证对角线相等. （3） 证明四边形有三个角是直角. C 返回目录 【变式】（2024·宣城模拟）关于矩形的判定，下列说法不正确的是（　B　） A. 四个角相等的四边形是矩形 B. 一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 B 返回目录 考点二　菱形的性质与判定 典例3 （2024·安徽三模）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，以点C为圆心、CD长为半径画弧，交AC于点E，连接DE，BE. 若AE＝DE＝BE＝1，则AD的长为（　B　） 典例3图 B A. B. C. D. 返回目录 典例4 （2024·无锡江阴一模）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线，分别与边AB，CD交于点F，E，连接AE，CF. 求证： （1） △AOF≌△COE； 解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD. ∴ ∠OAF＝∠OCE. ∵ O是AC的中点，∴ OA＝OC. 在△AOF和△COE中， ∵ ∴ △AOF≌△COE. 　典例4图 返回目录 （2） 四边形AFCE是菱形. 　典例4图 解：（2） 由（1）知，△AOF≌△COE，∴ AF＝CE. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AF∥CE. ∴ 四边形AFCE为平行四边形. ∵ EF⊥AC，∴ 四边形AFCE是菱形. 返回目录 考点三　正方形的性质与判定 典例5 （2024·安徽模拟）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，AD∥BC，则下列说法中，错误的是（　D　） 典例5图 D A. 若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形 B. 若BD平分∠ABC，则四边形ABCD是菱形 C. 若AB⊥BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形 D. 若AB＝BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形 返回目录 [方法归纳] 判定一个四边形是正方形的思路 （1） 有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形. （2） 有一个角是直角的菱形是正方形. （3） 有一组邻边相等的矩形是正方形. （4） 对角线互相垂直的矩形是正方形. （5） 对角线相等的菱形是正方形. 【变式】从下列四个条件“① ∠ABC＝90°；② AB＝BC；③ AC＝BD；④ AC⊥BD”中选择两个作为补充条件，使▱ABCD成为正方形，下列选择错误的是（　B　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ B 返回目录 典例6 （2022·安徽改编）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线，交AD的延长线于点G，连接DF. （1） 求∠FDG的度数； 典例6图　典例6图答案 返回目录 解：（1） ∵ △BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形， ∴ BE＝EF，∠BEF＝90°.∴ ∠AEB＋∠GEF＝90°. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠A＝90°，AB＝AD＝BC＝CD. ∴ ∠AEB＋∠ABE＝90°.∴ ∠GEF＝∠ABE. ∵ FG⊥AG， ∴ ∠G＝90°.在△ABE和△GEF中，∵ ∴ △ABE≌△GEF. ∴ AB＝GE，AE＝GF. ∵ AB＝AD， ∴ EG＝AD，即DG＋DE＝AE＋DE. ∴ DG＝AE. ∴ DG＝GF，即△DGF是等腰直角三角形. ∴ ∠FDG＝45°. 典例6图　典例6图答案 返回目录 （2） 若DE＝1，DF＝2 ，求MN的长. 典例6图　典例6图答案 返回目录 解：（2） ∵ DF＝2 ，△DGF是等腰直角三角形，∴ DG＝GF＝2.又∵ DE＝1，∴ EG＝3＝AB＝AD＝CD＝BC. 如图，延长GF，交BC的延长线于点H. ∴ 易得四边形DCHG是矩形.∴ DG＝CH＝2，CD＝GH＝3，CD∥GH. ∴ △EDM∽△EGF. ∴ ＝ ，即 ＝ .∴ MD＝ .同理，可得△BNC∽△BFH. ∴ ＝ ，即 ＝ .∴ ＝ .∴ NC＝ . ∴ MN＝CD－MD－NC＝3－ － ＝ . 典例6图答案 返回目录 典例7 （2024·合肥庐阳三模）如图①，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，BE. （1） 求证：BE＝DE. 解：（1） ∵ 在正方形ABCD中，AC是对角线，∴ AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°.∵ AE＝AE，∴ △ABE≌△ADE. ∴ BE＝DE. 　 典例7图 返回目录 （2） 如图②，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，FE交AB于点G. ① 求证：BF＝FG； ② 当BE＝BF时，求证：GE＝（ －1）DE. 典例7图 返回目录 解：（2） ① ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠GAD＝90°.∴ ∠AGD＋∠ADG＝90°.由（1）知，△ABE≌△ADE，∴ ∠ADG＝∠EBG. ∴ ∠AGD＋∠EBG＝90°.∵ FB⊥BE，∴ ∠EBF＝90°. ∴ ∠FBG＋∠EBG＝90°.∴ ∠AGD＝∠FBG. ∵ ∠AGD＝∠FGB，∴ ∠FBG＝∠FGB. ∴ BF＝FG. ② ∵ FB⊥BE，∴ ∠FBE＝90°.在Rt△EBF中，BE＝BF，∴ EF＝ ＝ ＝ BE. 由（1）知，BE＝DE，由①知，FG＝BF，∴ FG＝BF＝BE＝DE. ∴ GE＝EF－FG＝ BE－DE＝ DE－DE＝（ －1）DE. 典例7图 返回目录 考点四　矩形、菱形、正方形的综合应用 典例8 （2024·六安金安模拟）如图①，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，过点O作OE∥AD，过点D作DE∥AC， OE与DE交于点E，连接CE. （1） 求证：四边形OCED是矩形； 解：（1） ∵ OE∥AD，DE∥AC，∴ 四边形AOED是平行四边形. ∴ AO＝DE. ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，OA＝OC. ∴ ∠COD＝90°，DE＝OC. ∵ DE∥OC，∴ 四边形OCED是平行四边形.∵ ∠COD＝90°，∴ 四边形OCED是矩形. 典例8图 返回目录 （2） 如图②，连接AE，BE，设S1＝S△AOE＋S△BOE，S2＝S四边形OCED，探索S1与S2之间的数量关系并加以证明. 　 典例8图 返回目录 解：（2） S1＝S2.∵ DE∥AC，∴ S△AOE＝S△AOD. 由（1）知，四边形OCED是矩形，∴ CE∥BD. ∴ S△BOE＝S△BOC. ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ S△AOD＋S△BOC＝ S菱形ABCD，即S1＝ S菱形ABCD. ∵ 四边形OCED是矩形，∴ S2＝2S△COD＝ S菱形ABCD. ∴ S1＝S2. 典例8图 返回目录 1. （2024·亳州二模）正方形ABCD的边长为 ，点E在边CD上，且CE＝1，∠ABE的平分线交AD于点F，M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（　D　） A. B. C. 2－ D. D 1 2 返回目录 2. （2024·合肥三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AC上一点，连接BD，E是△ABC外一点且满足BE∥AC，AE∥BD，AB平分∠DAE，连接DE交AB于点O. （1） 求证：四边形ADBE是菱形； 解：（1） ∵ BE∥AC，AE∥BD，∴ 四边形ADBE是平行四边形，∠EBA＝∠DAB. ∵ AB平分∠DAE， ∴ ∠EAB＝∠DAB. ∴ ∠EAB＝∠EBA. ∴ AE＝BE. ∴ 四边形ADBE是菱形 第2题 1 2 返回目录 （2） 连接OC，若四边形ADBE的周长为20，OC＝2 ，求BC的长. 解：（2） ∵ 四边形ADBE是菱形，∴ AD＝BD＝AE＝BE，OA＝OB，AB⊥DE. ∴ ∠AOD＝90°. ∵ ∠ACB＝90°，OC＝2 ，∴ OC＝OA＝OB＝2 .∴ AB＝OA＋OB＝2 ＋2 ＝4 .∵ 四边形ADBE的周长为20，∴ AD＝ ×20＝5.∵ ＝ ＝ cos ∠BAC，∴ AC＝ ＝ ＝8.∴ BC＝ ＝ ＝4.∴ BC的长为4 　第2题 1 2 返回目录 $$