第09讲 函数的单调性（知识点+6大题型+分层练习）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修二）

第09讲 函数的单调性 目录 题型归纳 1 题型01 用导数判断或证明已知函数的单调性 2 题型02 由单调性比较函数值的大小 3 题型03 利用导数求函数的单调区间（不含参） 3 题型04 由函数的单调区间求参数与含参分类讨论求函数的单调区间 4 题型05 由函数在区间上的单调性求参数 5 题型06 函数与导函数图象之间的关系 6 分层练习 7 夯实基础 7 能力提升 9 知识点1 函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 题型01用导数判断或证明已知函数的单调性 【例1】（20-21高二上·江西南昌·期末）判断函数在下面哪个区间内是增函数（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高二上·陕西咸阳·期末）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高二上·山西晋中·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2021高二·全国·专题练习）设函数是偶函数的导数, ,当时, ,则使|f(x)|＞成立的x的取值范围是(　　) A． B． C． D． 题型02 由单调性比较函数值的大小 【例2】（23-24高二上·湖南长沙·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知，，，试比较，，的大小（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知，则的大小关系正确的是（      ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 题型03 利用导数求函数的单调区间（不含参） 【例3】（22-23高二上·江苏常州·期末）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高二上·黑龙江双鸭山·期末）函数​的单调递增区间是（    ） A．​ B．​和​ C．​ D．​ 【变式2】（21-22高二上·内蒙古赤峰·期末）函数的单调增区间为 . 【变式3】（23-24高二上·陕西西安·期末）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 题型04 由函数的单调区间求参数与含参分类讨论求函数的单调区间【例4】（23-24高二上·福建南平·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高二·陕西西安·期末）若函数在上不单调，则实数的取值范围为 . 【变式2】（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)在上是增函数，求a的取值范围； (2)讨论函数的单调性． 【变式3】（22-23高二上·陕西西安·期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数在区间上的单调性． 题型05 由函数在区间上的单调性求参数 【例5】（22-23高二上·江苏连云港·期末）设函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高二上·江苏常州·期末）已知函数，若在R上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知函数，若在上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 【变式3】（22-23高二上·江苏南京·期末）已知：函数. (1)若，求的单调性； (2)若在上是增函数，求实数的取值范围. 题型06 函数与导函数图象之间的关系 【例6】（23-24高二上·江苏南京·期末）函数的导函数在内的图像如图所示，则函数在内极大值点的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（23-24高二·广西玉林·期末）已知上的可导函数的函数图象如图所示，则不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·山西长治·期末）函数的导函数的图象如图所示，那么该函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二·天津·期中）已知函数与的图象如图所示，则函数（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高二上·山西运城·期末）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·重庆长寿·期末）函数的单调增区间是（     ） A． B． C． D． 3．（21-22高二上·陕西西安·期末）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山西大同·期末）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·重庆·期末）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．为其定义域上的减函数 C．有唯一的零点 D．的图象与直线相切 三、填空题 6．（23-24高二上·浙江宁波·期中）若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 7．（21-22高二上·宁夏银川·期末）“当时，函数在区间上单调递增”为真命题的的一个取值是 ．（写出符合题意的一个值即可） 四、解答题 8．（2023高二上·江苏·专题练习）已知函数，讨论函数的单调性. 9．（22-23高二上·山西太原·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求在上的值域. 10．（22-23高二·浙江杭州·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调增区间． 11．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知． (1)求函数的平行于的切线方程； (2)求的单调性． 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高二上·山东菏泽·期末）已知函数在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山西忻州·期末）若函数，的导函数都存在，恒成立，且，则必有（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知，则a，b，c大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）函数是定义在上的奇函数，对任意实数恒有，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．曲线在点处切线的斜率为 C．在单调递增 D． 6．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数的定义域为R，其导函数满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（22-23高二上·浙江宁波·期末）设函数（m为实数），若在上单调递减，则实数m的取值范围 ． 8．（23-24高二上·河南许昌·期末）若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数，则实数k的取值范围是 ． 四、解答题 9．（23-24高二上·吉林长春·期末）设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求a，b的值； (2)若，设函数，求的单调区间． 10．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知函数． (1)若函数的图象在点处的切线与直线垂直，求的单调递增区间； (2)若函数在上为增函数，求实数k的取值范围． 11．（23-24高二上·安徽·期末）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)试讨论函数的单调性． 12．（23-24高二上·福建·期末）函数. (1)求函数的单调增区间； (2)当时，若，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 函数的单调性 目录 题型归纳 1 题型01 用导数判断或证明已知函数的单调性 2 题型02 由单调性比较函数值的大小 5 题型03 利用导数求函数的单调区间（不含参） 8 题型04 由函数的单调区间求参数与含参分类讨论求函数的单调区间 10 题型05 由函数在区间上的单调性求参数 13 题型06 函数与导函数图象之间的关系 16 分层练习 20 夯实基础 20 能力提升 26 知识点1 函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 题型01用导数判断或证明已知函数的单调性 【例1】（20-21高二上·江西南昌·期末）判断函数在下面哪个区间内是增函数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【解析】求出函数导数，分别判断导数在各区间的正负即可得出单调性. 【详解】 ， 对A，当时，，，函数单调递减，故A错误， 对B，当时，，，函数单调递减，故B错误； 对C，当时，，，函数单调递增，故C正确； 对D，当时，，，函数单调递减，故D错误. 故选：C. 【变式1】（21-22高二上·陕西咸阳·期末）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】利用构造函数法，结合导数判断出所构造函数的单调性，从而求得正确答案. 【详解】构造函数， ， 所以在上递增，， 由于， 根据的单调性解得， 所以的解集. 故选：D 【变式2】（21-22高二上·山西晋中·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图像的识别、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】利用导数法判断其单调性即可. 【详解】当时，，排除C选项； 求导， 令，得或， 当或时，， 当时，， 所以在和上递增， 在上递减， 故选：B 【变式3】（2021高二·全国·专题练习）设函数是偶函数的导数, ,当时, ,则使|f(x)|＞成立的x的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】设,根据函数的单调性和奇偶性问题转化为,求出不等式的解集即可． 【详解】解:设F(x)＝xf(x), 易知函数F(x)为奇函数,且当x＜0时,F′(x)＝xf′(x)+f(x)＞0, 故函数F(x)在R递增, 将目标不等式转化为|F(x)|＞F(1)＝1, 结合函数的单调性得:|x|＞1,解得:或x＞1, 故不等式的解集是(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞), 故选:C． 题型02 由单调性比较函数值的大小 【例2】（23-24高二上·湖南长沙·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】构造函数，利用导数判断单调性，结合单调性分析判断. 【详解】因为， 构造函数，则， 令，解得；当时，令，解得； 可得在上单调递减，在上单调递增； 且，所以，即. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据题意构建，结合函数单调性比较大小. 【变式1】（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知，，，试比较，，的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数以及，利用函数的单调性即可求解. 【详解】设 则当时单调递减， 故 故进而， 设 由于函数和均为定义域内的单调递增函数， 所以为上的单调递增函数， 因此， 故， 故， 因此， 故选：B 【变式2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知，则的大小关系正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，，利用函数的单调性比较大小. 【详解】令， 当时，，单调递增； 所以即，所以. 令， 当时，，单调递减，所以即 所以，故. 故选：B. 【变式3】（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，可得出，，，结合函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】构造函数，其中， 当时，，，由不等式的性质可得， ， 所以，函数在上为减函数， 因为，， ， 所以，，即， 故选：A. 题型03 利用导数求函数的单调区间（不含参） 【例3】（22-23高二上·江苏常州·期末）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求出导数，利用导数小于0可得答案. 【详解】函数的定义域为， ， 由得， 所以的单调减区间为. 故选：D. 【变式1】（22-23高二上·黑龙江双鸭山·期末）函数​的单调递增区间是（    ） A．​ B．​和​ C．​ D．​ 【答案】D 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求导后，根据的正负可确定单调递增区间. 【详解】的定义域为，， 当时，；当时，； 的单调递增区间为. 故选：D. 【变式2】（21-22高二上·内蒙古赤峰·期末）函数的单调增区间为 . 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】利用导数法求解. 【详解】因为函数， 所以， 当时，， 所以的单调增区间是， 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·陕西西安·期末）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调增区间为，，单调递减区间为. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）利用导数几何意义，求出曲线在点处的切线方程即可； （2）利用导数求出函数的单调区间即可. 【详解】（1），则， 则切线的斜率，又， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）， 则， 由，可得或；由，可得， 所以函数的单调增区间为，，单调递减区间为． 题型04 由函数的单调区间求参数与含参分类讨论求函数的单调区间【例4】（23-24高二上·福建南平·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】利用导数与函数的关系将问题转化为恒成立问题，从而得解. 【详解】因为，所以， 因为在区间上单调递减， 所以，即，则在上恒成立， 因为在上单调递减，所以，故. 故选：A. 【变式1】（22-23高二·陕西西安·期末）若函数在上不单调，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】将问题转化为方程在上有根，结合的定义域得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为函数在上不单调， 所以在上有零点， 即方程在上有根，即方程在上有根， 又函数定义域为， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式2】（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)在上是增函数，求a的取值范围； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、由函数的单调区间求参数 【分析】（1）利用导数与函数的关系得到在上恒成立，从而得解； （2）首先求出定义域，再求出导函数，分和两种情况，求出函数的单调区间. 【详解】（1）因为，所以的定义域为， 则， 因为在上是增函数，即在上恒成立， 则在上恒成立， 因为在上恒成立，所以在上恒成立， 即在上恒成立，即， 因为，所以，则， 所以，则. （2）由（1）得， 当时，，则在上是增函数； 当时，， 所以； 或； ， 所以在上是减函数，在和上是增函数. 【变式3】（22-23高二上·陕西西安·期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数在区间上的单调性． 【答案】(1) (2)分类讨论，答案见解析. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导代入得到斜率和切点，写出点斜式即可； （2）分和讨论即可. 【详解】（1）的定义域为，． 曲线在处的切线的斜率为． 把代入中得，即切点坐标为． 所以曲线在处的切线方程为． （2）令，得． ①当时，在区间上，，函数为单调减函数． ②当时，在区间上，，为单调减函数； 在区间上，，为单调增函数． 综上，当时，为单调减函数； 当时，在区间上，为单调减函数，在区间上，为单调增函数． 题型05 由函数在区间上的单调性求参数 【例5】（22-23高二上·江苏连云港·期末）设函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】函数在上单调递增等价于在上恒成立，参变分离，进一步讨论最值即可. 【详解】由题意在上恒成立，即，又在单增，，则． 故选：C． 【变式1】（22-23高二上·江苏常州·期末）已知函数，若在R上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出导函数，由已知得出恒成立.进而推得恒成立，由列出不等式，解不等式即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 因为在R上单调递增，所以恒成立. 因为， 所以恒成立， 所以，，解得. 故选：D. 【变式2】（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知函数，若在上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】由在上单调递增，即有在上恒成立，参变分离后借助导数计即可得. 【详解】由题意，在上恒成立， 即在上恒成立， 令， 在上恒成立， 所以在上单调递减，有， 所以，解得， 即实数a的取值范围是． 故答案为：. 【变式3】（22-23高二上·江苏南京·期末）已知：函数. (1)若，求的单调性； (2)若在上是增函数，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）求出导函数，利用，求出的值，解不等式，即可求出的单调性；（2）利用函数在区间上是单调增函数，导数大于等于0恒成立，推出关系式，求出实数的取值范围. 【详解】（1），， ，，. 将代入得，令得或. 3 0 0 在上单调递减，在上单调递增. （2）方法1：在上是增函数， 在上恒成立， ， 当时，是增函数，其最小值为， .实数的取值范围是. 方法2：在上是增函数， 在上恒成立， ，. 实数的取值范围是. 题型06 函数与导函数图象之间的关系 【例6】（23-24高二上·江苏南京·期末）函数的导函数在内的图像如图所示，则函数在内极大值点的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】由导函数图像判断原函数单调性，找极大值点即可. 【详解】由的图像知，的单调性为先增后减，再增又减，故极大值点有2个. 故选：B 【变式1】（23-24高二·广西玉林·期末）已知上的可导函数的函数图象如图所示，则不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据函数图像的单调性，得到导函数的正负，再解不等式即可求解. 【详解】由函数的图象可得，当，时，， 当时，. 由①或② 解①得，，解②得，， 综上，不等式的解集为， 故选：A. 【变式2】（23-24高二上·山西长治·期末）函数的导函数的图象如图所示，那么该函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据导函数的图像利用导数函数知识从而得到的图像，从而求解. 【详解】由题意知与轴有三个交点，不妨设为， 当，，当，, 当，，当，， 所以在区间，单调递减，故A、C错误； 在区间,单调递增，故B错误，故D正确. 故选：D. 【变式3】（23-24高二·天津·期中）已知函数与的图象如图所示，则函数（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数 【答案】B 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】求出函数的导数，结合图象求出函数的单调区间即可求解． 【详解】因为， 由图象知，时，，又，所以当时，， 即在上单调递减， 当时，，又，所以当时，， 即在上单调递增，所以选项A、C和D错误，选项B正确， 故选：B． 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高二上·山西运城·期末）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求定义域,再对函数求导,令导函数大于零,解出不等式解集即可. 【详解】解:由题知,定义域为, 所以, 令,解得, 所以的单调增区间为:. 故选:C 2．（23-24高二上·重庆长寿·期末）函数的单调增区间是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对求导后，解不等式即可. 【详解】因为(), 所以, 令,解得：, 故函数()的单调增区间是 . 故选：B. 3．（21-22高二上·陕西西安·期末）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的定义域，再求出函数的导函数，令导函数小于0，从而可得答案. 【详解】定义域为，， 令，解得：， 故函数的单调递减区间是. 故选：A 4．（23-24高二上·山西大同·期末）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得，令，即可求得函数的单调递减区间. 【详解】由函数，可得其的定义域为，且， 令，解得，所以函数的单调递减区间是． 故选：B． 二、多选题 5．（23-24高二上·重庆·期末）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．为其定义域上的减函数 C．有唯一的零点 D．的图象与直线相切 【答案】AC 【分析】A：根据奇偶性定义进行判断；B：利用导数判断单调性；C：根据结合单调性进行判断；D：考虑斜率为的切线方程，然后作出判断. 【详解】对于A：的定义域为且关于原点对称， 又，所以为奇函数，故A正确； 对于B：，所以在定义域内单调递增，故B错误； 对于C：因为且在定义域内单调递增，所以有唯一零点，故C正确； 对于D：因为，令，所以， 所以斜率为的切线方程为：，， 即，，显然，故D错误； 故选：AC. 三、填空题 6．（23-24高二上·浙江宁波·期中）若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意转化为在上有解，分离参数后求函数最值即可得解. 【详解】，由题意在上有解， 即在上有解， 根据对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以在时取最大值， 故，故实数的取值范围是. 故答案为： 7．（21-22高二上·宁夏银川·期末）“当时，函数在区间上单调递增”为真命题的的一个取值是 ．（写出符合题意的一个值即可） 【答案】0（答案不唯一，1或2也可） 【分析】根据导数与函数单调性的关系进行求解. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立. 因为，所以. 为使在区间上恒成立，则有. 因为，所以或或. 故答案为：0 四、解答题 8．（2023高二上·江苏·专题练习）已知函数，讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】求出，定义域为R，求导，分和两种情况，解不等式，求出单调性. 【详解】由题设知，定义域为R， ， 令，得，. 当时，令，解得或，此时单调递增， 令，解得，此时单调递减， 当时，令，解得，此时单调递增， 令，解得或，此时单调递减， 综上：当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在，上单调递减. 9．（22-23高二上·山西太原·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求在上的值域. 【答案】(1)函数在上单调递增，在上单调递减； (2) 【分析】（1）根据导数的正负得出其单调性； （2）根据第一问的函数单调性得出其值域. 【详解】（1）函数，则， 当时，，当，， 故函数在上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）可得函数在上单调递增，在上单调递减， 且，， 则在上的最大值，最小值， 故在上的值域为. 10．（22-23高二·浙江杭州·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调增区间． 【答案】(1)； (2)，. 【详解】（1）利用导数几何意义即可求得曲线在点处的切线方程； （2）利用导数即可求得函数的单调增区间． （1），则 则，又， 则曲线在点处的切线方程为，即 （2）， 则， 由可得或， 则函数的单调增区间为，. 11．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知． (1)求函数的平行于的切线方程； (2)求的单调性． 【答案】(1) (2)函数在上单调递减，在上单调递增 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后由导数的正负即可得函数的单调性. 【详解】（1）∵，∴， 由，切线的斜率，设切点坐标为， 则，解得， 则，切点坐标为， 所以切线方程为； （2）由，， 令即，解得， 令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高二上·山东菏泽·期末）已知函数在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得在上恒成立，可转化为.求出的最小值，即可得出实数a的取值范围. 【详解】由已知，函数的定义域为，. 由在定义域内单调递减，所以在上恒成立， 即，可转化为在上恒成立，所以． 因为，所以，所以． 因此实数a的取值范围是． 故选：D． 【点睛】思路点睛：求出函数的导函数，然后根据函数的单调区间得到不等式恒成立的问题.分离参数或二次求导求出最值即可得出答案. 2．（23-24高二上·山西忻州·期末）若函数，的导函数都存在，恒成立，且，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，得，设函数，利用导数证明单调递增，所以，据此即可求解. 【详解】由，得， 设函数，则，所以单调递增，所以， 即， 因为，所以， 即. 故选：D. 3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知，则a，b，c大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据式子结构，构造函数，利用导数判断出的单调性，进而得到a，b，c的大小关系. 【详解】根据式子结构，构造函数，则， 令，则，令，得， 因此在单调递增，在单调递减， 而，，， 因为，所以，即. 故选：D 4．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）函数是定义在上的奇函数，对任意实数恒有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先构造函数， 根据导数判断函数的单调性，再结合选项，依次判断. 【详解】设，则， 由条件可知，，所以，则函数在上单调递增， 因为函数是定义在上的奇函数，则，即，故A错误； 由函数的单调性可知，，得，故B正确； 由，得，故C错误； 由，得，故D错误. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，从而可以根据函数的单调性，判断选项. 二、多选题 5．（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．曲线在点处切线的斜率为 C．在单调递增 D． 【答案】BCD 【分析】根据偶函数的定义可判断A，利用导数的几何意义可判断B，利用函数的导数的正负可判断C，利用函数单调性比较函数值的大小可判断D. 【详解】函数的定义域为，不关于原点对称，不是偶函数，A选项错误； ，， 所以曲线在点处切线的斜率为，B选项正确； 时，，，所以， 故在单调递增，C选项正确； ，在单调递增，则有，得，D选项正确. 故选：BCD. 6．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数的定义域为R，其导函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，利用函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】构造函数，其中，则， 所以，函数为上的减函数，则，即， 所以，，A对B错； 因为，则，即， 所以，，C错D对. 故选：AD. 三、填空题 7．（22-23高二上·浙江宁波·期末）设函数（m为实数），若在上单调递减，则实数m的取值范围 ． 【答案】 【分析】首先根据题意得到，，再根据的单调性即可得到答案. 【详解】，因为函数在区间上单调递减， 所以，恒成立， 即，. 又在上单调递减，所以， 故，即， 所以m的取值范围为. 故答案为：. 8．（23-24高二上·河南许昌·期末）若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意求导结合函数单调性，列出不等式组即可求解. 【详解】由题意单调递增，且， 所以若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数， 则，解得. 故答案为：. 四、解答题 9．（23-24高二上·吉林长春·期末）设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求a，b的值； (2)若，设函数，求的单调区间． 【答案】(1)， (2)单调递减区间为，，单调递增区间为 【分析】（1）求出，利用导数的几何意义可得出，，可得出关于、的方程组，从而得解； （2）由（1）求得，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调区间. 【详解】（1）因为，则， 因为在处的切线方程为， 所以，， 即，解得. （2）由（1）得， 所以， 令，解得或， 因为，则， 由可得，可得或； 由可得，可得； 因此的单调递减区间为，，单调递增区间为. 10．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知函数． (1)若函数的图象在点处的切线与直线垂直，求的单调递增区间； (2)若函数在上为增函数，求实数k的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求导，根据直线垂直得，即可得，进而根据导数正负即可确定函数的单调性， （2）根据导数恒为正，可将问题转化为在区间上恒成立，构造函数，利用基本不等式即可求解最值. 【详解】（1）的定义域为，， 由题意可知，解得， 所以． 由，得或， 所以函数的单调递增区间是，； （2）函数的定义域为，要使函数在定义域内为增函数， 只需在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 即在区间上恒成立. 令， ， 则，当且仅当时等号成立， 所以，即实数的取值范围为． 11．（23-24高二上·安徽·期末）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)试讨论函数的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可知：在上恒成立，结合二次函数分析求解； （2）分和两种情况，结合导数以及二次不等式分析求解. 【详解】（1）由题意可得：， 若在上单调递增，则在上恒成立， 且，则， 且在上单调递增， 当时，取得最小值， 可得，即， 所以的取值范围. （2）由（1）可得：，且， 当，即时，则， 所以在上单调递增； 当，即时， 令，解得或；令，解得； 所以在，上单调递增，在内单调递减； 综上所述：当时，所以在上单调递增； 当时，所以在，上单调递增，在内单调递减. 12．（23-24高二上·福建·期末）函数. (1)求函数的单调增区间； (2)当时，若，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数含参讨论单调区间即可. （2）构造对称差函数，结合导数求解即可. 【详解】（1）函数的定义域是. 由已知得，. ①当时， 由得，或， ∴的单调增区间为，， ②当时， 当时，，所以单调增区间为. ③当时， 由得：或， ∴的单调增区间为， 综上，①当时，函数单调递增区间为，； ②当时，函数单调递增区间为； ③当时，函数单调递增区间为，. （2）当时，. 由（1）知，函数在上单调递增且； 令 ，， 令， 令，解得；令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 令，则，则， 故， 所以恒成立， 由已知，不妨设，则， 所以，所以， 因为，，而在单调递增， 所以，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$