第08讲导数的运算（3大知识点+5大题型+分层练习）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修二）

第08讲 导数的运算 目录 题型归纳 1 题型01 全称量词命题和存在量词命题的判断 2 题型02 含有一个量词的命题的否定 3 题型03 全称量词命题与存在量词命题的应用 4 题型04 全称量词命题和存在量词命题的判断 4 题型05 含有一个量词的命题的否定 5 分层练习 6 夯实基础 6 能力提升 8 知识点01基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 知识点02导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 知识点03复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 题型01基本初等函数的导数公式 【例1】（22-23高二上·江苏苏州·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高二上·浙江宁波·期末）已知函数及其导函数满足，则（    ） A． B．0 C． D． 【变式2】（23-24高二上·山西大同·期末）已知函数，其中，若使得成立，则实数的取值集合为 ． 【变式3】（22-23高二上·湖南株洲·期中）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 题型02 导数的运算法则 【例2】（22-23高二上·黑龙江双鸭山·期末）已知函数，则（    ） A．－1 B．0 C．－8 D．1 【变式1】（22-23高二上·江苏连云港·期末）已知函数，．若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高二上·天津河西·期末）若函数，则 . 【变式3】（21-22高二上·新疆喀什·期末）求下列函数的导数 (1)； (2)，． 题型03 导数的加减法 【例3】（21-22高二上·河南驻马店·期末）已知函数，则（     ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高二上·青海西宁·期末）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高二上·陕西榆林·期末）已知函数，则 ． 【变式3】（22-23高二上·吉林长春·期末）已知函数.若曲线在点处的切线与轴平行，且，求的值. 题型04 导数的乘除法 【例4】（22-23高二上·山东菏泽·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·贵州毕节·期末）质点按规律做直线运动（位移单位：，时间单位：），则质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高二上·山西太原·期末）曲线在点处的切线方程为 . 【变式3】（21-22高二上·陕西西安·期末）求下列函数的导数 (1) (2) 题型05 简单复合函数的导数 【例5】（21-22高二上·江苏南京·期末）已知函数，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高二上·陕西汉中·期末）下列函数的求导运算中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高二上·江苏南京·期末）已知，则 . 【变式3】（20-21高二上·陕西延安·期末）求下列函数的导数： (1)； (2). 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山西·期末）若函数，则（    ） A．0 B． C． D． 3．（21-22高二上·安徽合肥·期末）曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高二上·河北衡水·期末），则与分别为（    ） A．与 B．与 C．与0 D．0与 二、多选题 5．（24-25高二上·浙江宁波·期中）下列选项正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 6．（22-23高二上·江苏南京·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D．，则 三、填空题 7．（22-23高二上·陕西商洛·期末）已知函数，则 ． 8．（23-24高二上·吉林长春·期末）一个质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为 ． 四、解答题 9．（20-21高二上·陕西延安·期末）求下列函数的导数． ①； ②； ③； ④； 10．（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知函数，其中是的导函数. (1)求； (2)求过原点与曲线相切的切线方程. 【能力提升】 一、单选题 1．（21-22高二上·四川眉山·期末）若方程有四个不同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知是可导函数，如图所示，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 3．（23-24高二上·江苏南京·期末）设 ，若函数，关于 的方程 有且仅有1个实根，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（21-22高二上·安徽合肥·期末）下列求导正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（22-23高二上·福建莆田·期中）函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，设，，则以下结论正确的有（    ） A．若的导函数为，定义域为R，则 B．函数的图像关于直线对称 C．的图像关于对称 D．设数列为等差数列，若，则 三、填空题 6．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知函数，则函数在点处切线方程为 ． 7．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期中）若，则= . 8．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 ． 四、解答题 9．（20-21高二上·江西上饶·期中）求下列各函数的导数. （1）；   （2）     （3） 10．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知函数 (1)求在点处的切线方程； (2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程. 11．（21-22高二上·湖南郴州·期末）已知函数在处的切线方程为. (1)求的解析式； (2)求函数图象上的点到直线的距离的最小值. 12．（22-23高二上·新疆乌鲁木齐·期末）（1）求下列函数的导数： ①； ②； ③； （2） 已知函数，若曲线在处的切线也与曲线相切，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 导数的运算 目录 题型归纳 1 题型01 全称量词命题和存在量词命题的判断 2 题型02 含有一个量词的命题的否定 5 题型03 全称量词命题与存在量词命题的应用 7 题型04 全称量词命题和存在量词命题的判断 8 题型05 含有一个量词的命题的否定 10 分层练习 12 夯实基础 12 能力提升 18 知识点01基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 知识点02导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 知识点03复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 题型01基本初等函数的导数公式 【例1】（22-23高二上·江苏苏州·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】根据指数函数的导数公式进行求解即可. 【详解】由， 故选：C 【变式1】（22-23高二上·浙江宁波·期末）已知函数及其导函数满足，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】根据题意，对原式进行求导，然后令，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则 令，则，解得 故选:A 【变式2】（23-24高二上·山西大同·期末）已知函数，其中，若使得成立，则实数的取值集合为 ． 【答案】 【知识点】基本初等函数的导数公式、已知切线（斜率）求参数 【分析】根据两点间距离公式，函数可看作上任意一点与图象上任意一点的距离的平方，利用平行的切线切点求解即可. 【详解】设，， 则函数可看作图象上任意一点与图象上任意一点的距离的平方． 设函数在点的切线平行于直线， 由，令，解得，所以切点坐标为， 点到直线的距离，此时的最小值为8． 所以存在唯一的，使． 过点且与直线垂直的直线方程为， 联立，解得，． 所以，时，存在，使成立． 故答案为： 【变式3】（22-23高二上·湖南株洲·期中）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】根据函数求导公式即可得出答案. 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） 题型02 导数的运算法则 【例2】（22-23高二上·黑龙江双鸭山·期末）已知函数，则（    ） A．－1 B．0 C．－8 D．1 【答案】C 【知识点】导数的运算法则 【分析】求导，解得，得到求解. 【详解】解：因为函数， 所以， 则， 解得， 则， 所以， 故选：C 【变式1】（22-23高二上·江苏连云港·期末）已知函数，．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】导数的运算法则 【分析】求导后代入可求得，由可得结果. 【详解】，，即， 又，. 故选：D. 【变式2】（22-23高二上·天津河西·期末）若函数，则 . 【答案】2 【知识点】导数的运算法则 【分析】利用常见函数的导数和导数的运算法则即可求出结果. 【详解】因为，所以， 所以， 故答案为：2. 【变式3】（21-22高二上·新疆喀什·期末）求下列函数的导数 (1)； (2)，． 【答案】(1) (2)， 【知识点】导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】根据基本初等函数及导数的运算法则计算可得. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，，所以，. 题型03 导数的加减法 【例3】（21-22高二上·河南驻马店·期末）已知函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】导数的加减法 【分析】求出，代值计算可得的值. 【详解】因为，则，故. 故选：B. 【变式1】（22-23高二上·青海西宁·期末）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】导数的加减法、基本初等函数的导数公式 【分析】解方程即得解. 【详解】，所以，解得． 故选：A． 【变式2】（22-23高二上·陕西榆林·期末）已知函数，则 ． 【答案】 【知识点】导数的加减法 【分析】求出，代入即可求解. 【详解】, 故，解得. 故答案为:. 【变式3】（22-23高二上·吉林长春·期末）已知函数.若曲线在点处的切线与轴平行，且，求的值. 【答案】 【知识点】导数的加减法、已知切线（斜率）求参数 【分析】求导，然后通过列方程组求解. 【详解】由已知， ， 解得. 题型04 导数的乘除法 【例4】（22-23高二上·山东菏泽·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】导数的乘除法、基本初等函数的导数公式 【分析】根据导数运算法则直接求解即可. 【详解】. 故选：A. 【变式1】（23-24高二上·贵州毕节·期末）质点按规律做直线运动（位移单位：，时间单位：），则质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求某点处的导数值、导数的乘除法 【分析】对进行求导，再将的值代入即可得答案. 【详解】因为， 则，故． 故选：D. 【变式2】（22-23高二上·山西太原·期末）曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【知识点】导数的乘除法、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解. 【详解】， 当时，， 则曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 【变式3】（21-22高二上·陕西西安·期末）求下列函数的导数 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的加减法、导数的乘除法 【分析】（1）利用乘积的导数运算法则求导； （2）利用商的导数运算法则求导. 【详解】（1）， ． （2）. 题型05 简单复合函数的导数 【例5】（21-22高二上·江苏南京·期末）已知函数，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】简单复合函数的导数 【分析】直接求导，代入计算即可. 【详解】，故. 故选：D. 【变式1】（22-23高二上·陕西汉中·期末）下列函数的求导运算中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】简单复合函数的导数、导数的运算法则 【分析】根据求导法则依次计算得到ACD正确，，B错误，得到答案. 【详解】对选项A：，正确； 对选项B：，正确； 对选项C：，错误； 对选项D：，正确. 故选：C 【变式2】（22-23高二上·江苏南京·期末）已知，则 . 【答案】 【知识点】简单复合函数的导数 【分析】根据导数运算求得正确答案. 【详解】，则， 将代入可得，，解得， 故，， 所以. 故答案为： 【变式3】（20-21高二上·陕西延安·期末）求下列函数的导数： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】导数的乘除法、简单复合函数的导数、导数的运算法则 【分析】（1）根据乘法导数运算法则直接计算； （2）根据除法导数运算法则和复合型函数的导数运算法则计算即可. 【详解】（1）由题意知， （2）由题意知， 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导得，从而可求解. 【详解】由题意得，所以.故A正确. 故选：A. 2．（23-24高二上·山西·期末）若函数，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，再令即可得解. 【详解】， 所以. 故选：A. 3．（21-22高二上·安徽合肥·期末）曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，得到曲线在点处的斜率，写出切线方程. 【详解】因为，所以曲线在点处斜率为4， 所以曲线在点处的切线方程是， 即， 故选：B 4．（21-22高二上·河北衡水·期末），则与分别为（    ） A．与 B．与 C．与0 D．0与 【答案】C 【分析】利用正弦函数和常数导数公式，结合代入法进行求解即可. 【详解】因为，所以，所以，， 故选：C 二、多选题 5．（24-25高二上·浙江宁波·期中）下列选项正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【分析】对于ABC，由基本初等函数的导数公式即可判断；对于D，由复合函数的求导法则即可求出函数的导函数，从而得解. 【详解】对于A，，则，故A正确； 对于B，，则，故B正确； 对于C，，则，故C正确； 对于D，，则，故D错误. 故选：ABC. 6．（22-23高二上·江苏南京·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D．，则 【答案】ACD 【分析】利用导数计算公式分析各选项可得答案. 【详解】A选项，，故A正确； B选项，，故B错误； C选项，，故C正确； D选项，，则，D正确. 故选：. 三、填空题 7．（22-23高二上·陕西商洛·期末）已知函数，则 ． 【答案】 【分析】求导后计算即可. 【详解】因为，所以. 故答案为： 8．（23-24高二上·吉林长春·期末）一个质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为 ． 【答案】 【分析】求出的导函数，代入计算即可得解. 【详解】因为，所以， 当时，， 故当时，该质点的瞬时速度为． 故答案为：. 四、解答题 9．（20-21高二上·陕西延安·期末）求下列函数的导数． ①； ②； ③； ④； 【答案】①；②③；④=－. 【分析】对于①④，直接利用导数的加法和除法法则可求，②③需要先化简，再用求导公式和导数的运算法则可求. 【详解】解：①. ②因为， 所以 ． ③因为， 所以. ④. 【点睛】函数求导常用类型： (1) 基本初等函数：利用求导公式和导数四则运算法则； (2)复合函数：利用复合函数求导法则 (3)一些复杂函数需要先化简，再求导. 10．（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知函数，其中是的导函数. (1)求； (2)求过原点与曲线相切的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出函数的导函数，再令，计算可得； （2）由（1）可得函数解析式，从而求出函数的导函数，设切点，利用导数的几何意义求出切线方程，根据切线过原点，求出切点坐标，再代入求出切线方程. 【详解】（1）因为， 所以， 令，得， 解得； （2）由（1）可知，所以， 设切点，则， 所以切线方程为， 由题， 整理得，解得或. 当时，切线方程为； 当时，切线方程为. 综上，曲线过原点的切线方程为或. 【能力提升】 一、单选题 1．（21-22高二上·四川眉山·期末）若方程有四个不同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，转化为方程有两个不同的正实根，令，在同一坐标系中作出图象求解. 【详解】解：令，得， 因为方程有四个不同的实根， 所以有两个不同的正实根， 令，在同一坐标系中作出图象，如图所示： 由图象知：当直线在之间时，符合题意； 则，解得， ，解得，此时，解得， 所以实数的取值范围为， 故选：D 2．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知是可导函数，如图所示，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先求出，再根据图象求出，，代入计算即可． 【详解】由图可知：过，所以， 又过，所以，即． 而，所以 故选：A． 3．（23-24高二上·江苏南京·期末）设 ，若函数，关于 的方程 有且仅有1个实根，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化为的图象交点问题，数形结合求解即可. 【详解】问题化为的图象交点有且仅有一个， 由解析式知：的图象都经过点， 所以，只需在处与两个分段上的图象都相切为临界情况，如下图， 对于，有，故； 对于，有，故； 如上图，中，当或时，的图象仅有一个交点. 所以. 故选：A 二、多选题 4．（21-22高二上·安徽合肥·期末）下列求导正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】依据求导公式和导数四则运算去判断即可解决. 【详解】对于选项A，∵，∴选项A正确； 对于选项B，，令，则，∴选项B错误； 对于选项C，∵，∴选项C正确； 对于选项D，∵，∴选项D错误． 故选：AC 5．（22-23高二上·福建莆田·期中）函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，设，，则以下结论正确的有（    ） A．若的导函数为，定义域为R，则 B．函数的图像关于直线对称 C．的图像关于对称 D．设数列为等差数列，若，则 【答案】ACD 【分析】由是奇函数得到是偶函数，为奇函数判断A；根据函数图像的平移伸缩变换，结合图像关于对称判断B；.由，结合为奇函数判断C；由C得到时，，再结合等差数列性质判断D. 【详解】解：因为函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数， 所以，， 所以，即， 所以，是偶函数 所以，， 所以，为奇函数，故定义域为R，则，A选项正确； 函数的图像是由函数图像向右平移一个单位，再将横坐标缩短为原来的得到， 因为是偶函数，图像关于对称， 所以函数的图像关于直线对称，故B选项错误； 因为，由为奇函数知为奇函数，图像关于对称，可以看作由按向量平移而得，故C选项正确； 由选项知，当时，， 由等差数列性质，所以， 同理，，；，； ，；，； ，即，故； 所以，，故D选项正确. 故选：ACD 三、填空题 6．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知函数，则函数在点处切线方程为 ． 【答案】 【分析】求导，求出斜率，写出切线方程. 【详解】由已知， 则，又， 所以切线方程为， 即. 故答案为：. 7．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期中）若，则= . 【答案】 【分析】利用简单复合函数的求导法则即可求解. 【详解】因为函数，由函数的求导法则可得：， 故答案为：. 8．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 ． 【答案】/ 【分析】求出函数的导函数，进而求得的值，再根据两条直线垂直与斜率的关系，即可求得a的值. 【详解】由，得，则， 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，故. 故答案为：. 四、解答题 9．（20-21高二上·江西上饶·期中）求下列各函数的导数. （1）；   （2）     （3） 【答案】（1）y；（2）；（3）. 【解析】根据导数的运算法则直接计算． 【详解】（1）； （2）； （3）． 10．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知函数 (1)求在点处的切线方程； (2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案； （2）设切点坐标，写出切线方程，利用原点在切线上，求出切点坐标，即可求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 故曲线在点处的切线方程为，即； （2）设切点为，则，切线方程为， 因为切线经过原点，故，所以， 故，切点为，切线方程为， 即过原点的切线方程为. 11．（21-22高二上·湖南郴州·期末）已知函数在处的切线方程为. (1)求的解析式； (2)求函数图象上的点到直线的距离的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题可得，然后利用导数的几何意义即求； （2）由题可得切点到直线的距离最小，即得. 【详解】（1）∵函数， ∴的定义域为，， ∴在处切线的斜率为， 由切线方程可知切点为，而切点也在函数图象上，解得， ∴的解析式为； （2）由于直线与直线平行，直线与函数在处相切， 所以切点到直线的距离最小，最小值为， 故函数图象上的点到直线的距离的最小值为. 12．（22-23高二上·新疆乌鲁木齐·期末）（1）求下列函数的导数： ①； ②； ③； （2）已知函数，若曲线在处的切线也与曲线相切，求的值. 【答案】（1）①；②；③；（2）. 【分析】（1）利用导数运算和复合函数导数求得函数的导数； （2）根据导数几何意义可求得在处的切线方程，设该直线与相切于，求得在处的切线方程，根据两切线方程相同，可构造方程组即得. 【详解】①因为， 所以； ②因为， 所以； ③因为， 所以； （2）由，可得， ，又， 在处的切线方程为； 设与相切于点， ，， 切线方程为，即， ， 解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$