24.2.1勾股定理的逆定理（教学课件）数学人教版五四制八年级下册

第24章 勾股定理 八年级数学下册同步精品课堂（人教版五四制） 人教版五四制 数学 八年级 下册 BY YUSHEN BY YUSHEN 24.2.1 勾股定理的逆定理 BY YUSHEN BY YUSHEN 情景引入 　　巴比伦时期美索不达米亚有丰富的粘土资源，学生们以手掌大小的粘土板为练习本．只要粘土板还潮湿，就可以擦掉上面原有的计算，开始新的计算，干了的粘土板被扔掉或是被用做建筑材料，后来人们就是在这些建筑中发现这些泥板的． BY YUSHEN BY YUSHEN 情景引入 泥板摹真图 泥板上的神秘符号实际上是一些数组． 　　经过专家的潜心研究,发现其中两列数字竟然是直角三角形的勾和弦的长,只要再添加一列数(如图左边的一列),那么每行的三个数就是一个直角三角形三边的边长． 　　那如何判定由这些数组构成的三角形是直角三角形呢？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 实验： （2）量一量：用量角器测量上述三角形的最大角的度数． （3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想． 32＋42＝52 52＋122＝132 （1）画一画：下列各组数都满足a2＋b2＝c2，分别以这些数为边长画出三角形 （单位：cm），它们是直角三角形吗？ ① 3，4，5； ② 5，12，13； ③8，15，17； ④ 7，24，25． 82＋152＝172 72＋242＝252 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差. 我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体. 因此我们需要严格的证明 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 已知：在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2． 求证：△ABC是直角三角形． 证明：作一个直角∠MC1N，在C1M上截取C1B1＝a＝CB， 在C1N上截取C1A1＝b＝CA，连接A1B1． A C B b c a C1 N M B1 A1 b a 在Rt△A1B1C1中， 由勾股定理，得A1B12＝a2＋b2，∴A1B1＝AB． 在△ABC 和△A1B1C1中， AB＝A1B1，AC＝ A1C1，BC＝B1C1， ∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）． ∴∠C＝∠C1．∴△ABC是直角三角形． BY YUSHEN BY YUSHEN 勾股定理的逆定理 新知探究 直角三角形的判定有两法可依： （1）由角的关系：证明两内角互余或一角为直角． （2）由边的关系：利用勾股定理的逆定理判定． 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2， 那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？ (1) a5，b12，c13； (2) a6，b7，c8； 是 不是 是 (3) a1，b2，c . 52+122132 62+7282 12+( )222 (4) a:b: c=3:4:5; 是 （4）解：设a=3k,b=4k,c=5k, 因为(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2, 所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根据勾股定理的逆定理， 这个三角形是直角三角形，∠C是直角. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 练习 根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？ 解：因为152+82=289，172=289，所以152+82=172，根据勾股 定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角. (2) a=13 ， b=14 ， c=15; 解：因为132+142=365，152=225，所以132+142≠152，不符合勾 股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形. (1) a=15 ， b=8 ，c=17; BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1(n为大于1的正整数)试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由 解：∵AB²+BC²=(n²-1)²+(2n)² =n4 -2n²+1+4n² =n4 +2n²+1 =(n²+1)² =AC²， ∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，BC边的中线AD=4， 求△ABC的面积. 解：要求△ABC的面积，找到三角形的高是关键， 由已知条件AD是中线，BC=6，可得 BD=3，而△ADB的三边分别为3、4、5， 根据勾股定理的逆定理可得∠ADC=90°， 所以AD为△ABC的高，所以 △ABC的面积为 . BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 以△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，以三边为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则△ABC是直角三角形吗？ A C a b c S1 S2 S3 B A B C a b c S1 S2 S3 S1 S2 S3 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 勾股数 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形. 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 常见勾股数： 3，4，5； 5，12，13； 6，8，10； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41； 10，24，26等等. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考： 像（3，4，5）、（6，8，10）、（5，12，13）等满足a2＋b2＝c2的一组正整数，通常称为勾股数，请你填表并探索规律． a 3 6 9 12 … 3n b 4 8 12 16 … 4n c 5 10 15 20 … 5n 一组勾股数中各数的相同整数倍组成一组新的勾股数，如3,4,5各数的n倍（n为正整数）组成的数组3n，4n，5n也是勾股数. ①从表中你能发现什么规律？ ②你能根据发现的规律写出更多的勾股数吗？试试看 ． BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 我们知道3,4,5是一组勾股数，那么3k,4k,5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？ 一般地，如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？ 解：（1）3k,4k,5k也是一组勾股数. 因为（3k）2+（4k）2=9k2+16k2=25k2,（5k）2=25k2, 所以（3k）2+（4k）2=（5k）2. 勾股数拓展性质的证明： （2）如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck也是一组勾股数. 因为a,b,c是勾股数，则a2+b2=c2 （ak）2+（bk）2=a2k2+b2k2=（a2+b2）k2=c2k2,（ck）2=c2k2 故（ak）2+（bk）2=（ck）2,所以ak,bk,ck也是一组勾股数. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考： 前面我们学习了两个命题，分别为： 命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 命题2：如果三角形的三边长a ，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 两个命题的题设和结论有何联系？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 命题1： 直角三角形 a2+b2=c2 命题2： 直角三角形 a2+b2=c2 题设 结论 它们是题设和结论正好相反的两个命题. 两个命题的条件和结论分别是什么？ 两个命题的条件和结论有何联系？ 思考： 思考： BY YUSHEN BY YUSHEN 原命题与逆命题 新知探究 一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立． 如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理． 勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理． 题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题． 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题． 判断一个命题是真命题要证明，而判断一个命题是假命题只要举一个反例即可. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 试着说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？ （1）两条直线平行，内错角相等； （2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； （3）全等三角形的对应角相等； （4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 内错角相等，两条直线平行． 成立 如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等． 不成立 对应角相等的两个三角形全等． 不成立 在角平分线上的点到角的两边距离相等． 成立 例5 BY YUSHEN BY YUSHEN 归纳总结 勾股定理 的逆定理 内容 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形 逆命题与逆定理 勾股数 最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角 勾股数一定是正整数 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 1. 下列各数组中，不能作为直角三角形的三边长的是（　 ）． A．3，4，5； B．10，6，8； C．4，5，6；　　 D．12，13，5． C 2．若△ABC的两边长为8和15，则能使△ ABC为直角三角形的第三边的平方是（　　） A．161；　　 B．289；　　C．17；　　 D．161或289． D 3.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是 （　　） A. B. C. D. D BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 4.一个三角形的三边长分别是5,12,13，则这个三角形的面积是（ ） A. 30 B. 60 C. 78 D.不能确定 5. 一个三角形的三边长的平方分别为32，42，x2，若三角形是直角三角形，则x2的值是( ) A. 42 B. 25 C. 7 D. 25或7 A D 6.将直角三角形的三条边同时扩大3倍，得到的三角形是（ ）. A. 锐角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 C BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 7.△ABC中A， B， C的对边分别是a，b，c，则 下列命题中的假命题是( ) A.如果CBA，则△ABC是直角三角形； B.如果c2=b2a2，则△ABC是直角三角形，且C90°； C.如果(ca)(ca)=b2，则△ABC是直角三角形； D.如果A  B  C=5  2  3，则△ABC是直角三角形. B 8.下列四组线段，不能构成直角三角形的是( ) A. a8，b15，c17； B. a9，b12，c15； C. a ，b ，c ； D. a  b  c2  3  4. D BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 9.写出下列命题的逆命题，并判断逆命题是否成立. (1)全等三角形的对应角相等. (2)两直线平行，内错角相等. (3)互为相反数的两个数的绝对值相等. 解：(1)对应角相等的两个三角形是全等三角形； (2)内错角相等，两直线平行； (3)绝对值相等的两个数互为相反数. 不成立 成立 不成立 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 10.很久很久以前，古埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，你知道这个三角形是什么形状吗？并说明理由． BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 11.判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形： a=m2-n2，b=m2+n2，c=2mn（m＞n，m、n是正整数） 解：∵a2 = (m2 - n2 )2 = m4 - 2m2n2 + n4, b2 = (m2 + n2 )2 = m4 + 2m2n2 + n4, c2 = (2mn )2 = 4m2n2 又∵m4 - 2m2n2 + n4 + 4m2n2 = m4 + 2m2n2 + n4 ∴ a2 + c2 = b2 即: 三角形是直角三角形 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm， ∵周长为36cm，即AB+BC+AC=36cm， ∴3x+4x+5x=36，解得x=3. ∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm. ∵AB2+BC2=AC2， ∴△ABC是直角三角形， 过3秒时，BP=9-3×2=3(cm)，BQ=12-1×3=9(cm)， 在Rt△PBQ中，由勾股定理得 12.如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长． BY YUSHEN BY YUSHEN $$