24.1.1勾股定理（教学课件）数学人教版五四制八年级下册

第24章 勾股定理 八年级数学下册同步精品课堂（人教版五四制） 人教版五四制 数学 八年级 下册 BY YUSHEN BY YUSHEN 24.1.1 勾股定理 BY YUSHEN BY YUSHEN 情景引入 毕达哥拉斯 (公元前572--前492年),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。 相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上他看着朋友家的方砖地面发起呆来．主人觉得非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了.后来知道是因为他从中发现了直角三角形三边的数量关系，赶着回家证明去了． 那么，他朋友家的地板到底是怎样呢？我们也观察一下看看能发现什么？ BY YUSHEN BY YUSHEN 情景引入 注意观察，你能有什么发现？ 思考： 换成下图你有什发现？说出你的观点. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考： 如何求蓝色部分（C部分）正方形的面积？ A B C a b 每个小方格的面积均为1 c 法一：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）： BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考： 如何求蓝色部分（C部分）正方形的面积？ A B C a b 每个小方格的面积均为1 c 法二：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）： BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考： 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？ A的面积 B的面积 C的面积 9 25 16 A B C 9+16=25 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考： 三个正方形面积之间的关系能用直角三角形 的边来表示吗？ a2+b2 = c2 A B C 思考： 通过上面的研究，你能发现直角三角形 三边的长之间有怎样的关系吗？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 c a b 准备四个全等的直角三角形（设两条直角边分别为a，b， 斜边c）； 你能用这四个直角三角形拼成一个正方形吗？ 你拼的正方形中是否含有以斜边c为边 的正方形？ 你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？ 思考： BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考： 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为 . c a c a b c a c a ∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2, ∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考： 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为 . c a b c a b c a b c a b ∴a2+b2+2ab=c2+2ab， ∴a2 +b2 =c2. ∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab, S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4× ab+c2 =c2+2ab， BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 毕达哥拉斯证法 a a a a b b b b c c c c BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 a a b b c c ∴a2 + b2 = c2. 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. BY YUSHEN BY YUSHEN 勾股定理 新知探究 在我国又称商高定理， 在外国则叫毕达哥拉斯定理， 或百牛定理. a、b、c为正数 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2. 公式变形 a b c BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 A B C a b c 勾 股 弦 勾 股 几何语言： ∴a2+b2=c2 ∵在Rt△ABC中，∠C=900 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 a b c 1. 勾股定理揭示了直角三角形 之间的关系. 2. 根据勾股定理,已知直角三角形 边，可求 边. 三边 两 第三 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 在△ ABC中， ∠C =90°. ⑴ 若a=3 , b=4 , 则 c= ⑵ 若b=7 , c=9 , 则 a= ⑶ 若a=40 , c=41 , 则 b= 5 9 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 已知：在Rt △ ABC中，两直角边AC=5 , BC=12.求斜边上的高CD的长. A C B D 解：在Rt △ ABC中 又∵ BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 8 x 17 16 20 x 12 5 x x=15 x=12 x=13 求下列直角三角形中未知边的长. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 ① 81 144 x y z ② ③ 625 576 144 169 X=15 Y=5 Z=7 求下列图中表示边的未知数x、y、z的值. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 小明想知道旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了2米，当他把绳子的下端拉开距旗杆底部8米时，发现绳子的末端刚好接触地面，求旗杆的高度. A C B 解：如图所示，AB即为绳子的长度，AC为旗杆的高度.设旗杆高度为x米，在指教三角形ABC中，由勾股定理可得 答：旗杆高度为15米. BY YUSHEN BY YUSHEN 归纳总结 勾股定理 内容 在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2. 注意 在直角三角形中 看清哪个角是直角 已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 1.Rt△ABC中，∠C=90°，若a=6，c=10，则b=____. 2.Rt△ABC中，∠C=90°，若a:b=3:4,c=10,则a=___，b=___. 3.Rt△ABC中，∠C=90°，若a=12，b=5，则斜边c上的高h= . 8 8 6 4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________. 74或24 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 5.下列说法中,正确的是 （ ） A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2 B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2 D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2 C 6.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 . 8 cm 10 cm 36 cm² BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 7.在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长. 解：本题斜边不确定，需分类讨论： 当AB为斜边时，如图， 当BC为斜边时，如图， 4 3 A C B 4 3 C A B 图 图 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 8.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长． 解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°． 在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°， ∴∠B=∠BAD=45°， ∴BD=AD=1，∴AB= ． 在Rt△ADC中，∵∠C=30°， ∴AC=2AD=2， ∴CD= ，∴BC=BD+CD=1+ ， ∴△ABC的周长=AB+AC+BC= ． BY YUSHEN BY YUSHEN $$