17.1 勾股定理（第1课时 勾股定理）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

人教版八年级数学下册 第17章 勾股定理 17.1 勾股定理 第1课时 勾股定理 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1. 经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.（重点） 2. 会用勾股定理进行简单的计算 .（难点） 情景导入 相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友 家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系．我们也来观察一下地面的图案（如图），看看能从中发现什么数量关系？ 毕达哥拉斯 (Pythagoras，约前 580—约前500)，古希腊著名的 哲学家、数学家、天文学家． A B C 思考 A B SC=SA+SB a b c2=a2+b2 C c 图中三个正方形的面积有什么关系？等腰直角三角形的三边之间有什么关系？ 可以发现，以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的大正方形的面积．即等腰直角三角形的三边之间有一种特殊 的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和． 新知探究 等腰直角三角形有上述性质， 其他的直角三角形也有这个性质吗？ 下图中，每个小方格的 面积均为1，请分别算出图中正方形A，B，C，A′，B′，C′的面积， 看看能得出什么结论.（提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积． 探究直角三角形三边的关系 A的面积 （单位面积） B的面积 （单位面积） C的面积 （单位面积） 4 9 13 9 25 34 A,B,C的面积关系 SA+SB=SC 直角三角形三边关系 a2+b2=c2 由上面的几个例子，我们猜想： 命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2. 几何语言： 在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴a2+b2=c2. 新知探究 证明命题1的方法有很多，下面介绍我国古人赵爽的证法． 如图，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解 《周髀算经》时给出的，人们称它为 “赵爽弦图”．赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形， 中空的部分是一个小正方形（黄色）． 赵爽指出：按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四．以勾股之差自相乘为中黄实．加差实，亦成弦实. 赵爽利用弦图证明命题1的基本思路如下： 如图(1)把边长为a，b的两个正方形连在一起它的面积是a2+b2；另一方面，这个图形可分割成四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色）．把图(1)中左、右两个三角形移到图(2)中所示的位置，就会形成一个以c为边长的正方形（图(3)）．因为图(1)与图(3)都由四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色）组成，所以它们的面积相等．因此，a2+b2=c2 . (1) (2) (3) 这样我们就证实了命题1的正确性，命题1与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理. “赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙 地利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽． 　赵爽所用的这种方法是我国古代数学家常用的 “出入相补法”．在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理． 例题讲解 补充例题 例1 已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为________. 5或 解题秘方：紧扣“所求第三边可能是斜边或直角边”进行分类解答. 解：当第三边是斜边时，第三边长为＝5； 当第三边是直角边时，第三边长为＝. 例题讲解 补充例题 例2 在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，∠C＝90°. (1)已知a＝3，b＝4，求c； (2)已知c＝19，a＝13，求b(结果保留根号)； (3)已知a∶b＝1∶2，c＝5，求b. 解：(1)∵∠C＝90°，a＝3，b＝4， ∴由勾股定理，得c＝＝＝5. (2)∵∠C＝90°，c＝19，a＝13， ∴由勾股定理，得b＝＝＝8. (3)∵a∶b＝1∶2，∴b＝ 2a.∵∠C＝90°，c＝5，b＝2a， ∴由勾股定理，得a2＋(2a)2＝52，解得a＝(负值已舍去).∴ b＝2. 1. 求证：S1+S2=S3. S2 S3 b c S1 a 证明：由圆的面积计算公式可知： S1= πa2，S2= πb2，S3= πc2， 则S1+S2= π(a2+b2)， 在直角三角形中，a2+b2=c2， ∴S1+S2=S3. 变式练习 2. 如图，已知长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，求DE的长. 解：∵∠A=∠C′=∠C=90°, ∠AEB=∠C′ED，AB=C′D, ∴△AEB≌△C′ED. ∴AE=C′E, ∴C′E=AD-ED=8-ED. 又在△EC′D中，ED2=C′E2+C′D2. ∴ED2=(8-ED)2+42，解得ED=5. 课堂练习 1. 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c. （1）已知a=6，c=10，求b； （2）已知a=5，b=12，求c； （3）已知c=25，b=15，求a. b=8 c=13 a=20 a b c a2+b2=c2 2. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积. 解：根据图形正方形E的边长为: 故E的面积为：252=625. 分层练习 1. 如图所示，灰色部分(长方形)的面积为(　　) A．24 B．30 C．48 D．18 B 基础题 2.[2024· 广州黄埔区期末] 若 中一条直角边和斜边的长分别为 8和10，则另一条直角边的长是( ) C A.3 B.9 C.6 D.36 （第3题） 3.如图，点在正方形的边上， ， ,则正方形 的面积为( ) B A.15 B.17 C. D.18 4. [2024石家庄期末]课堂上，王老师给出如图所示的甲、乙两个图形，能利用面积验证勾股定理a2＋b2＝c2的是(　　) A．甲行、乙不行 B．甲不行、乙行 C．甲、乙都行 D．甲、乙都不行 【点拨】题图甲中大正方形的面积为(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，四个直角三角形的面积和为4× ab＝2ab，则中间小正方形的面积为a2＋2ab＋b2－2ab＝a2＋b2.∵中间小正方形的边长为c，∴其面积为c2.∴a2＋b2＝c2.∴题图甲能利用面积验证勾股定理； 题图乙中直角梯形的面积为＝ a2＋ b2＋ab，两个较小直角三角形的面积和为2× ab＝ab，则中间等腰直角三角形的面积为a2＋ b2＋ab－ab＝ a2＋ b2.∵中间等腰直角三角形的面积为c2，∴ a2＋ b2＝ c2，即a2＋b2＝c2.∴题图乙能利用面积验证勾股定理．综上分析可知，甲、乙都行，故选C. C 6. [2024大庆期末]如图，边长为4的等边三角形AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，则点A的坐标为___________. 5.在中，斜边，则 的值为____. 72 7. 如果直角三角形两边长分别为3和4，那么这个三角形的第三边 长是( ) B A.5 B.5或 C. D.2 8. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD⊥BC，垂足为D，求： (1)BC的长； (2)AD的长. 9. [2024龙岩漳平期末]意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图①的空白部分由两个正方形和两个直角三角形组成，图②的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图①中空白部分的面积为S1，图②中空白部分的面积为S2. (1)请用含a，b，c的代数式分别表示S1，S2； (2)请利用达·芬奇的方法证明勾股定理. 【解】根据题意得 S1＝a2＋b2＋2× ab＝a2＋b2＋ab， S2＝c2＋2× ab＝c2＋ab. 【证明】由题意得S1＝S2， ∴a2＋b2＋ab＝c2＋ab.∴a2＋b2＝c2. 【点方法】证明勾股定理的三个步骤： (1)读图：观察整个图形是由哪些图形拼接而成的，图中包括几个直角三角形，几个正方形，它们的边长各是多少； (2)列式：根据整个图形的面积等于各部分图形的面积和，列出关于直角三角形三边长的等式； (3)化简：根据整式的运算化简等式，得出勾股定理． 10. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若AC＝4，BC＝2，则阴影部分的面积为(　　) A．4 B．4π C．8π D．8 综合应用题 A 11.如图，在中， ， ，，点在上， ，则 的长为( ) D A. B. C. D. 12.[2023日照]已知直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S1，均重叠部分的面积为S2，则(　　) A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．S1，S2大小无法确定 【点拨】∵直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b， ∴c2＝a2＋b2.∴c2－a2＝b2. ∵S1＝c2－a2－b2＋b(a＋b－c)＝ab＋b2－bc，S2＝b(a＋b－c)＝ab＋b2－bc， ∴S1＝S2. C （第12题） 13. 如图，图①是北京国际数学家大会的会标示意图， 它取自我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的 直角三角形拼成.若图①中大正方形的面积为24，小正方 形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图②，则 图②中大正方形的面积为( ) D A.24 B.36 C.40 D.44 [解析] 点拨：设直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为 ， 题图①中大正方形的面积是24， . 小正方形的面积是4， ， ， 题图②中大正方形的面积为 . 14.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，AC＝ 6 cm，动点P从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动，设运动的时间为t s. (1)当点P运动到BC的中点时，t的值是________； 2 (2)在4 s内，若BP＝AP，求BP的长； 14.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，AC＝ 6 cm，动点P从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动，设运动的时间为t s. (3)当△ABP为直角三角形时，求t的值. 【解】①当∠APB＝90°时，点P和点C重合，t＝8÷2＝4； ②当∠BAP＝90°时，点P在线段BC的延长线上． ∵BP＝2t cm，BC＝8 cm， ∴PC＝(2t－8) cm. 在Rt△ACP中，根据勾股定理得AP2＝AC2＋PC2＝62＋ (2t－8)2，在Rt△ABP中，根据勾股定理得AP2＝BP2－ AB2＝(2t)2－102， ∴62＋(2t－8)2＝(2t)2－102，解得t＝ . 综上，t＝4或t＝ . 创新拓展题 15.如图，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题. ＝12＋()2＝2，S1＝ ； ＝12＋()2＝3，S2＝ ； ＝12＋()2＝4，S3＝ ；… (1)请用含有n(n是正整数)的式子表示Sn＝________； (2)请推算出OA10的长. 15.如图，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题. ＝12＋()2＝2，S1＝ ； ＝12＋()2＝3，S2＝ ； ＝12＋()2＝4，S3＝ ；… 若一个三角形的面积是，根据Sn＝ ＝，得= ，则它是第20个三角形． (4)求出S12＋S22＋S32＋…＋S102的值. 课堂小结 勾股定理 内容 在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2. 注意 在直角三角形中 看清哪个角是直角 已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论 (－2，2) 【解】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC＝＝＝5. ∵AD⊥BC，∴S△ABC＝AB·AC＝BC·AD. ∴×3×4＝×5×AD.∴AD＝. 【点拨】在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，由勾股定理得AB＝＝＝2，∴阴影部分的面积＝×π×22＋×π×12＋×4×2－×π×()2＝4. 【解】易知BC＝8 cm.当点P到达点C时，t＝8÷2＝4，∴在4 s内，点P在线段BC上． ∵BP＝AP＝2t cm，BC＝8 cm，∴PC＝(8－2t)cm.根据勾股定理得PC2＋AC2＝AP2，即(8－2t)2＋62＝(2t)2，解得 t＝，∴BP＝2×＝(cm)． 【解】根据题目规律易得＝n， ∴OA10＝. (3)若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？ 【解】S12＋S22＋S32＋…＋S102＝＋＋＋…＋＝＝. $$