列方程解决问题（讲义）-2024-2025学年五年级上册数学人教版

列方程解决问题(一) 知识广角 从课本上我们已经了解到方程、解方程和方程的解。以往我们通常用算术方法解决问题，学习了方程以后我们还可以用列方程的方法来解决问题，有时会让问题变得比较简单，我们把这种方法称之为代数方法。 列方程解决问题要认真的审题，正确的设立未知数，最关键的是找准等量关系，就如同日常语言被翻译成数学语言，未知数参与运算，我们找出一个用四则运算符号把已知数联系起来的式子，然后再计算未知数的值。 方法探究 例1 父亲今年42岁，儿子今年17岁，几年前父亲年龄是儿子年龄的6倍？ 思路导航：设x年前父亲年龄是儿子年龄的6倍。父亲今年42岁，x年前父亲是(42－x)岁，儿子今年17岁，x年前儿子是(17－x)岁。知道了x年前父子俩的年龄和6倍关系，就很容易找到等量关系：几年前父亲年龄＝几年前儿子年龄X6。 解：设x年前父亲年龄是儿子年龄的6倍。 42－x＝(17－x)×6 42－x＝102－6x0 5x＝60 x＝12 答：12年前父亲年龄是儿子年龄的6倍。 想一想：你能将答案代入条件中去检验吗? 思维链接 在列方程解应用题时，许多时候是将要求的量设为未知数，即直接设元，直接设元法就是把要求的量直接用未知数表示。 举一反三 1.父亲今年50岁，女儿今年16岁，几年后父亲年龄是女儿年龄的3倍? 2.有两盒围棋子，一盒黑子有78颗，一盒白子有143颗，从这两盒棋子中各拿走相同数目的棋子若干，发现剩下的白子是黑子的2倍多7颗，问从这两盒棋子中各拿走多少颗棋子? 例2 甲仓库存有美的小厨厨宝108件，乙仓库存有美的小厨宝140件。要使甲仓库的库存是乙仓库库的3倍，那么必须从乙仓库运出多少件放入甲仓库? 思路导航：设必须从乙仓库运出x件放入甲仓库。甲仓库原有108件，现有(108＋x)件，乙仓库原有140件，现有(140－x)件。知道了甲仓库的库存是乙仓库的3倍，就很容易找到等量关系。 解：设从乙仓库运出x件放入甲仓库。 108＋x＝(140－x)×3 108＋x＝420－3x 4x＝312 x＝78 答：从乙仓库运出78件放入甲仓库，能使甲仓库的库存是乙仓库的3倍。 思维链接 例1和例2属于和倍、差倍问题，它们均可以用方程解答，这需要我们找准等量关系。 举一反三 3.妹妹有22元钱，哥哥有48元钱，哥哥给妹妹多少元后，妹妹的钱是哥哥的6倍? 4.五年级有两个绘画小组，甲组有56人，乙组有30人。从甲组调几人到乙组，使乙组比甲组的2倍少10人? 例3 学校买回4个篮球和5个排球一共用46元，一个篮球比一个排球贵8元，篮球和排球的单价各是多少元? 思路导航：这道题有两个未知量，我们可以设其中一个如排球单价为x元，而另一个未知量用含有未知数的式子来表示，即篮球单价为(x＋8)元，根据4个篮球的总价与5个排球的总价之和为46元找出等量关系：4×篮球单价＋5×排球单价＝446 解：设排球单价为x 4(x＋8)＋5x＝46 4x＋32＋5x＝46 9x＋32＝446 9x＝414 x＝46——排球单价 16＋8＝54(元)一一篮球单价 答：排球单价是46元，篮球单单价是54元。 想一想：你还能设篮球单价为x，用含有x的式子表示排球单价来解答吗? 思维链接 这一题是鸡兔同笼问题，也称假设法问题，一旦运用了方程的解法就比较为复杂的算术思路更容易理解。 举一反三 5.鸡兔同笼，共有头100个，足304只，求鸡、兔各有多少只？ 6.剧院有座位1200个，一次演出，座无虚席。前排票每张100元，后排票每张60元。前排票比后排票多收入56000元，这个剧院前排、后排座位各有多少个？ 例4 东辉中学100名学生参加科学大赛，平均得63分，其中男生平均60分，女生平均70分。男生比女生多多少名? 思路导航：这道题是平均数问题，要求的是男生比女生多多少名，实际上只要求出男生和女生各多少名，再将两者相减就可以了。所以可以设男生有x名，那么女生就是(100－x)名。再根据男生总分＋女生总分＝全部总分的等量关系来列方程即可。 解：设男生有x名，则女生就是(100－x)名。 60x＋70×(100－x)＝100×63 60x＋7000－70x＝6300 x＝700 x＝70——男生人数 100－70＝30(名)一一女生人数 70－30＝40(名) 答：男生比女生多40名。 思维链接 有时，直接设元不易找出题目中的相等关系，此日时则应恰当选择题目中要求的未知量外有关的某个量为未知元，这种方法叫做间接设元。间接设元法就是选取一个与间题有关的量为未知数，通过这个未知数求出题中要求的量。 举一反三 7.五(1)班有40人，在一次考试中，男生的平均成绩是82分，女生的平均成绩是85分，全班的平均成绩是83.125分，男生、女生各多少名? 8.用12元1千克的甲级糖、7元1千克的乙级糖、6元1千克的丙级糖混合成为每千克8元的什锦糖。如果甲级糖3千克克，丙级糖3千克，应放乙级糖多少千克? 例5 商场买来粉、蓝蓝、白三种颜色的气球共50袋作装饰，其中白色是70只装，粉色是30只装，蓝蓝色是20只装，一共有1800只气球，其中粉色气球的袋数是蓝色气球袋数的3倍。求三种颜色的气球各有多少袋? 思路导航：这道题有三个未知量，我们可以设一倍数蓝色气球袋数为x，则则粉色气球有3x袋，白色气球有(50－x－3x)袋。根据它们每袋所装只数和总数1800只，可以找到等量关系：70X 白色气球袋数＋30×粉色气球袋数＋20×篮色气球袋数＝1800。 解：设篮色气球有x袋，则粉色气球有3x袋，白色气球有(50x－3x)袋。 70×(50－x－3x)＋30×3x＋20x＝1800 3500280x＋90x＋20x＝1800 170x＝1700 x＝10——蓝色气球袋数 10×3＝30(袋)——粉色气球袋数 50－10－30＝10(袋)－一一白色气球袋数 答：篮色气球有10袋，粉色气球有30袋，白色气球有10袋。 思维链接 和例3相同，当遇到两个甚至更多未知数的时候，我们需要先假设其中一个未知数，再直接或者比较直接的运用其他条件用含有末知数的式子来表示其他未知数，这种方法在列方程解决问题中常常用到。 举一反三 9.甲、乙、丙三个工程队合修一条长16.3千米的公路。完工时甲比乙工程队多修2.2千米，丙比乙工程队少修2.1千米，三个队各修路多少千米? 10.小英的储钱罐里有面值1元、5元和10元的人民币共40张总钱数为197元，其中5元的张数是1元张数的4倍，三种面值的人民币各多少张? 例6 甲、乙、丙三数的的和是78，甲数比乙数的2倍多4，乙数比丙数的3倍少2。求这三个数。 思路导航：首先找到“1倍数”是丙数，并设丙数为x。乙数是丙数的3倍少2，则乙数为(3x－2)，甲数是乙数的2倍多4，则甲数可以表示为2×(3x－2)＋4.根据甲、乙、丙三数的和是78来列方程就容易了。 解：设丙数是x，则乙数为(3x－2)，甲数为2×(3x－2)＋4。 x＋(3x－2)＋2×(3x－2)＋4＝78 解之得x＝8——丙 8×3－2＝22——乙 2×2＋4＝48——甲 答：甲数是48，乙数是22，丙数是8. 思维链接 在这样的倍数问题中，我们通常设“1倍数”为x，其他的几倍数或几倍多(少)几的数用含有x的式子来表示。 举一反三 11.有三个小组，甲组的人数比乙组的2倍少6人，乙组的人数是丙组的2倍多4人。三个小组一共90人，求三个小组各有多少人? 指点迷津 设元是列方程解决问题的重要环节。只有设得巧，才能解得妙。列方程过程的实质有多种说法：如“通过分析，找出等量关系，而列出方程”，或“把题目中蕴含的相等关系找出来， 列出方程”。这些说法都指明了列方程的方向一一找出相等关系。一般步骤如下： (1)审题、弄清题意，分清哪些是已知量，哪些是未知量； (2)设未知数，选一个适当的未知量设为未知数x； (3)列方程； (4)解所列的方程； (5)根据题意，作出答案； (6)将答案代入条件中去检验。 学科网（北京）股份有限公司 $$