1.1.2等边三角形 寒假练习2024-2025学年北师大版八年级下册

2025年寒假北师大八年级下册第一章三角形的证明-1.1.2等边三角形 一、选择题:本题共10小题,每小题3分,共30分。每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.如图,是等边三角形的中线,点在上,,则等于( ) A. B. C. D. 第3题图 第4题图 第2题图 第1题图 2.如图,等边钢架的立柱于点,长现将钢架立柱缩短成,则新钢架减少用钢( ) A. B. C. D. 3.如图,直线,是等边三角形,顶点在直线上,直线交于点,交于点,若,则的度数是 ( ) A. B. C. D. 4.如图,等边的边长为,、分别是、上的点,将沿直线折叠,点落在点处,且点在外部,则阴影部分图形的周长为( ) A. B. C. D. 5.如图,是等边三角形,是三角形内一点,,,,若的周长为,则( ) A. B. C. D. 第6题图 第7题图 第5题图 6.如图,是边长为的等边三角形,点在上,过点作,垂足为,延长到点,使,连接交于点,则的长为( ) A. B. C. D. 7.如图,点,,在一条直线上,和是等边三角形,连接,交于点,连接,分别交,于点,,连接,,则的度数为( ) A. B. C. D. 8.如图,等边三角形中,、分别在、边上,且,与交于点,于点,下列结论:;;是等腰三角形;其中正确的结论的个数是( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第10题图 第9题图 第8题图 9.如图,是等边三角形,点是边上的一个动点,点关于的对称点分别为,,连接,,,点从点运动到点的过程中,的面积变化情况为( ) A. 保持不变 B. 一直变小 C. 先变大再变小 D. 先变小再变大 10.如图,在直角坐标系中,点的坐标是,点是轴上的一个动点.以为边向右侧作等边三角形,连接,在运动过程中,的最小值为( ) A. B. C. D. 二、填空题:本题共5小题,每小题3分,共15分。 11.小明同学将几种三角形的关系整理如图,请帮他在括号内填上一个适当的条件是 . 12.如图,在等边三角形中,,若,,则线段的长为 . 第14题图 第13题图 第12题图 13.如图,在四边形中,,,,对角线与相交于点,若,则_. 14.如图,、两点关于对称,、两点关于对称,若,,则 _. 15.如图,在平面直角坐标系中,已知点的坐标是,以为边在右侧作等边三角形,过点作轴的垂线,垂足为点,以为边在右侧作等边三角形,再过点作轴的垂线,垂足为点以为边在右侧作等边三角形,按此规律继续作下去,得到等边三角形,则点的纵坐标为_. 三、解答题:本题共8小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.本小题分已知:如图,在中,,求证:. 17.本小题分如图,在中,为边上一点,于点,延长、交于点若,求证:为等边三角形. 18.本小题分如图,等腰直角中,,点为外一点,,且平分交于点,且. 求证:为等边三角形; 若,,求的长. 19.本小题分已知:在中,,为边上一点,过点作、的垂线,垂足分别为点,, 当为边中点时,求证:; 当时,求的面积; 在的条件下,当点在线段上运动时,的值是否为一个定值?若是,求出这个定值;若否,说明理由. 20.本小题分在边长为的等边三角形中,点是上一动点,以每秒个单位长度的速度从点向点运动,设运动时间为秒. 如图,若点是上一定点,,,求的值; 如图,若点从点向点运动,同时点以每秒个单位长度的速度从点经点向点运动,当为何值时,为等边三角形? 21.本小题分如图,中,,点、分别在、上,,、相交于点,于点,求证:. 22.本小题分如图,点是等边内一点,,将绕点按顺时针方向旋转得,连接. 试说明:是等边三角形; 当时,试判断的形状,并说明理由; 探究:当为多少度时,是以为底边的等腰三角形? 探究:当为多少度时,是等腰三角形? 23.本小题分已知 和 都是等边三角形. 【模型感知】如图,求证:; 【模型应用】如图,当点在 的延长线上时,求证:; 【类比探究】如图,当点 在射线上时,过点 作 于点猜想线段, 与之间存在的数量关系,并证明你的猜想. 第1页,共1页 学科网(北京)股份有限公司 $$第 1页，共 6页 2025 年寒假北师大八年级下册第一章三角形的证明--1.1.2 等边三角形 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，��是等边三角形���的中线，点�在��上，�� = ��，则∠���等于( ) A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 2.如图，等边△ ���钢架的立柱�� ⊥ ��于点�，��长 12�.现将钢架立柱缩短成��，∠��� = 60°.则新钢 架减少用钢( ) A. 24 − 12 3 � B. 24 − 8 3 � C. 24 − 6 3 � D. 24 − 4 3 � 3.如图，直线�//�，△ ���是等边三角形，顶点�在直线�上，直线�交��于点�，交��于点�，若∠1 = 140°， 则∠2 的度数是 ( ) A. 80° B. 100° C. 120° D. 140° 4.如图，等边△ ���的边长为 2��，�、�分别是��、��上的点，将△ ���沿直线��折叠，点�落在点�′ 处，且点�′在△ ���外部，则阴影部分图形的周长为( ) A. 2�� B. 3�� C. 4�� D. 6�� 5.如图，△ ���是等边三角形，�是三角形内一点，��//��，��//��，��//��，若△ ���的周长为 24， 则�� + �� + �� =( ) A. 8 B. 9 C. 12 D. 15 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 第 7 题图第 6 题图 第 2页，共 6页 6.如图，△ ���是边长为 2 的等边三角形，点�在��上，过点�作�� ⊥ ��，垂足为�，延长��到点�，使�� = ��，连接��交��于点�，则��的长为( ) A. 0.5 B. 0.9 C. 1 D. 1.25 7.如图，点�，�，�在一条直线上，△ ���和△���是等边三角形，连接��，交��于点�，连接��，分别 交��，��于点�，�，连接��，��，则∠���的度数为( ) A. 45° B. 60° C. 75° D. 90° 8.如图，等边三角形���中，�、�分别在��、��边上，且�� = ��，��与��交于点�，�� ⊥ ��于点�， 下列结论：①�� = ��；②∠��� = 120°；③△���是等腰三角形；④ ���� = 1 2 .其中正确的结论的个数是( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 9.如图，▵���是等边三角形，点�是边��上的一个动点，点�关于��, ��的对称点分别为�1，�2，连接��1， ��2，�1�2，点�从点�运动到点�的过程中，▵��1�2的面积变化情况为( ) A.保持不变 B.一直变小 C.先变大再变小 D.先变小再变大 10.如图，在直角坐标系中，点�的坐标是(0,6)，点�是�轴上的一个动点．以��为边向右侧作等边三角形���， 连接��，在运动过程中，��的最小值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。 11.小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是 ． 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 第 3页，共 6页 12.如图，在等边三角形���中，��//��，�� = ��.若�� = 4，�� = 8，则线段��的长为 ． 13.如图，在四边形����中，�� = �� = 6，∠��� = 60°，∠��� = 90°，对角线��与��相交于点�，若�� = 3��，则�� =_______________． 14.如图，�、�′两点关于��对称，�、�″两点关于��对称，若�� = 7，∠��� = 30°，则�′�″ = ______． 15.如图，在平面直角坐标系中，已知点�的坐标是(0,2)，以��为边在右侧作等边三角形���1，过点��1 作�轴的垂线，垂足为点�1，以�1�1为边在右侧作等边三角形�1�1�2，再过点�2作�轴的垂线，垂足为点�2 以�2�2为边在右侧作等边三角形�2�2�3…，按此规律继续作下去，得到等边三角形�2023�2023�2024，则点 �2024的纵坐标为______． 三、解答题：本题共 8 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题 9 分)已知：如图，在△ ���中，∠��� = 90°，∠� = 60°.求证：�� = 2��． 第 12 题图 第 13 题图 第 14 题图 第 4页，共 6页 17.(本小题 9 分)如图，在△ ���中，�为��边上一点，�� ⊥ ��于点�，延长��、��交于点�.若∠� = 30°， �� = ��.求证：△ ���为等边三角形． 18.(本小题 9 分)如图，等腰直角△ ���中，�� = ��，点�为△ ���外一点，�� = ��，且��平分∠���交�� 于点�，且∠��� = 60°． (1)求证：△ ���为等边三角形； (2)若�� = 5，�� = 7，求��的长． 19.(本小题 9 分)已知：在▵���中，�� = �� = 6，�为��边上一点，过点�作��、��的垂线，垂足分别 为点�，�， (1)当�为边��中点时，求证：�� = ��； (2)当∠� = ∠�时，求▵���的面积； (3)在(2)的条件下，当点�在线段��上运动时，�� + ��的值是否为一个定值？ 若是，求出这个定值；若否，说明理由． 第 5页，共 6页 20.(本小题 9 分)在边长为 9 的等边三角形���中，点�是��上一动点，以每秒 1 个单位长度的速度从点� 向点�运动，设运动时间为�秒． (1)如图 1，若点�是��上一定点，�� = 6，��//��，求�的值； (2)如图 2，若点�从点�向点�运动，同时点�以每秒 2 个单位长度的速度从点�经点�向点�运动，当�为何 值时，△ ���为等边三角形？ 21.(本小题 9 分)如图，△ ���中，∠��� = 60°，点�、�分别在��、��上，∠��� = ∠��� = 30°，��、�� 相交于点�，�� ⊥ ��于点�，求证：�� + �� = 2��． 第 6页，共 6页 22.(本小题 10 分)如图，点�是等边△ ���内一点，∠��� = 110°，∠��� = �.将△ ���绕点�按顺时针方向 旋转 60°得△ ���，连接��． (1)试说明：△ ���是等边三角形； (2)当� = 150°时，试判断△ ���的形状，并说明理由； (3)探究：当�为多少度时，△ ���是以��为底边的等腰三角形？ (4)探究：当�为多少度时，△ ���是等腰三角形？ 23.(本小题 11 分)已知△ ���和△ ���都是等边三角形． 【模型感知】(1)如图 1，求证：�� = ��； 【模型应用】(2)如图 2，当点�在��的延长线上时，求证：�� + �� = ��； 【类比探究】(3)如图 3，当点�在射线��上时，过点�作�� ⊥ ��于点�.猜想线段��，��与��之间存在 的数量关系，并证明你的猜想． 参考答案 1.【答案】  2.【答案】  3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  6.【答案】  7.【答案】  8.【答案】  9.【答案】  10.【答案】  11.【答案】答案不唯一  12.【答案】  13.【答案】  14.【答案】  15.【答案】  16.【答案】证明：如图，在上取一点，连接，使得， ，， 是等边三角形， ， ，， ， 又， ， ， ，即．  17.【答案】证明：， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形．  18.【答案】解：证明：，， ，． 平分，， ，， ， ， ， 为等边三角形； 在上截取，连接． 在和中， ≌， ． ， 为等边三角形， ．  19.【答案】【小题】 证明：为边中点， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ； 【小题】 解：， ， ， ， 是等边三角形， 过作于， ， 的面积； 【小题】 解：的值是一个定值， 连接， ， ， ， ，， ．   20.【答案】【小题】 解：是等边三角形，， ，， 又， ， 是等边三角形， ， 由题意可知：，则， ， 解得：， 当的值为时，； 【小题】 解：当点在边上时， 此时不可能为等边三角形； 当点在边上时， 若为等边三角形，则， 由题意可知，，， ， 即：，解得：， 当时，为等边三角形．   21.【答案】证明：延长至点，使，连接， ， ，， ， 为等边三角形， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ， 在中，，， ， ．  22.【答案】解：将绕点按顺时针方向旋转得， ≌，， ， 是等边三角形； 为直角三角形； 理由如下： 是等边三角形； ， ， ， 是直角三角形； ． 理由：是以为底边的等腰三角形， ； ， ， 解得； 要使，需， ，， ； 要使，需； ，， ， ， ； 要使，需， ． 综上所述：当的度数为，或，或时，是等腰三角形．  23.【答案】证明：和都是等边三角形， ，  ，． ， 即， 在和中， ， 证明：同可证，， ， ， 解：或 理由如下： 如图，当点在点的右侧： 和都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ，． ， ， ， ， ， ，， 如图，当点在点的左侧： 和都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 综上所述，或．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$