陕西省安康市2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试题

安康市2024—2025学年第一学期高二期末联考 数学试题 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3. 非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4. 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.   2. 直线的倾斜角为 3. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为F₁，F₂，第一象限内的点P在C上，且，则C的离心率为 4. 已知n = (1,1,1)是平面ABC的一个法向量，且，则点M到平面ABC的距离为 5. 已知等差数列的公差为3，，记数列的前n项和为，则 = A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 6. 已知数列满足，则 7. 已知分别为椭圆C：的左右焦点，经过坐标原点的直线与C交于A，B，若，则 8. 数列满足，则数列的最大项为 A. 16 B. 28 C. 30 D. 34 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 设直线的方向向量分别为e₁，e₂，平面α₁，α₂的法向量分别为n₁，n₂，则 A. 若，则 B. 若 C. 若，则 D. 若的夹角为，则 10. 已知抛物线C：的焦点为F，A(-2,0)，B(-1,0)，过点A，B作两条互相平行的直线，其中与C切于点D，与C交于两点G，H，则 A.的斜率为 B. C. D. 的面积为2 11. 已知点到直线的距离与到直线的距离之比为2，记P的轨迹为曲线T，则 A. B. 直线与T存在2个交点 C. 圆与T有且仅有3个交点 D. 若圆与T有4个交点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知数列是公比为q的等比数列，且 + = 2，则q = . 13. 空间直角坐标系中，已知A(1,1,1)，D(7,8,x)，AB = (0,1,2)，AC = (3,4,5)，且点D在平面ABC上，则x = . 14. 设数列满足，且，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分）已知圆O₁过点A(-1,1)，B(3,-1)，C(-4,0)三点，圆O₂：x² + y² - 4x - 4y - 2 = 0. (1)求O₁的一般方程； (2)若O₁与O₂交于M，N两点，求|MN|. 16.（本小题满分15分） 记公差为的等差数列的前项和为，已知 . (1)证明：数列是等差数列； (2)记数列的前项和为，证明：. 17.（本小题满分15分）如图，三棱柱中，是边长为的正三角形，，. (1)证明：平面平面 (2)求直线与平面所成角的正弦值。 18.（本小题满分17分）设正项等比数列的公比为(为已知常数)，且数列满足 . (1)求的值； (2)若，求的前项和 . 19. （本小题满分17分）已知圆经过椭圆)的右焦点及右顶点. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，求线段AB的中点D的轨迹方程； (3)过点作与轴平行的直线与交于点，直线与轴交于点，证明：点共圆。 学科网（北京）股份有限公司 $$参考答案及解析 数学 安康市2024一2025学年第一学期高二期末联考 数学参考答案及解析 一、选择题 故选C. 1.D【解析】由题意可得2p-3g=2(1.0,一1)-3(0， 7.A【解析】由题意可得F,F|=2√7，因为|AF,= 3,1)=(2,一9，一5).故选D. 3|AF21,1AF1十|AF:1=2a=8,所以|AF11=6. 2.A【解折】直线m22+y+1=0的斜率为 AF2|=2,所以cos∠F,AF= -m225,其中25=253×2x十子，所以斜率 LAF+1AE=EEL=36+42S=之由辆 2AFAF: 24 圆的对称性得，四边形AFBF,为平行四边形，所以 等价于-amn产=-1，故其倾斜角为平故选A. ∠AF,B+∠FAE:=,所以cos∠AFB=-子.故 3.B【解析】设|F1F:|=2e,则|PF|=2c,|PF1| 选A. 号，2a=PF-PE:一音，所以C的离心率为 8.C【解析】由a+1一a。=一l.累加可得a+1一a,= 日=兰故选B -（1十2+…+n)=-nm+1D,放故a1=8 2 4.B【解析】由题意可得点M到平面ABC的距离为 n(n+1) 2 24,=8-"D(≥2)，而当m=1时a1 2 4=1A7.ml=点=2v,赦选B 8=8-19,放a=8-",放记么=2m, 2 5.D【解析】因为a:=0,{a,}为等差数列，所以(a1十 一n3++16n,则61一6=一(n十1)产+(n十1)+ a2十ax)十(a十a6十a:)=0,故S=6an+am 16(n+1)+n2-n2-16n=-3n2-3m-1+2n+1+ =6(a1十6)+(a4+12)=48.故选D. 16=-3n2-n十16，当n≤2时，b+1>b.:当n≥3时 6C【解标】由题意可得a1一华出，所以一出 b+1<.故b,≤=30，于是数列{2un}的最大项 为30.故选C. 55+里5十2.二+1马 2 二、选择题 1-5-1 3-√5 1-4: 2 9.BC【解析】对于A,由于e∥e,故4∥l,或l,l 两条直线重合，故A错误：对于B,e⊥1，则4∥a 5+2+1=5-1,4 -5-1+1 1-V5-2 241— 2 1-6-1 或l1Ca1,故B正确：对于C,若e1∥n,则1⊥，故 2 C正确：对于D,若a1,a:的夹角为60°，则 2-5a-=521_52=,由此， 1-a1+5-22 co)=或os(a,)=-子故D错误，故 {a.)是以4为周期的周期数列，故ao=ae=2+√5， 选BC 1 数学 参考答案及解析 10.ACD【解析】由题意得41的斜率存在且不为零，设 y 2 x(x≠0)的交点个数不超过1，同理可知：该 1:y=k(x十2)，与y=4r联立得x+(4-4)x 圆与y=一6x(x≠0)的交点个数不超过1，故圆 十4状=0，由4=0，解得=士号，故A正确：不妨假设 x十y一2x=0与曲线T的交点个数不超过2，故C (x-a)2+(y-b)2=2 么的方程为y号十D,与y=女暖立得2一叶 错误：对于D,联立 2 ·有 y=一 1=0,十xH=6,xH=1,所以|GH= 3 号+（号b-2a)x+心+6-r=0:联立 √（十xH)2-4H (x-a)+(y-b)=r √厚×V6一=45，故B错误：因为m=2,由抛 ,有37x2+(12b-2a)x+a y=-6. 物线定义可得|DF=xD十1=3，故C正确：由B知 十6一=0.要使圆(x一a)”+(y一b)炉=r产与T有 4个交点，则上述两个方程应均有两个不同解，即 |GH=45,1,:之间的距离4 41=(12h-2a)2-148(a2+6-r2)>0,4= W1+2 (号0-2a)'-号(a+8-r)>0,整理得37r> ·所以△DGH的面积为号×4,3×=2，故D 1 36a2+12ab+,13r>4a2+12ab+96,两式相加， 正确.故选ACD. 得到40a2+24ab+106<50r2,即20a2+12ab+56 11,ABD【解析】由题意可得 12m一n=2,即2m一n <25产2，故D正确.故选ABD, 2m十# 三、填空题 =4m+2n或2m-n十4m十2n=0,故n=- 2 m或 12.1或-之（少写一个不给分）【解析】由a:十a,- n=一6m,对于A,当m=0时，n=0,2m+1=0,但 2a:,得1+9=24，解得9=1或-2.故答案为1或 其在分母上，不可为0，矛盾，故m≠0，于是mn<0 显然成立，故A正确：对于B,易知曲线T表示不过 2 2 原点的两条直线：y=一6x(x≠0)，y=一子x(x≠ 13.9 【解析】由题意可得AB=(0,1,2),AC=(3,4, 5),设AD=aAB+bAC.即(6,7，x-1)=(0,a,2a) 0),而直线y=kx十1不过原点，于是y=kx十1与 +(3b,4b,5b)=(3b,a+4b,2a+5b),所以 y=一6.x(x≠0)必然有一个交点，同理可得y=kx十 6=36 1与)=一号（≠0）必然有一个交点，且这两个交 7=a十4b ,解得a=一1，b=2,x=9.故答案 点不重合，故直线y=x十1与曲线T存在2个交 x-1=2a+5b 点，故B正确：对于C,易知选项所给出的圆经过原 为9. 点，且与y=一号：有一个交点为原点故该圆与14（受，号） 2 【解析】由am+1十a.=6n十3，有aa+:十 2 参考答案及解析 数学 a+1=6n十9，则a+a一a,=6,故{a-1}与{a}分 故S.=a+a.n=mm-, 2 4 (4分) 别是以a1与g为首项的等差数列，代人n=1,2有 a2+a=9,a:+a4=15,则a=9-a1,a:=6+a1. 故+m-√厚= (5分) a+i>a.等价于a达+1>a>au-1对于任意k∈Z 此时vS+币-VS+页=”生号=号 成立，即a:+6(k-1)>a4+6(k-1)>a1+6(k (6分) 1),即a>a2>a1,即6+a1>9-a1>a1,解得a1∈ (受号)故答案为（受，号） 故数列（√S,十}是首项和公差均为之的等差数 列 (7分) 四、解答题 2 15.解：(1)设圆O的一般方程为x2+y+Dx+Ey+F 有意巧指”克 =0(D+E-4F>0), (1分) 1 因为点A(一1,1)，B(3,一1).C(-4,0)都在圆 u(nt2)n(n2) n()+3m (10分) O上， 2-D+E+F=0 且n2=2(日 (11分) 故10+3D-E+F=0, (4分) 故工=2(1-++…+)小 16-4D+F=0 (12分) 解得D=2,E=8,F=一8， (5分) 故圆O的一般方程为x2十y2+2x+8y一8=0. 整理得工=2(+号点》， (13分) (6分) 化简得工，=3-（是十子2）<3. (15分) (2)圆O与)的方程相减得6x+12y一6=0，即 17.解：(1)证明：取BB,的中点O,连接AO,CO, x+2y-1=0, (8分) 因为AB=AB=2√5，所以A1O⊥BB,(1分) 故直线MN的方程为x+2y一1=0， 易得圆)的圆心O(一1，一4)，半径n=5, 因为BC,=BC=BB=22,所以COLBB, (10分) (2分) 且O(一1，-4)到直线MN的距离为d= 所以∠A:OC:是二面角A一BB:一C:的平面角， -1-8-1山=10=25， (3分) 5 (12分) 5 因为A,O=√A,B-OB=√20-2=32，C,O= 故|MN|=2√斤-d正=2√25-20=25.(13分) √BC-BO=√8-2=√6， 16,解：1)由想意可得a,=-是+名(n-1)=立 又A,C1=2√6，所以AO+CO=AC, 5 (2分) 所以∠A0C=受 (6分) 3· 数学 参考答案及解析 所以平面ABB⊥平面BBC (7分) (2)由(1)可得+2=q·b (2)由(1)知，OC1,OB,OA两两垂直， 则{b,}的奇数项与偶数项分别成以b,:为首项，灯 以点O为坐标原点，OC,OB,,OA1所在直线分别 为公比的等比数列，即有b2.1=b·g2,。=h· 为x,y,:轴建立空间直角坐标系， (8分) (8分) (10分) 则s-(公+公+…+之)+（位+安+…十 B )=++号++)+(1+号 ++)=(6+)1+++…十 则A1(0,0,32).B(0,-2.0),C(6,0,0), C(W6,-2w2,0) )=++++)月 (13分) BA=(02,32),BC=(62,0),CA= 当9=1时，5=号1+1+1++1)=2 (-6.22,3v2) (10分) (14分) 设平面ABC的法向量为n=(x,y,:), n·BA=0.W2y+3v2x=0, 当9≠1时8=是·1“，=号· 则有 即 An.BC-0. wW6x+√2y=0, -1 (15分) 取=1，得n=(5,-31) (12分) 3 设直线CA,与平面A,BC所成的角为9. 21,4=1 综上，Sw= (17分) 则sin0= Im.cA 3 n|·|cA 19.解：(1)方程x+y2一8.x十15=0中，令y=0得x= 5×(-6)+(-3)×2V2+1×3w2 √/(W3)+(-3)+1'×√(-√6)+(2w2)+(3√2) 3或x=5, =313 所以F(3.0),G(5,0), (2分) 26 (14分) 所以a=25,a2-6=3,=16, 故直线CA与平面ABC所成角的正弦值为 (4分) 313 所以C的方程为坛十若=1. 26 (15分) (2)由题意知E(4,0),设D(x,y),A(xM), 18.解：(1)由题可知a。=a1·1, B(r为)， 则b.bw+1=a·g,6+ibn+:=a·g, (3分) 则x1+xg=2x,M十为=2y 放_b6址。a·心 66ba·产= (6分) 当l与x轴不垂直时，x≠， 4 参考答案及解析 数学 因为+=1+=1 (6分) 不纺取Q(-5小，P(作豆)小 两式相减得十）（一）+y十)y一 公 (13分) 25 因为点Q在△PQF的外接圆上， =0, 即2x(）+2yy业)=0. 所以(-516=立)+？+mt-9=0, 4 25 16 整理得兰=号 x1一rt (7分) 解得m=9r一256 161 又”二=y 所以△PQF的外接圆方程为r+y+9r-256 16t y- 一xax-4 9=0. (15分) 所以之一 16x 即16x2+25y2-64x=0,(x≠4) (8分) 直线HF的斜率为。器 3316 当1与x轴垂直时，D(4.0)也满足16x2十25y 故HF的方程为y= 3 16(x-3) 64x=0, (9分) 所以点D的轨迹方程为16.x2+25y一64.x=0. 令x=0,解得y=- 器所以R(0,-若).16分) (10分) 将点R(o,器)代人r+了+r,-9 (3)证明：因为直线PQ与x轴平行，所以P,Q关于 0中. y轴对称， 所以△PQF外接圆的圆心在y轴上， 得(-器)'+56.（-器)-9=0等式 161 设该圆方程为x十y十my十n=0, 成立 因为F(3,0)在该圆上，所以9十n=0,n=-9, 所以点R也在△PQF的外接圆上，故点P,Q,R,F (11分) 四点共圆 (17分) 房+若.郁得士5工 y=1, 由 r 4 ·5