八年级数学开学摸底考（辽宁专用，北师大版）-2024-2025学年初中下学期开学摸底考试卷

( ) ( ) 2024-2025学年下学期开学摸底考试卷 八年级数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、 单项 选择题（每小题 3 分，共 3 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、 填空 题（每小题3分，共18分） 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 15 ． ____________________ 三 、解答题（共7 5 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 1 6 ．（ 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 7 ．（ 9 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 8 ．（ 9 分） 19 . （ 9 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （ 10 分） 21.（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22． （ 1 2 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23． （ 1 4 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级下学期开学摸底考试卷 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B B C C D B D D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 10．D 11． 12．8 13． 14． 15．或 三、解答题（本题共8小题，共75分。） 16．（1）5；（2）；（3）；（4） 【详解】（1） ． （2）， ， ， 或， 解得． （3）， ， ， ， 解得． （4）由数轴可知，， ， ． 17．(1)7.5，7，7.5 (2)估计八年级参加此次测试活动成绩合格的学生人数有名． 【详解】（1）解：（分， 七年级20名学生成绩中出现次数最多的是7分，共出现6次，因此众数是7分，即， 将八年级20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为（分，因此中位数是7.5分，即， 故答案为：7.5，7，7.5； （2）解：（名， 答：估计八年级参加此次测试活动成绩合格的学生人数有名． 18．(1)见解析 (2)4 (3)点P的位置见解析， 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：； （3）解：如图，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则此时周长最小， 设直线为， ∵直线为过点，． ∴，解得， ∴直线为， 当时，，解得：， ∴． 19．(1)中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元 (2)该经销商应购进中级型汽车辆，紧凑型汽车辆时，最大为万元 【详解】（1）解：设中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元， 由题意得，， 解得， 答：中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元． （2）解：由题可得，， ， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值为， 该经销商应购进中级型汽车辆，紧凑型汽车辆时，最大为万元． 20．（1），（2）（3）与不是关于1的平衡数 【详解】(1)解：由题意得，，， 与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数， 故答案为：； (2)解：与是关于1的平衡数，与也是关于1的平衡数， ，解得， (3)解：不是，理由如下， ，， ， ，即， ， ， 与不是关于1的平衡数． 21．(1)，； (2) (3)；小华骑自行车行驶小时，在离家处与回家的妈妈相遇． (4)或． 【详解】（1）解：由函数图象可得：小华家到图书馆的路程是； 设的函数表达式为， 把代入函数表达式得：， 解得， ∴的函数表达式为； （2）解：由图象知，， 设的函数表达式为， 则， 解得， ∴的函数表达式为． （3）解：联立方程组， 解得， ∴点K的坐标为； ∴的坐标的实际意义是小华骑自行车行驶小时，在离家处与回家的妈妈相遇． （4）解：当时，小华离家， 当时，小华和妈妈两人之间的距离为， ∴， 解得：， 当时，小华和妈妈两人之间的距离为， ∴， 解得：， 当不符合题意，舍去， ∴当小华和妈妈两人之间的距离为时，t的值为或． 22．(1)见解析 (2) (3)能， 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点P是的一个“勾股点”； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在中，， ∴在中，； （3）解：点D可以是的“勾股点”． 由题意可知，分三种情况讨论． ①当时，点D是的“勾股点”．如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为点E，F． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 又∵在中，， ∴， ∴， ∴； ②当时，点D是的“勾股点”． 由题可知， ∴． 又∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴此种情况不成立． ③当时，点D是的“勾股点”． ∵在中，， ∴是锐角， ∴此种情况不成立． 综上，点D可以是的“勾股点”，的长是． 23．(1) (2)存在，或 (3)或 【详解】（1）解：∵点， ∴线段的垂直平分线l上在第一象限内的“等距点”P的坐标为， 故答案为：； （2）解∶设交于点P， ∵将的面积分为的两部分， ∴点P经过或． ∵点Q在第四象限， ∴点Q在直线上， ①当经过时，， 联立，解得 ∴Q的坐标为； ②当经过时，点Q在直线上， 联立，解得 ∴Q的坐标为， 综上，Q的坐标为或； （3）解∶①当点D在直线上时，过点D作轴，轴， 则， ∵， ∴， ∵点D是等距点， ∴， ∴， ∴， 设点，则，， ∴，解得， ∴点D的坐标为； 同理②当点D在直线上时 ∴， 设点，则，， ∴，解得， ∴点D的坐标为， 综上，点D的坐标为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级下学期开学摸底考试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在实数，3.1415926，，，，0.2020020002…（相邻两个2中间一次多1个0）中，无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先将化简，再根据无理数的定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴无理数有， ， 0.2020020002…（相邻两个2中间一次多1个0），共3个． 故选：B 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数称为无理数是解题的关键． 2．如果某函数的图像如图所示，那么y随x的增大而（    ） A．增大 B．减小 C．不变 D．有时增大有时减小 【答案】B 【分析】本题考查了从函数图象获取函数的增减性，由图象得图象自左向右是下降趋势，即可求解；会观察图象得到函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：由图象得 y随x的增大而减小； 故选：B． 3．已知点和关于轴对称，则值为（   ） A．0 B． C．1 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．根据点和关于轴对称，可得，，求出和的值，进一步计算即可． 【详解】解：点和关于轴对称， ，， 解得，， ， 故选：B 4．如图，数轴上点A表示的数为，的直角边落在数轴上，且长为3个单位长度，长为1个单位长度，若以点A为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求得的长度，即的长度即可得出结果． 【详解】解：由勾股定理知：， 所以． 所以点D表示的数为． 故选：B． 5．已知，，是一次函数的图象上的三点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，因为，所以随的增大而减小，横坐标越大，纵坐标越小． 【详解】解：， 随的增大而减小， ， ， 故选：C． 6．将按如图所示沿进行翻折，若，，则的度数为（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质．由折叠的性质得，，结合平角的性质求得，，再利用三角形的外角性质求得的度数，据此求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得，，    ∵，， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面展开−最短路径问题、两点之间，线段最短、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分三种情况讨论：把上面展开到左侧面上，连接，如图1；把上面展开到正面上，连接，如图2；把侧面展开到正面上，连接，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的，再进行大小比较即可． 【详解】解：把上面展开到左侧面上，连接，如图1， ； 把上面展开到正面上，连接，如图2， ； 把侧面展开到正面上，连接，如图3， ． ∵． 所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为． 故选：D． 8．一种蔬菜加工后出售，单价可提高20%，但重量减少10%.现在未加工的这种蔬菜30千克，加工后可以比加工前多卖12元，则这种蔬菜加工前和加工后每千克各卖多少元？设这种蔬菜加工前每千克卖x元，加工后每千克卖y元，根据题意，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】关键描述语是：加工后出售，单价可提高20%；加工后可以比不加工多卖12元． 等量关系为：加工后的价格=加工前的价格×（1+20%）；30千克蔬菜加工后的价格-30千克蔬菜加工前的价格=12． 【详解】∵一种蔬菜加工后出售，单价可提高20%， ∴y=x（1+20%） ∵加工后可以比不加工多卖12元， ∴30（1-10%）y-30x=12． 根据题意，可列方程组： ． 故选B． 【点睛】本题需注意：应找到加工前后相应的数量和单价． 9．直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段的中点，点P为上一动点，值最小时点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题．根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点关于轴的对称点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图所示． 令中，则， 点的坐标为； 令中，则，解得：， 点的坐标为． 点、分别为线段、的中点， 点，点． 点和点关于轴对称， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 直线过点，， 有，解得：， 直线的解析式为． 令中，则， 解得：， 点的坐标为． 故选：D． 10．一次函数与一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点，与两坐标轴分别交于四个点．则下列结论： ①一元一次方程的解为；②；③方程组的解为；④四边形的面积为，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程 (组)的关系，一次函数图象的性质，根据一次函数与方程(组)的关系逐一分析判断即可，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数与一次函数 在同一坐标系中，两条直线交于点， ∴一元一次方程的解为，，故正确； 由，解得，故错误； ∴一次函数为， ， 把代入得，， ∴， ∴， ∴方程组的解为，故正确； ∵一次函数为， ， ∴，， ∴四边形的面积，故正确； ∴正确的是， 故选：． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，得出，进而求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵且， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式的化简，正确理解题意是解题的关键． 12．已知一组数据的平均数是10，方差是2，数据，，……，的方差是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了方差的定义．根据方差的特点：若在原来数据前乘以同一个数，方差要乘以这个数的平方，若数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即可得出答案． 【详解】解：∵数据的方差是2， ∴数据、、……、的方差是； 故答案为：8． 13．如图，、、在同一直线上，平分交于，平分，延长线与相交于，若，，则 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，四边形的内角和，角平分线的性质等知识点，根据平分可知，，根据四边形的内角和为为可列出等式化简得：①，根据的内角和是，可列出等式②，进而即可得解，熟练掌握其性质并能灵活运用三角形的内角和是和四边形的内角和是列出等式解方程组是解决此题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， 整理得， 即①， 又∵平分， ∴②， 由①②解得， 故答案为． 14．若关于x、y方程的解满足，以方程中的未知数设计的“Y”形图案，如图所示，则此图案的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程的解，三角形的面积和代数式求值，解决本题的关键是利用整体替换思想．先求出y的值，再根据该图案的面积等于一个长方形的面积加上两个平行四边形的面积再减去一个三角形的面积，据此列出代数式，再把x，y分别用a和数值替换进行化简即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得方程组： ， 解得：， 该图案的面积为： ， 故答案为：． 15．在平面直角坐标系中，对于点，如果点的纵坐标满足，那么称点为点的“横连点”，例如点的“横连点”的坐标为，如果点的“横连点” 坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了点的坐标，理清“横连点”的定义是解答本题的关键．根据“横连点”的定义可得，分两种情况：当时，当时，列方程即可求解． 【详解】解：点的“横连点” 坐标为， ， 当时，，即， 解得：， 此时，， ，符合题意， 点的坐标为； 当时，，即， 解得：， 此时，， ，符合题意， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或， 故答案为：或． 三、解答题（本题共8小题，共75分。） 16．（1）计算： （2）求值． （3）求值 （4）如图，，是数轴上三个点、、所对应的实数． 试化简： 【答案】（1）5；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查数轴上的点，绝对值的性质，平方根和立方根，掌握平方根和立方根的概念是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的概念计算即可； （2）运用平方根的概念解方程； （3）运用立方根的概念解方程； （4）根据数轴确定的符号，再由绝对值的性质，和平方根，立方根的性质化简即可． 【详解】（1） ． （2）， ， ， 或， 解得． （3）， ， ， ， 解得． （4）由数轴可知，， ， ． 17．为了解学生对交通安全知识的掌握情况，某校七、八年级举行了“交通安全知识竞赛”，满分10分，6分及以上为合格． 【数据收集】分别从七、八年级随机抽取20名参赛学生的成绩．其中七年级数据如下： 7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6． 【数据整理】为了便于分析数据，统计员对数据进行了整理，其中八年级20名学生的成绩绘成条形统计图，如下图所示． 年级 平均数 众数 中位数 七年级 7.5 7 八年级 8 【数据分析】七、八年级成绩的平均数、众数、中位数如上表所示．请你根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)表中________，_______，_______； (2)该校八年级共600名学生参加了此次竞赛，请估计八年级参加此次竞赛成绩合格的人数； 【答案】(1)7.5，7，7.5 (2)估计八年级参加此次测试活动成绩合格的学生人数有名． 【分析】本题考查条形统计图，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数、平均数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的前提． （1）根据平均数、中位数、众数的定义进行计算即可； （2）求出八年级学生成绩为“合格”的所占的百分比即可． 【详解】（1）解：（分， 七年级20名学生成绩中出现次数最多的是7分，共出现6次，因此众数是7分，即， 将八年级20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为（分，因此中位数是7.5分，即， 故答案为：7.5，7，7.5； （2）解：（名， 答：估计八年级参加此次测试活动成绩合格的学生人数有名． 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于y轴的对称图形； (2)求出的面积； (3)在x轴上找一点P，使得周长最小，并直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)点P的位置见解析， 【分析】本题主要考查了作图—轴对称变换、轴对称最短路线问题、待定系数法求一次函数的解析式等知识点，掌握轴对称的性质是解决本题的关键． （1）根据轴对称的性质作出关于y轴的对称点，即可得出； （2）根据网格利用割补法即可求出的面积即可； （3）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，根据两点之间线段最短及待定系数法求得直线为，然后求得其与x轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：； （3）解：如图，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则此时周长最小， 设直线为， ∵直线为过点，． ∴，解得， ∴直线为， 当时，，解得：， ∴． 19．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元 (2)该经销商应购进中级型汽车辆，紧凑型汽车辆时，最大为万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键． （1）设中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意得出，，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元， 由题意得，， 解得， 答：中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元． （2）解：由题可得，， ， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值为， 该经销商应购进中级型汽车辆，紧凑型汽车辆时，最大为万元． 20．综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数． 【实践探究】 （2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值． 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【答案】（1），（2）（3）与不是关于1的平衡数 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算等知识点， (1)根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案； (2)根据平衡数的概念得关于和的方程组，由此可得出答案； (3)根据所给的等式，解出的值，进而再代入判断即可； 解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 【详解】(1)解：由题意得，，， 与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数， 故答案为：； (2)解：与是关于1的平衡数，与也是关于1的平衡数， ，解得， (3)解：不是，理由如下， ，， ， ，即， ， ， 与不是关于1的平衡数． 21．小华骑自行车从家出发沿公路匀速前往图书馆，小华妈妈骑电动车从图书馆出发沿同一条路回家，线段与折线分别表示两人离家的距离与小华的行驶时间之间的函数关系的图象，请解决以下问题． (1)小华家到图书馆的路程是________；线段对应的函数表达式为________（）； (2)求线段对应的函数表达式；（不必写自变量的取值范围） (3)图象中线段与线段的交点K的坐标为________．点K坐标表示的实际意义是________； (4)设小华和妈妈两人之间的距离为，t的值为________． 【答案】(1)，； (2) (3)；小华骑自行车行驶小时，在离家处与回家的妈妈相遇． (4)或． 【分析】本题本题主要考查求一次函数解析式以及一次函数的应用： （1）由函数图象可得：小华家到图书馆的路程是；设的解析式为，代入，求出的值即可； （2）设的函数表达式为，把代入，求出的值即可； （3）联立方程组，再解方程组求出方程组的解即可； （4）根据题意四种情况：当时，小华离家，当时，小华和妈妈两人之间的距离为，可得，当时，小华和妈妈两人之间的距离为，可得，当不符合题意，舍去，从而可得答案． 【详解】（1）解：由函数图象可得：小华家到图书馆的路程是； 设的函数表达式为， 把代入函数表达式得：， 解得， ∴的函数表达式为； （2）解：由图象知，， 设的函数表达式为， 则， 解得， ∴的函数表达式为． （3）解：联立方程组， 解得， ∴点K的坐标为； ∴的坐标的实际意义是小华骑自行车行驶小时，在离家处与回家的妈妈相遇． （4）解：当时，小华离家， 当时，小华和妈妈两人之间的距离为， ∴， 解得：， 当时，小华和妈妈两人之间的距离为， ∴， 解得：， 当不符合题意，舍去， ∴当小华和妈妈两人之间的距离为时，t的值为或． 22．已知，点是平面内任意一点（不与点，，重合），若点与，，中的某两点的连线的夹角为直角，则称点为的一个“勾股点”． (1)如图（1），若点是内一点，，，，试说明点是的一个“勾股点”； (2)如图（2），已知点是的一个“勾股点”，，且，若，，求的长； (3)如图（3），在中，，，点为外一点，，，，点能否是的“勾股点”，若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)能， 【分析】（1）根据，求出，根据，，求出，即可证明结论； （2）先求出，得出，求出，得出，根据勾股定理求出即可． （3）分三种情况讨论：当时，点D是的“勾股点”；当时，点D是的“勾股点”；当时，点D是的“勾股点”；其中只有第一种情况存在求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点P是的一个“勾股点”； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在中，， ∴在中，； （3）解：点D可以是的“勾股点”． 由题意可知，分三种情况讨论． ①当时，点D是的“勾股点”．如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为点E，F． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 又∵在中，， ∴， ∴， ∴； ②当时，点D是的“勾股点”． 由题可知， ∴． 又∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴此种情况不成立． ③当时，点D是的“勾股点”． ∵在中，， ∴是锐角， ∴此种情况不成立． 综上，点D可以是的“勾股点”，的长是． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形内角和定理的应用，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握基本的判定和性质，作出相应的辅助线，并注意分类讨论． 23．在平面直角坐标系中，如果一个点到两坐标轴的距离相等，那么这个点称为“等距点”，例如，，，都称为“等距点”． (1)如图1，点，线段的垂直平分线l上在第一象限内的“等距点”P的坐标为________． (2)如图2，点，点B是第一象限内的“等距点”，若点Q是第四象限内的“等距点”，是否存在点Q，使直线把分成面积之比为的两部分？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图3，点，点，点D是坐标系内与原点O不重合的“等距点”，连接，，当时，求“等距点”D的坐标． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)或 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据新定义和线段的垂直平分线的性质等求解即可； （2）分经过；经过两种情况讨论即可； （3）分点D在直线上；点D在直线上两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵点， ∴线段的垂直平分线l上在第一象限内的“等距点”P的坐标为， 故答案为：； （2）解∶设交于点P， ∵将的面积分为的两部分， ∴点P经过或． ∵点Q在第四象限， ∴点Q在直线上， ①当经过时，， 联立，解得 ∴Q的坐标为； ②当经过时，点Q在直线上， 联立，解得 ∴Q的坐标为， 综上，Q的坐标为或； （3）解∶①当点D在直线上时，过点D作轴，轴， 则， ∵， ∴， ∵点D是等距点， ∴， ∴， ∴， 设点，则，， ∴，解得， ∴点D的坐标为； 同理②当点D在直线上时 ∴， 设点，则，， ∴，解得， ∴点D的坐标为， 综上，点D的坐标为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级下学期开学摸底考试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在实数，3.1415926，，，，0.2020020002…（相邻两个2中间一次多1个0）中，无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如果某函数的图像如图所示，那么y随x的增大而（    ） A．增大 B．减小 C．不变 D．有时增大有时减小 3．已知点和关于轴对称，则值为（   ） A．0 B． C．1 D．无法确定 4．如图，数轴上点A表示的数为，的直角边落在数轴上，且长为3个单位长度，长为1个单位长度，若以点A为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，是一次函数的图象上的三点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．将按如图所示沿进行翻折，若，，则的度数为（   ）      A． B． C． D． 7．如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（   ） A． B． C． D． 8．一种蔬菜加工后出售，单价可提高20%，但重量减少10%.现在未加工的这种蔬菜30千克，加工后可以比加工前多卖12元，则这种蔬菜加工前和加工后每千克各卖多少元？设这种蔬菜加工前每千克卖x元，加工后每千克卖y元，根据题意，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 9．直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段的中点，点P为上一动点，值最小时点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．一次函数与一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点，与两坐标轴分别交于四个点．则下列结论： ①一元一次方程的解为；②；③方程组的解为；④四边形的面积为，正确的是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．若，则的值是 ． 12．已知一组数据的平均数是10，方差是2，数据，，……，的方差是 ． 13．如图，、、在同一直线上，平分交于，平分，延长线与相交于，若，，则 度． 14．若关于x、y方程的解满足，以方程中的未知数设计的“Y”形图案，如图所示，则此图案的面积为 ． 15．在平面直角坐标系中，对于点，如果点的纵坐标满足，那么称点为点的“横连点”，例如点的“横连点”的坐标为，如果点的“横连点” 坐标为，则点的坐标为 ． 三、解答题（本题共8小题，共75分。） 16．（1）计算： （2）求值． （3）求值 （4）如图，，是数轴上三个点、、所对应的实数． 试化简： 17．为了解学生对交通安全知识的掌握情况，某校七、八年级举行了“交通安全知识竞赛”，满分10分，6分及以上为合格． 【数据收集】分别从七、八年级随机抽取20名参赛学生的成绩．其中七年级数据如下： 7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6． 【数据整理】为了便于分析数据，统计员对数据进行了整理，其中八年级20名学生的成绩绘成条形统计图，如下图所示． 年级 平均数 众数 中位数 七年级 7.5 7 八年级 8 【数据分析】七、八年级成绩的平均数、众数、中位数如上表所示．请你根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)表中________，_______，_______； (2)该校八年级共600名学生参加了此次竞赛，请估计八年级参加此次竞赛成绩合格的人数； 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于y轴的对称图形； (2)求出的面积； (3)在x轴上找一点P，使得周长最小，并直接写出点P的坐标． 19．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使最大？最大为多少万元？ 20．综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数． 【实践探究】 （2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值． 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 21．小华骑自行车从家出发沿公路匀速前往图书馆，小华妈妈骑电动车从图书馆出发沿同一条路回家，线段与折线分别表示两人离家的距离与小华的行驶时间之间的函数关系的图象，请解决以下问题． (1)小华家到图书馆的路程是________；线段对应的函数表达式为________（）； (2)求线段对应的函数表达式；（不必写自变量的取值范围） (3)图象中线段与线段的交点K的坐标为________．点K坐标表示的实际意义是________； (4)设小华和妈妈两人之间的距离为，t的值为________． 22．已知，点是平面内任意一点（不与点，，重合），若点与，，中的某两点的连线的夹角为直角，则称点为的一个“勾股点”． (1)如图（1），若点是内一点，，，，试说明点是的一个“勾股点”； (2)如图（2），已知点是的一个“勾股点”，，且，若，，求的长； (3)如图（3），在中，，，点为外一点，，，，点能否是的“勾股点”，若能，求出的长；若不能，请说明理由． 23．在平面直角坐标系中，如果一个点到两坐标轴的距离相等，那么这个点称为“等距点”，例如，，，都称为“等距点”． (1)如图1，点，线段的垂直平分线l上在第一象限内的“等距点”P的坐标为________． (2)如图2，点，点B是第一象限内的“等距点”，若点Q是第四象限内的“等距点”，是否存在点Q，使直线把分成面积之比为的两部分？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图3，点，点，点D是坐标系内与原点O不重合的“等距点”，连接，，当时，求“等距点”D的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$