重难点02 与方程、不等式有关的参数问题-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（湖南专用）

第二章 方程（组）与不等式（组） 重难点02 与方程、不等式有关的参数问题 类型一 一元一次方程 题型一 根据方程定义求参数值 1．若是方程的解，则a的值为（   ）． A．3 B．1 C．0 D． 2．若是关于的一元一次方程，则的值是 ． 3．关于x的方程是一元一次方程，则 ． 题型二 已知方程的解，求参数或代数式的值 1．关于的一元一次方程的解是，则的值是 ． 2．关于x的方程的解是，则 ． 题型三 一元一次方程同解问题 1．若的解与方程的解相同，则m的值为 ． 2．若方程与方程的解相同，则 ． 3.已知关于的方程与的解相同，求这个相同的解和的值． 题型四 利用两个方程解的关系求值 1．方程和方程的解互为相反数，则 ． 2.关于x的方程的解与的解互为相反数． (1)求的值； (2)根据方程解的定义试说明关于t的方程有无数解． 题型五 错解问题 1．在解关于x的方程，小华在去分母的时候忘记将右边乘3，其他步骤都是正确的，巧合的是他求出的结果仍然是原方程的解，求出满足这个条件的m的值． 2.某同学在解方程，在去分母时，方程右边的没有乘3，因而得方程的解为，求方程的解． 题型六 一元一次方程的正整数解 1．关于的一元一次方程，其中是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求的值． 2．关于的方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的和是 ． 3．已知关于的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数的积是 ． 4．若关于x的一元一次方程的解是正整数，则整数m的值为 ． 类型二 二元一次方程（组） 题型一 根据方程定义求参数值 1．若是关于，的二元一次方程，则的值为（    ） A． B．2 C．0 D． 2．若是关于x，y的二元一次方程，则（   ） A．， B．， C．， D．， 3．若是关于x，y的二元一次方程，则 ． 题型二 已知方程组的解，求参数或代数式的值 1．已知是方程的一个解，那么的值是（   ） A． B． C． D． 2．若是关于x和y的二元一次方程的解，则k的值是（） A． B． C．1 D．5 3．若是关于x、y的方程的解，则a值为 ． 题型三 二元一次方程（组）同解问题 1．若关于，的方程组与关于，的方程组具有相同的解，则 ， ． 2.已知关于的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 3．已知关于，的方程组和的解相同，试求的值． 题型四 利用两个方程解的关系求值 1．（2023·山东聊城·统考一模）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 2．方程组的解中x与y值互为相反数，则k 3．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围 ． 4.已知是方程组的解，求m，n值． 5.若关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的整数值． 题型五 错解问题 1．小明在解关于x，y的二元一次方程组 时，只抄对了 ，，求出的解为 ，他核对时发现所抄的c比原方程组的c值小1，则原方程组的解为 ． 2.甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， (1)求出，的值； (2)此方程组正确的解应该是多少？ 题型六 遮挡问题 1．若关于、的方程组的解为，其中的值被盖住了，不过仍能求出，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．学习情境▪墨迹覆盖关于，的方程组的解是，其中的值被盖住了，不过仍能求出，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．方程组的解为，则被●和▲遮盖的两个数分别为（    ） A．5，1 B．1，3 C．2，3 D．2，4 题型七 解的个数问题 1．如果关于，的方程组有唯一的一组解，那么的值应满足的条件是(　　) A． B． C． D．且 题型八 二元一次方程的正整数解 1．如果关于，的方程组的解是整数，那么整数的值为（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．若关于x，y的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的整数的和是 ． 3．关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 类型三 一元一次不等式（组） 题型一 根据一元一次不等式定义求参数值 1．若是关于的一元一次不等式，则的值为（    ） A．0 B． C． D．1 2．若是关于x的一元一次不等式，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．0 题型二 根据含参数不等式解集的情况求参数的取值范围 1．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 2．如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是（　　）． A． B． C． D． 题型三 一元一次不等式整数解问题 1．若关于x的不等式的最小整数解是2，则实数m的值可能是（    ） A． B． C．0 D．1 2．使不等式成立的a值中，最大的整数是（   ） A． B． C． D． 3．若实数3是不等式的一个解，则可取的最小正整数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有两个非负整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四 不等式与方程组综合求参数的取值范围 1．已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若关于的方程组的解满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型五 已知有解、无解情况求参数的取值范围 1．若关于的不等式组有解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2.已知不等式组无解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型六 由不等式组整数解情况确定字母取值范围 1．如果关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对共有（　　） A．42对 B．36对 C．30对 D．11对 2. 已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型七 由不等式组的解集确定字母的取值范围 1．若数使关于的不等式组的解集为，则符合条件的数的取值范围为 ． 2．若不等式组的解集中的任意x，都能使不等式x﹣5＞0成立，求a的取值范围． 题型八 已知特殊解的情况求参数的取值范围 1．已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是 ． 2．若关于的不等式组只有3个整数解，则的取值范围为 ． 3．如果不等式组 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a，b的有序数对（a，b）的个数是（　　） A．5 B．6 C．12 D．4 题型九 不等式组与方程的综合求参数的取值范围 1．若方程组的解满足，则的取值范围是 ． 2．若关于，的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 3．已知关于的不等式组至少有2个整数解，且存在边长为，，的三角形，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 类型四 分式方程 题型一 利用分式方程解的定义求参数的值 1．定义：如果一个关于x的分式方程 的解等于我们就说这个方程叫和解方程. 比如 : 就是个和解方程. 如果关于x的分式方程是一个和解方程，那么 n的值是(     ) A． B． C． D． 2．若关于的分式方程的解是，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型二 分式方程同解问题 1. 已知关于的分式方程的解与方程的解相同，求的值． 2．若关于x的分式方程与方程的解相同，则m的值为(  ) A． B． C． D． 题型三 利用分式方程解的范围求字母的值 1．若关于的方程的解是正数，则的取值范围为（） A． B． C．且 D．且 2．关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 3．若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 题型四 根据分式方程有解或无解求参数值或取值范围 1．若关于的方程无解，则的值为（   ） A．3 B．1 C．0 D．1 2．若关于x的分式方程无解，则m的值可能为（   ） A．1 B． C．0 D．4 3．已知关于的分式方程无解，则所有满足条件的整数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型五 根据分式方程的增根求参数 1．若关于x的方程有增根，则a的值是（   ） A．2 B． C．4 D． 2．已知关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．0 B．0或 C． D．0或 3．若分式方程有增根，则a的值是（   ） A．1 B．0 C． D．3 4．关于x分式方程有增根，则m的值为（    ） A．或 B．或0 C．0或 D．或0 题型六 分式与不等式综合求参数 1．从、、、、2、3这六个数中，随机抽取一个数a，若数a使关于y的分式方程的解为整数，且使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，那么这六个数中满足所有条件的a的值之积为 ． 2．如果关于x的分式方程有负分数解，且关于x的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数a的积等于 ． 类型五 一元二次方程 题型一 由一元二次方程的概念求参数的值 1．是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（   ） A．2 B．4 C． D． 3.关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 4．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 题型二 由一元二次方程的解求参数的值 1．已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为 ． 2．已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 3．若是方程的一个根，则的值为 ． 4.若方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)判断，，是不是方程的解． 题型三 应用根的判别式求代数式的取值范围 1．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3.若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 4．已知关于的一元二次方程有两个不等实根． (1)求的取值范围； (2)若是这个方程的一个根，求的值． 5．已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； (2)若方程的一个实数根是另一个实数根的2倍，求的值． 题型四 由方程两根的关系确定字母系数的取值范围 1．已知满足，则正数的最小值是 ． 2．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 3．如果方程的两个根是，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题： (1)已知、满足，，求的值； (2)已知、、满足，，求正数的最小值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 方程（组）与不等式（组） 重难点02 与方程、不等式有关的参数问题 类型一 一元一次方程 题型一 根据方程定义求参数值 1．若是方程的解，则a的值为（   ）． A．3 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程．根据题意将代入中即可得到本题答案． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入中得：，解得：， 故选：B． 2．若是关于的一元一次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确解一元一次方程的定义，本题属于基础题型．根据一元一次方程的定义即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ， 解得 故答案为：． 3．关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值， 根据一元一次方程的定义列出，，即可求出m的值．熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴，， 解得， 故答案为：． 题型二 已知方程的解，求参数或代数式的值 1．关于的一元一次方程的解是，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入方程，得，求解即可，掌握一元一次方程的解是解题的关键． 【详解】解：把代入方程，得， 解得：， 故答案为：． 2．关于x的方程的解是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握相关知识是解题关键．把代入，解答即可． 【详解】解：∵方程的解是， ∴， 解得：． 故答案为： 题型三 一元一次方程同解问题 1．若的解与方程的解相同，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了同解方程，掌握同解方程的解题思路及运算法则是解题的关键． 求出方程的解，代入方程求解即可． 【详解】解： ， ∵方程的解与方程的解相同， ∴把代入方程， 得： ． 2．若方程与方程的解相同，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解，一元一次方程的解法，先解方程可得，把代入即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， ∴， 解得：， 将代入方程， ∴， 解得：． 故答案为：． 3.已知关于的方程与的解相同，求这个相同的解和的值． 【答案】这个相同的解为，的值为． 【分析】本题考查了同解方程，解一元一次方程，先求出的解，把代入，然后根据一元一次方程的解法即可求出的值，熟练掌握一元一次方程的解法及正确理解同解方程是解题的关键． 【详解】解： ∴， 把代入得：， ∴， ∴这个相同的解为，的值为． 题型四 利用两个方程解的关系求值 1．方程和方程的解互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟知方程的解的定义是解题的关键．分别求出两个方程的解，根据两方程的解互为相反数即可求出m的值． 【详解】解：， ， ； ， ， ． ∵方程和方程的解互为相反数， ∴， 解得． 故答案为：． 2.关于x的方程的解与的解互为相反数． (1)求的值； (2)根据方程解的定义试说明关于t的方程有无数解． 【答案】(1)1 (2)见解析 【分析】本题考查一元一次方程的解的概念及解一元一次方程，求代数式的值，结合已知条件求得的值是解题的关键． （1）根据一元一次方程解的意义求得的值后代入中计算即可； （2）结合（1）中所求，根据一元一次方程解的意义即可得出结论． 【详解】（1）解：解方程得：， 两个方程的解互为相反数， 另一个方程的解为， 把代入方程， 得：， 解这个方程得：， ． （2）解：， 可化为， 任何数代入均成立， 关于t的方程有无数解． 题型五 错解问题 1．在解关于x的方程，小华在去分母的时候忘记将右边乘3，其他步骤都是正确的，巧合的是他求出的结果仍然是原方程的解，求出满足这个条件的m的值． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题的关键是把代入原方程求出的值． 先用表示出，再代入原方程求出的值即可． 【详解】解：∵去分母时忘了将右边乘以 3 ， ， ， ∵求出的结果仍然是原方程的解， ∴把代入原方程， 得， 解得， 故的值为 4 2.某同学在解方程，在去分母时，方程右边的没有乘3，因而得方程的解为，求方程的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及一元一次方程的解，根据题意可得出，把代入求出a的值，再解原方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：， ∵是方程的解， ∴ ， 解得：， ∴原方程为， 去分母：， 移项： 合并同类项：， 则原方程的解为：． 题型六 一元一次方程的正整数解 1．关于的一元一次方程，其中是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求的值． 【答案】(1)； (2)1或4 【分析】此题考查解一元一次方程，一元一次方程的特殊值的解法，（2）是难点，根据m的所有可能值代入计算可得到答案． （1）将m的值代入计算求解即可； （2）解方程得，根据m是正整数，得是3的倍数，根据方程有正整数解确定m的可能值． 【详解】（1）将代入方程， 得， ∴， ∴， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∵m是正整数，且是3的倍数，方程有正整数解， ∴或． 2．关于的方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键； 利用解一元一次方程的一般步骤解出方程，根据题意求出的值，计算即可． 【详解】解： ， 为正整数， 或， 解得：或， 所有满足条件的整数的和是； 故答案为： 3．已知关于的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数的积是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握解一元一次方程，根据题意，关于的方程的解是正整数，等式两边同时乘以，然后移项，合并同类项，化简得，解出，根据该方程的解为正整数，求出的值，即可． 【详解】解：， 等式两边同时乘以，得， 去小括号，得， 移项，合并同类项，得， ∵该方程有解， ∴， ∴， ∵该方程的解为正整数， ∴或， ∴，， 解得：，， 符合条件的所有整数的积为：． 故答案为：． 4．若关于x的一元一次方程的解是正整数，则整数m的值为 ． 【答案】4或0 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．注意移项要变号． 先移项，再合并同类项，最后化系数为1，根据方程是解是正整数，确定m的值． 【详解】解： 移项，得：， 合并同类项，得： 系数化为1，得： ∵解是正整数， ∴或 解得或． 故答案为：4或0． 类型二 二元一次方程（组） 题型一 根据方程定义求参数值 1．若是关于，的二元一次方程，则的值为（    ） A． B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程可得，然后求解即可． 【详解】解∶根据题意，得， 解得． 故选：D． 2．若是关于x，y的二元一次方程，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．根据二元一次方程的定义解答即可． 【详解】解：是关于x，y的二元一次方程， 解得：， 故选：C 3．若是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，理解方程中的“二元”和“一次”的含义是解答本题的关键． 根据二元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程， ∴， 故答案为：1． 题型二 已知方程组的解，求参数或代数式的值 1．已知是方程的一个解，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，解题的关键是掌握使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．根据题意将代入求解即可． 【详解】解： 是方程的一个解， ， 解得：， 故选：A． 2．若是关于x和y的二元一次方程的解，则k的值是（） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握该知识点是关键．把代入方程进行求解即可． 【详解】解：把方程的解代入，得：， 解得：； 故选：A． 3．若是关于x、y的方程的解，则a值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，将代入得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意， 解得：， 故答案为：． 题型三 二元一次方程（组）同解问题 1．若关于，的方程组与关于，的方程组具有相同的解，则 ， ． 【答案】 1 【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，利用方程组的解的定义，，满足个方程，则先解和组成的方程组，再把、代入另外两个方程得到关于、的方程组，然后解方程组求出、的值．能得出关于、的方程组是解此题的关键． 【详解】解：∵关于，的方程组与关于，的方程组具有相同的解， ∴关于，的方程组与关于，的方程组具有相同的解， 解方程组，得， 把代入，得， 解得：， 故答案为：；． 2.已知关于的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，求代数式的值； （1）根据已知条件，重新把不含有的两个方程联立成方程组，利用加减消元法，求出的值即可； （2）把（1）中所求的分别代入和得关于的方程组，解方程组求出，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程组和有相同的解， ∴， 得：， 解得， 把代入②得：， ∴方程组的解为：， ∴它们的相同解为； （2）解：把分别代入和，得， 得：， 把代入①得：， ∴． 3．已知关于，的方程组和的解相同，试求的值． 【答案】25 【分析】方程组的解满足方程组中每一个方程，则两个方程组中的四个方程是同解方程，则将其中两个不含字母、的方程组成一个新的方程组；利用加减消元法对方程组进行求解，即可得到、的值；根据两个方程组同解，则可将、的值代入含有参数的方程组中，即可得到关于、的方程组，据此通过加减消元法的知识即可求出、的值，然后求出的值．本题主要考查方程组同解的问题，解决本题的关键是明确方程组的解的定义． 【详解】解：∵关于，的方程组和的解相同， ∴， 解得， 则是方程组的解， 故可得， 解得， ∴． 题型四 利用两个方程解的关系求值 1．（2023·山东聊城·统考一模）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】C 【分析】用整体思想①②，得，等式两边都除以6，得，再根据，从而计算出的值． 【详解】解：， ①②，得， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键． 2．方程组的解中x与y值互为相反数，则k 【答案】3 【分析】把y＝－x代入第一个方程可求出x＝1，则y＝－1，然后把x＝1，y＝－1代入第二个方程得到关于k的方程，然后解此方程即可． 【详解】∵x＋y＝0， ∴y＝−x， ∴3x−2x＝1，解得x＝1， ∴y＝−1， ∴2k−1＋k＝8， ∴k＝3. 故答案为3. 【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的解，解题关键是得到x＋y＝0. 3．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】两方程相加可得，根据题意得出关于的不等式，解之可得． 【详解】解：， ，得：， ， ， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，根据题意得出关于的不等式是解答此题的关键． 4.已知是方程组的解，求m，n值． 【答案】 【分析】把x与y的值代入方程组计算，即可求出m与n的值． 【详解】把代入方程组得：， 解得： 故m的值为3，n的值为-2. 【点睛】本题考查了二元一次方程组，掌握方程组的解满足方程组中的每个方程． 5.若关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的整数值． 【答案】、0、1、2 【分析】先求得方程组的解，代入不等式组求解，计算即可． 【详解】解：， ①+②可得，据此可得； ①-②可得， ∵， ∴， 解得， 则m的整数值为、0、1、2． 【点睛】本题考查了方程组的解法，一元一次不等式组的解法及其整数解，熟练掌握解方程组和不等式组是解题的关键． 题型五 错解问题 1．小明在解关于x，y的二元一次方程组 时，只抄对了 ，，求出的解为 ，他核对时发现所抄的c比原方程组的c值小1，则原方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的错解复原，把代入可得，再进一步解题即可. 【详解】解：由题意可得：， 方程组的解为：， ∴， 解得：， ∴原方程组为：， ②①得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为：； 故答案为：． 2.甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， (1)求出，的值； (2)此方程组正确的解应该是多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组解的含义及其解法，理解二元一次方程组解的含义是解题的关键． （1）把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值即可； （2）把m与n的值代入方程组求出解即可． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程①中的，得到方程组的解为， ∴把代入②得 ， 解得：， 把代入①得： ， 解得：； （2）把，代入方程组得： 得： ， 即， 把x=2代入①得： ， 则方程组的解为． 题型六 遮挡问题 1．若关于、的方程组的解为，其中的值被盖住了，不过仍能求出，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，把代入方程组第二个方程求出的值，再将，的值代入中，进而求出的值即可．正确求出的值是解题关键． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 把，代入得：， 解得：， 故选：A． 2．学习情境▪墨迹覆盖关于，的方程组的解是，其中的值被盖住了，不过仍能求出，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，把代入可得，则，即可求解． 【详解】解：把代入可得， 由题意得，解得， 故选：D． 3．方程组的解为，则被●和▲遮盖的两个数分别为（    ） A．5，1 B．1，3 C．2，3 D．2，4 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组解的定义．先把代入求y的值，然后直接求解即可． 【详解】解：由题意得： 把代入，得：， ∴得到； ∴被●和▲遮盖的两个数分别为5，1． 故选：A． 题型七 解的个数问题 1．如果关于，的方程组有唯一的一组解，那么的值应满足的条件是(　　) A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】先消去，得到关于的方程，因为有唯一解，根据方程可得出的值的条件． 【详解】， ②-①得：， ∴， 要使方程有唯一解， 则， 故选：A． 【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组以及解一元一次方程，解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 题型八 二元一次方程的正整数解 1．如果关于，的方程组的解是整数，那么整数的值为（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】先将看作已知量，解二元一次方程组，用表示出，再结合，为整数，得出的整数解，然后把的整数解代入，得出的解，再把方程组的整数解代入，即可得出的值． 【详解】解：， 由，可得：， ∵，为整数， ∴当为时，为整数， ∴把的值代入，可得：，，，，，，，， ∴把的整数解代入，可得：，，，，，，，， ∴方程组的整数解为，，，， 把方程组的整数解代入，可得：，，，． 故选：B 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，解本题的关键是用含m的代数式表示y． 2．若关于x，y的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的整数的和是 ． 【答案】3 【分析】本题考查解含参数的二元一次方程组．先求出二元一次方程组的解，根据解为整数，求出的值，再进行计算即可．熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． 【详解】解：解，得：， ∵解是整数，也是整数， ∴， ∴， 当时，，当时，，满足题意， ∴满足条件的整数的和为； 故答案为：． 3．关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，先解方程组求出x，y，根据方程组的解为正整数，求出整数a的值，最后求和即可得到答案． 【详解】解：方程组得， ∵方程组的解为正整数， ∴都为正整数， ∴或或或或， ∴或或或或 ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴满足条件的所有整数a的和为， 故答案为：11． 类型三 一元一次不等式（组） 题型一 根据一元一次不等式定义求参数值 1．若是关于的一元一次不等式，则的值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义、绝对值等知识点，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 利用一元一次不等式和绝对值的定义列式求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， ∴． 故选D． 2．若是关于x的一元一次不等式，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义得到，即可求出m． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， 解得， 故选：B． 题型二 根据含参数不等式解集的情况求参数的取值范围 1．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出不等式的解集，然后根据的解都是不等式的解进行求解即可． 【详解】解：解不等式得， ∵不等式的解都是不等式的解， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，正确求出不等式的解集是解题的关键． 2．如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次不等式，解答的关键是熟知不等式基本性质，尤其是不等式的基本性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此得出关于的不等，求解即可． 【详解】解：∵关于的不等式的解集为， ∴， 解得：， 故选：B． 题型三 一元一次不等式整数解问题 1．若关于x的不等式的最小整数解是2，则实数m的值可能是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解．解不等式得出，根据不等式的最小整数解是即可确定的取值范围，继而得出结论． 【详解】解：∵， 解得：， ∵关于x的不等式的最小整数解是， ∴， ∴， ∴实数的值可能是． 故选：C． 2．使不等式成立的a值中，最大的整数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，正确解不等式是解题关键．先解不等式，再取最大整数即可． 【详解】解：由，解得：， 则最大的整数是， 故选：C． 3．若实数3是不等式的一个解，则可取的最小正整数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，根据实数3是不等式的一个解，可得的取值范围，从而可以求得可取的最小正整数，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 【详解】解：由不等式，得， ∵实数3是不等式的一个解， ∴，得， ∴可取的最小正整数为， 故选：C． 4．如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有两个非负整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意得到非负整数解．根据关于x的一元一次不等式的两个非负整数解只能是0、，求出a的取值范围即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元一次不等式有两个非负整数解， ∴2个负整数解只能是0、， ∴a的取值范围是． 故选：C， 题型四 不等式与方程组综合求参数的取值范围 1．已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键．解方程组可得，再结合列出不等式组，求出不等式组的解集即可得出结论． 【详解】解：关于x，y的方程组为， 解得：， 因为， 所以， 解得：． 故选：C． 2．若关于的方程组的解满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】提示：①+②，得，所以．因为，所以， 解得． 题型五 已知有解、无解情况求参数的取值范围 1．若关于的不等式组有解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，即可确定的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 关于的不等式组有解， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 2.已知不等式组无解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式组无解，得到大大小小无解，进而确定出a的范围即可． 【详解】解：不等式组无解， ， 解得：， 故选：D． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键． 题型六 由不等式组整数解情况确定字母取值范围 1．如果关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对共有（　　） A．42对 B．36对 C．30对 D．11对 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，先求出不等式组的解集，根据已知得出关于、的不等式组，求出整数解即可，解此题的关键是求出、的值． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是， ∵关关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3， ∴，， ∵m、n为整数， ∴、2、3、4、5、6，、17、18、19、20， ， 所以适合这个不等式组的整数对共有30对， 故选：C． 2. 已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是． ∵解集中至少有5个整数解 ∴整数解为：-1,0,1,2,3． ∴． 整数a的最小值是4． 故选C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键． 题型七 由不等式组的解集确定字母的取值范围 1．若数使关于的不等式组的解集为，则符合条件的数的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】先解不等式组，再根据已知解集确定出的取值范围即可． 【详解】解：解不等式组得：， 不等式组的解集为， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 2．若不等式组的解集中的任意x，都能使不等式x﹣5＞0成立，求a的取值范围． 【答案】a≤﹣6 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式的解集，由不等式组的任意x都能使不等式x﹣5＞0成立，确定a的范围即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵＜ ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的任意x都能使不等式x﹣5＞0成立 又不等式x﹣5＞0的解集是x＞5， ∴， 解得：a≤﹣6， 故a的取值范围为a≤﹣6． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式组，熟练并正确地求出其解集是解题的关键． 题型八 已知特殊解的情况求参数的取值范围 1．已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据不等式的基本性质，由不等式的解集为，可得：，据此求出a的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的不等式的解集为， ， 故答案为： 2．若关于的不等式组只有3个整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组整数解情况可得关于a的不等式组，解之即可得出答案． 【详解】解：由得：， 由得：， 不等式组只有3个整数解， 不等式组的整数解为3、2、1， 则， 解得， 故答案为：． 3．如果不等式组 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a，b的有序数对（a，b）的个数是（　　） A．5 B．6 C．12 D．4 【答案】B 【分析】首先解不等式组，不等式的解集即可用a,b表示，根据不等式组的整数解仅为1,2,3，即可确定a,b的范围，再确定a,b的整数解，然后得到有序数对的个数. 【详解】， 由得： , 由②得： ， 不等式组的解集为：， ∵整数解仅为1,2,3 ∴0,3＜4 解得：0a3,6＜8， ∴a=1,2,3   b=6，7 ∴整数a,b组成是有序数对（a，b）共有（1,6）（1,7）（2,6）（2,7）（3,6）（3,7）即6个 故选B. 【点睛】考察不等式组的解集，再利用有限个整数解来解决此题. 题型九 不等式组与方程的综合求参数的取值范围 1．若方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组；先解二元一次方程组，得出，根据已知建立不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】解：由 解得， ． ， ． 解得． 故答案为：． 2．若关于，的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次不等式组，熟练掌握二元一次方程组和不等式的解法是解题关键． 将方程组内两个方程相加得，整理得，再代入不等式组求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：， 得：， ， ， ， 解得：， 的取值范围是， 故答案为：． 3．已知关于的不等式组至少有2个整数解，且存在边长为，，的三角形，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、一元一次不等式组的整数解等知识点，由不等式组解集的条件和三角形的三边关系得到a的范围是解题的关键． 由不等式组至少有2个整数解和三角形的三边关系得到a的范围，进而确定所有符合条件a的值，最后求和即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得 ∵不等式组至少有2个整数解 ∴，即 ∵存在以，，为边的三角形 ，即 ∴满足条件的a的整数解是， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 故答案为：30． 类型四 分式方程 题型一 利用分式方程解的定义求参数的值 1．定义：如果一个关于x的分式方程 的解等于我们就说这个方程叫和解方程. 比如 : 就是个和解方程. 如果关于x的分式方程是一个和解方程，那么 n的值是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了新定义和分式方程，弄清题中的新定义的含义、正确利用分式方程的解是解此题的关键． 根据题中和解方程的定义得出未知数x的解，把x的值代入分式方程就可求出答案． 【详解】关于x的分式方程是一个和解方程 根据题中新定义得： 解得： 将代入得 故选：D 2．若关于的分式方程的解是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把代入方程得出m的方程，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：∵分式方程的解是， ∴， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次方程等知识，把代入原方程中进行计算是解题的关键． 题型二 分式方程同解问题 1. 已知关于的分式方程的解与方程的解相同，求的值． 【答案】 【分析】先将方程的解求出，再将该解代入，得到关于的方程，最后解方程并在检验后得出结论． 【详解】解：解分式方程，得， 经检验，是方程的解， 关于的分式方程的解与方程的解相同， 将代入， 得：， 解得：， 经检验，是方程的解， ． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，准确进行计算是解题的关键，注意要检验． 2．若关于x的分式方程与方程的解相同，则m的值为(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查分式方程的解，解分式方程，求出方程的解，把解代入分式方程求出m即可． 【详解】解：解方程， 得，， 经检验是方程的解， 把代入方程， 得，， 故选：A． 题型三 利用分式方程解的范围求字母的值 1．若关于的方程的解是正数，则的取值范围为（） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】考查了分式方程的解，解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．注意分式方程分母不等于0．先解关于的分式方程，求得的值，然后再依据解是正数建立不等式求的取值范围． 【详解】解：去分母得，， 解得，， 方程的解是正数， 解这个不等式得，， ， 则的取值范围是． 故选：B． 2．关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解．去分母，方程两边同时乘以，得，则，再根据该方程的解是负数得，然后根据是该方程的增根得出，，据此可得a的取值范围． 【详解】解：， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 解得：， ∵该方程的解是负数， ∴， 解得：， ∵是该方程的增根， ∴时，，解得：， 当时，，解得：， 综上所述：a的取值范围是：且． 故选：C． 3．若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，先求出分式方程的解，根据解为正数，且分式有意义，得到不等式，进行求解即可． 【详解】解：，解得：， 由题意，得：且， ∴且， 解得：且； 故选D． 题型四 根据分式方程有解或无解求参数值或取值范围 1．若关于的方程无解，则的值为（   ） A．3 B．1 C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解的条件，掌握分式方程无解的条件是使分式方程无意义的未知数的值成为解题的关键． 先通过去分母后将分式方程化成整式方程，由分式方程无解，则增根为，然后把代入关于k的方程求解即可． 【详解】解：∵关于的方程无解， ∴该分式方程的增根为， 方程去分母得：， 把代入可得：，解得：． 故选A． 2．若关于x的分式方程无解，则m的值可能为（   ） A．1 B． C．0 D．4 【答案】ABD 【分析】本题考查了分式方程的无解问题．分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出m的值，由分式方程无解求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得， 由分式方程无解，得到， 即，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当，整式方程无解， 解得， 故m的值为1或4或． 故选：ABD． 3．已知关于的分式方程无解，则所有满足条件的整数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先把分式方程中的分母分解因式，再把分式方程化成整式方程，解方程求出，然后根据分式方程无解，分整式方程无解和分式方程无解两种情况，列出关于的方程，解方程求出即可．本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握把分式方程化成整式方程． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， 则， ∴， 即， 关于的分式方程无解，，， 解得：，， 或， 解得：或， 所有满足条件的整数为或或0，共3个， 故选：C． 题型五 根据分式方程的增根求参数 1．若关于x的方程有增根，则a的值是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的增根问题，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根．有增根，那么最简公分母，所以增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值．解题的关键是掌握关于增根问题解决的步骤：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【详解】解：方程两边都乘， 得：， ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得：， ∴， 解得：． 故选D． 2．已知关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．0 B．0或 C． D．0或 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母想，得到或，然后代入化为整式方程的方程，满足即可． 【详解】解：方程两边都乘，得， 原方程有增根， 最简公分母， 解得或， 当时，，解得，符合题意， 当时，，不符合题意； 故选：A． 3．若分式方程有增根，则a的值是（   ） A．1 B．0 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的增根，解题的关键是令最简公分母为0，求出增根． 增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以化简分式方程为整式方程后让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出a的值即可． 【详解】 去分母得：， 解得：， 分式方程有增根， ，即， 把代入得：， 故选：D． 4．关于x分式方程有增根，则m的值为（    ） A．或 B．或0 C．0或 D．或0 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程得到，再根据分式方程有增根的情况是方程的解使分式的分母为0进行求解即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以得：， ∴， ∴， ∵原分式方程有增根， ∴， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或， 故选：D． 题型六 分式与不等式综合求参数 1．从、、、、2、3这六个数中，随机抽取一个数a，若数a使关于y的分式方程的解为整数，且使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，那么这六个数中满足所有条件的a的值之积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查分式方程、一元一次不等式组．先求出不等式组的解集，根据解的情况得到关于a的不等式组，确定出符合条件的a的值；再解分式方程，根据解的情况再次筛选符合条件的a的值，最后求积即可． 【详解】解： 解不等式得， 解不等式得， 该不等式组的解集为：， 该不等式组有且仅有四个整数解， ， ， 、、、、2符合题意； ， 去分母，得， 即， 解得且， 该分式方程的解为整数， 、、2符合题意； 综上符合题意的数有、、2， 这六个数中满足所有条件的a的值之积为， 故答案为：4． 2．如果关于x的分式方程有负分数解，且关于x的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数a的积等于 ． 【答案】9 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，以及解分式方程，把看作已知数表示出不等式的解集，根据已知解集确定出的范围，分式方程去分母转化为整式方程，将的整数解代入整式方程，检验分式方程解为负分数确定出所有的值，即可求出之积． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 由不等式组的解集为，得到，即， 分式方程， 去分母得：，得， 由分式方程有负分数解，则有， 所以且， 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意， ∴符合条件的整数取值为，，1，3，他们的积为9， 故答案为：9． 类型五 一元二次方程 题型一 由一元二次方程的概念求参数的值 1．是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据一元二次方程的定义，求参数的值，根据题意，得到且，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选B． 2．若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键． 把代入一元二次方程中即可解得的值． 【详解】解：把代入一元二次方程中得：， 解得：． 故选：D． 3.关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．根据一元二次方程的定义，列出有关m的方程和不等式，继而解答即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得：， 故答案为：． 4．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，，求解即可，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴，， 解得：， 故答案为：． 题型二 由一元二次方程的解求参数的值 1．已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解．由题意易得，然后整体代入求解即可． 【详解】解：由题意得：，即， ∴； 故答案为：． 2．已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，熟知“一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．”是解题的关键． 把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程来求的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得， 故答案为：． 3．若是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解，根据题意可得，然后可得，进而整体代入，可得答案． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4.若方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)判断，，是不是方程的解． 【答案】(1) (2)，不是方程的解；是方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的概念和解法，理解方程是一元一次方程，则二次项系数等于0，一次项系数不等于0是关键． （1）根据一元一次方程的定义，x的二次项系数是0，且一次项系数不等于0，据此即可求得m的值； （2）把m的值代入求得方程，然后把每个解代入方程中，如果使方程左右两边相等，这是方程的解，否则不是方程的解． 【详解】（1）解：由题意，得，， 又因为， 所以， 所以； （2）解：因为，所以方程为，即． 把代入方程得，则不是方程的解； 把代入方程得，则是方程的解； 把代入方程得，则不是方程的解． 题型三 应用根的判别式求代数式的取值范围 1．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且， 即m的取值范围为， 故答案为∶A． 2．关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，解题关键在于掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：⇔方程有两个不相等的实数根；⇔方程有两个相等的实数根；⇔方程没有实数根．若一元二次方程有两不等根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴，解得 ． 故选：B． 3.若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系．由于方程有两不相等的实数根，则根的判别式，由此建立关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵， 方程有两个不相等的实数根， ∴ ， ∴． 故答案为：． 4．已知关于的一元二次方程有两个不等实根． (1)求的取值范围； (2)若是这个方程的一个根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解，解题的关键是掌握根的判别式与根的个数之间的关系． （1）求出根的判别式，令根的判别式大于0，解不等式即可； （2）将代入求出m的值． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ． ． （2）解：是这个方程的一个根， ． ． 5．已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； (2)若方程的一个实数根是另一个实数根的2倍，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为方程有两个不相等的实数根，所以，进行计算，即可作答． （2）方程的一个实数根是另一个实数根的2倍，设一个实数根为，则另一个实数根是，运用根与系数的关系列式，，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：∵方程的一个实数根是另一个实数根的2倍， ∴一个实数根为，则另一个实数根是， 则，， 解得， ∴， 解得． 题型四 由方程两根的关系确定字母系数的取值范围 1．已知满足，则正数的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式；由已知条件变形得到，，根据根与系数的关系，可把a、b看作方程的两根，再利用判别式的意义得到，然后解此不等式即可． 【详解】解：， ， 是方程的解， ， 是正数， ， 正数的最小值是4． 故答案为：． 2．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，代入求值，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则+． 根据题意得，，即可得． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：3． 3．如果方程的两个根是，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题： (1)已知、满足，，求的值； (2)已知、、满足，，求正数的最小值 【答案】(1)或2 (2)4 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的根与判别式的关系、解不等式，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． （1）由题意可得a，b是的解，根据一元二次方程根与系数的关系可得当时，，；时，分别代入求值即可； （2）由，，即a、b是方程的解，然后根据根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵a、b满足，， ∴a，b是的解， 当时，，， ∴， 当时，． 综上，的值为或2． （2）解：∵，， ∴，， ∴a、b是方程的解， ∴，即， ∵c是正数， ∴， ∴， ∴， ∴正数c的最小值是4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$