专题02 勾股定理逆定理的应用-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（湘教版）

专题02 勾股定理逆定理的应用 题型1：勾股定理的逆定理在实际中的应用 题型2：勾股定理的逆定理在几何中的应用 题型3：勾股定理的逆定理在网格中的应用 题型1：勾股定理的逆定理在实际中的应用 随着中国科技、经济的不断发展，信号的覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，有一辆汽车沿直线方向，由点向点行驶，已知点为某个信号源，且点到点和点的距离分别为和，且，信号源中心周围及以内可以接收到信号． (1)汽车在从点向点行驶的过程中，能接收到信号吗？为什么？ (2)若汽车的速度为，请问有多长时间可以接收到信号？ 【答案】(1)能，理由见详解 (2)秒 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积． （1）过点C作于点D，根据，，的长，可得出，进而可得出，再结合三角形的面积公式，即可求出的长，再和相比即可得出答案． （2）设点E，F在直线上，且利用勾股定理，可求出长，进而可得出，的长，再利用时间等于路程除以速度，即可求出结论 【详解】（1）解：汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号，理由如下∶ 过点C作于点D，如下图1所示： ∵，，，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号 （2）解：设点E，F在直线上，且，如图2所示． 在中，，， ∴， 同理∶， ∴， ∴(秒)． 答∶有秒可以接收到信号 一．解答题（共5小题） 1．阅读与思考∶请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务． 比较与的大小 “善思小组”的思路：将，两个式子分别平方后，再进行比较． “智慧小组”的思路：以，，为三边构造一个，再利用三角形的三边关系进行比较． 任务： (1)填空： ； (2)①判断的形状，并说明理由； ②直接判断与的大小； (3)延伸拓展：直接判断与的大小． 2．有一块四边形空地，如图，经测量，米，米，米，米．求这块四边形空地的面积． 3．已知的三边． (1)求证：是直角三角形； (2)利用（1）中的结论，写出两个直角三角形的边长，要求他们的边长均为正整数且至少有两个数是相邻的整数． 4．如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． (1)求四边形的面积； (2)若每平方米草皮需要元，问学校需要投入多少资金买草皮？ 5．为落实五育并举，加强劳动教育，某校开展了“我劳动，我快乐，我实践，我成长”的劳动实践主题活动．八年级（1）班的同学发现在校园墙角处有一块如图所示的四边形空地，征得学校同意，准备将其打造为劳动实践基地，为同学们提供更多的实践机会，测量得到，，，．请帮助他们计算一下这块实践基地的面积．（结果保留根号） 题型2：勾股定理的逆定理在几何中的应用 如图，将绕点A顺时针旋转得到，并使C点的对应点D点落在直线上，连接．若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何变换的综合应用，涉及等腰三角形的性质与判定，勾股定理及逆定理的应用等知识，过A作于H，由绕点A顺时针旋转得到，可知，，，求出，即可得，故，而，，有，，从而，即得是等腰直角三角形，得． 【详解】解：过A作于H，如图： ∵绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 一．解答题（共5小题） 1．如图，，，，，求的度数． 2．如图，四边形纸片，．经测得，，，． (1)求A、C两点之间的距离． (2)求这张纸片的面积． 3．综合与实践 (1)问题初探 如图1，在中，为边上的中线，求的取值范围．请直接写出的取值范围． (2)问题解决 如图2，P为等边三角形内一点，满足，试求的大小． (3)问题拓展 如图3，在正方形中，分别为边上的点，满足，若，求证的面积． 4．如图，点O是等边内一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接，，，． (1)求证：． (2)若，，，求的度数． 5．如图， 和中，． (1)求证：； (2)若 ，求证： ． 题型3：勾股定理的逆定理在网格中的应用 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的中线，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线．先根据勾股定理的逆定理得到，然后利用直角三角形的斜边上的中线等于写变得一半解题即可． 【详解】解：依题意，，，， ∴， ∴， 又∵为的中线， ∴， 故答案为：B． 一．选择题（共2小题） 1．如图，和的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示的网格是正方形网格，点，，是网格线的交点，则（   ） A． B． C． D． 二．解答题（共3小题） 3．如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均在网格的格点上． (1) ， ， ； (2)是直角三角形吗？请作出判断并说明理由． 4．如图，在边长为1的正方形组成的网格图中，的三个顶点均在格点上 (1)求的周长； (2)试判断的形状． 5．如图，每个格子都是边长为1的小正方形，，四边形的四个顶点都在格点上． (1)求四边形的周长； (2)连结，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的定义，正确计算是解题的关键． （）利用网格和勾股定理求出四边形的各边长即可求解； （）利用勾股定理的逆定理和等腰三角形的定义可得是等腰直角三角形． 【详解】（1）解：，，，， ∴； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下， ∵，，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，． 学科网（北京）股份有限公司1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理逆定理的应用 题型1：勾股定理的逆定理在实际中的应用 题型2：勾股定理的逆定理在几何中的应用 题型3：勾股定理的逆定理在网格中的应用 题型1：勾股定理的逆定理在实际中的应用 随着中国科技、经济的不断发展，信号的覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，有一辆汽车沿直线方向，由点向点行驶，已知点为某个信号源，且点到点和点的距离分别为和，且，信号源中心周围及以内可以接收到信号． (1)汽车在从点向点行驶的过程中，能接收到信号吗？为什么？ (2)若汽车的速度为，请问有多长时间可以接收到信号？ 【答案】(1)能，理由见详解 (2)秒 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积． （1）过点C作于点D，根据，，的长，可得出，进而可得出，再结合三角形的面积公式，即可求出的长，再和相比即可得出答案． （2）设点E，F在直线上，且利用勾股定理，可求出长，进而可得出，的长，再利用时间等于路程除以速度，即可求出结论 【详解】（1）解：汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号，理由如下∶ 过点C作于点D，如下图1所示： ∵，，，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号 （2）解：设点E，F在直线上，且，如图2所示． 在中，，， ∴， 同理∶， ∴， ∴(秒)． 答∶有秒可以接收到信号 一．解答题（共5小题） 1．阅读与思考∶请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务． 比较与的大小 “善思小组”的思路：将，两个式子分别平方后，再进行比较． “智慧小组”的思路：以，，为三边构造一个，再利用三角形的三边关系进行比较． 任务： (1)填空： ； (2)①判断的形状，并说明理由； ②直接判断与的大小； (3)延伸拓展：直接判断与的大小． 【答案】(1) (2)①为直角三角形，见解析，② (3) 【分析】（1）利用完全平方公式求解即可； （2）①根据勾股定理的逆定理进行判断即可； ②根据三角形三边关系进行判断即可． （3）将，两个式子分别平方后，再进行比较． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①是直角三角形，理由如下： ，，， ， 是直角三角形； ②三角形任意两边之和大于第三边， ． （3）解：，， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，勾股定理的逆定理，三角形三边关系的应用，实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式性质和混合运算法则． 2．有一块四边形空地，如图，经测量，米，米，米，米．求这块四边形空地的面积． 【答案】84平方米 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理逆定理，作于，由等腰三角形的性质可得米，由勾股定理可得米，再由勾股定理逆定理得出，最后由计算即可得解． 【详解】解：如图，作于， ， ∵米，米， ∴米， ∴米， ∵，即， ∴为直角三角形，即， ∴（平方米）． 3．已知的三边． (1)求证：是直角三角形； (2)利用（1）中的结论，写出两个直角三角形的边长，要求他们的边长均为正整数且至少有两个数是相邻的整数． 【答案】(1)见解析 (2)的三边a，b，c的长分别为3，4，5或5，12，13 【分析】此题重点考查勾股定理的逆定理，通过计算，推导出是解题的关键． （1）由，，求得，即可根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形； （2）由，且为正整数，可以考虑m，n都取完全平方数，且的值尽可能小些，比如，当时，则；当时，则；当时，则． 【详解】（1）证明：∵的三边， ， ， ∴是直角三角形． （2）的三边a，b，c的长分别为3，4，5或5，12，13， 理由：当时，则； 当时，则． 注：答案不唯一，如当时，则，． 4．如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． (1)求四边形的面积； (2)若每平方米草皮需要元，问学校需要投入多少资金买草皮？ 【答案】(1) (2)学校需要投入元买草皮 【分析】此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形是解题的关键． （1）连接，利用勾股定理求出，由、、的长度关系可得三角形为一直角三角形，用即可解答； （2）根据总价单价数量计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ，，， 在中，， ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积为：， ； （2）解：根据题意：（元） 答：学校需要投入元买草皮． 5．为落实五育并举，加强劳动教育，某校开展了“我劳动，我快乐，我实践，我成长”的劳动实践主题活动．八年级（1）班的同学发现在校园墙角处有一块如图所示的四边形空地，征得学校同意，准备将其打造为劳动实践基地，为同学们提供更多的实践机会，测量得到，，，．请帮助他们计算一下这块实践基地的面积．（结果保留根号） 【答案】这块实践基地的面积为 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先根据勾股定理计算，得出，根据勾股定理的逆定理，判定是直角三角形，且，最后根据，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵ ∴， ∴是直角三角形，且， ∴ ． 答：这块实践基地的面积为． 题型2：勾股定理的逆定理在几何中的应用 如图，将绕点A顺时针旋转得到，并使C点的对应点D点落在直线上，连接．若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何变换的综合应用，涉及等腰三角形的性质与判定，勾股定理及逆定理的应用等知识，过A作于H，由绕点A顺时针旋转得到，可知，，，求出，即可得，故，而，，有，，从而，即得是等腰直角三角形，得． 【详解】解：过A作于H，如图： ∵绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 一．解答题（共5小题） 1．如图，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，连接，先根据勾股定理求出的值，再由勾股定理的逆定理判断出的形状即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 2．如图，四边形纸片，．经测得，，，． (1)求A、C两点之间的距离． (2)求这张纸片的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积． （1）由勾股定理可直接求得结论； （2）根据勾股定理逆定理证得，由于四边形纸片的面积，根据三角形的面积公式即可求得结论． 【详解】（1）解：连接，如图． 在中，，，，， ∴， 解得（负值舍去） 即A、C两点之间的距离为； （2）解：∵， ∴， ∴四边形纸片的面积 ． 3．综合与实践 (1)问题初探 如图1，在中，为边上的中线，求的取值范围．请直接写出的取值范围． (2)问题解决 如图2，P为等边三角形内一点，满足，试求的大小． (3)问题拓展 如图3，在正方形中，分别为边上的点，满足，若，求证的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了旋转的综合应用，三角形三边之间的关系，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理逆定理；解题的关键是旋转构造全等进行转换． （1）如图，将绕点D旋转，得到，连接，由旋转得到，易证四边形是平行四边形，根据三角形三边的关系得到，从而得到的取值范围； （2）如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接，由旋转可知，易证是等边三角形得，在中，运用勾股定理求解可证，求出，结合旋转可求解； （3）将绕点A顺时针旋转得到，由旋转可知，，求得易证，求即可． 【详解】（1）如图，将绕点D旋转，得到，连接， 由旋转，， ∴四边形是平行四边形， ，， 又， ， 得， 即， ； （2）如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接， 由旋转可知，， ， 是等边三角形， ， 在中， ，， ， ， ， ， （3）将绕点A顺时针旋转得到， 由旋转可知，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ，， ． 4．如图，点O是等边内一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接，，，． (1)求证：． (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由等边三角形的性质可得，再根据证明即可； （2）证明是等边三角形，再由全等三角形的性质可得 ，，再由勾股定理的逆定理可得，再求解可得结论． 【详解】（1）证明： 绕点B顺时针旋转得到， ，， 是等边三角形． ， ， ， 在和中， ， ； （2）解： ，， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是证明． 5．如图， 和中，． (1)求证：； (2)若 ，求证： ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理逆定理，等腰三角形的性质． （1）证明即可得出结论； （2）由（1）可得，根据 ，得到，推出，结合可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ， ∴， ∴； （2）证明：由（1 ）知， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型3：勾股定理的逆定理在网格中的应用 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的中线，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线．先根据勾股定理的逆定理得到，然后利用直角三角形的斜边上的中线等于写变得一半解题即可． 【详解】解：依题意，，，， ∴， ∴， 又∵为的中线， ∴， 故答案为：B． 一．选择题（共2小题） 1．如图，和的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到E，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后利用等边对等角及三角形的内角和定理可得，最后利用邻补角互补即可得出答案． 【详解】解：如图，延长到E，连接， 由题意可得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理，等边对等角，三角形的内角和定理，利用邻补角互补求角度等知识点，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 2．如图所示的网格是正方形网格，点，，是网格线的交点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角性质，等腰直角三角形的判定和性质，延长交格点于，连接，由网格可知，，则可证明为等腰直角三角形，则，最后通过三角形的外角性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交格点于，连接， 由网格可知：，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 二．解答题（共3小题） 3．如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均在网格的格点上． (1) ， ， ； (2)是直角三角形吗？请作出判断并说明理由． 【答案】(1)，， (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】（）利用勾股定理计算即可； （）利用勾股定理的逆定理判断即可； 本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】（1）解：由网格得，，，， 故答案为：，，； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 4．如图，在边长为1的正方形组成的网格图中，的三个顶点均在格点上 (1)求的周长； (2)试判断的形状． 【答案】(1) (2)是直角三角形，见解析 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理，勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理可得：，，，从而求出，，的长，然后利用三角形的周长公式，进行计算即可解答； （2）利用（1）的结论，再根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答； 【详解】（1）由题意得： ， ， ， ∴， ， ， ∴的周长， ∴的周长为； （2）是直角三角形， 理由：由（1）可得： ，， ∴， ∴是直角三角形． 5．如图，每个格子都是边长为1的小正方形，，四边形的四个顶点都在格点上． (1)求四边形的周长； (2)连结，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的定义，正确计算是解题的关键． （）利用网格和勾股定理求出四边形的各边长即可求解； （）利用勾股定理的逆定理和等腰三角形的定义可得是等腰直角三角形． 【详解】（1）解：，，，， ∴； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下， ∵，，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，． 学科网（北京）股份有限公司1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$