第一讲 等式与方程及等式的性质解方程(知识点＋经典讲练)-2024-2025学年五年级数学下册学习讲义(苏教版）

第一讲 等式与方程及等式的性质解方程 【知识详解】 知识点一：等式与方程 ①表示相等关系的式子叫做等式。含有未知数的等式是方程。 例：x+50=150、2x=200 ②方程一定是等式；等式不一定是方程。 知识点二：等式的性质 ①等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 ②等式两边同时乘或除以同一个不等于 0 的数，所得的结果任然是等式。 知识点三：运用等式的性质解方程 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解； 求方程中未知数的过程，叫做解方程。 举例：60-4X=20， 解 4X=60-20 4X=40 X=10 检验： 把X＝10 代入原方程, 左边=60-4×10=20,右边=20, 左边=右边，所以 X=10 是原方程的解。 方程左边=60-4×10=20=方程右边，所以 X=10 是方程的解。 经典讲练1：等式与方程 例1：下面哪些是等式，哪些是方程？ 6+x=14 36-7=29 60+23>70 8+x 50÷2=25 x+4<15 y-28=35 5y=40 【答案】是等式的有：6+x=14，36-7=29，50÷2=25，y-28=35，5y=40； 是方程的有:6+x=14，y-28=35，5y=40。 练1：在x＋56、45－x=45、0.12m=24、12×1.3=15.6、x－2.5＜11、12＞a÷m、 ab＝0、 8＋x、 6y=0.12、 12.5÷2.5、 h＋0.45＞1。 等式有： 。 方程有： 。 【答案】等式有：45－x=45、0.12m=24、12×1.3=15.6、 ab＝0、 6y=0.12 方程有：45－x=45、0.12m=24、 ab＝0、 6y=0.12 经典讲练2：等式的性质和解方程 例1：甲乙两堆煤，甲重30吨，乙重x吨，从甲运出5吨给乙，则两堆一样重，下列方程正确的是（      ）。 A. 30-x=5     B. x+5=30-5  C. x-10=30 【答案】 B 【解析】【解答】解：等量关系：甲重量-5吨=乙重量+5吨；根据等量关系可列方程为： x+5=30-5 。 例2：如果x=y，根据等式的性质，可以得到的是(    )。 A. 10x=10y     B. x×2=y÷2     C. 2x=x+2 【答案】 A 【解析】【解答】解：把等式两边同时乘10可以得到：10x=10y。 例3：下列方程中，与方程2x-40=50的解不同的是（   ）。 A. 2x-40+40=50+40    B. 4x-80=100                  C. 2x=50+40      D. 2x-30=40 【答案】 D 【解析】【解答】 2x-40=50 解： 2x-40+40=50+40 2x=90 2x÷2=90÷2 x=45   选项A， 2x-40+40=50+40 解：   2x=90 2x÷2=90÷2 x=45 选项B， 4x-80=100 解： 4x-80+80=100+80 4x=180 4x÷4=180÷4 x=45 选项C， 2x=50+40 解：   2x=90 2x÷2=90÷2 x=45 选项D， 2x-30=40 解： 2x-30+30=40+30 2x=70 2x÷2=70÷2 x=35 故答案为：D。 例4：判断题 （1）如果2x＝3b，那么6x＝12b。（x和b均不为0）（   ） 【答案】 错误 （2）等式两边同时乘或除以同一个数，所得结果仍然是等式。（   ） 【答案】 错误 （3）等式两边同时乘或除以同一个数，等式仍然成立。（   ） 【答案】 错误 （4）因为42+x=77，所以x=77+42。（   ） 【答案】 错误 （5）x＝1.5是方程2x＋6＝9的解。（   ） 【答案】 正确 （6）如果x=4是方程3x-4a=0的解，那么a=3。（   ） 【答案】 正确 （7）等式两边同时乘或除以同一个不是0的数，所得结果仍然是等式。（   ） 【答案】 正确 例5：解方程。 （1）x÷1.6=5 （2）5.4x-x=8.8 （3）1－0.2x＝0.4 【答案】 （1）x÷1.6=5 解：x=1.6×5 x=8 （2）    5.4x-x=8.8 解：4.4x=8.8 x=8.8÷4.4 x=2  （3） 1－0.2x＝0.4 解：0.2x=1-0.4 0.2x=0.6 x=0.6÷0.2 x=3 练1：一个小榨油厂有黄豆600袋，每袋重50千克．100千克黄豆可榨出38千克豆油．照这样计算，榨油厂的黄豆可榨出豆油多少千克？ 解：设可榨出豆油x千克，列出方程正确的是（   ） A. x÷(50×600)=38×100   B. x÷50×600=38×100 C. x÷(50×600)=38÷100   D. x÷50÷600=38×100 【答案】 C 【解析】【解答】出油率=出油的重量÷黄豆的重量 等量关系：600袋黄豆的出油率=100千克黄豆的出油率，根据这个等量关系列方程是：x÷(50×600)=38÷100. 练2：根据下图列出方程。方程： 。 【答案】 3x+35×2=220 【解析】【解答】解：列出的方程是：3x+35×2=220。 故答案为：3x+35×2=220。 练3：求未知数x。 ①2x+1.5x=17.5  ②2x+23×4=134 ③ 9（x+3.4）=75.6 ④0.72×3-7x=0.06 ⑤（x-6）÷7=14 ⑥x-0.3x=2.1 【答案】 ①2x＋1.5x=17.5    解：3.5x=17.5 x=17.5÷3.5 x=5 ②2x+23×4=134 解：2x＋92=134 2x=134-92 2x=42 x=42÷2 x=21 ③9（x+3.4）=75.6 解：x＋3.4=75.6÷9 x＋3.4=8.4 x=8.4-3.4 x=5 ④0.72×3-7x=0.06 解：2.16-7x=0.06 7x=2.16-0.06 7x=2.1 x=2.1÷7 x=0.3 ⑤（x-6）÷7=14 解：x-6=14×7 x-6=98 x=98＋6 x=104 ⑥ x-0.3x=2.1 解：0.7x=2.1 x=2.1÷0.7 x=3 练4：填空。 （1）当m=4时，3m+m2=________。 （2）小明买了x本日记本，每本2.8元，付了10元 ，找回________元。 （3）有三个连续自然数，如果中间的数是n，那么与它相邻的两个数分别是________，________。 （4）x与1.7的和的4倍是20.4，由此可列方程________。 【答案】 （1）28 （2）10-2.8x （3）n-1；n+1 （4）（x+1.7）×4=20.4 【解析】【解答】（1） 当m=4时，3m+m2=3×4+4×4=28； （2） 小明买了x本日记本，每本2.8元，付了10元 ，找回10-2.8x（元）； （3） 有三个连续自然数，如果中间的数是n，那么与它相邻的两个数分别是n-1，n+1； （4）x与1.7的和的4倍是20.4，由此可列方程（x+1.7）×4=20.4 。 故答案为：（1）28；（2）10-2.8x；（3）n-1，n+1；（4）（x+1.7）×4=20.4 。            练5：5G时代到了！据推测，5G网速可以达到10240兆/秒，比4G网速的100倍还要多240兆。4G网速是多少兆/秒？（列方程解答） 【答案】 解：设4G网速是多少x兆/秒。 100x+240=10240 100x=10240-240 100x=10000 x=100 练6：饲养场养母鸡680只，比公鸡的3倍多20只。养公鸡多少只？（列方程解答） 【答案】 解：设养公鸡x只。 3x+20=680 3x=680-20 3x=660 x=660÷3 x=220 巩固提优 1．甲有张邮票，乙有张邮票，如果甲给乙10张后，两人的张数相等，下面（ ）正确。 A． B． C． 答案：C 2．在3＋x＝8、x＋21＝30、17x、5×18＝90、y÷6＝1.7、4x＞100中，等式有（______）个，方程有（______）个。 答案：4 3 3．把等量关系式补充完整，再列方程。 水星距离地球7700万千米，比月亮距离地球的200倍还多100万千米，月亮距离地球有x万千米。 （____________________）＝水星距离地球的距离 方程：（ ） 答案：月亮距离地球的距离的200倍＋100万千米 200x＋100＝7700 4．把等量关系式补充完整，再列方程。 学校运动会前夕，五（1）班为了活跃气氛，准备了花环和彩球各15个，共花去班费120元。彩球每个4.5元，花环每个x元。 （1）（________）的总价＋（________）的总价＝花去的班费 方程：（ ） （2）（________）×15＝花去的班费 方程：（ ） 答案：花环 彩球 15x＋4.5×15＝120 1个花环和1个彩球的价钱之和 （4.5＋x）×15＝120 5.如果 a、b 都大于 0，且 a÷2＝b÷3，那么 a（ ）b。 A．＞ B．＜ C．＝ D．无法确定 答案：B 6．2a＝3b（a，b为非0自然数），根据等式的性质，下面等式不成立的是（ ）。 A．20a＝30b B．20a＝3b＋18a C．4a＝9b D．12b＝8a 答案：C 7.有下面的式子：①46＋58；②49－X＝45；③12×1.3＝15.6；④X－2.5＜11；⑤ab＝0.8＋x；⑥6y＝1.2；⑦12.5＋2.5＝15。其中等式有（______），方程有（_______）。 答案：②、③、⑤、⑥、⑦ ②、⑤、⑥ 8.下列算式中不属于利用等式的性质给方程4x－8＝12变形的是（ ）。 A．4x－8＋8＝12＋8 B．（4x－8）÷4＝12÷4 C．4x－8＋8＝12÷4 D．（4x－8）×3＝12×3 答案：C 9.做好垃圾分类，推动绿色发展，某小区为了更好地提高业主垃圾分类的意识，物管处决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱。若购买2个提示牌和3个垃圾箱共需340元，若购买3个提示牌和2个垃圾箱共需310元，每个垃圾箱（______）元。 答案：80 10.列方程，并求方程的解。 答案：x＝21 解：由图可知，甲是x克，乙是82克，乙比甲的3倍多19克，据此解答。 3x＋19＝82 3x＝82－19 x＝63÷3 x＝21 11.小亮家和小林家相距800米，他们同时从自己家出发，相向而行。小亮走的速度是82米/分钟，小林走的速度是78米/分。 （1）估计两人会在何处相遇？在上面的图中用“●”标一标。   （2）相遇时他们都走了几分钟？（用方程解答） 【规范解答】（1）据分析作图如下： （2）解：设相遇时他们都走了x分钟，则小亮走的路程是（82x）米，小林走的路程是（78x）米。 12.实验小学植物园有一块长方形菜地，如果将它的长和宽都减少4分米，那么面积将会减少112平方分米。这块菜地的周长是多少分米？ 答案：74分米 解：根据分析： 4×宽＋4×长－4×4＝112 4×宽＋4×长－16＝112 4×（宽＋长）－16＋16＝112＋16 4×（宽＋长）＝128 4×（宽＋长）÷4＝128÷4 长＋宽＝37（分米） 周长为2×（长＋宽）＝2×37＝74（分米） 答：这块菜地的周长是74分米。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一讲 等式与方程及等式的性质解方程 【知识详解】 知识点一：等式与方程 ①表示相等关系的式子叫做等式。含有未知数的等式是方程。 例：x+50=150、2x=200 ②方程一定是等式；等式不一定是方程。 知识点二：等式的性质 ①等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 ②等式两边同时乘或除以同一个不等于 0 的数，所得的结果任然是等式。 知识点三：运用等式的性质解方程 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解； 求方程中未知数的过程，叫做解方程。 举例：60-4X=20， 解 4X=60-20 4X=40 X=10 检验： 把X＝10 代入原方程, 左边=60-4×10=20,右边=20, 左边=右边，所以 X=10 是原方程的解。 方程左边=60-4×10=20=方程右边，所以 X=10 是方程的解。 经典讲练1：等式与方程 例1：下面哪些是等式，哪些是方程？ 6+x=14 36-7=29 60+23>70 8+x 50÷2=25 x+4<15 y-28=35 5y=40 练1：在x＋56、45－x=45、0.12m=24、12×1.3=15.6、x－2.5＜11、12＞a÷m、 ab＝0、 8＋x、 6y=0.12、 12.5÷2.5、 h＋0.45＞1。 等式有： 。 方程有： 。 经典讲练2：等式的性质和解方程 例1：甲乙两堆煤，甲重30吨，乙重x吨，从甲运出5吨给乙，则两堆一样重，下列方程正确的是（      ）。 A. 30-x=5     B. x+5=30-5  C. x-10=30 例2：如果x=y，根据等式的性质，可以得到的是(  )。 A. 10x=10y     B. x×2=y÷2     C. 2x=x+2 例3：下列方程中，与方程2x-40=50的解不同的是（   ）。 A. 2x-40+40=50+40    B. 4x-80=100                  C. 2x=50+40      D. 2x-30=40 例4：判断题 （1）如果2x＝3b，那么6x＝12b。（x和b均不为0）（   ） （2）等式两边同时乘或除以同一个数，所得结果仍然是等式。（   ） （3）等式两边同时乘或除以同一个数，等式仍然成立。（   ） （4）因为42+x=77，所以x=77+42。（   ） （5）x＝1.5是方程2x＋6＝9的解。（   ） （6）如果x=4是方程3x-4a=0的解，那么a=3。（   ） （7）等式两边同时乘或除以同一个不是0的数，所得结果仍然是等式。（   ） 例5：解方程。 （1）x÷1.6=5 （2）5.4x-x=8.8 （3）1－0.2x＝0.4 练1：一个小榨油厂有黄豆600袋，每袋重50千克．100千克黄豆可榨出38千克豆油．照这样计算，榨油厂的黄豆可榨出豆油多少千克？ 解：设可榨出豆油x千克，列出方程正确的是（   ） A. x÷(50×600)=38×100   B. x÷50×600=38×100 C. x÷(50×600)=38÷100   D. x÷50÷600=38×100 练2：根据下图列出方程。方程： 。 练3：求未知数x。 ①2x+1.5x=17.5  ②2x+23×4=134 ③ 9（x+3.4）=75.6 ④0.72×3-7x=0.06 ⑤（x-6）÷7=14 ⑥x-0.3x=2.1 练4：填空。 （1）当m=4时，3m+m2=________。 （2）小明买了x本日记本，每本2.8元，付了10元 ，找回________元。 （3）有三个连续自然数，如果中间的数是n，那么与它相邻的两个数分别是________，________。 （4）x与1.7的和的4倍是20.4，由此可列方程________。            练5：5G时代到了！据推测，5G网速可以达到10240兆/秒，比4G网速的100倍还要多240兆。4G网速是多少兆/秒？（列方程解答） 练6：饲养场养母鸡680只，比公鸡的3倍多20只。养公鸡多少只？（列方程解答） 巩固提优 1．甲有张邮票，乙有张邮票，如果甲给乙10张后，两人的张数相等，下面（ ）正确。 A． B． C． 2．在3＋x＝8、x＋21＝30、17x、5×18＝90、y÷6＝1.7、4x＞100中，等式有（______）个，方程有（______）个。 3．把等量关系式补充完整，再列方程。 水星距离地球7700万千米，比月亮距离地球的200倍还多100万千米，月亮距离地球有x万千米。 （____________________）＝水星距离地球的距离 方程：（ ） 4．把等量关系式补充完整，再列方程。 学校运动会前夕，五（1）班为了活跃气氛，准备了花环和彩球各15个，共花去班费120元。彩球每个4.5元，花环每个x元。 （1）（________）的总价＋（________）的总价＝花去的班费 方程：（ ） （2）（________）×15＝花去的班费 方程：（ ） 5.如果 a、b 都大于 0，且 a÷2＝b÷3，那么 a（ ）b。 A．＞ B．＜ C．＝ D．无法确定 6．2a＝3b（a，b为非0自然数），根据等式的性质，下面等式不成立的是（ ）。 A．20a＝30b B．20a＝3b＋18a C．4a＝9b D．12b＝8a 7.有下面的式子：①46＋58；②49－X＝45；③12×1.3＝15.6；④X－2.5＜11；⑤ab＝0.8＋x；⑥6y＝1.2；⑦12.5＋2.5＝15。其中等式有（______），方程有（_______）。 8.下列算式中不属于利用等式的性质给方程4x－8＝12变形的是（ ）。 A．4x－8＋8＝12＋8 B．（4x－8）÷4＝12÷4 C．4x－8＋8＝12÷4 D．（4x－8）×3＝12×3 9.做好垃圾分类，推动绿色发展，某小区为了更好地提高业主垃圾分类的意识，物管处决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱。若购买2个提示牌和3个垃圾箱共需340元，若购买3个提示牌和2个垃圾箱共需310元，每个垃圾箱（______）元。 10.列方程，并求方程的解。 11.小亮家和小林家相距800米，他们同时从自己家出发，相向而行。小亮走的速度是82米/分钟，小林走的速度是78米/分。 （1）估计两人会在何处相遇？在上面的图中用“●”标一标。   （2）相遇时他们都走了几分钟？（用方程解答） 12.实验小学植物园有一块长方形菜地，如果将它的长和宽都减少4分米，那么面积将会减少112平方分米。这块菜地的周长是多少分米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$