第二十八章锐角三角函数同步练习 2024—2025学年人教版数学九年级下册

第二十八章锐角三角函数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝8，则△ABC的面积为 （ ） A．12 B．18 C．24 D．48 2．如图，是电杆一根拉线，米，，则拉线长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．在下列实数中，无理数是（ ） A．sin45° B． C．0．3 D．3．14 4．如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=3：2，顶宽是7米，路基高是6米，则路基的下底宽是（　　） A．7米 B．11米 C．15米 D．17米 5．一次数学活动课上，老师带领学生去测一条东西流向的河宽，如图所示，小明在河北岸点A处观测到河对岸有一点C在A的南偏西60°的方向上，沿河岸向西前行到达B处，又测得C在B的南偏西的方向上，请你根据以上数据，帮助小明计算出这条河的宽度．（结果保留根号）这条河的宽度是（  ） A． B． C． D． 6．如图，，边长为的等边三角形ABC的顶点A，B分别在边，上，当点B在边ON上运动时，随之点A在边上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为（　　） A．2.4 B． C． D． 7．如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，若∠BED＝30°，⊙O的半径为4，则弦AB的长是(　　) A．4 B．4 C．2 D．23 8．如图所示一座楼梯的示意图，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=6米，楼梯宽度4米，则地毯的面积至少需要（    ） A．米2 B．米2 C．米2 D．米2 9．如图，小强从热气球上测量一栋高楼顶部的仰角为30°，测量这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为45米，则这栋高楼高为多少（单位：米）（   ） A． B． C． D． 10．如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 11．的倒数等于（　　） A． B． C．1 D． 12．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 二、填空题 13．在中，，则的值为 14．若∠α的补角为120°，则∠α= ，sinα= ． 15．如图，在RtABC中，∠BCA＝90°，∠BAC的平分线交△ABC外接圆⊙O于点D，若AB＝2AC＝8，M，N是优弧CAB的两个三等分点，点P是弧MN上的一个动点，∠PBC的角平分线与PD交点为E，当点P在圆弧MN上从点M移动到点N时，点E所经过的路径长是 ． 16．如图，已知点M在正六边形的边上运动，如果，那么线段的长度的取值范围是 ．    17．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3，AC＝2，则＝ ． 三、解答题 18．计算： (1)； (2)； 19．轮船在海面上以每小时海里的速度向正北方向航行，上午时到达处，测得灯塔在北偏西方向，上午时到达处，又测得灯塔在北偏西方向．选用适当的比例尺画出图形；量出的图上距离，并推算出的实际距离． 20．如图，长的楼梯的倾斜角，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角，求调整后的楼梯的长（精确到，参考数据：，，，，）． 21．如图，A、B、C、D分别是铁山坪森林公园的四个景点且位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米．（参考数据：，） (1)求的长度；（结果保留很号） (2)甲、乙两人从景点A出发去景点C，甲选择的路线为，乙选择的路线为．请计算说明谁选择的路线较近？（结果精确到千米） 22．聊城西站自开通以来给聊城人民出行带来了极大的便利，某数学兴趣小组在一次数学实践活动中，开展了测量聊城西站楼顶P处到地面的距离，实践报告如下： 活动课题 测量聊城西站楼顶P处到地面的距离（的长度） 活动工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 说明 为站台北侧扶梯，点A为扶梯底端，点B为扶梯顶端，平台 测量数据         解决问题 根据以上数据计算聊城西站楼顶P到地面的高度． 请你帮助兴趣小组解决以上问题（参考数据：，，，，结果保留整数） 23．在等边中，点D在上，点E在上，连接、相交于点F．    (1)如图1，，，过点C作交的延长线于点N．若，求的面积； (2)如图2，，点G在上，连接，点H在上，连接，，点M是延长线上一点，连接，若，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，点E是的中点，且四边形是矩形，点M是线段上一个动点，将线段绕点B顺时针方向旋转得线段，当的值最小时，连接，点K是上一个动点，连接，将沿翻折得，当时，连接，求的值． 24．如图，在矩形中，对角线，相交于点，是边的中点，且，． (1)求证：； (2)求的值. 《第二十八章锐角三角函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A C A D B D D A 题号 11 12 答案 B D 1．C 【详解】试题分析：根据tanA和BC的值，求出AC的值，然后根据三角形的面积计算公式进行求解． 考点：三角函数的应用 2．B 【分析】根据余弦的定义即可求解． 【详解】由题意可知． ∵，米， ∴米． 故选B． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用．掌握余弦的定义并利用数形结合的思想是解题关键． 3．A 【详解】试题分析：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数，据此判断出无理数有哪些即可． 试题解析：∵0．3、3．14是有限小数， ∴0．3、3．14是有理数； ∵是循环小数， ∴是有理数； ∵sin45°=是无限不循环小数， ∴sin45°是无理数． 故选A． 考点：无理数 4．C 【详解】可过上底的两个端点，分别作下底的垂线段，根据腰的坡度和梯形的高求出下底的长． 解：如图所示 ，等腰梯形ABCD是铁路路基的横断面，腰AB、CD的坡度为3: 2，BC=7米，BE=CF=6米. 在Rt△ABE中, tanA=，BE=6米， ∴AE==4米， ∴DF=AE=4米， ∴AD=AE+EF+FD=AE+BC+FD=4+7+4=15(米). 故选C. 5．A 【分析】过点C作于D．构造直角三角形，设，列出关于x的比例式，再根据三角函数的定义解答即可． 【详解】解：如图，过点C作于D． 设， 在中， ∵， ∴． 在中，，，， ∴， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数的定义等知识．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 6．D 【分析】取的中点D，连接，根据等边三角形的性质和三角函数求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据点O、C、D三点共线时点C到点O的距离最大求解． 【详解】解：如图，取的中点D，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由图可知，当点O、C、D三点共线时点C到点O的距离最大， 最大值为． 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的性质，三角函数，熟记各性质并判断出点C到点O的距离最大时的情况是解题的关键． 7．B 【分析】根据垂径定理和三角函数求解． 【详解】，则 根据OD⊥AB，则在直角△OAC中, 则 故选:B. 【点睛】考查垂径定理以及解直角三角形，熟练掌握垂径定理是解题的关键. 8．D 【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数求出BC，然后根据平移的性质可得在楼梯上铺的地毯长，从而求出地毯的面积． 【详解】解：在Rt△ABC中，AC=6，∠BAC=θ， ∴tanθ=， ∴BC=ACtanθ=6tanθ（米）， ∴在楼梯上铺的地毯长=BC+AC=（6+6tanθ）米， ∴地毯的面积=4（6+6tanθ）=（24+24tanθ）平方米， 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的计算是解题的关键． 9．D 【分析】过A作AD⊥BC，垂足为D，在直角△ABD与直角△ACD中，根据三角函数即可求得BD和CD，即可求解． 【详解】过A作AD⊥BC，垂足为D， 在Rt△ABD中， ∵∠BAD=30°，AD=45m， ∴BD=AD•tan30°=45×=15m， 在Rt△ACD中， ∵∠CAD=60°，AD=45m， ∴CD=AD•tan60°=45×=45m， BC=15+45=60m． 故选D． 【点睛】本题主要考查了仰角与俯角的计算，一般三角形的计算，常用的方法是利用作高线转化为直角三角形的计算． 10．A 【分析】连接，将绕点O顺时针旋转得到．证明，推出，利用即可求解． 【详解】解：如图，连接，将绕点O顺时针旋转得到． ， ， 在菱形中，点O是对角线的中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积，作出辅助线，构造三角形全等，利用是解题的关键． 11．B 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案． 【详解】解：， 则的倒数． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及倒数，正确记忆相关数据是解题关键． 12．D 【详解】解：连接OA，OD， ∵AB，AC都与⊙O相切， ∴∠BAO=∠CAO，OD⊥AB， ∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=8， ∴AO⊥BC， ∴∠B=∠BAO=45°， ∴OB=AB•cos∠B=8×， ∴在Rt△OBD中，OD=OB•sin∠B=． 故选D． 13． 【分析】根据正弦函数是对边比斜边，可得答案． 【详解】解：由题意作图如下： 由勾股定理可得AB===10， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角函数，利用正弦函数是对边比斜边是解题关键． 14． 60° 【详解】分析：根据补角的定义，即可求出∠α的度数，从而求出sinα的值． 解答：解：根据补角定义，∠α=180°-120°=60°， 于是sinα=sin60°=． 故答案为60°，． 15．/ 【分析】如图，连接 由平分 先证明 再求解 可得的轨迹是以为圆心，4为半径的一段弧，再利用弧长公式进行计算可得答案. 【详解】解：如图，连接 由平分 平分 的轨迹是以为圆心，4为半径的一段弧，连接 如图，弧的起点为，终点为 为优弧的三等分点，由 可得劣弧的度数为 优弧的度数为 点E所经过的路径长是 故答案为： 【点睛】本题考查的是三角形的角平分线的定义，等腰三角形的判定，圆周角定理，锐角三角函数的应用，弧长的计算，点的运动轨迹，灵活的运用以上知识解题是解题的关键. 16．/ 【分析】根据题意，作出正六边形的外接圆为圆O，连接，则点O在上，根据正多边形的性质及内角和得出．再由各角之间的关系得出，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，正六边形的外接圆为圆O，连接，则点O在上，    ∵正六边形 ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴点M在正六边形的边上运动时线段的长度的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，含30度角的直角三角形的性质及解三角形，理解题意，作出临界图形是解题关键． 17．/ 【分析】过点C作CD⊥AB，根据∠BAC=120°，∠DAC=60°，由三角函数得出AD，CD，在Rt△BCD中，∠B的正切即可得出答案． 【详解】过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，如图所示： ∵∠BAC=120°， ∴∠DAC＝180°-120°=60°， ∴cos60°＝，sin 60°＝， ∵AB＝3，AC＝2， ∴AD＝AC·cos 60°＝2×＝1， CD＝AC·sin 60°＝2×＝， ， 在Rt△BCD中，tanB＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解直角三角形的关键是把给出的这些三角形的条件放到直角三角形中，如果不是直角三角形就要通过添加辅助线来完成． 18．(1) (2)0 【分析】本题考查特殊角三角函数值的混合运算及实数的运算，熟知特殊角的三角函数值及实数的运算法则是正确解决本题的关键． （1）先计算零次幂、算术平方根、特殊角的三角函数值及绝对值再合并即可； （2）把各个三角函数值代入再按实数混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．图形见解析，量得；的实际距离为海里． 【分析】用1cm表示10海里，根据题意画出图形，量出BC=3cm．根据三角形外角的性质求出∠C=∠CAB=30°，根据等角对等边得出BC=AB，求出AB即可． 【详解】解：用表示海里，如图所示：量得． ∵（海里），， ∴， ∴， ∴海里． 故的实际距离为海里． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质，关键是准确画出图形，求出∠C=∠CAB，题目比较典型，难度不大． 20．调整后的楼梯的长约为 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，在中，根据的正弦可求出的值，在中，根据的正弦值即可求解，掌握三角函数的计算方法，解直角三角形的运用是解题的关键． 【详解】解：在中，, , 在中，, , 答：调整后的楼梯的长约为． 21．(1)千米 (2)乙选择的路线为较近． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用； （1）如图，过作于，过作于，证明四边形为矩形，分别求解，，可得答案； （2）先求解，再比较，，再比较即可． 【详解】（1）解：如图，过作于，过作于， ∵， ∴四边形为矩形，而千米． ∴千米，， 结合题意可得：，，而千米， ∴是等腰直角三角形， ∴（千米）， ∴千米，（千米）， ∵， ∴千米， ∴（千米）； （2）解：∵千米，， ∴（千米）， ∴（千米）， （千米）； ， ∴乙选择的路线为较近． 22．32 【分析】本题考查解直角三角形，以及矩形的判定和性质，过点B作交于点E，易知四边形为矩形，得到，在中，利用解直角三角形得到，在中，利用解直角三角形得到，再根据求解，即可解题． 【详解】解：过点B作交于点E， 易知四边形为矩形， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 的高度为32． 23．(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，则，进而可得，由，可证，则，可得，进而可得，即可求解； （2）由等边三角形的性质可证得，可得，进而可得，设，则，，，可得利用三角形的外角的性质及内角和定理可得，，进而可证得，可得，再由线段和差关系即可证得； （3）设，连接，先根据等边三角形的性质及旋转的性质证得：点在下方过点的直线上，且与的夹角为，作点关于直线的对称点，连接，，易知是等边三角形，点，，在同一直线上，进而可得取最小值时，此时点在所在直线上，求得此时，，，过点作，可得，则，，可得，，由翻折可知，，，为等腰直角三角形，，得，当点在点下方时，为等腰直角三角形，可得，可知，进而求出即可求得值，当点在点上方时，同理求解即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，，， ∴，，则， ∴， ∵， ∴，， ∴，则 ∵， ∴，则， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 则， 设，则，， ∴，则， 延长使得，连接，    ∴是等边三角形，则， 由三角形内角和定理可知：， 即：， ∴， ∵，由三角形内角和定理可知：， ∴，则：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）设， ∵是等边三角形， ∴，， ∵点是的中点， ∴，，，则， 连接，由旋转可知，，则， ∴， ∴， ∴， 即：点在下方过点的直线上，且与的夹角为， 作点关于直线的对称点，连接，， 则，，， ∴是等边三角形， ∵点是的中点， ∴，则点，，在同一直线上，    ∵， ∴，即：取最小值时，此时点在所在直线上， 此时，则， ∵四边形是矩形， ∴，，则 过点作，则， ∴，则，， ∴，， 由翻折可知，，， ∵， ∴，则为等腰直角三角形，， ∴， 当点在点下方时，如图，    ∵，， ∴为等腰直角三角形，则， ∴， ∴， 则， 当点在点上方时，如图，    ∵，， ∴为等腰直角三角形，则， ∴， ∴， 则， 综上，或． 【点睛】本题属于几何综合，考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形，翻折和旋转的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 24．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先根据Rt△ADC的勾股定理得出AD的长度，然后根据中点的性质得出AE的长度，从而证明出结论； （2）过点E作EM⊥BD于M，根据Rt△DEM和Rt△DBA中sin∠ADB的值求出EM的长度，根据Rt△ABE的勾股定理求出BE的长度，然后根据Rt△BEM的勾股定理求出BM的长度，最后根据Rt△BEM的三角函数求出答案. 【详解】（1）在矩形中， ∵，， ∴在中，， ∵E是边AD的中点， ∴，   ∵，   ∴； （2）过点E作EM⊥BD于M， ∵ 在和中，   即： 解得： 又在中，   在中， 在中， 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，求正切，掌握以上知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$