第18章 勾股定理课件 2024-2025学年沪科版数学八年级下册

第18章 勾股定理 18.2 勾股定理的逆定理 第1课时 勾股定理的逆定理 见答案册第21页 1 名师点金 直角三角形的判定方法：1.用角判断，即说明三角形的一个 内角为<m></m> ; 2.用边判断，即分别计算最长边的平方及另外两边的平方和， 若最长边的平方等于另外两边的平方和，则该三角形是直角 三角形，此内容即为勾股定理的逆定理. . . . . 2 知识点1 勾股定理的逆定理 1.若三角形的三边长分别为，， ，且满足 ，则这个三角形的形状是 ( ) B A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 返回 基础题 3 2.[2024成都期末] 当满足下列条件时， 不是直角三角 形的是( ) C A. B. C. D.，， 基础题 4 【点拨】A.， ， . . 是直角三角形.故A不符合题意. B. ， 设，则， . ， ， 基础题 5 . 是直角三角形.故B不符合题意. C.， ， . 不是直角三角形.故C符合题意. D.， ， . 是直角三角形.故D不符合题意. 返回 基础题 3.[2024台州校考期中] 在如图所示的 的正方形网格中， 点和点均为图中格点.点也在格点上，若为以 为斜边的直角三角形.则这样的点 有( ) D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 返回 基础题 7 4.[2024南京玄武区校级模拟] 对于平面直角坐标系内的任意 两点， ，定义它们之间的一种“距离”为 .已知不同的三点，， 满足 ，则下列四个结论中，不正确的是( ) A A.，， 三点可能构成锐角三角形 B.，， 三点可能构成直角三角形 C.，， 三点可能构成钝角三角形 D.，， 三点可能构成等腰三角形 基础题 8 【点拨】不妨设，，，则 ， ， ， 由，可知 ， 即 . 当，时，成立，此时 为直角三角形，故B正确； 当，时， 为等腰三角形，故D正确； 基础题 9 当 时，无解，故A不正确； 当时，为钝角，且 成立，故C 正确. 返回 基础题 5.[2024厦门思明区月考] 一个三角形的三边长分别为5，12， 13，则这个三角形最长边上的中线为___. 6.[2024北京期末] 如图所示的网格是正方形网格，则 ____ .（点，， 是网格线的交点） 45 返回 基础题 11 7.[2024合肥包河区校级期中] 如图，在中，是 边的 中点，于点，交于点，且 . 基础题 12 （1）求证： ； 【证明】如图，连接 ， 基础题 13 是边的中点，于点 ， 垂直平分 . . 又 ， . 是直角三角形，且 . 基础题 （2）若，，求 的长. 基础题 15 【解】在 中， . . 设，则 ，而 ， 在 中， ， 基础题 16 在中， ， ，解得 . . 返回 基础题 知识点2 勾股数 8.在下列四组数中，属于勾股数的是( ) B A.，， B.9，40，41 C.2，3，4 D.1，， 返回 基础题 18 9.勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世 界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算 术》.现有勾股数，，，其中，均小于 ， ，，是大于1的奇数，则 ___ （用含 的式子表示）. 基础题 19 【点拨】，，是勾股数，其中，均小于 ， ， ， . 是大于1的奇数， . 返回 基础题 20 易错点 点在线段上的位置不确定 10.在中，，，是 边所在直线上 的点，，，则 _______. 25或7 基础题 21 【点拨】如图①所示，当点在线段 上时， ，，， . 是直角三角形，且 . . . . 基础题 22 如图②所示，当点在 的延长线上时， 同理可得， ， . ， 点不在 的延长线上. 综上所述， 的长度为25或7. 返回 基础题 11.如图，在四边形 中，已知 ， ， ， ， . （1）求证： 是直角三角形； 【证明】在中， ， ， ， . 在中，，， ， . 是直角三角形. 综合应用题 24 （2）求四边形 的面积. 综合应用题 25 【解】在中， ， ， ， . 的面积为 . 又的面积为 ， 四边形的面积为 . 返回 综合应用题 26 12.[2024成都校级月考] 如图，点是正方形 内一点， 点到点，和的距离分别为1,和. 是等腰直 角三角形，连接，延长与相交于点 . 综合应用题 27 （1）求证： ； 综合应用题 28 【证明】 是等腰直角三角形， , . 四边形 是正方形， ， . . 又， ， . . 综合应用题 29 （2）求 的大小. 综合应用题 30 【解】由题意，得, ， . 是等腰直角三角形， ， . . 综合应用题 31 在 中， ， , 是直角三角形,且 . . 返回 综合应用题 13.[2024南通海门区期末] 我们把满足 的三个正 整数，称为勾股数. （1）请把下列三组勾股数补充完整： ①___，8，10；，____，13； ，15，____； 6 12 17 综合应用题 33 （2）小敏发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有 一个数是偶数，如果将它写成 ，那么另外两个数可以写 成，，如， ， .请你帮小敏证明这三个数， ， 是勾股数组； 综合应用题 34 【证明】， ， . ，， 是勾股数组. 综合应用题 35 （3）如果21，72，75是满足上述小敏发现的规律的勾股数 组，求 的值. 【解】21，72，75约去公因数，得7，24，25， ，， ， ， . 返回 综合应用题 36 14.[2024温州校级月考] 如图是一个提供床底收纳支持的气压 伸缩杆，除了是完全固定的钢架外，，， 属于位 置可变的定长钢架.如图①所示， ， ，，伸缩杆 的两端分别固定在 ，两边上，其中， . 创新拓展题 37 当伸缩杆打开最大时，如图②所示，成 ，此 时，则可变定长钢架的长度为___ .当伸 缩杆完全收拢时，，则此时床高（与 之间的距 离）为____ . 8 12 创新拓展题 38 【点拨】 ， ， . ， ， ， . ，即 . 成 ， 是直角三角形. 创新拓展题 39 由勾股定理，得 . . 当伸缩杆完全收拢时， ，过点作 于，过点作于 ， 创新拓展题 则易得 ， . . . 创新拓展题 由勾股定理，得 ， ， . . 返回 创新拓展题 $$第18章 勾股定理 18.2 勾股定理的逆定理 第2课时 勾股定理及其逆定理的应用 1 名师点金 勾股定理及其逆定理的应用 1.单一应用：先由勾股定理的逆定理得出直角三角形，再求 这个直角三角形的角或面积； 2.综合应用：先由勾股定理求出三角形的边长，再由勾股定 理的逆定理确定三角形的形状，进而解决其他问题； 3.逆向应用：如果一个三角形两条较小边长的平方和不等于 最大边长的平方，那么这个三角形不是直角三角形. . . . . . . 2 应用1 勾股定理及其逆定理在几何中的应用 1.在中，，若 ，则 ( ) B A. B. C. D. 返回 3 2.如图，已知在中，的垂直平分线交于点， 的垂直平分线交于点，点，为垂足，若 ， ，，则 ( ) D A. B. C. D. 4 【点拨】连接， . ，， . 的垂直平分线交于点D， 的 垂直平分线交于点，， . 又， . 是直角三角形，且 . . 返回 5 应用2 勾股定理及其逆定理在实际中的应用 （第3题） 3.[2024郑州期中] 放学后，彬彬先 去同学晓华家写了一个小时的作业， 然后才回到家里.已知学校 ，晓华 家，彬彬家 两两之间的距离如图 所示，且晓华家在学校 的正东方 向，则彬彬家在学校 的( ) D A.正南方向 B.正东方向 C.正西方向 D.正北方向 返回 6 （第4题） 4.[2024安庆期中] 如图，学校在校园围墙边 缘开垦了一块四边形菜地 ，测得 ，， ， ，且 ，则这块菜地 的面积是( ) B A. B. C. D. 7 （第4题） 【点拨】连接 . 在中， ， ， ， . 又 在中，， ， 易得 . 8 是直角三角形，且 . . 这块菜地的面积是 . （第4题） 返回 （第5题） 5.如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜 靠在左墙时,梯子底端到左墙的距离为 , 梯子顶端距离地面 .若保持梯子底端位 置不动,将梯子斜靠在右墙时,梯子顶端距离 地面 ,则小巷的宽度为( ) D A. B. C. D. 返回 10 6. 图①是儿童玩具超市购物车，图②为其侧面 简化示意图，测得支架， ，两轮中心 的距离，则点到 的距离为________. （第6题） 11 （第6题） 【点拨】过点作于点 ， 则的长即为点到 的距离. 在中， ， ， ， 易知 . 为直角三角形，且 . ， 12 ，即 . ，即点 到 的距离为 . （第6题） 返回 7.[2024常州期中] 某超市为了吸 引顾客，在超市门口离地高 的墙上，装有一个由传感器控制 5 的门铃，如图①所示，人只要移至距该门口及 以内 时（图②中 ），门铃就会自动发出语音“欢迎光临”.一个 身高的学生走到 处，门铃恰好自动响起，则该学生的 头顶到门铃的距离为___ . 14 【点拨】过点作 于 点 ，由题意知， ， ， ， . 在中， . 该学生的头顶到门铃的距离为 . 返回 15 8.八（1）班和八（2）班的同学们 计划在学校劳动实践基地种植蔬菜. 如图，点是自来水管的位置，点 和点 分别表示八（1）班和八（2） 16 班实践基地的位置，， 两处相距 ，，两处相距，， 两 处相距 .为了更好地使用自来水 灌溉，八（1）班和八（2）班的同 学们在图纸上设计了两种水管铺设 方案： 八（1）班：沿线段， 铺设2 段水管； 八（2）班：过点作 于点 ，沿线段,, 铺设3段水管. （1）求证： . 【证明】由题意得，，， . ， . 是直角三角形，且 . . 19 （2）从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？ 为什么？ 20 【解】从节约水管的角度考虑，应 选择八（1）班的铺设方案.理由如 下： ， . . 21 . ，且 ， 八（1）班方案中水管的长度小 于八（2）班方案中水管的长度. 从节约水管的角度考虑，应选择 八（1）班的铺设方案. 返回 应用3 勾股定理及其逆定理在网格中的应用 9.如图，长方形恰好被分割成8个完全相 同的小正方形，现将外围的交点从1号到 12号按顺序进行编号，点，， 分别在 2号，6号和10号交点上，如果按顺时针方 6 向同时移动，， 三点，各点每次只移动到下一个交点， 这样绕长方形外围一周回到原先的位置，在这个过程中， 有___次成为直角三角形. 返回 23 10.【问题背景】 已知三边的长分别为,， , 求这个三角形的面积.小辉同学在解这道题时，先建立了一个 正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中作出 格点（即 三个顶点都在小正方形的顶点处）,如 图①所示，这样不需要作 的高，借用网格就能计算出 的面积为___； 5 24 【思维拓展】 我们把上述求 面积的方法叫做构图法， 若三边的长分别为,, ,请利用图②的正方 形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的 ，并 求出它的面积； 25 【解】画出 如图①.由图可得， . 26 【探索创新】 若三边的长分别为 ， ,（其中 ），请利用构图 法求出这个三角形的面积（在图③中画出图形并计算面积）. 27 画出 如图②.由图可得， . 返回 28 $$第18章 勾股定理 18.1 勾股定理 第1课时 认识勾股定理 1 名师点金 勾股定理的适用条件：直角三角形.勾股定理反映了直角三角 形的三边关系，即已知直角三角形两边长可求第三边长.对于 非直角三角形问题，可根据图形特征构造直角三角形；运用 时要分清直角边和斜边，在<m></m>中，斜边不一定是<m></m>. . . . . . . 2 知识点1 勾股定理 1. 直角三角形两直角边的长分别为6和8，则斜 边上的高为( ) D A.10 B.5 C.9.6 D.4.8 返回 基础题 3 （第2题） 2.如图，在长方形中， ， ，将此长方形折叠，使点 与点 重合，折痕为，则 的面积为 ( ) C A. B. C. D. 返回 基础题 4 3.[2024南京模拟] 在三边长分别为，， 的直 角三角形中，下列数量关系不成立的是( ) C A. B. C. D. 返回 基础题 5 （第4题） 4.[2024安徽] 如图，在 中， ，点在 的延长线上， 且，则 的长是( ) B A. B. C. D. 基础题 6 【点拨】如图，过点C作于点 . ， ， ，， . ， ， . 返回 基础题 7 （第5题） 5. 如图，已知线段 ，按 以下步骤作图：①过点作 ，使 ，连接；②以点 为圆心，以 长为半径画弧，交于点；③以点 为 A A. B. C. D. 圆心，以长为半径画弧，交于点.若，则 的值为( ) 基础题 8 （第5题） 【点拨】令的长为，则 . 在中， . ， ， ， ， 的值为 . 返回 基础题 9 6.[2024江阴期中] 如图，在每个小正方形的边长均为1的网格 中，各顶点均在网格的格点上，于点 ，则 的长为___. 1 返回 基础题 10 知识点2 勾股定理的证明 7.[2024济南期末] 勾股定理是历史上第一个把数与形联系起 来的定理，其证明是论证几何的发端.下面四幅图中不能证明 勾股定理的是( ) A A. B. C. D. 基础题 11 【点拨】A.大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个 长方形的面积和， ， 以上公式为完全平方公式，故A选项不能证明勾股定理. B.三个直角三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得 ，故B选项可以证明勾股定理. 基础题 12 C.大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加小正方形的 面积， ， 整理得 ，故C选项可以证明勾股定理. D.整个图形的面积等于两个直角三角形的面积加上一个大正 方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角 形的面积， ， 整理得 ，故D选项可以证明勾股定理.故选A. 返回 基础题 8. 如图，火柴盒的侧面 为长方形，其中， ， .把直立的火柴盒放倒，侧面 旋 转至长方形 处（如图）. （1）_____，_____， ________ __________, _________________________ （用与，， 有关的代数式表示）; 或 或 基础题 14 （2）由（1）的结论证明勾股定理： ; 【证明】由图形可知 ， 即 ， ， . 基础题 15 （3）若，，则 ___. 6 【点拨】， . 又，， ， . 返回 基础题 16 易错点 三角形形状不明确，因考虑问题不全而致错 9. 在中，，是 边 上的高线，若，则 的长为( ) D A.2 B.18 C.2或8 D.2或18 基础题 17 【点拨】的形状分两种情况，①当 是锐角三角 形时，如图①， 在中， ， ； 基础题 18 ②当 是钝角三角形时，如图②， 在中， ， . 综上可知， 的长为2或18. 返回 基础题 10.[2024南通] “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证 明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个 全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个 大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为 B A.12 B.13 C.14 D.15 ，.若小正方形面积为5， ，则大正 方形面积为( ) 综合应用题 20 【点拨】由题意可知，中间小正方形的边长为 ， ，即 . ， . ，得 ， 大正方形的面积为 . 返回 综合应用题 21 11.[2024合肥蜀山区校级月考] 如图，在 四边形中， ， ， ， ，为 边上的一点， （1）求 的长； 【解】，， . 在中， . ，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着边 向终点运动，连接,，设点运动的时间为 秒. 综合应用题 22 （2）若为直角三角形，求 的值. 综合应用题 23 的直角顶点不确定， 应分情况 讨论. ①当 时，易知 ， 则 ; 综合应用题 24 ②当 时，，由题意得 ， 则，易得 ， ，解得 . 综上，的值为7或 . 返回 综合应用题 25 12.[2024郑州中原区开学测试] 定义：如图①，点， 把线段 分割成，和三段，若以，， 为边的三 角形是一个直角三角形，则称点，是线段 的勾股分割点. 创新拓展题 26 感悟应用： （1）已知点，是线段的勾股分割点， ， ，若，，则 ___. 5 创新拓展题 27 拓展研究： （2）如图②，③，在等腰直角三角形中， ， ，，为直线上两点，满足 . 创新拓展题 28 ①如图②，若点，在线段上，求证：点， 是线段 的勾股分割点； 【证明】如图①，将绕点逆时针旋转 ， 得到，连接， . 则 ， . . 创新拓展题 29 在和中， ， ， . ， . . 创新拓展题 ， . . 易得 . ， . . 点，是线段 的勾股分割点. 创新拓展题 ②如图③，若点在线段上，点在线段 的延长线上， ，，则 ___. 2 创新拓展题 32 【点拨】将绕点 逆时针旋转 得到，连接 ，如图②. 则， ， ， ， . 由旋转可得， . 创新拓展题 33 又 ， . 在与 中， ， . 创新拓展题 ， ， ， ， . 返回 创新拓展题 $$第18章 勾股定理 18.1 勾股定理 第2课时 勾股定理的应用 1 名师点金 解决有关立体图形中的最短路线的问题，关键是把立体图形 中的路线问题转化为平面图形上的路线问题.如圆柱侧面展开 图为长方形，圆锥侧面展开图为扇形，长方体侧面展开图为 长方形等.或用对称点进行线段转换，根据平面上两点之间， 线段最短，结合勾股定理进行求解. . . . . . . . . . . 2 应用1 传统数学文化中的应用 （第1题） 1.[2024巴中] “今有方池一丈，葭生其中央， 出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几 何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题 （如图）.即，， ，则 ( ) C A.8 B.10 C.12 D.13 返回 3 （第2题） 2. 如图，图①是北京 国际数学家大会的会标，它取材于我国古 代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的 直角三角形拼成的.若图①中大正方形的面 D A.24 B.36 C.40 D.44 积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成 图②，则图②中大正方形的面积为( ) 4 （第2题） 【点拨】设直角三角形的两直角 边分别为，，斜边为 ， 题图①中大正方形的面积是 24， . 题图①中小正方形的面积是4，， ， 题图②中大正方形的面积为 返回 5 应用2 实际生活中的应用 （第3题） 3.[2024威海期末] 如图，是一个 滑梯示意图，若将滑梯 水平放 置，则刚好与 一样长，已知滑 梯的高度为3米， 为1米.则 滑道 的长度为_____. 5米 返回 6 （第4题） 4.[2024北京海淀区开学测试] 如图，某人 到岛上去探宝，从 处登陆后先往东走 ，又往北走 ，遇到障碍后又往 西走，再继续向北走 然后往东 一拐，仅走 就找到了宝藏.问登陆点 与宝藏埋藏点之间的距离是____ . 6.5 返回 7 5.[2024佛山顺德区校级月考] 某校在 一次消防演练中，消防队员需要通过 攀爬20米长的云梯，到21米高的宿舍 楼顶营救“被困”学生.已知消防车按如 图停放，云梯的底端 离地3米、与 宿舍外墙 的距离是6米.请问云梯够长吗？说明理由. 8 【解】够长.理由如下： 连接，由题意，得 米, ,米, 米， 米， 米. 米米， 云梯够长. 返回 9 6.周末，小明和小亮去公园放风筝，为了测得如图所示风筝 的垂直高度 ，他们进行了如下操作： ①测得水平距离 的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为20米； ③牵线放风筝的小明拉风筝线处与地面的高 为1.65米. 10 （1）求风筝的垂直高度 . 【解】由题意可知米， ， 米， 在 中，由勾股定理得， （米）， （米）. 答：风筝的垂直高度 为17.65米. 11 （2）若风筝沿 方向下降了7米，小明位置 未变，则他应该往回收线的长度为___米. 5 12 【点拨】 风筝沿方向下降7米， 保持不变， 设下降到点，连接 ， 此时的 （米），即在 中， 米， （米）， 相比下降之前，缩短长度为 （米）， 他应该往回收线5米. 返回 13 应用3 平面几何中的应用 （第7题） 7.[2024浙江] 如图，正方形 由四个全 等的直角三角形 和中间一个 小正方形组成，连接.若 , ，则 ( ) C A.5 B. C. D.4 返回 14 8. 在中，， ， ，则 的面积为_________. 或 【点拨】由题意画出草图如图，过点 作 边的垂线，垂足为 ， 在中， ， ， . 由勾股定理得， . 15 当点在点的左侧时（即 点）， ，， ， . 则 . 当点在点的右侧时（即 点），同理 可得， ， . 综上所述，的面积为或 . 返回 （第9题） 9.[2024重庆北碚区期末] 如图，等腰直角 三角形 的直角边长为2，分别以它的三 边为直径向上作半圆，则图中阴影部分的 面积是___. 2 17 （第9题） 【点拨】 ， ，易得 . . . 返回 18 （第10题） 10.[2024天津和平区校级月考] 如图，在 中， ， ， ，动点从点出发，沿线段 以每 秒2个单位的速度向点运动，过点 作 交所在的直线于点，连接 .设 5或或4 点的运动时间为秒.当是等腰三角形时， _______ ___. 19 （第10题） 【点拨】在中， ， ， ， 由勾股定理得 . ①当时， ， ， . ②当时， ， ， 20 ， ，解得 . 由勾股定理得 . . ③当时， ， （第10题） 由勾股定理得 . ，，， 易得 ， ， . 综上所述，是等腰三角形时， 的值为5 或 或4. （第10题） 返回 11.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 ， ，现将直角边沿直线 对折，使它落在斜边 上，且与重合，求 的长. 23 【解】 两直角边 ， ， 在 中，由勾股定理可知 . 将直角边沿直线对折，使它落在斜边上，且与 重合，， ， ， 24 设 ，则 ， 在 中，根据勾股定理得 ，即 ，解得 . 即的长为 . 返回 12.[2024上海普陀区期末] 阅读下列材料，并完成相应任务. 我们在探索整式乘法法则时，用不同方法表示同一个图形的 面积，可直观地理解乘法法则. 26 如图①，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长 分别是，， ，将它们拼成如图②所示的大正方形. 27 （1）观察：图②中，大正方形的面积可以用 表示， 也可以用含，， 的代数式表示为___________________， 因此可以得到等式：_______________________. 【解】 28 整理后，得到，，之间的数量关系： ，这就 是著名的“勾股定理”，它反映了直角三角形的三边关系，即 直角三角形的两直角边，与斜边 所满足的关系式. 29 （2）思考：爱动脑的小明通过图②得到启 示，发现其他图形也能验证“勾股定理”，请 你帮助小明画出该图形.（画出一种即可） 答案不唯一，例如图①. 30 （3）应用：如图③，在直角三 角形中， ， ，，那么 5 或6 ___，点为射线上一点，作关于 所在直线的对 称图形，点的对应点为点，如果点在射线 上，那么 _ _____.（直接写出答案） 31 【点拨】在直角三角形中， ， ， ， 由勾股定理，得 . 点为射线 上一点，分两种情况： ①当点在线段 上时，如图②， 32 设，由对称可知 ， ， ， 在中，由勾股定理，得 ， 即，解得 ； ②当点在 的延长线上时，如图③， 设，由对称可知 ， ， ， 在中，由勾股定理，得 ， 即，解得.综上所述， 或6. 返回 应用4 立体几何中的应用 13.[2024西安铁一中学校考期末] 如 图，长方体的长为 ，宽为 ，高为，点离点 的 距离是 ，一只蚂蚁如果沿着长 C A. B. C. D. 方体的表面从点爬到点 ，需要爬行的最短路程是( ) 36 【点拨】当把长方体按图①剪开， 使其右面和正面组成一个长方形时， 长方体的宽为，高为 ，点B离点C的距离是 ， ， ， 在 中，根据勾股定理得 ； 37 当把长方体按图②剪开，使其右面和上 面组成一个长方形时， ， ， 在 中，根据勾股定理得 ； 38 当把长方体按图③剪开，使其后面和上面组 成一个长方形时， ， 在 中，根据勾股定理得 . ， ， ， ， 蚂蚁需要爬行的最短路程是 . 返回 39 应用5 坐标系中的应用 14.某学校学生从学校 点出发，去基地进 行校外实践活动，他们的任务是进行体能 训练，学生们先向正西方向行走到 处，又往正南方向行走到 处，然后 又折向正东方向行走到 处，再向正 40 北方向走才到基地处.如图，以点 为 原点，取点的正东方向为 轴的正方向， 取点的正北方向为轴的正方向，以 为一个单位长度建立平面直角坐标系. （1）在平面直角坐标系中，画出学生体能 训练的行走路线图； 【解】学生体能训练的行走路线图如下图. 42 （2）分别写出，，， 点的坐标； ，，， . 43 （3）， 两点之间的距离为________. 44 【点拨】如图，连接 ，由题意可得 ， ， . 返回 45 15. 先阅读下面材料，再解答问题. 已知，在平面直角坐标系中，任意两点， ， 其两点之间的距离公式为 .同 时，当两点所在的直线在坐标轴上或垂直于坐标轴时，两点 之间的距离公式可以简化为或 . 46 （1）已知点，，试求， 两点之间的距离； 【解】， ， . 47 （2）已知点，在垂直于轴的直线上，点 的坐标为 ，，试确定点 的坐标. ，在垂直于 轴的直线上， 点与点的横坐标相等，设 . ， ，解得或 . 点的坐标为或 . 返回 48 $$