专题03 圆锥曲线的方程-2024-2025学年寒假高二数学大单元复习（人教A版2019版）

专题03 圆锥曲线的方程 一、核心知识 1. 椭圆 （1）定义：动点到两个定点的距离之和等于定值的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。表达式： （2）标准方程： 焦点在轴： ，焦点为 焦点在轴：，焦点为 其中，是长半轴长，是短半轴长，满足， 离心率(是椭圆上的点) （3）焦点三角形： 叫做焦点三角形，其周长为，若，则其面积且椭圆离心率的取值范围为. （4）中点弦公式：直线与椭圆交于两点，为中点，直线的斜率. 若椭圆为，则 ； 若椭圆为，则. （5）共焦点的椭圆方程： 凡是与椭圆有共同焦点的椭圆方程均可设为; 凡是与椭圆有共同焦点的椭圆方程均可设为. 2. 双曲线 （1）定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． （2）标准方程： 焦点在轴时： ，焦点为， 渐近线方程为 焦点在轴时：，焦点为， 渐近线方程为 是长半轴长，是短半轴长，满足， 离心率(是双曲线上的点) （3）焦点三角形：叫做焦点三角形，若，则 面积. （4）中点弦公式：直线与双曲线交于两点，为中点，直线的斜率. 若双曲线为，则； 若双曲线为，则. （5）共焦点的双曲线方程： 凡是与双曲线有共同焦点的双曲线方程均可设为; 凡是与双曲线有共同焦点的双曲线方程均可设为. （6）共渐近线的双曲线方程： 凡是与双曲线有共同的双曲线方程均可设为; 凡是与双曲线有共同渐近线的双曲线方程均可设为. 3.抛物线 （1）定义:平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点. （2）标准方程与图象及性质： 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 （3）焦点弦：若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： ①；②；③焦点弦长，（为直线与对称轴的夹角）. ④的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）. （4）抛物线的弦：若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则①弦长；②斜率； ③直线AB的方程为；④线段AB的垂直平分线方程为 （5）任意弦长公式: 斜率为的直线与二次曲线交于两点，则 或 二、热门考点 考点一：椭圆方程及几何性质 经典基础题： 1．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知椭圆，则下列结论正确的是（    ） A．长轴长为 B．焦距为 C．短轴长为 D．离心率为 2．（23-24高二上·北京西城·期中）一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于两点．若的中点为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广西平果市·期末）设分别是椭圆的左、右焦点，P是C上的点，则的周长为（    ） A．13 B．16 C．20 D． 5．（22-23高二上·广西防城港市·期末）已知点在椭圆上，点分别为椭圆的左､右焦点，并满足面积等于4，则等于（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 6．（23-24高二上·广西玉林市·期末）已知曲线表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 强化训练： 1．（23-24高二上·广西三新联考·期末）设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为（    ） A． B． C．4 D． 2．（23-24高二上·浙江·期中）若椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为5，则点到另外一个焦点的距离（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（24-25高二上·云南·期中）已知是椭圆上一点，、分别为的左、右焦点，则下列结论正确的是（    ） A． B．短轴长为 C．离心率为 D．三角形周长为16 4．（23-24高二上·广东·期末）若椭圆：的两个焦点为，，点在椭圆上，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·陕西宝鸡·期末）椭圆的左、右焦点分别为，，A为上顶点，若的面积为，则的周长为 ． 6．（24-25高二上·云南大理·期末）已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为，则（    ） A．9 B．3 C．4 D．8 7．（24-25高二上·云南大理·期末）已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则 . 8．（21-22高二下·福建厦门·阶段练习）某椭圆的两焦点坐标分别为，，是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·云南大理·期中）阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的左，右焦点分别是，，是上一点，，，的面积为，则的标准方程为 . 考点二：双曲线方程及几何性质 经典基础题： 1．（23-24高二上·广西玉林市·期末）已知点，则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的下支的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广西桂林市·期末）（多选）已知双曲线，则下列说法正确的是（    ） A．的离心率 B．的渐近线方程为 C．的焦距为 D．的焦点到渐近线的距离为 4．（23-24高二上·广西南宁市·期末）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 5．（23-24高二上·广西百色市·期末）设双曲线（）的虚轴长为2，焦距为，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 强化训练： 1．（22-23高二上·广西防城港市·期末）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2020·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（   ）. A． B．或 C． D．或 3．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知为双曲线的一个焦点，则下列说法中，正确的是（   ） A．的虚轴长为6 B．的离心率为 C．的渐近线方程为 D．点到的一条渐近线的距离为4 4．（23-24高二下·云南曲靖·期末）（多选）已知点在左､右焦点分别为的双曲线上，，则（    ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C． D． 5．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知双曲线的实轴长是4，则实数的值为（    ） A． B．4 C． D． 5．（23-24高二上·广西北海·期末）（多选）已知方程表示曲线C，则下列说法正确的是（    ） A．“”是“曲线C为双曲线”的充分不必要条件 B．“”是“曲线C为椭圆”的充要条件 C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则 6．（23-24高二上·广西贵港市·期末）（多选）已知，在同一个坐标系下，曲线与直线的位置可能是（    ） A． B． C． D． 考点三：抛物线方程及几何性质 经典基础题： 1．（23-24高二上·广西北海市·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广西三新联考·期末）若点在抛物线上，则该抛物线的方程为 . 3．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 【 4．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为4，到轴的距离为3，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 5．（23-24高二上·陕西西安·期末）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，那么 ． 6．（23-24高二上·四川达州·期末）已知点F为抛物线的焦点，第一象限的点在该抛物线上，且，则 ． 7．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知抛物线，焦点为在抛物线上，在轴上，且，则 ． 8．（23-24高二上·广西玉林市·期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则的面积为（    ） A． B． C．1 D．2 强化训练： 1（23-24高二上·广西三新联考·期末）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24高二上·北京房山·期末）已知为抛物线上一点，到的焦点的距离为，到轴的距离为，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广东·期末）已知是抛物线上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为4，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 5．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且点到的距离为，则该抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·北京通州·期末）已知点在抛物线上，且点A到抛物线准线的距离为3，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 7．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知抛物线：的焦点为，点是抛物线的准线与轴的交点，点在抛物线上（点在第一象限），若，则 ． 9．（23-24高二上·江西·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上（异于顶点），过的中点作直线的垂线交轴于点，则（    ） A． B． C． D． 考点四：离心率问题 经典基础题： 1．（24-25高二上·云南大理·阶段练习）设双曲线的左､右焦点分别为，过做平行于轴的直线交于两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D．1 2．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于（    ） A． B． C． D．或 3．（23-24高二上·广西百色市·期末）已知点是椭圆上的两点.且直线恰好平分圆，为椭圆上与点不重合的一点，且直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为 . 4．（23-24高二上·广西南宁三新联考·期末）已知双曲线()，以双曲线C的右顶点A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 5．已知椭圆 分别为椭圆的左、右焦点， 为椭圆上一点，且 ，若 ，则椭圆离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，点是上一点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·广西北海市·期末）如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，，，则椭圆的离心率为 ．   8．（23-24高二上·广西南宁市·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，四边形是等腰梯形，，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 强化训练： 1．（24-25高二上·云南玉溪·期中）点F为椭圆C：的右焦点，直线l：与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，为正三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·云南·期中）已知椭圆的左右焦点分别是、，焦距为，若直线与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广西贵港·期末）如图，椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上一点，为轴上一点，在以为直径的圆上，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广西桂林市·期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆的左、右焦点分别为、，若从的右焦点发出的光线经过上的点和点反射后，满足，且，则的离心率为 . 5．（11-12高二上·浙江衢州·期末）已知双曲线的焦点为，，以为直径的圆与双曲线的一个交点为M，且有，则双曲线的离心率（    ） A． B． C．2 D． 6．（23-24高二上·广西玉林市·期末）已知，是双曲线：的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为P，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·湖南衡阳·三模）如图所示，已知双曲线的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，，且三点共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为 ． 8．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点四：解答题 经典基础题： 1．（23-24高二上·广西南宁市·期末）已知等轴双曲线的对称轴都在坐标轴上，并且经过点，求双曲线的标准方程、离心率、实轴长. 2．（23-24高二上·广西北海市·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点在直线上，点在双曲线上，且焦点在以线段为直径的圆上，分别记直线的斜率为，求的值． 3．（23-24高二上·广西南宁市·期末）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为．(1)求的方程；(2)直线与相交异于坐标原点的两点，，若，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标． 4．（23-24高二上·广西百色市·期末）已知椭圆的离心率为，点与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由. 5．（23-24高二上·广西贵港市·期末）已知椭圆与双曲线的焦距之比为．(1)求椭圆和双曲线的离心率；(2)设双曲线的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：． 强化训练： 1．（23-24高二上·广西桂林市·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线与抛物线相交于、两点.(1)求的焦点坐标及准线方程；(2)求的面积. 2．（23-24高二上·广西三新联考·期末）已知过抛物线的焦点F，斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，且.(1)求抛物线的方程；(2)抛物线的准线与x轴交于点，过点的直线l交抛物线于M，N两点，当时，求直线l的方程. 3．（23-24高二上·广西玉林市·期末）已知双曲线经过点，一条渐近线的倾斜角为.(1)求双曲线的方程；(2)若点，过双曲线的右焦点的直线交双曲线于.以为直径的圆是否恒过点，请说明理由. 4．（23-24高二上·广西桂林市·期末）已知椭圆的上顶点为，右顶点为，直线与直线平行.过点且斜率为的直线与相交于、两点.(1)求的方程；(2)记直线、的斜率分别为、，求的最小值. 5．（23-24高二上·广西南宁三新联考·期末）已知的周长为，其中点，.(1)求点C的轨迹方程；(2)设D为点A关于直线的对称点，求线段CD的长度的取值范围. 6．（23-24高二上·广西南宁市·期末）如图，已知点M在圆上运动，轴(垂足为N)，点Q在NM的延长线上，且.  (1)求动点Q的轨迹方程；(2)直线l：与1中动点Q的轨迹交于两个不同的点A和B，圆O上存在两点C、D，满足，，求m的取值范围. 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 圆锥曲线的方程 一、核心知识 1. 椭圆 （1）定义：动点到两个定点的距离之和等于定值的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。表达式： （2）标准方程： 焦点在轴： ，焦点为 焦点在轴：，焦点为 其中，是长半轴长，是短半轴长，满足， 离心率(是椭圆上的点) （3）焦点三角形： 叫做焦点三角形，其周长为，若，则其面积且椭圆离心率的取值范围为. （4）中点弦公式：直线与椭圆交于两点，为中点，直线的斜率. 若椭圆为，则 ； 若椭圆为，则. （5）共焦点的椭圆方程： 凡是与椭圆有共同焦点的椭圆方程均可设为; 凡是与椭圆有共同焦点的椭圆方程均可设为. 2. 双曲线 （1）定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． （2）标准方程： 焦点在轴时： ，焦点为， 渐近线方程为 焦点在轴时：，焦点为， 渐近线方程为 是长半轴长，是短半轴长，满足， 离心率(是双曲线上的点) （3）焦点三角形：叫做焦点三角形，若，则 面积. （4）中点弦公式：直线与双曲线交于两点，为中点，直线的斜率. 若双曲线为，则； 若双曲线为，则. （5）共焦点的双曲线方程： 凡是与双曲线有共同焦点的双曲线方程均可设为; 凡是与双曲线有共同焦点的双曲线方程均可设为. （6）共渐近线的双曲线方程： 凡是与双曲线有共同的双曲线方程均可设为; 凡是与双曲线有共同渐近线的双曲线方程均可设为. 3.抛物线 （1）定义:平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点. （2）标准方程与图象及性质： 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 （3）焦点弦：若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： ①；②；③焦点弦长，（为直线与对称轴的夹角）. ④的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）. （4）抛物线的弦：若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则①弦长；②斜率； ③直线AB的方程为；④线段AB的垂直平分线方程为 （5）任意弦长公式: 斜率为的直线与二次曲线交于两点，则 或 二、热门考点 考点一：椭圆方程及几何性质 经典基础题： 1．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知椭圆，则下列结论正确的是（    ） A．长轴长为 B．焦距为 C．短轴长为 D．离心率为 【答案】D 【详解】椭圆可化为，故该椭圆长轴长为，短轴长为，则焦距为，离心率.故A、B、C错误，D正确.故选：D. 2．（23-24高二上·北京西城·期中）一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，故，且，故，所以椭圆的标准方程为.故选：B 3．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于两点．若的中点为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设椭圆方程为，易知直线的斜率为，设，则，所以，，易知，两式相减可得，即，可得，又，可得，所以，即椭圆的方程为.故选：A 4．（23-24高二上·广西平果市·期末）设分别是椭圆的左、右焦点，P是C上的点，则的周长为（    ） A．13 B．16 C．20 D． 【答案】B 【详解】由椭圆的定义，，焦距，所以的周长为.故选：B 5．（22-23高二上·广西防城港市·期末）已知点在椭圆上，点分别为椭圆的左､右焦点，并满足面积等于4，则等于（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【详解】如图所示，由条件可知三点共圆.且以为直径.故.设，则，解得.因为点在椭圆上，所以，联立以上式子可解得：，故选：C. 6．（23-24高二上·广西玉林市·期末）已知曲线表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，即.故选：D. 强化训练： 1．（23-24高二上·广西三新联考·期末）设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【详解】椭圆，则，所以，因为是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为.故选：D 2．（23-24高二上·浙江·期中）若椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为5，则点到另外一个焦点的距离（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】由椭圆方程可知，解得.又椭圆上一点M到两焦点的距离和为，所以M到另一个焦点的距离为.故选：B 3．（24-25高二上·云南·期中）已知是椭圆上一点，、分别为的左、右焦点，则下列结论正确的是（    ） A． B．短轴长为 C．离心率为 D．三角形周长为16 【答案】ABC 【详解】由椭圆可得实半轴长，短半轴长，故半焦距， 对于A，，故A正确；对于B，短轴长为，故B正确； 对于C，离心率为，故C正确，对于D，三角形周长为，故D错误； 故选：ABC. 4．（23-24高二上·广东·期末）若椭圆：的两个焦点为，，点在椭圆上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，，则，在中，， ,所以.故选：B． 5．（23-24高三上·陕西宝鸡·期末）椭圆的左、右焦点分别为，，A为上顶点，若的面积为，则的周长为 ． 【答案】6 【详解】，则，解得，所以，则，故的周长为故答案为：. 6．（24-25高二上·云南大理·期末）已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为，则（    ） A．9 B．3 C．4 D．8 【答案】B 【详解】法一：设，，则，，∴．又，∴，解得． 法二：由焦点三角形面积公式得。故选：B 7．（24-25高二上·云南大理·期末）已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则 . 【答案】 【详解】，，① 又，② ①②得：， 的面积为16，，.故答案为：4. 8．（21-22高二下·福建厦门·阶段练习）某椭圆的两焦点坐标分别为，，是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，因为，，所以，即； 因为，所以，所以；因为，，所以，即，，所以，，所以椭圆的方程为，故选：C. 9．（24-25高二上·云南大理·期中）阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的左，右焦点分别是，，是上一点，，，的面积为，则的标准方程为 . 【答案】 【详解】由椭圆的定义可知，又，所以，，又，所以，所以，所以，，又椭圆的面积为，所以，解得，，，所以椭圆的标准方程为．故答案为： 考点二：双曲线方程及几何性质 经典基础题： 1．（23-24高二上·广西玉林市·期末）已知点，则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的下支的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A中，由，可得点的轨迹是完整的双曲线，所以A不正确； 对于B中，由，可得的点的轨迹是双曲线的下支，所以B正确； 对于C中，由，可得的点的轨迹是双曲线的上支，所以C不正确； 对于D中，由，不存在满足的点，所以D不正确. 故选：B. 2．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，由，结合双曲线定义可知动点的轨迹为以，为焦点的双曲线右支，在双曲线中，，可得，，所以，动点的轨迹方程为.故选：A. 3．（23-24高二上·广西桂林市·期末）（多选）已知双曲线，则下列说法正确的是（    ） A．的离心率 B．的渐近线方程为 C．的焦距为 D．的焦点到渐近线的距离为 【答案】ABD 【详解】对于双曲线，，，，对于A选项，离心率，A对；对于B选项，渐近线方程为，即，B对；对于C选项，的焦距为，C错；对于D选项，的焦点到渐近线的距离为，D对.故选：ABD. 4．（23-24高二上·广西南宁市·期末）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】方程表示双曲线，因为恒成立，所以，解得，故选：A． 5．（23-24高二上·广西百色市·期末）设双曲线（）的虚轴长为2，焦距为，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得：因为该双曲线的虚轴长为2，焦距为，所以，解得，所以该双曲线方程为，故渐近线方程为：，故选:A. 强化训练： 1．（22-23高二上·广西防城港市·期末）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为双曲线的焦点在轴，所以它的渐近线方程为，故A，B，C错误.故选D. 2．（2020·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（   ）. A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】当双曲线的焦点在横轴时，设双曲线的标准方程为：，因为实轴长为4，所以得，因为双曲线的渐近线方程为：，所以有，因此，所以双曲线的方程为：；当双曲线的焦点在纵轴时，设双曲线的标准方程为：，因为实轴长为4，所以得，因为双曲线的渐近线方程为：，所以有，因此，所以双曲线的方程为：.综上所述，双曲线的方程为或.故选：D 3．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知为双曲线的一个焦点，则下列说法中，正确的是（   ） A．的虚轴长为6 B．的离心率为 C．的渐近线方程为 D．点到的一条渐近线的距离为4 【答案】AB 【详解】由双曲线的方程可知其虚轴长为，故A正确；离心率为，故B正确； 令，即其渐近线方程为，故C错误；不妨设，则其到渐近线的距离为，故D错误.故选：AB 4．（23-24高二下·云南曲靖·期末）（多选）已知点在左､右焦点分别为的双曲线上，，则（    ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C． D． 【答案】BCD 【详解】因为，所以的渐近线方程为，离心率，故A错误，B正确.不妨设点在的右支上，则.因为，所以.在中，，则，所以的面积，故C，D正确.故选：BCD 5．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知双曲线的实轴长是4，则实数的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【详解】因为双曲线的实轴长是4，即，所以，又因为， 所以，解得.故选：B. 5．（23-24高二上·广西北海·期末）（多选）已知方程表示曲线C，则下列说法正确的是（    ） A．“”是“曲线C为双曲线”的充分不必要条件 B．“”是“曲线C为椭圆”的充要条件 C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则 【答案】AD 【详解】对于A选项，若方程表示的曲线为双曲线，则，解得或，故“”是“方程表示的曲线为双曲线”的充分不必要条件，A正确； 对于B选项，若曲线C表示为椭圆，则，可得且， B错误； 对于C选项，若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，有，可得， C错误； 对于D选项，若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，有，可得， D正确． 故选：AD． 6．（23-24高二上·广西贵港市·期末）（多选）已知，在同一个坐标系下，曲线与直线的位置可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为，所以曲线为，直线为， 当时，曲线表示的是圆，直线的横截距与纵截距相等，则A错误； 当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距大，则B正确； 当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距小，则C不正确； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，直线的横截距为正，纵截距为负，则D正确． 故选：BD． 考点三：抛物线方程及几何性质 经典基础题： 1．（23-24高二上·广西北海市·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线的标准方程为，所以所求准线方程为.故选：D 2．（23-24高二上·广西三新联考·期末）若点在抛物线上，则该抛物线的方程为 . 【答案】 【详解】由在上，代入可得，即抛物线的方程为.故答案为：. 3．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 【答案】B 【详解】依题意，由抛物线的定义知，点到抛物线焦点的距离即点到准线的距离，即.故选：B. 4．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为4，到轴的距离为3，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【详解】由抛物线定义得，解得.故选：B 5．（23-24高二上·陕西西安·期末）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，那么 ． 【答案】10 【详解】由题设抛物线焦点坐标为，则由抛物线定义知， 故.故答案为：10 6．（23-24高二上·四川达州·期末）已知点F为抛物线的焦点，第一象限的点在该抛物线上，且，则 ． 【答案】4 【详解】因为点F为抛物线的焦点，点在该抛物线上，所以，所以，所以抛物线方程为，因为第一象限的点在该抛物线上，所以，解得或（舍）.故答案为：4 7．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知抛物线，焦点为在抛物线上，在轴上，且，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以，因为，所以，因为在轴上，所以，所以，所以，故答案为：. 8．（23-24高二上·广西玉林市·期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则的面积为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】抛物线的焦点，准线，过点作，垂足为，由，得，于是，设，则，解得， 所以的面积.故选：B 强化训练： 1（23-24高二上·广西三新联考·期末）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可知抛物线焦点在轴上，且，∴，所以焦点为.故选：B. 2．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】由焦半径公式可知，，得.故选：A 3．（23-24高二上·北京房山·期末）已知为抛物线上一点，到的焦点的距离为，到轴的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故.故选：B. 4．（23-24高二上·广东·期末）已知是抛物线上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为4，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【详解】由题意知抛物线的准线为，因为点到的焦点的距离为9，到轴的距离为4，即A点纵坐标为4，所以,解得.故选：D 5．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且点到的距离为，则该抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】抛物线的准线方程为，焦点为，由抛物线的定义可知，点到的距离为，可得，故.故选：B. 6．（23-24高二上·北京通州·期末）已知点在抛物线上，且点A到抛物线准线的距离为3，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】由抛物线的定义知，点A到抛物线准线的距离为，所以，又，所以.故选：D. 7．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由焦半径公式可得，解得，故抛物线，故，当时，，直线的斜率为，当时，，直线的斜率为，综上，直线的斜率为.故选：D 8．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知抛物线：的焦点为，点是抛物线的准线与轴的交点，点在抛物线上（点在第一象限），若，则 ． 【答案】 【详解】由题意可知：抛物线的焦点，准线，作垂直轴于点，若，则，不妨设，则，由勾股定理可知，则，所以，解得，所以．故答案为：． 9．（23-24高二上·江西·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上（异于顶点），过的中点作直线的垂线交轴于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意有，设，则，直线OM的斜率为，易得直线NP的方程为,令，得，即，由抛物线的定义易得，所以．故选：C. 考点四：离心率问题 经典基础题： 1．（24-25高二上·云南大理·阶段练习）设双曲线的左､右焦点分别为，过做平行于轴的直线交于两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】如图，因为双曲线关于轴对称，所以，由双曲线的定义得：，由直角三角形得： 所以离心率.故选：A 2．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】直线是双曲线的一条渐近线，则有，得，故的离心率为.故选：B. 3．（23-24高二上·广西百色市·期末）已知点是椭圆上的两点.且直线恰好平分圆，为椭圆上与点不重合的一点，且直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【详解】设，.则，两式相减得，所以. 因直线恰好平分圆，则，则，.因为， 所以，即.所以椭圆的离心率为. 4．（23-24高二上·广西南宁三新联考·期末）已知双曲线()，以双曲线C的右顶点A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】由于，因此点A到渐近线距离为，其中一条渐近线方程为，所以有，可得.故选：C. 5．已知椭圆 分别为椭圆的左、右焦点， 为椭圆上一点，且 ，若 ，则椭圆离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设,则，因，由余弦定理： ， 则，，则. 6．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，点是上一点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由双曲线定义知，因为，所以，在中，因为，所以，即，化简得，所以双曲线的离心率为.故选：D． 7．（23-24高二上·广西北海市·期末）如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，，，则椭圆的离心率为 ．   【答案】 【详解】设，则由条件及椭圆的定义可知：，在中，根据余弦定理可知，解之得或（舍去），则，即 ，解之得.故答案为： 8．（23-24高二上·广西南宁市·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，四边形是等腰梯形，，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令椭圆的半焦距为c，依题意，，如图，  由椭圆性质知，椭圆上一点到焦点的距离的最小值为长轴端点到相邻焦点的距离，于是，解得，，在中，，显然，解得，所以的离心率的取值范围是.故选：B 强化训练： 1．（24-25高二上·云南玉溪·期中）点F为椭圆C：的右焦点，直线l：与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，为正三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为正三角形，，不妨设在第一象限，所以，在椭圆上，则，，可得，即得，所以，因为，故解得．故选：A． 2．（24-25高二上·云南·期中）已知椭圆的左右焦点分别是、，焦距为，若直线与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为经过左焦点，且斜率为，故， 为三角形内角，所以，所以，则， 设，则，由椭圆的定义可知：，即，解得：，所以，，由勾股定理得：，故，解得：，故椭圆离心率.故选：B 3．（23-24高二上·广西贵港·期末）如图，椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上一点，为轴上一点，在以为直径的圆上，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可设，则，由对称性知，由题可知，则，由椭圆的定义知，则，在中，，则，整理得，故的离心率为.故选：D. 4．（23-24高二上·广西桂林市·期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆的左、右焦点分别为、，若从的右焦点发出的光线经过上的点和点反射后，满足，且，则的离心率为 . 【答案】 【详解】由题意，，即，可设，，，由，则，即，，在中，，则. 5．（11-12高二上·浙江衢州·期末）已知双曲线的焦点为，，以为直径的圆与双曲线的一个交点为M，且有，则双曲线的离心率（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】不妨设点在第一象限，如图所示，，， 由，得，所以，得，故，又，即，得，由，得，即双曲线的离心率为.故选：D. 6．（23-24高二上·广西玉林市·期末）已知，是双曲线：的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为P，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意:设，设椭圆长半轴长为，短半轴长为，双曲线实半轴长为，虚半轴长为，则由椭圆及双曲线定义可得：，又因为，且分别为，的中点，所以,所以到渐近线的距离为，所以，，结合，可得：① 因为，所以即，整理得：，将①代入，，所以.故选：C. 7．（2024·湖南衡阳·三模）如图所示，已知双曲线的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，，且三点共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为 ． 【答案】 【详解】  设另一个焦点，连接，设则再根据双曲线的定义可知：由双曲线的对称性可知，是的中点，也是的中点，所以四边形是平行四边形，又因为，所以可得，所以由勾股定理得：，化简得：，再由勾股定理得：，代入得：，故答案为. 8．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆的定义可得，又，所以，在椭圆中，， 所以，即，又，所以，所以该椭圆离心率的取值范围是.故选：B 考点四：解答题 经典基础题： 1．（23-24高二上·广西南宁市·期末）已知等轴双曲线的对称轴都在坐标轴上，并且经过点，求双曲线的标准方程、离心率、实轴长. 【详解】由题可知，双曲线是等轴双曲线，设方程为 因为点在双曲线上，代入方程得：. 解得. 所以双曲线的方程为，双曲线的标准方程为，并且，， 则， 离心率，实轴长． 2．（23-24高二上·广西北海市·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点在直线上，点在双曲线上，且焦点在以线段为直径的圆上，分别记直线的斜率为，求的值． 【详解】（1）易知双曲线的渐近线为，根据题意可知，解之得， 故双曲线的标准方程为； （2）由上可知，设，显然，由题意可知，即， 而. 3．（23-24高二上·广西南宁市·期末）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为．(1)求的方程；(2)直线与相交异于坐标原点的两点，，若，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标． 【详解】（1）法一因为到点的距离与到直线的距离相等； 所以的轨迹是以为焦点为准线的抛物线故可设的方程为,则有  所以, 故的方程为. 法二设的坐标为则有, 所以. 即, 所以的方程为. （2）法一设方程为， 因为，所以，即. 所以，即； 由得，所以. 所以，即，所以； 所以方程为，故恒过定点. 法二设，因为，所以； 所以，所以.所以的方程为， 整理得，所以，即， 所以直线恒过定点. 4．（23-24高二上·广西百色市·期末）已知椭圆的离心率为，点与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由. 【详解】（1）椭圆离心率为，即， 点与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形， ，，，故椭圆的方程为. （2）解：由直线与椭圆交于，两点，设，，则 联立得， ，则 ， . ，. 原点到的距离，为定值. 5．（23-24高二上·广西贵港市·期末）已知椭圆与双曲线的焦距之比为．(1)求椭圆和双曲线的离心率；(2)设双曲线的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：． 【详解】（1）椭圆的焦距，双曲线的焦距， 则，整理得，从而，， 故椭圆的离心率，双曲线的离心率． （2）由（1）可知，椭圆， 因为，所以直线的方程为． 联立方程组，整理得， 则，则， 可得，即， 因为，，， 则，，故．   强化训练： 1．（23-24高二上·广西桂林市·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线与抛物线相交于、两点.(1)求的焦点坐标及准线方程；(2)求的面积. 【详解】（1）对于抛物线，，则，， 所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为. （2）设点、，易知直线过抛物线的焦点， 联立可得，由韦达定理可得， 由抛物线的焦点弦长公式可得，原点到直线的距离为， 因此，的面积为. 2．（23-24高二上·广西三新联考·期末）已知过抛物线的焦点F，斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，且.(1)求抛物线的方程；(2)抛物线的准线与x轴交于点，过点的直线l交抛物线于M，N两点，当时，求直线l的方程. 【详解】（1）由题意可知，设直线AB的方程是，A，B两点的坐标分别为，， 与联立，消去y，得，所以， 由抛物线定义得， 所以，从而抛物线方程是； （2）由题意可知，直线MN的斜率存在且不为0，，设直线MN的方程是， 设，，联立方程得，化简得， 由，解得，则,所以， 所以， 所以，解得，即，满足， 所以直线l的方程为. 3．（23-24高二上·广西玉林市·期末）已知双曲线经过点，一条渐近线的倾斜角为.(1)求双曲线的方程；(2)若点，过双曲线的右焦点的直线交双曲线于.以为直径的圆是否恒过点，请说明理由. 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线倾斜角为，所以，故，故， 所以双曲线； （2）双曲线的右焦点为，当直线斜率不为零时，设直线的方程为：， 设,，由，得 恒成立，， ， 即以直径的圆恒过点.当直线斜率为零时，此时以为直径的圆为过点， 综上，以直径的圆恒过点. 4．（23-24高二上·广西桂林市·期末）已知椭圆的上顶点为，右顶点为，直线与直线平行.过点且斜率为的直线与相交于、两点.(1)求的方程；(2)记直线、的斜率分别为、，求的最小值. 【详解】（1）解：由题意可知点、，直线的斜率为， 因为直线与直线平行，则，解得， 因此，椭圆的方程为. （2）解：设点、，由题意可知，直线的方程为，其中， 联立可得，，， 由韦达定理可得，，， 同理可得，所以， ， 因为，令，则，且，所以，， 当时，即当时，取最小值，此时，取最小值. 5．（23-24高二上·广西南宁三新联考·期末）已知的周长为，其中点，.(1)求点C的轨迹方程；(2)设D为点A关于直线的对称点，求线段CD的长度的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，所以， 根据椭圆定义可知，点C轨迹为椭圆，且因此，c＝1，可得， 则点C轨迹方程为，； （2）设点，因为点A与点D关于直线对称， 于是有，解得，即点， 设点为点C轨迹方程上一点，满足，，则， 由于，所以时，，时，， 又因为，所以，因此. 6．（23-24高二上·广西南宁市·期末）如图，已知点M在圆上运动，轴(垂足为N)，点Q在NM的延长线上，且.  (1)求动点Q的轨迹方程；(2)直线l：与1中动点Q的轨迹交于两个不同的点A和B，圆O上存在两点C、D，满足，，求m的取值范围. 【详解】（1）设动点，点，由点在圆上，则，由，则，， 把，代入，得动点的轨迹方程为 （2）联立直线与（1）中的轨迹方程得， ，由于有两个交点、，故，解得， 设，，的中点，则，所以， 故AB的垂直平分线方程为，即 由圆上存在两点、，满足，，可知的垂直平分线与圆交于、两点， 由直线与圆的位置关系可得，解得：， 由、解得，的取值范围是. 24 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$