专题01 空间向量与立体几何-2024-2025学年寒假高二数学大单元复习（人教A版2019版）

专题01 空间向量与立体几何 一、核心知识： 1．空间向量的线性运算 （1）加法：； （2）减法：. （3）数乘运算： 当时,; 当时,; 当时,. 2.共面向量定理 （1）向量不共线，则向量与向量共面存在实数对，使. （2）四点共面（其中不共线）且． 3.空间向量的数量积：．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 4.空间向量运算的坐标表示：设，则 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 5.两个向量的平行与垂直： 平行（） 垂直（） （均非零向量） 6.向量长度：若，则. 7.两个向量夹角：设，则 8.空间中的线，面平行：直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 9.空间中的线，面垂直：直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 10.点面距：平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.则点到平面的距离. 11.两条直线所成角：，为两异面直线，，与，分别是，上的任意两点，，为所成的角为，则. 12.线面所成角：直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，则有 .（注意此公式中最后的形式是：） 13.面面角：于，于，平面交于，则为二面角的平面角，.若分别为面，的法向量，则. 设二面角为，则根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；若二面角为锐二面角（取正），则；若二面角为顿二面角（取负），则. 二、热门考点： 考点一：空间向量的线性运算 经典基础题： 1．（2023秋•北京市房山区期末）在三棱柱中，为棱的中点．设，，用基底，，表示向量，则　　 A． B． C． D． 2．（22-23高二上·广西桂林市·期末）如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·广西防城港·期末）如图，设为平行四边形所在平面外任意一点，为的中点，若，则的值是（    ） A． B．0 C． D． 强化训练： 1．（23-24高二上·广西玉林市·期末）如图，在四面体中，是的中点．设，，，用，，表示，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）如图，在三棱柱中，M为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·广西贵港·期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ）   A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广西百色市·期末）如图,在四面体中,是中点,是中点,则等于（    ） A． B． C． D． 5．（2023秋•合肥期末）如图，空间四边形中，，分别是边，上的点，且，，点是线段的中点，则以下向量表示正确的是　　 A． B． C． D． 6．（23-24高二上·重庆·期末多选题）如图，点是四面体的棱的中点，点是三角形的重心，点在线段上，且，设，，，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 考点二：空间向量运算的坐标表示 经典基础题： 1．（22-23高二上·广西玉林·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广西玉林市·期末）（多选）已知空间向量，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·广西贵港市·期末）向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·重庆·期末）已知向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·广西桂林市·期末）已知，分别为直线，的一个方向向量，且 ，则（    ） A．1 B． C．2 D． 强化训练： 1.（2023上·田家炳联合体·高二期末）若，，则___________． 2．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知向量，，则（    ） A． B．0 C．2 D．10 3．（23-24高二上·广西南宁市三新联考·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 . 4．（23-24高二上·广西百色市·期末）已知空间向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 5．（22-23高二上·广西防城港·期末）（多选）已知空间向量，则（    ） A． B．是共面向量 C． D． 6．（23-24高二上·重庆·期末）已知，，且．则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 7．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 考点三：共线判定及求参问题 经典基础题： 1．（23-24高二上·广西三新联考·期末）已知向量，，若，则z＝（    ） A． B．4 C． D． 2．（11-12高二上·辽宁锦州·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广西北海市·期末）已知点，且四边形是平行四边形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C．10 D．13 强化训练： 1．（22-23高二上·广西桂林市·期末）对于空间向量，，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 2（2023上·吉林市·高二期末）已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 3．（23-24高二上·重庆·期末）已知向量，，，则（    ） A．3 B．9 C．27 D．81 4.（2023上·长春市·高二期末）已知向量，且，那么（ ） A. B. C. D. 5．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知空间四点，，，，且，则满足条件点的坐标是（ ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·辽宁·期末），，，为坐标原点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 考点四：共面判定与求参问题 经典基础题： 1．（23-24高二上·广西平果市铝城中学·期末）已知，，，若，，共面，则实数的值为（    ） A．60 B．14 C．12 D．62 2．（23-24高二上·广西南宁市·期末）（多选）在正方体中，能作为空间的一个基底的一组向量有（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·广西河池·期末）已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·重庆·期末）一种糖果的包装纸由一个边长为3的正方形和两个等腰直角三角形组成（如图1），沿，将这两个三角形折起到与平面垂直（如图2），连接，，，，若点满足且，则的最小值为 ． 强化训练： 1．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知三个向量共面，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知，且共面，则 . 3．（23-24高二上·重庆·期末）正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山西·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（24-25高二上·山东·期中）已知是空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（    ） A． B． C． D． 7．（ 2024-2025广西高二上学期）在四面体中，空间的一个点满足，若四点共面，则 . 8．（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 10．（24-25高二上·河南濮阳·阶段练习）已知正方体的棱长为2，且满足且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 考点五：空间距离问题 经典基础题： 1．（22-23高二上·广西河池市·期末）已知点关于轴对称的点为点，则（    ） A． B． C． D．4 2．（22-23高二上·辽宁锦州·期末）直线的方向向量为，且过点，则点到l的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·福建莆田·期末）在三棱锥中，两两垂直，且，三角形重心为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·辽宁沈阳·期末）如图，是棱长为1的正方体，若P平面BDE，且满足，则P到AB的距离为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）在三棱柱中，，则该三棱柱的高为 ． 强化训练： 1．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期中）已知直线过点，它的一个方向向量为，则点到直线AB的距离为 . 2．（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知点，，，则到的距离为 . 3．（22-23高二上·湖北·期末）在棱长为2的正方体中，点E为棱的中点，则点到直线BE的距离为（    ） A．3 B． C． D． 4．（22-23高二上·广西防城港·期末）边长为2的正方体中，的体是的中点，则到平面的距离是 ． 5．（22-23高二上·河南新乡·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是的中点，，则点到平面的距离为（    ）   A． B． C． D． 6．（22-23高二下·福建龙岩·期中）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为（    ）   A． B． C． D． 7．（21-22高二上·全国·单元测试）已知三棱锥各顶点的坐标分别是，则该三棱锥底面上的高h＝ ． 8．（22-23高二下·江苏徐州·期末）如图，在正三棱柱中，各棱长均为4，N是的中点.则点到平面ABN的距离为 .   9．（23-24高二上·山东·阶段练习）已知直四棱柱，底面为矩形，，，且，若点到平面的距离为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·广西南宁市三新联考·期末）如图，棱长为1的正方体上有两个动点分别从顶点A、C同时出发并做匀速直线运动，最后同时到达顶点B、D，则在运动的过程中，两个动点间的最小距离为 . 考点六：空间求角问题 经典基础题： 1．（21-22高二上·江西抚州·阶段练习）已知平面的一个法向量为，则x轴与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·山东济南·期末）已知两个平面的法向量分别为，则这两个平面的夹角为（    ） A． B． C．或 D． 3．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为上一点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·广西防城港市·期末）如图所示的多面体，底面为长方形，平面，，则与平面所成角正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·平果市·期末）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成角的正弦值为(    ) A． B． C． D． 6．（21-22高二上·湖北·期末）如图，锐二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，则锐二面角的平面角的余弦值是 . 强化训练： 1．（23-24高二上·四川南充·期中）如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角大小为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·湖南岳阳·期中）在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值为（     ）   A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京西城·期中）在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为 ． 4．（23-24高二上·河南信阳·期中）已知是圆锥的底面直径，C是底面圆周上的点，，，，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二上·河南驻马店·期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，平面，，则直线与面所成角的正弦值为（    ）   A． B． C． D． 6．（20-21高二下·福建厦门·期中）直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形， AA1＝AB，M是A1C1的中点，则AM与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高二上·广西北海·期末）在直三棱柱中，，，，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高二下·江苏宿迁·期末）如图所示，正方体的棱长为，点分别是中点，则二面角的正切值为（    ）   A． B． C． D． 9．（22-23高二上·山东聊城·期末）如图，在四面体ABCD中，，，若，，，，则平面ABD与平面CBD的夹角为（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高二上·广东深圳·期末）如图，已知菱形中，边长为，沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为 . 考点七：解答题 经典基础题： 1．（23-24高二上·广西玉林市·期末）如图，在正方体中，为平面的中心. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 2．（23-24高二上·广西南宁市三新联考·期末）如图，O是圆柱下底面的圆心，该圆柱的轴截面是边长为4的正方形ABCD，P为线段AD上的动点，E，F为下底面上的两点，且，，EF交AB于点G. (1)当时，证明：平面CEF； (2)当为等边三角形时，求二面角的余弦值. 3．（23-24高二上·广西桂林市·期末）如图，在直三棱柱中，，，，点、分别为、的中点. (1)求二面角的余弦值； (2)若点满足，求直线与直线所成角的正弦值. 4．（22-23高二上·广西桂林市·期末）如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点. (1)求证：； (2)若直线与平面所成角为，求点到平面的距离. 5．（23-24高二上·广西玉林市·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，点在上，且. (1)求证，平面平面； (2)若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值. 强化训练： 1．（23-24高二上·广西贵港市·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，F是的中点，且． (1)求的长; (2)求二面角的正弦值. 2．（23-24高二上·广西北海市·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值. 3．（22-23高二上·广西贵港市·期末）如图，在三棱柱中，平面，，是等边三角形，D，E，F分别是棱，AC，BC的中点. (1)证明：平面. (2)求平面ADE与平面夹角的余弦值. 4．（22-23高二上·广西防城港市·期末）如图，四棱锥中，底面是正方形，底面，且分别为的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值. 5．（23-24高二上·广西百色市·期末）如图，直三棱柱中，，，，点P在线段上． (1)若P为的中点．证明：平面； (2)是否存在点P，使得平面与平面ABC所成的二面角为？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由. 6．（23-24高二上·广西南宁市·期末）如图，在直角梯形中，，，．以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，且．   (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 15 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间向量与立体几何 一、核心知识： 1．空间向量的线性运算 （1）加法：； （2）减法：. （3）数乘运算： 当时,; 当时,; 当时,. 2.共面向量定理 （1）向量不共线，则向量与向量共面存在实数对，使. （2）四点共面（其中不共线）且． 3.空间向量的数量积：．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 4.空间向量运算的坐标表示：设，则 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 5.两个向量的平行与垂直： 平行（） 垂直（） （均非零向量） 6.向量长度：若，则. 7.两个向量夹角：设，则 8.空间中的线，面平行：直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 9.空间中的线，面垂直：直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 10.点面距：平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.则点到平面的距离. 11.两条直线所成角：，为两异面直线，，与，分别是，上的任意两点，，为所成的角为，则. 12.线面所成角：直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，则有 .（注意此公式中最后的形式是：） 13.面面角：于，于，平面交于，则为二面角的平面角，.若分别为面，的法向量，则. 设二面角为，则根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；若二面角为锐二面角（取正），则；若二面角为顿二面角（取负），则. 二、热门考点： 考点一：空间向量的线性运算 经典基础题： 1．（2023秋•北京市房山区期末）在三棱柱中，为棱的中点．设，，用基底，，表示向量，则　　 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由为棱的中点，可得，则．故选：． 2．（22-23高二上·广西桂林市·期末）如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由点在上，且，知；由为的中点，知.所以.故选：C. 3．（22-23高二上·广西防城港·期末）如图，设为平行四边形所在平面外任意一点，为的中点，若，则的值是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【详解】为的中点，，四边形为平行四边形，，.，，，，故选：B. 强化训练： 1．（23-24高二上·广西玉林市·期末）如图，在四面体中，是的中点．设，，，用，，表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由是的中点，可知，所以，故选：D. 2．（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）如图，在三棱柱中，M为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，因为，，所以，所以．故选：A. 3．（22-23高二上·广西贵港·期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ）   A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以.因为，所以.因为，所以.选：D. 4．（23-24高二上·广西百色市·期末）如图,在四面体中,是中点,是中点,则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在四面体中,是中点,是中点，.故选:C. 5．（2023秋•合肥期末）如图，空间四边形中，，分别是边，上的点，且，，点是线段的中点，则以下向量表示正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由题意点是线段的中点，，可得，故正确， ，故错误， ，故正确， ，故错误， 故选：． 6．（23-24高二上·重庆·期末多选题）如图，点是四面体的棱的中点，点是三角形的重心，点在线段上，且，设，，，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为点是三角形的重心，所以， 对于A：，A正确； 对于B：，B错误； 对于C：，C错误； 对于D：，D正确. 故选：AD. 考点二：空间向量运算的坐标表示 经典基础题： 1．（22-23高二上·广西玉林·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】一个点关于轴对称的点的坐标是只有横坐标不变，纵坐标和竖坐标改变成原来的相反数，点关于轴对称的点的坐标为.故选：C. 2．（23-24高二上·广西玉林市·期末）（多选）已知空间向量，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由，得，故A错误； ，故B错误；又，故C正确； ，所以与不垂直，故D错误.故选：ABD. 3．（22-23高二上·广西贵港市·期末）向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】向量在向量上的投影向量为.故选：C. 4．（23-24高二上·重庆·期末）已知向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，∴，，∴在上的投影向量为，故选：C. 5．（23-24高二上·广西桂林市·期末）已知，分别为直线，的一个方向向量，且 ，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】因为，所以，解得.故选：B 强化训练： 1.（2023上·田家炳联合体·高二期末）若，，则___________． 【答案】 【详解】因为，，所以，，故答案为： 2．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知向量，，则（    ） A． B．0 C．2 D．10 【答案】B 【详解】由题设，则，所以 .故选：B 3．（23-24高二上·广西南宁市三新联考·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 . 【答案】 【详解】空间向量，，则向量在向量上的投影向量是： .故答案为：. 4．（23-24高二上·广西百色市·期末）已知空间向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】D 【详解】对于选项A:因为,所以，故选项A错误； 对于选项B:因为,,所以，故选项B错误； 对于选项C: 因为,,所以，故选项C错误； 对于选项D: 因为,,所以，，， 在上的投影向量为，故选项D正确. 故选：D. 5．（22-23高二上·广西防城港·期末）（多选）已知空间向量，则（    ） A． B．是共面向量 C． D． 【答案】ABC 【详解】，A项正确；设，即，解得，，即，所以，，共面，B项正确；，所以，C项正确； ，D项错误.故选：ABC. 6．（23-24高二上·重庆·期末）已知，，且．则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【详解】解：因为，，且，所以，解得， 故选：A 7．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知向量，，若，则，解得：，所以，故，故选：A． 考点三：共线判定及求参问题 经典基础题： 1．（23-24高二上·广西南宁市三新联考·期末）已知向量，，若，则z＝（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以.故选:A. 2．（11-12高二上·辽宁锦州·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以，， 因为，所以，解得.故选：B． 3．（23-24高二上·广西北海市·期末）已知点，且四边形是平行四边形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设设点D的坐标为，由题意得，，因为四边形是平行四边形，所以， 所以，解得，故选：A 4．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C．10 D．13 【答案】B 【详解】因为，且三点共线，所以存在实数，使得， 解得．故选：B. 强化训练： 1．（22-23高二上·广西桂林市·期末）对于空间向量，，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为，所以，即，所以.故选：D. 2（2023上·吉林市·高二期末）已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】设，即，故，解得，故选：A 3．（23-24高二上·重庆·期末）已知向量，，，则（    ） A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】A 【详解】向量，且，则，解得，所以， 所以，所以.故选：A. 4.（2023上·长春市·高二期末）已知向量，且，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】根据题意，向量，2，，，，，且，则设，即，则有，则，，则，，，故.故选：A． 5．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知空间四点，，，，且，则满足条件点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，，，且设， 所以得，故，逐项检验后A正确.故选：A. 6．（23-24高二上·辽宁·期末），，，为坐标原点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点C坐标为，因为，，所以，，又因为，所以，，，即，，，所以C坐标为. 考点四：共面判定与求参问题 经典基础题： 1．（23-24高二上·广西平果市铝城中学·期末）已知，，，若，，共面，则实数的值为（    ） A．60 B．14 C．12 D．62 【答案】B 【详解】因为，，，若，，共面，则，即，所以，解得.故选：B 2．（23-24高二上·广西南宁市·期末）（多选）在正方体中，能作为空间的一个基底的一组向量有（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AC 【详解】由题意得：如下图所示，对于A项：，，不共面，能作为空间的一个基底,故A项正确；对于B项：，所以：，，共面，不能作为空间的一个基底,故B项错误；对于C项：，，不共面，能作为空间的一个基底,故C项正确；对于D项：，所以：，，共面，不能作为空间的一个基底,故D项错误.故选：AC. 3．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，所以三向量共面，故A错误； 对于B，，所以三向量共面，故B错误； 对于C，，所以三向量共面，故C错误； 对于D，假设共面，则，即，所以，不符合题意，所以假设不成立，故D正确； 故选：D. 4．（22-23高二上·广西河池·期末）已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当共面时，不妨设，变形得到，则，设，若点与点共面，则，只有选项中符合题意.故选：. 5．（23-24高二上·重庆·期末）一种糖果的包装纸由一个边长为3的正方形和两个等腰直角三角形组成（如图1），沿，将这两个三角形折起到与平面垂直（如图2），连接，，，，若点满足且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】，且，，所以四点共面，即点是平面上的动点，所以的最小值即点到平面的距离，由题意，几何体可补成边长为3的正方体，如图，则可得，设点到平面的距离为，则，即，解得.所以的最小值为.故答案为：. 强化训练： 1．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知三个向量共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为共面，所以设，所以，解得，故选：C. 2．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知，且共面，则 . 【答案】5 【详解】由题可知，，故答案为：5 3．（23-24高二上·重庆·期末）正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A选项，共面，不能作为空间中的一组基底，A正确； B选项，不共面，能作为空间中的一组基底，B错误； C选项，不共面，能作为空间中的一组基底，C错误； D选项，因为，，设，即，，无解， 故不共面，能作为空间中的一组基底，D错误.   4．（24-25高二上·山西·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】对于A，因为，所以，，共面，故A错误； 对于B，因为，所以，，共面，故B错误； 对于C，因为，所以，，共面，故C错误； 对于D，假设三个向量共面，则存在实数x，y，使得成立，则显然方程组无解，所以，，不共面，故D正确. 故选：D. 5．（24-25高二上·山东·期中）已知是空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，所以共面，故A正确； 对于B，因为，所以共面，故B正确； 对于C，假设存在，，使得，则，显然无解，所以不共面，故C错误； 对于D，因为，所以共面，故D正确. 故选：ABD. 6．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，根据题意，故A错误. 对于B，设，则不存在，故B正确. 对于C，，故C错误； 对于D，由，则，所以， 所以，故D错误； 故选：B. 7．（ 2024-2025广西高二上学期）在四面体中，空间的一个点满足，若四点共面，则 . 【答案】 【详解】因为四点共面，，所以，解得. 8．（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】平面外的任一点O，点共面的充要条件是，且， 对于A，由，得，点不共面，A不是； 对于B，由，得，点不共面，B不是； 对于C，由，得，点不共面，C不是； 对于D，由，得，点共面，D是. 故选：D 9．（24-25高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【答案】C 【详解】因为，所以，即，故，因为，所以四点共面，C正确． 另解：由已知得，所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确．故选：C． 10．（24-25高二上·河南濮阳·阶段练习）已知正方体的棱长为2，且满足且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，，所以，即，由共面向量定理得，，E，A，C四点共面，即点E在平面上，则的最小值为点D到平面的距离．以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，  则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，取，D到平面的距离，即的最小值为．故选：B 考点五：空间距离问题 经典基础题： 1．（22-23高二上·广西河池市·期末）已知点关于轴对称的点为点，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】关于轴对称的点为点，则.故选：. 2．（22-23高二上·辽宁锦州·期末）直线的方向向量为，且过点，则点到l的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，因为直线的方向向量为，所以取直线的一个单位方向向量为，由，可得，所以， ，所以.故选：B. 3．（22-23高二上·福建莆田·期末）在三棱锥中，两两垂直，且 ，三角形重心为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，则，，，则.  ，，故在的投影为，点到线的距离为.故选：D. 4．（22-23高二上·辽宁沈阳·期末）如图，是棱长为1的正方体，若P平面BDE，且满足，则P到AB的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，以点A为原点，分别为轴建立空间坐标系，,则， 则,，，， 设平面的一个法向量，则，令，则，且面，则，即，得，故， 所以，，，则，P到AB的距离为.故选：C 5．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）在三棱柱中，，则该三棱柱的高为 ． 【答案】 【详解】设平面的一个法向量为，则，所以，令，则，，所以是平面的一个法向量，所以点到平面的距离为，故三棱柱的高为.故答案为： 强化训练： 1．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期中）已知直线过点，它的一个方向向量为，则点到直线AB的距离为 . 【答案】2 【详解】因为，，点到直线AB方向上的投影为，所以点到直线AB的距离为，故答案为：2 2．（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知点，，，则到的距离为 . 【答案】 【详解】因为，，,所以,所以,所以点到的距离.故答案为:. 3．（22-23高二上·湖北·期末）在棱长为2的正方体中，点E为棱的中点，则点到直线BE的距离为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示：以分别为轴建立空间直角坐标系. 则，，，，，，点到直线BE的距离为. 故选：C. 4．（22-23高二上·广西防城港·期末）边长为2的正方体中，的体是的中点，则到平面的距离是 ． 【答案】 【详解】解法一：空间向量法：如图，以为原点，以，，方向为轴建立空间直角坐标系，各点坐标为：，，，，，，设平面的法向量为，于是，取，则，，到平面的距离：. 解法二：等体积法：如图，易知，，，平面，到平面的距离是，设到平面的距离是，且，，解得，故答案为：． 5．（22-23高二上·河南新乡·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是的中点，，则点到平面的距离为（    ）   A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，因为是的中点，，所以，所以，．设是平面的法向量， 则，令，得．故点到平面的距离为．故选：B 6．（22-23高二下·福建龙岩·期中）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为（    ）   A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，为的中点，则，由圆锥的几何性质可知平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，又因为，所以，点到平面的距离为.故选：B. 7．（21-22高二上·全国·单元测试）已知三棱锥各顶点的坐标分别是，则该三棱锥底面上的高h＝ ． 【答案】 【详解】由已知，．设平面ABC的法向量， ，取，得，故，则． 故答案为： 8．（22-23高二下·江苏徐州·期末）如图，在正三棱柱中，各棱长均为4，N是的中点.则点到平面ABN的距离为 .   【答案】 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.由N是的中点，则.设平面ABN的一个法向量为，则，令，即，而，设点到平面ABN的距离为，则.  故答案为： 9．（23-24高二上·山东·阶段练习）已知直四棱柱，底面为矩形，，，且，若点到平面的距离为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直四棱柱，建立如图所示的空间直角坐标系，由底面为矩形，，，且，得，令，则，，设平面的法向量，则，令，得，而，由点到平面的距离为，得，解得，于是，，而，向量在向量方向上的投影长为，所以点到直线的距离为.故选：D 10．（23-24高二上·广西南宁市三新联考·期末）如图，棱长为1的正方体上有两个动点分别从顶点A、C同时出发并做匀速直线运动，最后同时到达顶点B、D，则在运动的过程中，两个动点间的最小距离为 . 【答案】 【详解】如图，建立空间直角坐标系，根据题意可得：两动点间距离最小值坐标分别为，，，由空间两点间距离公式可得， 因为，所以当时，取最小值，故答案为：. 考点六：空间求角问题 经典基础题： 1．（21-22高二上·江西抚州·阶段练习）已知平面的一个法向量为，则x轴与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意轴的方向向量可以为，设x轴与平面所成角为，则，因为，所以，故选：C 2．（22-23高二下·山东济南·期末）已知两个平面的法向量分别为，则这两个平面的夹角为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】，因为向量夹角范围为，故两向量夹角为，故两平面夹角为，即，故选：B. 3．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为上一点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，， 则异面直线与所成角的余弦值为.故选：B. 4．（22-23高二上·广西防城港市·期末）如图所示的多面体，底面为长方形，平面，，则与平面所成角正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为平面平面，所以，又为长方形，所以，所以两两垂直，以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系因为，则 ，，设平面的一个法向量为，由，得，令，即，设，则，又，故.故.设与平面所成角为，于是，.故选：B. 5．（23-24高二上·平果市·期末）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成角的正弦值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则，，，所以，,设平面A1ED的法向量为，则有 令得：，,∴.∵平面ABCD的法向量为，∴，则，故平面A1ED与平面ABCD所成角的正弦值为.故选：B. 6．（21-22高二上·湖北·期末）如图，锐二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，则锐二面角的平面角的余弦值是 . 【答案】 【详解】设锐二面角的平面角为，，则 ，则.故答案为： 强化训练： 1．（23-24高二上·四川南充·期中）如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在直三棱柱中，平面，且， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，所以，，，所以，，则，所以，异面直线与所成角为.故选：A. 2．（22-23高二下·湖南岳阳·期中）在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值为（     ）   A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记，由题知，，所以，又，所以，，所以，所以直线AM和CN夹角的余弦值为.故选：B 3．（24-25高二上·北京西城·期中）在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为 ． 【答案】 【详解】分别取的中点，连接，由正三柱性质可知，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示，由，可得，所以，又，且，所以.故答案为 4．（23-24高二上·河南信阳·期中）已知是圆锥的底面直径，C是底面圆周上的点，，，，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意：圆锥的高，以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，设与平面所成角为，则，即与平面所成角的正弦值为.故选：D. 5．（22-23高二上·河南驻马店·期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，平面，，则直线与面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为平面，面，底面为矩形，所以两两垂直，设，以分别为轴建立空间直角坐标系如图，则 所以，设平面的法向量为，所以，令，则，所以取，直线与面所成角的正弦值为.故选：A 6．（20-21高二下·福建厦门·期中）直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形， AA1＝AB，M是A1C1的中点，则AM与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，取的中点，以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，  不妨设，则， 所以，平面的一个法向量为 设AM与平面所成角为，向量与所成的角为，所以，即AM与平面所成角的正弦值为．故选：B． 7．（22-23高二上·广西北海·期末）在直三棱柱中，，，，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为三棱柱是直三棱柱，且，所以以B为原点、AB所在直线为x轴、BC所在直线为y轴、所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示,因为，所以，故．设为平面的一个法向量，则，令，得．设直线与平面，所成的角为，则，则．故选D． 8．（22-23高二下·江苏宿迁·期末）如图所示，正方体的棱长为，点分别是中点，则二面角的正切值为（    ）   A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以点为原点，分别以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则，0，，，，，，2，，，0，，，2，，则，2，，，2，，设平面的法向量，，，则，令，则，1，，又因为平面的一个法向量，， 设的大小为，有图可知为锐角，则，故选：A.   9．（22-23高二上·山东聊城·期末）如图，在四面体ABCD中，，，若，，，，则平面ABD与平面CBD的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设平面ABD与平面CBD的夹角为，由题意可得：， ∵，则， 即，解得，由，可得，故平面ABD与平面CBD的夹角为. 故选：C. 10．（22-23高二上·广东深圳·期末）如图，已知菱形中，边长为，沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为 . 【答案】 【详解】设菱形的边长为2，取的中点，连接，，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以.如图，建立空间直角坐标系，则，，， 所以，．设平面的一个法向量为，则，令，则，易知，平面的一个法向量为，所以，设二面角为，由图可知二面角为锐角，即，所以，所以二面角的余弦值为．故答案为： 考点七：解答题 经典基础题： 1．（23-24高二上·广西玉林市·期末）如图，在正方体中，为平面的中心. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【详解】（1）解法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的坐标系.   ，， 设面的法向量为， ，令，则， 且平面， 平面； 解法二：如图，连接，   且，平行四边形中，平面平面， 同理，，则平面且，平面平面， 又为的中点，平面平面； 解法三：连接交交于点，连接，   为平面的中心是的中点， 四边形是平行四边形， ，是的中点，是的中点， ，，四边形是平行四边形，， 平面平面平面. （2）解法一：设到面的距离为，. 解法二：设到面的距离为，， 由，得，解得. 2．（23-24高二上·广西南宁市三新联考·期末）如图，O是圆柱下底面的圆心，该圆柱的轴截面是边长为4的正方形ABCD，P为线段AD上的动点，E，F为下底面上的两点，且，，EF交AB于点G. (1)当时，证明：平面CEF； (2)当为等边三角形时，求二面角的余弦值. 【详解】（1）解法一：连接OP，CG，由题意可知，且，因此， 易知，点G为OA中点，考虑与，，，且， 因此，故，因此， 在圆柱中，平面AEF，平面AEF，因此， 又因为，，平面ABCD，因此平面ABCD， 由于平面ABCD，因此， 由于，，，EF，平面CEF，因此平面CEF； 解法二：以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，此时，，， 由于，，可求出，， 因此，，， 设平面CEF的法向量，则 不妨令，则，，则， 由于，因此平面CEF； （2）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系， 则有，，，，设， 若为等边三角形，则， ，，于是或(舍去)， 由（1）知平面的法向量为，，， 设平面PEF的法向量为，则 取，则，，， 设二面角为，由图知为锐角，. 3．（23-24高二上·广西桂林市·期末）如图，在直三棱柱中，，，，点、分别为、的中点. (1)求二面角的余弦值； (2)若点满足，求直线与直线所成角的正弦值. 【详解】（1）解：在直三棱柱中，平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 由题意，、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 易知平面的一个法向量为，则， 由图可知，二面角的平面角为钝角，故二面角的余弦值为. （2）解：易知、、、 点满足，则， 则，且， 所以，， 则， 因此，直线与直线所成角的正弦值为. 4．（22-23高二上·广西桂林市·期末）如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点. (1)求证：； (2)若直线与平面所成角为，求点到平面的距离. 【详解】（1）因为平面，平面，所以，而， 因此建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，因为，所以，即， （2）设平面的法向量为，， 所以有， 因为直线与平面所成角为，所以， 解得，即，因为，所以点到平面的距离为： . 5．（23-24高二上·广西玉林市·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，点在上，且. (1)求证，平面平面； (2)若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 又因为，且，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）解：因为，且，所以， 又因为，所以， 因为，所以为等腰直角三角形，可得， 取中点，连接，可得，所以， 由（1）可得， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 由（1）可得，平面，可得为直线与平面所成角，即， 所以，又由，可得， 所以，可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 因为轴平面，所以平面的法向量， 设为二面角的平面角，且为锐角，则， 二面角的余弦值为. 强化训练： 1．（23-24高二上·广西贵港市·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，F是的中点，且． (1)求的长; (2)求二面角的正弦值. 【详解】（1）因为平面，，故以B为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系． 设，由，得，，，． 因为F是的中点，所以，则，． 又，所以，解得，故． （2）由（1）可知，，则，，． 设平面的法向量为，则，令，得． 设平面的法向量为，则，令，得． 所以，故二面角的正弦值为． 2．（23-24高二上·广西北海市·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：连 ∵底面为菱形，∴ ∵，，∴,∵平面，平面， ∴ ∵，，，平面，,∴平面 （2）由（1）知，又由，可得，可得、、两两垂直 令，可得，，，以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系 可得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为,，，,由（1）可知为平面的法向量, 设平面的法向量为，有，取，， 可得，由，，，有 故平面与平面所成二面角的正弦值为. 3．（22-23高二上·广西贵港市·期末）如图，在三棱柱中，平面，，是等边三角形，D，E，F分别是棱，AC，BC的中点. (1)证明：平面. (2)求平面ADE与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）证明：连接BD. 因为E，F分别是棱AC，BC的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 因为D，F分别是棱，BC的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，则. 因为平面，平面，所以平面. 因为平面ABD，且，所以平面平面. 因为平面ABD，所以平面. （2）解：取的中点，连接，，易证，，OE两两垂直，则以O为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，，，，，从而，，，.设平面ADE的法向量为，则令，得， 设平面的法向量为，则令，得. 设平面与平面的夹角为，则. 4．（22-23高二上·广西防城港市·期末）如图，四棱锥中，底面是正方形，底面，且分别为的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值. 【详解】（1）方法一：取的中点，连接，如图（1）所示： 因为分别是的中点，在中，,, 因为底面是正方形，为的中点，所以， 所以且，四边形是平行四边形， 所以，又因为平面平面； 所以平面. 方法二：因为底面是正方形，底面，所以两两垂直， 以为原点，方向分别为轴建立空间直角坐标系，如图（2）所示： 由条件可知； 平面的一个法向量是；，所以； 因为平面，所以平面 （2）因为底面是正方形，底面， 所以两两垂直， 以为原点，方向分别为轴建立空间直角坐标系，如图（2）所示： 设二面角的平面角为，平面的法向量为， 由条件可知； ，取，则， 平面的法向量为； 平面的一个法向量为；； 因为为锐角，故，所以二面角的余弦值为. 5．（23-24高二上·广西百色市·期末）如图，直三棱柱中，，，，点P在线段上． (1)若P为的中点．证明：平面； (2)是否存在点P，使得平面与平面ABC所成的二面角为？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）以点为坐标原点，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系 如图所示,则可得：,则 可得,即有： 且 故平面； （2）由（1）所建坐标系，不妨设，其中，，则 故，设平面的法向量为， 则有，即，令， 则，，故， 平面的一个法向量为，因为平面与平面所成的二面角为， 所以，解得, 故在线段上不存在点，使得平面与平面所成的二面角为. 6．（23-24高二上·广西南宁市·期末）如图，在直角梯形中，，，．以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，且．   (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【详解】（1）将直角梯形绕着旋转得到直角梯形，则，且， 因此四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面. （2）由，，，得两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 令，有，则，   假定在线段上存在点满足条件，设，则 ，， 当时，此时与重合，直线和平面垂直，不满足所成角的正弦值为，舍去； 当时，设平面的法向量为，， 则，令，得，而， 设直线和平面所成的角为，则， 而，解得，即点为线段的中点， 所以在线段上存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为，此时. 36 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$