2025年甘肃省中考数学一轮复习考点突破课件：概率

概率 考点一　事件的分类 1. 事件的分类 事件类型 定义 概率 确定 事件 必然事件 必然会发生的事件 ⁠ 不可能事件 必然不会发生的事件 ⁠ 随机事件 有可能发生也有可能不发生的事件 0～1之间 1 0 ▼[练对点一] 1. 下列诗句所描述的事件属于不可能事件的是(　D　) A. 黄河入海流 B. 大漠孤烟直 C. 汗滴禾下土 D. 手可摘星辰 D 考点二　概率的计算 2. 概念：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小 的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(　A　). 3. 方法 (1)试验法(估计法)：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频 率 会逐渐稳定在某个常数p附近，那么把这个常数p作为这一事件发 生的概率的近似值，事件A的概率记作P(A)＝ ⁠； A p　 (2)公式法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们 发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的 概率为P(A)＝ ⁠； (3)列表法：当一次试验涉及两个因素，且可能出现的结果数目较多时， 可采用列表法列出所有可能的结果，若共有n种可能的结果，并且发生 的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，再根据P(A)＝ ⁠计 算概率； 　 　 (4)画树状图：当一次试验涉及两个或两个以上因素时，可采用画树状图 表示出所有等可能的结果，再根据P(A)＝ 计算概率； (5)几何概型：一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式P(A) ＝ .解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟 练掌握几何图形面积的计算. 　 　 【温馨提示】对于随机事件，若只有一步，直接用概率公式求解； 若有两步，用列表法或画树状图法均可；若是两步以上，必须用画 树状图法. 4. 应用：(1)判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前 提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平， 否则不公平. (2)与统计结合的概率计算. 【方法归纳】两步概率模型关键在于计算总的情况数，以摸球为例. 两步概率模型 列表 法 树状图法 情况 数 一个 口袋 (m个 小球) 一次性取 2个小球 (不放回) 对角 线 上无 情况 第一层有m个分支；第二层每个分支 有(m－1)个小分支 m(m －1) 一个口袋(m个 小球) 先取一个小球，不放回，再取一 个小球(不放回) 对角线上无情况 第一层有m个分支；第二层每个分支有(m－1)个小分支 m(m －1) 两步概率模型 列表法 树状图法 情况数 一个口袋(m个 小球) 先取一个小球，放回后，再取一 个小球(放 回) 对角线 上有情况 第一层有m个分支； 第二层每个分支有m个小分支 m2 两步概率模型 列表法 树状图法 情况数 两个口袋 (分别有 m和n个 小球) 各取一个 小球 / 第一层有m个分支；第二层每个分支有n个小分支 mn 两步概率模型 列表法 树状图法 情况数 5. 频率与概率的关系 (1)区别：概率是伴随着随机事件客观存在的，只要事件存在，其发生的 概率就存在；频率是通过试验得到的，它随着试验次数的变化而变化. (2)联系：当试验次数充分扩大后，频率在概率的附近摆动，可以用频率 估计事件的概率. 【温馨提示】频率与概率在试验中可以非常接近但不一定相等；用频率 估计概率的大小，必须在相同条件下，试验次数越多，事件发生的频率 就越接近其发生的概率. ▼[练对点二] 2. (2024·临夏州一模)2024年央视春晚的主题为“龙行龘(dá)龘，欣欣家 国”.“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌，将 分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放 入盒中，从中随机抽取一张，则抽取的卡片上印有汉字“龘”的概率为 (　B　) A. B. C. D. B 3. (2024·凉州区校级一模)如图，转盘中6个扇形的面积都相等，任意转 动转盘1次，当转盘停止转动时，指针所指的数是质数的概率为(　B　) A. B. C. D. B 4. (2024·武威二模)在－1，0，1这三个数中任取两个数m，n，则二次 函数y＝(x－m)2＋n图象的顶点在坐标轴上的概率为 ⁠. 5. (2024·武威模拟)在一个不透明的袋子里装有红球和白球共50个，这些 球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在 0.3左右，则袋子里白球可能是 个. 　 15　 6. (2024·康县一模)安全问题一直以来都是大家特别关注的问题，为了进 一步增强中学生的安全意识，珍惜自己的生命，提高自我保护能力，某 校开展了以“安全”为主题的英语演讲比赛，参加此次比赛的晶晶和叶 叶都想第一个出场，主持人拿出了五张背面完全相同的卡片，卡片正面 分别写上－2，－1，0，1，2，将卡片背面朝上洗匀后，晶晶先从中随 机抽取一张，不放回，叶叶再从剩下的4张卡片中随机抽取一张，若两 人所抽取的卡片上数字之积为负数，则晶晶第一个出场；否则，叶叶第 一个出场. (1)晶晶抽到的卡片正面上的数字为0的概率为 ⁠； 　 (2)请用列表法或画树状图的方法判断，这种安排对晶晶和叶叶是否 公平. 解：(2)画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中两人所抽取的卡片上数字之积为负数的结果有8种，两人所抽取的卡片上数字之积为正数和0的结果有12种， ∴P晶晶＝ ＝ ，P叶叶＝ ＝ .∵P晶晶＜P叶叶， ∴这种安排对晶晶和叶叶不公平. 命题点一　频率估计概率 1. (2024·兰州)七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智 玩具，现将1个七巧板，2个九连环， 1个华容道， 2个鲁班锁分别装在6 个不透明的盒子中(每个盒子装1个)，所有盒子除里面的玩具外均相同， 从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是(　D　) A. B. C. D. D 2. (2020·省卷)在一个不透明的袋中装有若干个材质、大小完全相同的红 球，小明在袋中放入3个黑球(每个黑球除颜色外其余都与红球相同)，摇 匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复 摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，估计袋中红球 有 个. 17　 3. (2023·兰州)某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据 如下表： 累计抛掷次数 盖面朝上次数 盖面朝上频率 50 28 0.560 0 100 54 0.540 0 200 106 0.530 0 300 158 0.526 7 500 264 0.528 0 1 000 527 0.527 0 2 000 1 056 0.528 0 累计抛掷次数 盖面朝上次数 盖面朝上频率 3 000 1 587 0.529 0 5 000 2 650 0.530 0 下面有三个推断： ①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均 匀的； ②第2 000次实验的结果一定是“盖面朝上”； ③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53. 其中正确的是 (填序号). ①③　 命题点二　概率的计算 4. 跨学科(2022·兰州)无色酚酞溶液是一种常用酸碱指示剂，广泛应用于 检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也 不变色，遇碱溶液变红色.现有5瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋 溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞试剂滴入任意一瓶 液体后呈现红色的概率是(　B　) A. B. C. D. B 5. (2022·兰州)2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考 察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进 行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计 数据： 幼树移植 数(棵) 100 1 000 5 000 8 000 10 000 15 000 20 000 幼树移植 成活数(棵) 87 893 4 485 7 224 8 983 13 443 18 044 幼树移植 成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 .(结果精确到0.1) 0.9　 6. (2023·武威)为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某 校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学 之旅， 策划了三条红色线路让学生选择： A. 南梁精神红色记忆之旅(华池县)； B. 长征会师胜利之旅(会宁县)； C. 西路军红色征程之旅(高台县)，且每人只能选择一条线路. 小亮 和小刚两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路.他们准备了3 张不透明的卡片，正面分别写上字母A，B，C，卡片除正面字母不 同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小亮先从中随机抽取一 张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小刚再从中随机抽取一 张卡片. (1)求小亮从中随机抽到卡片A的概率； 解：(1)P(小亮抽到卡片A)＝ . (2)请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片C的概率. 解：(2)列表如下： 小刚 小亮 A B C A (A，A) (A，B) (A，C) B (B，A) (B，B) (B，C) C (C，A) (C，B) (C，C) 或画树状图如下： 由图可知，共有9种等可能的结果，两人都抽到卡片C的结果有1种， 所以，P(两人都抽到卡片C)＝ . 7. (2021·武威)一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小 球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机 摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现 摸到红色小球的频率稳定于0.75左右. (1)请你估计箱子里白色小球的个数； 解：(1)∵通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.75左右， ∴估计摸到红球的概率为0.75， 设白球有x个，依题意，得 ＝0.75，解得x＝1. 经检验，x＝1是方程的解，即箱子里可能有1个白球. (2)现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸 出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率(用画树状图或列表 的方法). 解：(2)列表如下： 红1 红2 红3 白 红1 (红1，红1) (红1，红2) (红1，红3) (红1，白) 红2 (红2，红1) (红2，红2) (红2，红3) (红2，白) 红3 (红3，红1) (红3，红2) (红3，红3) (红3，白) 白 (白，红1) (白，红2) (白，红3) (白，白) 或画树状图如下 ： ∵一共有16种等可能的结果，两次摸出的小球颜色恰好不同的有： (红1，白)、(红2，白)、(红3，白)、(白，红1)、(白，红2)、(白，红3)，共 6种. ∴两次摸出的小球恰好颜色不同的概率是 ＝ . 8. (2020·兰州)某学校组织以“纪念革命先烈，激发爱国热情”为主题的 爱国主义教育研学活动，参加活动的学生可从学校提供的四个研学地点 中任选一个，地点如下： A. 陇南市宕昌县哈达铺红军长征纪念馆； B. 陇南市两当兵变纪念馆； C. 甘南州迭部县腊子口战役纪念馆； D. 张掖市高台县中国工农红军西路军纪念馆. 小宁和小丽决定通过抽签的方式确定本次研学活动的目的地，请你用画 树状图或列表的方法求出小宁和小丽抽到同一地点的概率. 解：画树状图如下： 或列表如下： 小丽 小宁 A B C D A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D) B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D) C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D) D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D) 共有16种等可能的情况，小宁和小丽抽到同一地点的情况有4种， ∴P(抽到同一地点)＝ ＝ . 9. (2020·省卷)2019年甘肃在国际知名旅游指南《孤独星球》亚洲最佳旅 游地排名第一.截至2020年1月，甘肃省已有五家国家5A级旅游景区，分 别为A：嘉峪关文物景区；B：平凉崆峒山风景名胜区；C：天水麦积山 景区；D：敦煌鸣沙山月牙泉景区；E：张掖七彩丹霞景区.张帆同学与 父母计划在暑假期间从中选择部分景区游玩. (1)张帆一家选择E：张掖七彩丹霞景区的概率是多少？ 解：(1)选择E：张掖七彩丹霞景区的概率为 . (2)若张帆一家选择了E：张掖七彩丹霞景区，他们再从A，B，C，D四 个景区中任选两个景区去旅游，求选择A，D两个景区的概率(要求画树 状图或列表求概率). 解：(2)画树状图如下： 或列表得： A B C D A (A，B) (A，C) (A，D) B (B，A) (B，C) (B，D) C (C，A) (C，B) (C，D) D (D，A) (D，B) (D，C) 共有12种等可能的结果，选择A，D两个景区有2种结果，所以选择A， D两个景区的概率为 ＝ . 10. 跨学科(2024·临夏州)物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质 的生成.某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡 片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀. A. 铁钉生锈 B. 滴水成冰 C. 矿石粉碎 D. 牛奶变质 (1)小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是 ⁠； (2)小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取 两张卡片内容均为化学变化的概率. 解：(2)四张卡片内容中是化学变化的有：A，D， 画树状图如下： 　 共有12种等可能的结果，其中小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结 果有2种， ∴P(小夏抽取两张卡片内容均为化学变化)＝ ＝ . 11. (2024·省卷)在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个 小球，小球上分别标有数字1，2，3，4.甲、乙两人玩摸球游戏，规则 为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇 数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜. (1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率. 解：(1)列表如下： 　　乙 甲　　 1 2 3 4 1 (1，2) (1，3) (1，4) 2 (2，1) (2，3) (2，4) 3 (3，1) (3，2) (3，4) 4 (4，1) (4，2) (4，3) 或画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的情况，两球上的数字之和为奇数的情况有 8种， ∴P(甲获胜)＝ ＝ . (2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由. 解：(2)游戏规则对甲乙双方不公平. 理由如下： ∵P(甲获胜)＝ ，P(乙获胜)＝ . ≠ ， ∴游戏规则对甲乙双方不公平. 命题点三　统计与概率结合 12. (2020·天水)为了了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意 程度，某中学数学兴趣小组在某个小区内进行了调查统计.将调查结果 分为不满意、一般、满意、非常满意四类，回收、整理好全部问卷后， 得到下列不完整的统计图. 请结合图中的信息，解决下列问题： (1)此次调查中接受调查的人数为 人； (2)请你补全条形统计图； 解：(2)补全条形统计图如图. 50　 (3)扇形统计图中“满意”部分的圆心角为 °； (4)该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的4位市民中随机选择2位进 行回访，已知这4位市民中有2位男性，2位女性.请用画树状图的方法求 出选择回访的市民为“一男一女”的概率. (4)画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中选择回访的市民为“一男一女”的有8种 结果，所以P(一男一女)＝ ＝ . 144　 1. (2024·内江)跨学科如图所示的电路中，当随机闭合开关S1，S2，S3中 的两个时，灯泡能发光的概率为(　A　) A. B. C. D. A 2. 问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等 式：①AB＝AC；②DB＝DC；③∠BAD＝∠CAD. 若以其中两个等 式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？ 解决方案：探究△ABD与△ACD全等. 问题解决： (1)当选择①②作为已知条件时，△ABD与 △ACD全等吗？ (填“全等”或“不全等”)，理由是 ⁠ ⁠； 全等　 三边对 应相等的两个三角形全等　 (2)当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求 △ABD≌△ACD的概率. 解：(2)画树状图如图. 所有可能出现的结果(①，②)(①，③)(②，①)(②，③)(③，①)(③， ②)，共有六种等可能的情况，符合条件的有(①，②)(①，③)(②， ①)(③，①)，有四种，令△ABD≌△ACD为事件A，则P(A)＝ . 1. 在如图所示的图形中随机地撒一把豆子，计算落在A，B，C三个区 域中的豆子数的比.多次重复这个试验，把“在图形中随机撒豆子”作 为试验，把“豆子落在C中”记作事件W，估计W的概率P(W)的值为 (　A　) A. B. C. D. A 2.甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源 头和中华优秀传统文化的根脉，小明同学对甲骨文很感兴趣，制作了如 图所示的四张卡片(这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字 依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相 同)，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好.小明从中随机抽取一张卡片不 放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，则两人抽取的卡片恰好组成“文 明”一词的概率为(　A　) A A. B. C. D. 3. 区内某学校为了开展好课后延时服务，举办了A：机器人； B：航 模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作五个兴趣小组(每人限 报一项)，将参加各兴趣小组的人数绘制成如图两幅不完整的统计图. 根据统计图中的信息解答下列问题： (1)本次参加课后延时服务的学生人数是 ⁠； (2)把条形统计图补充完整；扇形统计图中的∠α的度数是 度； 解：(2)补全条形统计图如图所示. 提示：扇形统计图中的∠α的度数是360°× ＝72°. 80　 72　 (3)在C组最优秀的2名同学(1名男生1名女生)和E组最优秀的3名同学(2名 男生1名女生)中，各选1名同学参加全区的课后延时服务成果展示比 赛，利用画树状图或列表法，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生 的概率. 解：(3)设C组的1名男生和1名女生分别记为a，b， E组的2名男生和1名女生分别记为c，d，e，画树 状图如下： 共有6种等可能的结果，其中所选两名同学中恰好是 1名男生1名女生的结果有ae，bc，bd，共3种， ∴P(所选两名同学中恰好是1名男生1名女生) ＝ ＝ . $$