专题01 分式及其基本性质的八种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（华东师大版）

专题01 分式及其基本性质的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、分式的判断 2 类型二、分式有无意义的条件 4 类型三、分式值为零的条件 5 类型四、求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 6 类型五、求使分式值为整数时未知数的整数值 8 类型六、利用分式的基本性质判断分式值的变化 10 类型七、将分式的分子分母各项系数化为整数 12 类型八、最简分式、约分、最简公分母、通分 14 压轴能力测评（20题） 16 解题知识必备 知识点01 分式的概念及意义 1.分式的意义 知识点02 分式的值为正或为负 （1）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0 （2）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0 知识点03 分式的基本性质 1）分数的性质（特点）如下： ①分母不能为零;②分数分子分母同乘除不为零的数，分数的大小不变;③分数的通分与约分（短除法）. 2）分式是分数的拓展延伸，分式有与分数类似的性质（特点）： ①分式分母也不能为零 ②分式分子分母同乘除一个不为零的整式，分式大小不变。即： 用式子表示为或，其中A，B，C均为整式． ③分式的通分与约分在知识点4中详细讲解. 知识点04 分式的约分与通分 1）分式的约分：与分数的约分类似，约去分式分子、分母中的公因式（最大公约数）. 注：有时，分式分子、分母需进行一定的转换才有公因式。 2）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式． 注：约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式． 3）分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改变分式的值。 步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍数;③分子对应扩大相同倍数. 4）最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 压轴题型讲练 类型一、分式的判断 例题：（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式：，，，，其中分式的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）下列式子：，，，， ，，其中是分式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）下列各式中，，，，是分式的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）在，，，，，中，分式的个数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 类型二、分式有无意义的条件 例题：（24-25八年级上·吉林长春·期末）若分式在实数范围内有意义，则实数应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）要使得分式有意义，则x满足的条件是（　　） A． B． C． D．x≠1 2．（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）分式无意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·山东泰安·阶段练习）若分式无意义，则的值为（       ） A．1 B． C．或1 D．0 类型三、分式值为零的条件 例题：（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）若分式的值为0，则x的值为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）当 时，分式的值为零． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）分式，则 ． 3．（24-25八年级上·河南信阳·期末）若分式的值为，则的值为 ． 类型四、求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 例题：（24-25八年级上·河北廊坊·期末）已知分式的值为正数，写出一个符合条件的的正整数值： ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）分式的值为负数，求x的取值范围 ． 2．（23-24八年级上·山东聊城·单元测试）若分式的值为负数，则x的取值范围是 ． 3．（22-23八年级上·山东威海·期中）若分式的值为负数，则的取值范围 ． 类型五、求使分式值为整数时未知数的整数值 例题：（2023·江苏扬州·三模）能使分式值为整数的整数有 个． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）若使分式的值是整数，则所有符合条件的整数m的和为 ． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 3．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）已知x为整数，且分式的值为正整数，则x可取的值有 ． 类型六、利用分式的基本性质判断分式值的变化 例题：（24-25八年级上·天津和平·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．扩为原来的大3倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 3．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．不变 D．不能确定 类型七、将分式的分子分母各项系数化为整数 例题：（24-25八年级上·北京昌平·期中）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数， 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得 ． 2．（23-24八年级下·江苏南京·期中）不改变分式的值，把它的分子与分母中的各项系数都化成整数，结果为 ． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使得分式的分子和分母的各项系数都是整数． （1） ；（2） ；（3） ． 类型八、最简分式、约分、最简公分母、通分 例题：（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）将分式约分后的结果是 . 2．（24-25八年级上·北京通州·期中）分式，，的最简公分母是 ． 3．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）通分： (1)，，； (2)，． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）通分： (1)，； (2)，，． 压轴能力测评（20题） 一、单选题 1．（2024七年级上·上海·专题练习）下列分式中是最简分式的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广西贵港·期中）下列各式从左到右的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·云南楚雄·期末）如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大2倍 D．缩小为原来的 4．（21-22八年级上·贵州铜仁·期末）下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0； B．当时，有意义； C．无论为何值，的值不可能是正整数 D．无论为何值，总有意义 5．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）若取整数，则使分式的值为整数的值有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 6．（24-25八年级上·山东济宁·期中）对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）分式和的最简公分母是 ． 8．（23-24七年级下·四川遂宁·阶段练习）约分：（1） ．（2） ． 9．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）在，，，，中，属于分式的有 个． 10．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）若分式的值为零，则的值等于 ． 11．（2024八年级上·全国·专题练习）有分别写有的三张卡片，若从中任选一个作为分式的分子，使得分式为最简分式，则应选择写有 的卡片． 12．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）若的值为非负数，则的取值范围是 ． 三、解答题 13．（23-24八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数． (1)； (2)． 14．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）计算． (1)约分： ； (2)通分：，． 15．（23-24八年级下·全国·课后作业）写出下列等式中所缺的分子或分母： (1)括号内应填入 ； (2)括号内应填入 ； (3)括号内应填入 ． 16．（23-24八年级下·全国·课后作业）当x满足什么条件时，下列分式有意义？ (1)； (2)． 17．（24-25八年级上·河南安阳·阶段练习）已知，求分式的值． 18．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 19．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)求的值． (2)当分式的值为正整数时，求整数的值． 20．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）用数学的眼光观察： 等式：． 若，求代数式的值． 解：因为，所以，所以，所以． 用数学的思维思考并表达： (1)填空：_______； (2)若，求的值； (3)已知，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 分式及其基本性质的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、分式的判断 2 类型二、分式有无意义的条件 4 类型三、分式值为零的条件 5 类型四、求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 6 类型五、求使分式值为整数时未知数的整数值 8 类型六、利用分式的基本性质判断分式值的变化 10 类型七、将分式的分子分母各项系数化为整数 12 类型八、最简分式、约分、最简公分母、通分 14 压轴能力测评（20题） 16 解题知识必备 知识点01 分式的概念及意义 1.分式的意义 知识点02 分式的值为正或为负 （1）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0 （2）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0 知识点03 分式的基本性质 1）分数的性质（特点）如下： ①分母不能为零;②分数分子分母同乘除不为零的数，分数的大小不变;③分数的通分与约分（短除法）. 2）分式是分数的拓展延伸，分式有与分数类似的性质（特点）： ①分式分母也不能为零 ②分式分子分母同乘除一个不为零的整式，分式大小不变。即： 用式子表示为或，其中A，B，C均为整式． ③分式的通分与约分在知识点4中详细讲解. 知识点04 分式的约分与通分 1）分式的约分：与分数的约分类似，约去分式分子、分母中的公因式（最大公约数）. 注：有时，分式分子、分母需进行一定的转换才有公因式。 2）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式． 注：约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式． 3）分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改变分式的值。 步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍数;③分子对应扩大相同倍数. 4）最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 压轴题型讲练 类型一、分式的判断 例题：（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式：，，，，其中分式的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，理解分式的定义是解决本题的关键． 根据分式的定义：即分母中含有字母的式子叫做分式，即可一一判定； 【详解】解：，，都是整式，不是分式， ，是分式，共个； 故选：C 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）下列式子：，，，， ，，其中是分式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，已知整式A和B，如果中分母B含有字母，那么叫分式，熟练掌握分式的定义是解题的关键；根据分式的定义进行判断即可． 【详解】解：根据分式的定义，其中是分式的是，，，共3个， 故选：B． 2．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）下列各式中，，，，是分式的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的概念，根据分式的概念，一般的，如果表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，由此问题可求解，熟练掌握分式的概念是解题的关键． 【详解】解：根据分式的概念可知是分式的有，，，，共个， 故选：． 3．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）在，，，，，中，分式的个数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，正确理解分式定义是解题的关键，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式。 【详解】解：由此可得，不是分式，，，， 是分式，共4个分式， 故选B 类型二、分式有无意义的条件 例题：（24-25八年级上·吉林长春·期末）若分式在实数范围内有意义，则实数应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件 【分析】此题考查了分式有意义的条件，分式的分母不等于0是分式有意义的条件．据此列式解答即可． 【详解】解：∵分式在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故选：B 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）要使得分式有意义，则x满足的条件是（　　） A． B． C． D．x≠1 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键． 根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， ， 即． 故选：B． 2．（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）分式无意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件：分母为0．根据分式有意义的条件，即可解答． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得：， 故选：B． 3．（23-24八年级上·山东泰安·阶段练习）若分式无意义，则的值为（       ） A．1 B． C．或1 D．0 【答案】C 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据分式无意义的条件为分母为零可得，计算即可得解． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴或， 故选：C． 类型三、分式值为零的条件 例题：（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件；根据分式的值为0，则分母不为0，分子为0进行计算即可． 【详解】解：∵， 解得 ∴x的值为 故答案为： 【变式训练】 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）当 时，分式的值为零． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为零，根据分子的值等于且分母的值不等于解答即可求解，掌握分式的值为零的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）分式，则 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握分式的值为零的条件是解题关键． 直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不为零，进而得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河南信阳·期末）若分式的值为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可．根据分子等于零且分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：分式的值为， 且， 解得：， 故答案为：． 类型四、求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 例题：（24-25八年级上·河北廊坊·期末）已知分式的值为正数，写出一个符合条件的的正整数值： ． 【答案】4（答案不唯一，填写1，2，3，4四个数中的任何一个都对） 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题主要考查了分式的值，根据除法的符号法则可知分子与分母同号，又分子，故分母， 从而求出的取值范围，熟练掌握分子与分母同号，分式的值大于0，分子与分母异号，分式的值小于0是解决此题的关键． 【详解】解：∵分式的值为正数， ， 又 ， ， ， 故当时，分式的值为正数， ∴的正整数值可为4（答案不唯一，填写1，2，3，4四个数中的任何一个都对）， 故答案为：4（答案不唯一，填写1，2，3，4四个数中的任何一个都对）． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）分式的值为负数，求x的取值范围 ． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题考查分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母必是正数，分子的值是负数则可，从而列出不等式． 【详解】解：∵分式若有意义，分母不能为0， ∴， ∴ ∴ ∵分式的值为负数， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 2．（23-24八年级上·山东聊城·单元测试）若分式的值为负数，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题考查分式的值，根据分式的值为负数，绝对值为非负数，得到且，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴且， ∴； 故答案为：． 3．（22-23八年级上·山东威海·期中）若分式的值为负数，则的取值范围 ． 【答案】 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】此题考查了分式的值，涉及的知识有：非负数的性质，以及解一元一次不等式，列出关于x的不等式是解本题的关键． 【详解】解：∵， 要使分式的值为负数，则， 解得， 故答案为：． 类型五、求使分式值为整数时未知数的整数值 例题：（2023·江苏扬州·三模）能使分式值为整数的整数有 个． 【答案】 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将转化为，进一步求解即可． 【详解】解：， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∴， ∵也是整数， ∴， 解得：； ∴能使分式值为整数的整数有个． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）若使分式的值是整数，则所有符合条件的整数m的和为 ． 【答案】1 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了分式的值，把握分母是4的因数是解题的关键；由题意，是4的因数，且为奇数，由此可求得m的值，进而求得所有整数m的和． 【详解】解：要使分式的值是整数，则是4的因数， 故， 但是奇数，则， 所以或0 ； 所以； 故答案为：1． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 【答案】或或或 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题，将分式化为，分别代值计算，即可求解；掌握这类典型问题的解法是解题的关键． 【详解】解： ， 分式的值为整数，且x是整数， 或 或或， 解得：或或或， 故答案：或或或． 3．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）已知x为整数，且分式的值为正整数，则x可取的值有 ． 【答案】2，3，5 【知识点】约分、求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查分式的化简，先根据分式的性质化简分式，然后根据题意得到x的取值，进而可求解． 【详解】解： ， ∵x为整数，且分式即的值为正整数， ∴x可取的值有2，3，5， 故答案为：2，3，5． 类型六、利用分式的基本性质判断分式值的变化 例题：（24-25八年级上·天津和平·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】杠题主要考查分式的运算，分别根据分式的运算法则进行判断即可． 【详解】解：A．，故选项A计算错误，不符合题意； B．，故选项B计算错误，不符合题意； C．，故选项C计算错误，不符合题意； D. ，计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数，分式的值不变．根据分式的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、当时，，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．扩为原来的大3倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】C 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据和都扩大为原来的3倍再代入化简即可得到答案． 【详解】解：∵和都扩大为原来的3倍， ∴， 故选：C． 3．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．不变 D．不能确定 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查分式的基本性质．根据分式的基本性质进行解答即可． 【详解】解：分式中的x，y都扩大为原来的2倍，变为 ， 所以分式的值扩大为原来的2倍， 故选：A． 类型七、将分式的分子分母各项系数化为整数 例题：（24-25八年级上·北京昌平·期中）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数， 【答案】（答案不唯一） 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0 的数或整式，分式的值不变，据此把分式的分子分母同时乘以10即可得到答案． 【详解】解：把分式的分子分母同时乘以10得， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得 ． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式的分子分母都乘以，再化简即可，解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于的数，分式的值不变． 【详解】解：原式， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·江苏南京·期中）不改变分式的值，把它的分子与分母中的各项系数都化成整数，结果为 ． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使得分式的分子和分母的各项系数都是整数． （1） ；（2） ；（3） ． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解； （2）利用分式的基本性质解答，即可求解； （3）利用分式的基本性质解答，即可求解． 【详解】解：（1）； 故答案为： （2）； 故答案为： （3） 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 类型八、最简分式、约分、最简公分母、通分 例题：（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式，据此即可判断求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、分子分母中含有公因数，不是最简分式，该选项不合题意； 、，分子分母中含有公因式，不是最简分式，该选项不合题意； 、是最简分式，该选项符合题意； 、分子分母中含有公因式，不是最简分式，该选项不合题意； 故选：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）将分式约分后的结果是 . 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分，找出分子和分母的最大公因式，再根据分式的性质进行计算即可．找出分式分子和分母的最大公因式是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为： 2．（24-25八年级上·北京通州·期中）分式，，的最简公分母是 ． 【答案】 【知识点】最简公分母 【分析】此题考查了最简公分母，解题的关键是理解取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 按照求最简公分母的方法求解即可． 【详解】解：∵的最小公倍数为的最高次幂为的最高次幂为2， ∴最简公分母为， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）通分： (1)，，； (2)，． 【答案】(1)，， (2)， 【知识点】通分 【分析】本题考查了通分，准确熟练地找出最简公分母是解题的关键． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：最简公分母是， 所以； ； ； （2）解：最简公分母是， 所以； ． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）通分： (1)，； (2)，，． 【答案】(1)， (2)，， 【知识点】通分 【分析】本题考查了分式的通分，确定各分式的最简公分母即可． （1）最简公分母为，据此即可求解； （2）最简公分母为，据此即可求解； 【详解】（1）解：， （2）解： 压轴能力测评（20题） 一、单选题 1．（2024七年级上·上海·专题练习）下列分式中是最简分式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简分式、约分 【分析】本题主要考查了最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 根据最简分式的定义求解即可． 【详解】解：．，不符合题意； B．是最简分式，符合题意； C．，不符合题意； D．，不符合题意. 故选：B． 2．（24-25八年级上·广西贵港·期中）下列各式从左到右的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质即可判断． 【详解】解：A、不一定成立，故选项不符合题意； B、正确，故选项符合题意； C、不一定成立，故选项不符合题意； D、不成立，故选项不符合题意； 故选：B． 3．（23-24八年级上·云南楚雄·期末）如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大2倍 D．缩小为原来的 【答案】B 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．依题意，分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍， 则， 即分式的值缩小为原来的， 故选：B． 4．（21-22八年级上·贵州铜仁·期末）下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0； B．当时，有意义； C．无论为何值，的值不可能是正整数 D．无论为何值，总有意义 【答案】D 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、分式有意义的条件、分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件及分式值为零的条件，理解这两个条件是关键；根据分式有意义的条件及分式值为零的条件去判断即可． 【详解】解：A、当时，分式无意义，故判断错误； B、当时，有意义，故判断错误； C、当时，的值是正整数3，故判断错误； D、由于，则无论为何值，总有意义，故判断正确； 故选：D． 5．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）若取整数，则使分式的值为整数的值有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】B 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查了分式的值是整数的条件，分离假分式是解题的关键．先将假分式分离可得出，根据题意可知是6的整数约数，求解即可获得答案． 【详解】解：， 由题意可知，是6的整数约数， ∴，，，，1，2，3，6， 解得，，，0，1，，2，， 其中的值为整数为，0，1，2，共4个． 故选：B． 6．（24-25八年级上·山东济宁·期中）对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了分式的定义，规律问题．根据伴随分式的定义依次求出每个分式的伴随分式，然后发现每4个为一循环，再让，根据结果即可确定． 【详解】解：， ， ， ， ， ，，， 个一循环， ， ， 故选：A． 二、填空题 7．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）分式和的最简公分母是 ． 【答案】/ 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查了最简公分母，熟练掌握找公分母的方法是解题的关键． 根据最简公分母的定义求解即可． 【详解】解：分式和的分母分别为，， 最简公分母是， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·四川遂宁·阶段练习）约分：（1） ．（2） ． 【答案】 【知识点】约分、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了约分，约分的关键是找出分式分子分母的公因式． （1）找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可； （2）分子分母分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）在，，，，中，属于分式的有 个． 【答案】2 【知识点】分式的判断 【分析】仔细观察，确定分母中有字母，与系数，指数无关． 本题考查了分式的定义，分母中含有字母是判断的关键． 【详解】解：根据题意，得是分式的是，共有2个， 故答案为：2． 10．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）若分式的值为零，则的值等于 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是得出且．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时牢记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．由分式的值为0可得出且，解方程即可得出结论． 【详解】解：分式的值为零， 且， 解得：且， 故答案为：1． 11．（2024八年级上·全国·专题练习）有分别写有的三张卡片，若从中任选一个作为分式的分子，使得分式为最简分式，则应选择写有 的卡片． 【答案】x 【知识点】最简分式 【分析】本题主要考查了最简分式，正确掌握分式的基本性质及最简分式定义是解题关键．直接利用分式的基本性质以及最简分式的定义分析得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，都不是最简分式， 而无法化简，故是最简分式， 故使得分式为最简分式，则应选择写有x的卡片． 故答案为：x． 12．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）若的值为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】或 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求不等式组的解集 【分析】根据题意，列出不等式组，即可求解， 本题考查了，解一元一次不等式组，解题的关键是：根据题意列出不等式组． 【详解】解：根据题意得：或， 解得：或， 故答案为：或． 三、解答题 13．（23-24八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键； （1）根据分式的基本性质变形即可； （2）根据分式的基本性质变形即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 14．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）计算． (1)约分： ； (2)通分：，． 【答案】(1) (2)， 【知识点】通分、约分 【分析】本题主要考查了分式的约分和通分，熟知约分和通分的计算法则是解题的关键． （1）分别把分子和分母分解因式，然后约去公因式即可得到答案； （2）先把两个分式的分母分解因式，再找到两个分式的公分母，再进行通分即可． 【详解】（1） ； （2）， ， ， 15．（23-24八年级下·全国·课后作业）写出下列等式中所缺的分子或分母： (1)括号内应填入 ； (2)括号内应填入 ； (3)括号内应填入 ． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化、约分 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式分子分母同时乘以或者除以一个不为0的数，分式的值不变． （1）根据，确定分子，分母同乘以计算即可． （2）根据，确定分子，分母同乘以计算即可． （3）根据，分式的分子，分母同时除以x计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：． （2）∵ ∴， 故答案为： （3）∵， ∴， 故答案为：． 16．（23-24八年级下·全国·课后作业）当x满足什么条件时，下列分式有意义？ (1)； (2)． 【答案】(1)x为任意实数 (2)且 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0． （1）根据分母不为0可得x的取值范围； （2）根据分母不为0可得x的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴x为任意实数． （2）解：， 解得且． 17．（24-25八年级上·河南安阳·阶段练习）已知，求分式的值． 【答案】 【知识点】分式的求值 【分析】本题考查了求分式的值，转化所求问题后将已知条件整体代入，正确的化简和已知条件转化是解答此题的关键．由已知可得，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果． 【详解】解：， ， ， ． 18．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 【答案】(1) (2)且 (3) 【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件、分式的求值 【分析】本题考查的是分式的求值，分式有意义的条件，分式的值为0的条件，掌握分式的基础概念是解本题的关键； （1）直接把代入计算即可； （2）由分母不为0建立不等式求解即可； （3）由分子为0，分母不为0，再求解即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）∵有意义， ∴且， 解得：且； （3）∵的值为0， ∴， 解得：， ∵且， ∴且； ∴； 19．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)求的值． (2)当分式的值为正整数时，求整数的值． 【答案】(1)， (2)整数的值为0，1，3 【知识点】分式的求值、分式无意义的条件、分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件和分式的计算，熟练掌握分式有意义的条件和分式的计算是解题的关键． （1）根据使得分式无意义，时分式的值为0，即可解得； （2）将，代入，得到分式为，逐一代入整数的值即可求解． 【详解】（1）解： 当时，分式无意义， ， 解得， 当时，此分式的值为0， ， 解得， （2）解： ，， ， 当，， ，， ，， 综上，整数的值为0，1，3． 20．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）用数学的眼光观察： 等式：． 若，求代数式的值． 解：因为，所以，所以，所以． 用数学的思维思考并表达： (1)填空：_______； (2)若，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】（）根据完全平方公式进行计算即可求解； （）根据（）的方法进行计算即可求解； （）根据题意得出，再由，从而可得，然后进行求倒数即可求解； 本题考查了完全平方公式的变形求值，分式的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$