（新课衔接站）专题02 乘、除法的意义和各部分间的关系-2024-2025学年人教版数学四年级寒假学习培优真题讲练讲义（学生版+教师版）

2024-2025学年人教版数学四年级寒假学习培优讲义（新课衔接） 专题02 乘、除法的意义和各部分间的关系 （导图+3个知识点+7个易错点+7个考点讲练+拔尖训练） 目录 导图知识荟萃 2 新知预习强化 2 知识点01：乘法的意义 2 知识点02：除法的意义 3 知识点03：乘除法各部分间的关系 3 易错知识指引 3 易错知识点01：加法意义的理解误区 3 易错知识点02：减法意义的理解偏差 3 易错知识点03：各部分名称混淆 4 易错知识点04： 加减法关系理解不透彻 4 易错知识点05：运算顺序错误 4 易错知识点06：实际问题与数学模型的脱节 4 易错知识点07：忽视验算的重要性 4 考点培优讲练 4 考点1：表内乘加、乘减 4 考点2：表外乘加、乘减 7 考点3：表内除加、除减 8 考点4：表外除加、除减 9 考点5：表内乘除混合 11 考点6：表外乘除混合 13 考点7：无括号四则混合运算 14 真题汇编拔尖练 16 知识点01：乘法的意义 1. 乘法的定义：乘法是加法的简便运算，表示求几个相同加数的和的简便运算。例如，3×4可以表示为3+3+3+3或4+4+4。 2. 乘法的各部分名称：在乘法算式中，乘号“×”前后的数叫做因数（乘数），等号“=”后边的数叫做积。例如，在3×4=12中，3和4是因数，12是积。 3. 乘法的性质： 交换律：a×b=b×a（两个因数相乘，交换因数的位置，积不变）。 结合律：(a×b)×c=a×(b×c)（三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变）。 4. 乘法的应用：乘法广泛应用于解决实际问题，如计算面积、体积、数量关系的表示等。 知识点02：除法的意义 1. 除法的定义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。例如，在12÷3=4中，12是被除数，3是除数，4是商。 2. 除法的各部分名称：在除法算式中，除号“÷”前面的数叫做被除数，除号“÷”后面的数叫做除数，等号“=”后边的数叫做商。被除数÷除数=商。 3. 除法的性质： 除法的运算性质与乘法的逆运算紧密相关。即，如果a×b=c，那么c÷b=a（在b不为0的情况下）。 4. 有余数的除法：在整数除法中，如果除数大于被除数的个位，且被除数不能被除数整除，那么除法运算的结果会有余数。例如，在9÷4=2……1中，9是被除数，4是除数，2是商，1是余数。 5. 除法的应用：除法广泛应用于解决实际问题，如求解平均数、比例关系、未知数等。 知识点03：乘除法各部分间的关系 1. 乘法与除法的关系：乘法与除法是互为逆运算的关系。即，如果a×b=c，那么c÷b=a（在b不为0的情况下），同时c÷a=b（在a不为0的情况下）。 2. 因数、积与商的关系：在乘法中，因数的乘积等于积；在除法中，被除数等于除数乘以商（在没有余数的情况下），或者等于除数乘以商再加上余数（在有余数的情况下）。 易错知识点01：加法意义的理解误区 易错点：学生可能误认为加法只能用于两个数的合并，而忽视了加法在解决实际问题中的广泛应用，如计数、测量等。 纠正：加法不仅限于两个数的简单合并，它还可以用于表示数量的增加、累积等。 易错知识点02：减法意义的理解偏差 易错点：学生可能将减法仅视为“拿走”或“去掉”的动作，而忽视了减法在求解未知数中的应用。 纠正：减法不仅是“拿走”或“去掉”，它更是求解部分与整体关系、未知数的重要手段。 易错知识点03：各部分名称混淆 易错点：学生在使用加法或减法时，容易混淆加数、和、被减数、减数、差等概念。 纠正：明确各部分名称，并在解题过程中准确使用，避免混淆。 易错知识点04： 加减法关系理解不透彻 易错点：学生可能认为加法和减法是相互独立的运算，而忽视了它们之间的内在联系。 纠正：加法与减法互为逆运算，理解这一点有助于更好地掌握加减法的应用。 易错知识点05：运算顺序错误 易错点：在进行加减混合运算时，学生可能忽视运算的优先级，导致计算结果错误。 纠正：遵循“先乘除后加减”的运算顺序，确保计算结果的准确性。 易错知识点06：实际问题与数学模型的脱节 易错点：学生在将实际问题转化为加减法问题时，可能忽视问题中的关键信息，导致建立的数学模型不准确。 纠正：仔细分析问题，提取关键信息，确保建立的数学模型与实际问题相符。 易错知识点07：忽视验算的重要性 易错点：学生在完成加减法运算后，可能忽视验算步骤，导致错误未能及时发现。 纠正：养成验算的好习惯，利用加减法各部分间的关系进行验算，确保计算结果的准确性 考点1：表内乘加、乘减 【典例精讲】（2024春•舞钢市期末）小梅和小娟同时从学校出发各自回家，小娟的速度是55米分，小梅的速度是50米分，8分钟后两人同时到家。 （1）小梅家和小娟家相距多少米？ （2）一天，两人按照各自原来的速度同时从学校去小玲家，5分钟后小娟到达小玲家，这时小梅离小玲家多远？ 【思路点拨】对于（1），根据速度和时间路程列式求解； 对于（2），由题意可知小梅比小娟少走的路程为小梅与小娟5分钟所走的路程差，根据“速度差时间路程”列式求解。 【规范解答】解：（1） （米 答：小梅与小娟两家相距840米。 （2） （米 答：这时小梅离小玲家有25米。 【考点评析】本题考查行程问题的解法，需要明确路程、速度与时间之间的关系。 【变式1】（2020秋•成安县月考）小华出了一道题考小明：计算．聪明的小明想了想，马上说出了正确的答案． 你知道小明是怎样算的吗？ 【思路点拨】计算可以把看成3个2相加，再根据加法交换律和结合律简算． 【规范解答】解：把看成3个2相加，再根据加法交换律和结合律计算，如下： 【考点评析】完成本题要注意分析式中数据，运用合适的简便方法计算． 【变式2】（2024春•顺庆区期末）下面各图中，不能说明“”与“”相等的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】乘法分配律：用字母表示是，由此对各个选项进行分析，找出不能说明这个运算定律的选项即可。 【规范解答】解： 不能说明。 （元 能说明。 （个 能说明。 根据长方形周长公式可知， （厘米） 能说明。 所以不能说明“”与“”相等的是①。 故选：。 【考点评析】熟练地掌握乘法分配律是解答本题的关键。 考点2：表外乘加、乘减 【典例精讲】（2024秋•沈阳期末）食堂运来一批大米和面粉，其中大米有115千克，面粉的质量比大米的3倍多196千克，食堂运来多少千克面粉？ 【思路点拨】用大米的质量乘3，求出大米的3倍是多少，再加上面粉的质量比大米的3倍多的质量，即可求出面粉的质量。 【规范解答】解： （千克） 答：食堂运来541千克面粉。 【考点评析】此题考查表外乘加的计算及应用。 【变式1】（2024春•兴义市期末）小红在计算★时，错算成★，这样算出的结果是45。这道算式中的★是 　5　，原算式的正确答案是 　　。 【思路点拨】根据乘法算式和加法算式各部分之间的关系，算出算式中的★是多少，再根据整数四则混合运算的计算方法，算出原算式的正确答案。 【规范解答】解： 答：这道算式中的★是5，原算式的正确答案是120。 故答案为：5；120。 【考点评析】本题解题的关键是熟练掌握乘法算式和加法算式各部分之间的关系，以及整数四则混合运算的计算方法。 【变式2】（2024春•龙岩期末）下列问题中，能用算式“”解决的是　　 A．葡萄每千克25元，苹果每千克10元。各买2千克，葡萄的总价比苹果总价贵多少钱？ B．葡萄原价每千克25元，现降价10元，买2千克一共要花多少元？ C．葡萄每千克25元，买1千克付了2张10元的人民币，还需付多少钱？ D．葡萄每千克25元，买一千克苹果比它便宜10元。买2千克苹果多少钱？ 【思路点拨】选项，根据总价单价数量，分别计算出葡萄的总价和苹果总价，再用减法计算出葡萄的总价比苹果总价贵多少钱，列式为：； 选项，先用减法计算出葡萄的现价，再根据总价单价数量，计算出买2千克一共要花多少元，列式为：； 选项，先用乘法计算出2张10元的人民币的钱数之和，再用1千克葡萄的钱数减去2张10元的人民币的钱数之和，即可计算出还需付多少钱，列式为：； 选项，先用减法计算出苹果的现价，再根据总价单价数量，计算出买2千克苹果多少钱，列式为：。 【规范解答】解：根据上面的分析，能用算式“”解决的是：葡萄每千克25元，买1千克付了2张10元的人民币，还需付多少钱？ 故选：。 【考点评析】本题解题的关键是根据总价单价数量和加减法的意义，逐一分析每题的计算方法。 考点3：表内除加、除减 【典例精讲】（2024春•丰润区期中）应先算 　除　法，再算 　　法。如果变成先加法，再除法，原式应变成 　　，我知道 　　能改变运算顺序。 【思路点拨】根据表外除加混合运算的运算顺序进行计算即可。 【规范解答】解：应先算除法，再算加法。如果变成先加法，再除法，原式应变成，我知道括号能改变运算顺序。 故答案为：除；加；；括号。 【考点评析】本题考查外除加混合运算的运算顺序。 【变式1】（2023春•铜梁区期末）把算式“”按“先算加法，再算除法，最后算乘法”的运算顺序添上括号后是 　　。 【思路点拨】四则混合运算的顺序：一个算式里，如果只有加减法或者只有乘除法，按照从左到右的顺序依次计算；如果既有加减法、又有乘除法，先算乘除法、再算加减法；如果有括号，先算括号里面的；据此解答即可。 【规范解答】解：把算式“”按“先算加法，再算除法，最后算乘法”的运算顺序添上括号后是。 故答案为：。 【考点评析】本题考查的目的是让学生熟练掌握四则混合运算的顺序。 【变式2】．（2024春•项城市期末）将，合并成一道综合算式，应是　　 A． B． C． 【思路点拨】根据题意，先算56除以7的商，再用39减去所得的商即可。 【规范解答】解：将，合并成一道综合算式，应是：。 故选：。 【考点评析】列综合算式，关键是弄清运算顺序，然后再列式解答。 考点4：表外除加、除减 【典例精讲】（2024春•叶县期中）看图列式计算。 （1） （2） 【思路点拨】（1）根据图示可知：二班比一班少捐了20本，一班和二班合计捐了180本，根据和差公式可得：一班捐的本数（和差），用两个班捐的本数减去一班捐的本数即是二班捐的本数，据此计算； （2）用长方形的面积减去阴影部分的面积即是所求。 【规范解答】解：（1） （本 （本 答：一班捐了100本，二班捐了80本。 （2）（平方米） （平方米） （平方米） 答：空白部分的面积是50平方米。 【考点评析】本题考查了和差问题的应用以及面积的计算。 【变式1】．（2024春•房县期中）在横线上填上“”“ ”或“”。 　　 　　 3.0995 　　4.01 5.6平方千米 　　56公顷 【思路点拨】根据整数、小数的大小比较方法进行比较，再确定大小，注意算式先计算出结果再比较大小；1平方千米公顷即可解答。 【规范解答】解：因为 所以 因为 所以 因为3.0995的个位是3 4.01的个位是4 所以 因为1平方千米公顷 5.6平方千米公顷 560公顷公顷 所以5.6平方千米公顷 故答案为：；；；。 【考点评析】小数在比较大小时，先比较整数部分，如果整数部分相同，再比较十分位，十分位相同时，再比较百分位，数位上的数相同时再比较下一位，依此类推，直到比较出大小。 【变式2】．（2019春•环江县期末）把，，列成综合算式是　　．0.82的计数单位是　　，再加上　　个这样的单位，就可以得到2． 【思路点拨】先用480除以30求出商，再用求出的商加上20求出和，再用7乘求出的和即可； 首先搞清这个数字在小数的什么数位上和这个数位的计数单位，它就表示有几个这样的计数单位，所以0.82的计数单位是 0.01；因为，所以再添上118个这样的计数单位结果等于2；据此解答． 【规范解答】解：把，，列成综合算式是． 0.82的计数单位是 0.01，再加上 118个这样的单位，就可以得到2 故答案为：；0.01；118． 【考点评析】本题主要考查了整数四则混合运算的顺序以及小数表示的意义，解答时一定要看清小数的数位和这个数位的计数单位． 考点5：表内乘除混合 【典例精讲】（2020秋•丹阳市校级月考）小军用36元买了4盒正方形蛋糕，每盒3块；小华用50元买了5盒圆形蛋糕，每盒2块；小力用48元买了3盒三角形蛋糕，每盒4块．哪种蛋糕最贵，哪种最便宜？ 【思路点拨】根据公式总价数量单价进行计算，然后再比较即可． 【规范解答】解：正方形蛋糕的价钱： （元， 圆形蛋糕的价钱： （元， 三角形蛋糕的价钱： （元， 5元元元； 答：圆形蛋糕最贵，正方形蛋糕最便宜． 【考点评析】解答此题的关键是确定每盒的钱数，然后再计算出每块的钱数即可． 【变式1】（2024春•高邮市期中）用递等式计算。 【思路点拨】（1）按照从左到右的顺序计算即可； （2）先算乘、除法，再算加法； （3）先算乘法，再算减法，最后算加法。 【规范解答】解： 【考点评析】本题考查的是四则混合运算的运用，确定正确的运算顺序是解答本题的关键。 【变式2】（2024春•杞县期中）直接写得数。 【思路点拨】根据整数加减乘除法的计算方法以及小数点位置移动引起小数大小变化的规律进行计算。 【规范解答】解： 【考点评析】口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步计算。 考点6：表外乘除混合 【典例精讲】（2021春•疏勒县期末）学校买回6梱书，每梱40本，把这些平均分给8个班，每个班可分图书多少本？ 【思路点拨】根据整数乘法的意义，用每捆的本数乘捆数，求出书的总本数，再根据整数除法的意义除以8即可． 【规范解答】解： （本 答：每个班可分图书30本． 【考点评析】考查了根据整数乘除法的意义解决问题的能力． 【变式1】（2021春•泊头市期中）奶牛场有5个牛棚，每个牛棚有4头奶牛，奶牛场一天共喂饲料．平均每头奶牛一天喂多少千克饲料？（用两种方法解答） 【思路点拨】每个牛棚有4头奶牛，5个牛棚共有5个4头，即头，再根据整数除法的意义，用； 奶牛场一天共喂饲料，用求出每个牛棚每天需要的饲料，再除以4即可． 【规范解答】解： ． 答：平均每头奶牛一天喂18千克饲料． 【考点评析】此题属于连除应用题，这类应用题有两种不同的解法，关键是分析好先求什么，再求什么，进而列式计算得解． 【变式2】（2024春•海门区期中）小青在计算一道三位数乘两位数的算式时，把两位数21错看成了12，得到的结果比正确结果小936。正确的结果是 　2184　。 【思路点拨】把其中一个乘数21看成了12，即少看了三位数的9倍，三位数没有看错，根据少了的积求出正确的三位数因数后即可解决。 【规范解答】解： 答：正确的结果是2184。 故答案为：2184。 【考点评析】本题考查了整数乘除法的计算方法的灵活运用。 考点7：无括号四则混合运算 【典例精讲】（2023春•商州区期中）　　 A．20 B．15 C．108 D．10 【思路点拨】解答时首先算除法，再算乘法，最后算减法，据此计算即可。 【规范解答】解： 故选：。 【考点评析】此题考查整数混合运算顺序和计算能力。 【变式1】（2023春•山海关区期末）13与540的积减去225与15的商，差是多少？列式为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】先算13与540的积、225与15的商，再用所得的积减去所得的商即可。 【规范解答】解： 答：差是7005。 故选：。 【考点评析】根据题意，先弄清运算顺序，然后再列式进行解答。 【变式2】（2023春•广阳区期末）计算，能简算的要简算。 【思路点拨】先算除法，再算乘法，最后算减法； 先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，最后算中括号外的乘法； 将72化成后利用乘法结合律计算； 利用乘法分配律计算； 利用除法的性质计算； 利用加法交换律和结合律计算。 【规范解答】解： 【考点评析】解答本题需熟练掌握四则混合运算顺序，灵活使用运算律和运算性质。 1．（2024春•南京期中）小刚用计算器算时，发现数字键3坏了，下面哪种方法是对的？　　 A． B． C． D． 【思路点拨】计算时，可以将32写成的形式，再根据除法的性质，进行解答即可。 【规范解答】解： 故选：。 【考点评析】本题考查两位数除多位数的计算。注意计算的准确性。 2．（2024春•官渡区期末）根据，，。列出一个综合算式是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】先将中的51换成，再将153换成即可。 【规范解答】解：根据，，。列出一个综合算式是。 故选：。 【考点评析】解答本题需熟练掌握四则混合运算顺序，明确添加括号可以改变运算顺序。 3．（2024春•临平区期末）新华书店搞促销活动，《漫画数学》每套62元，《数学王国奇遇记》每套46元，买4套《漫画数学》和5套《数学王国奇遇记》，一共需要多少元？下面所列算式中，错误的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】方法一：根据总价单价数量，分别代入数值求出4套《漫画数学》的价钱和5套《数学王国奇遇记》的价钱，再相加，即可求出一共需要多少元钱。 方法二：假设买5套《漫画数学》，计算之后再减去一套《漫画数学》的价钱； 方法三：假设买4套《数学王国奇遇记》，计算之后再计算之后再加上一套《数学王国奇遇记》的价钱。 【规范解答】解：新华书店搞促销活动，《漫画数学》每套62元，《数学王国奇遇记》每套46元，买4套《漫画数学》和5套《数学王国奇遇记》，一共需要多少元？下面所列算式中，错误的是。 故选：。 【考点评析】本题考查表外乘加混合运算的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。 4．（2024春•方城县期中）不能解决的问题是　　 A．男生5人，女生7人，平均每人栽树12棵，一共栽多少棵树？ B．参加绘画比赛的男生有12人，女生人数是男生的5倍多7人，女生有多少人？ C．工程队修路，平均每天修12米，已经修了5天还有7米没有修，这条路一共多少米？ 【思路点拨】选项中，平均每人栽的棵数男生人数平均每人栽的棵数女生人数一共栽的棵数；选项中，参加绘画比赛的男生人数人参加绘画比赛的女生人数；选项中，平均每天修的长度修的天数没有修的长度这条路的总长度，依此选择。 【规范解答】解：．列式为：，因此不能解决此项问题。 ．列式为：，因此能解决此项问题。 ．列式为：，因此能解决此项问题。 故选：。 【考点评析】考查了运用整数乘法和加法的意义解决实际问题的能力。 5．（2024春•方城县期末）根据算式，和，列出一道综合算式 　　。 【思路点拨】根据题意，先算7560除以90的商、再用238加上所得的商，最后用18乘所得的和即可。 【规范解答】解：根据算式，和，列出一道综合算式是：。 故答案为：。 【考点评析】列综合算式，关键是弄清运算顺序，然后再列式解答。 6．（2024春•江岸区期末）小马虎计算□时弄错了运算顺序，结果算出来比正确答案多72，□代表的数是 　3　。 【思路点拨】□先算乘法后算加法，弄错了运算顺序，先算的加法，后算的乘法，按运算顺序计算即可解答。 【规范解答】解：弄错了运算顺序，先算的加法，后算的乘法， 算式就变成□， □ □□ 比原式多了 □□□ □□□ □ 所以 □ □ □ 答：□代表的数是3。 故答案为：3。 【考点评析】熟练掌握四则混合运算的运算顺序和乘法分配律，是解答本题的关键。 7．（2022春•襄城县期末）用如图四张扑克牌上的点数，写一个得数是24的算式 　　。 【思路点拨】根据数的特点，四则混合运算的顺序，进行尝试凑数即可解决问题。 【规范解答】解：得数是24的算式可以是：。 故答案为：（答案不唯一）。 【考点评析】此题考查对运算符号的熟练运用，有一定的技巧性，关键是掌握整数的四则混合运算。 8．（2024春•项城市期末）只有加、减法或只有乘、除法的算式，按从左往右的顺序进行计算．　　．（判断对错） 【思路点拨】在一个算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，要按从左至右依次计算据此解答． 【规范解答】解：根据四则混合运算的计算顺序可知： 在一个算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，要从左到右按顺序计算． 故答案为：． 【考点评析】熟练掌握四则混合运算的顺序是解决本题的关键． 9．（2021秋•金山区期末）东东在计算□时，把运算顺序弄错了，结果得到500。这道题的正确得数是　20　。 【思路点拨】□，要先算乘法，再算减法，东东计算时，把运算顺序弄错了，说明东东是先算减法，再算乘法。再根据乘除法、加减法的互逆关系先算出□所表示的数字，再算出正确答案。 【规范解答】解： 答：正确的得数是20。 故答案为：20。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握整数四则混合运算的顺序，以及乘法、除法之间的关系，加、减法之间的关系及应用。 10．（2024春•万载县期中）小华在计算〇时，把算式抄成了〇，这样计算后，两个算式的结果相差了 　220　。 【思路点拨】把原式利用乘法分配律进行计算，再减去，即可求出相差了多少。 【规范解答】解： 答：两个算式的结果相差了220。 故答案为：220。 【考点评析】解答本题需熟练掌握乘法分配律在计算过程中的应用，灵活计算。 11．（2024春•陕州区期中）。 　　（判断对错） 【思路点拨】，既有减法，又有除法，应先算除法，再算减法；求出结果，再判断。 【规范解答】解： 所以，原题错误。 故答案为：。 【考点评析】考查了整数四则混合运算的顺序，先算乘除法，后算加减法，有括号的先算括号里面的。 12．（2023春•延庆区期末）与的计算结果相同。 　　（判断对错） 【思路点拨】分别求出各个算式的结果，再比较解答。 【规范解答】解： 所以，与的计算结果不相同； 因此原题错误。 故答案为：。 【考点评析】含有算式的比较大小，先求出算式的结果，然后再比较解答。 13．（2022春•安溪县期中）脱式计算 ． 【思路点拨】（1）先算除法和乘法，再算加法； （2）先算小括号里的加法，再算除法，最后算乘法． 【规范解答】解：（1） ； （2） ． 【考点评析】考查了整数四则混合运算，注意运算顺序和运算方法． 14．（2024春•洪洞县期末）山西也有着刀削面、莜面栲栳栳、平遥牛肉等众多特色美食。夕阳红旅游团想要购买36份种酥肉面套餐和22份种饸饹面套餐。一共需要支付多少元？ 套餐 内容 价格 种套餐 一碗酥肉面一个饽糕一份凉菜 28元 种套餐 一碗饸饹面一份枣米一份牛肉 36元 【思路点拨】根据单价数量总价，分别求出买36份种酥肉面套餐和22份种饸饹面套餐的价钱。然后再相加即可求出一共需要支付多少元。 【规范解答】解： （元 答：一共需要支付1800元。 【考点评析】解答本题的关键利用单价数量总价求出买36份种酥肉面套餐和22份种饸饹面套餐的价钱。 15．（2024春•石门县期末）某工厂原来每周用电3500度，开展节能活动后，原来两个月周）的用电量现在可以多用1周，平均每周节电多少度？ 【思路点拨】根据题意，用3500乘8求出原来两个月周）的用电量，然后再除以，求出现在平均每周的用电量，然后再用原来每周用电量减去现在平均每周的用电量即可。 【规范解答】解：（度 （度 （度 答：平均每周节电389度。 【考点评析】考查了运用整数乘除法和减法的意义解决实际问题的能力。 16．（2024春•延津县期末）王艳准备叠160颗星星给妈妈作为生日礼物。前3天平均每天叠20个，剩下的要4天叠完。剩下的平均每天要叠多少个？ 【思路点拨】根据题意，用20乘3求出前3天叠的数量，再用160减去前3天叠的数量，求出剩下的数量，然后再除以4即可。 【规范解答】解： （个 答：剩下的平均每天要叠25个。 【考点评析】考查了运用整数乘除法和减法的意义解决实际问题的能力。 17．（2024春•武平县期末）为了让孩子们的阅读知识面更加广泛，王老师去新华书店购置新书，刚好书店在举办“迎暑假”促销活动，所有图书买2本送1本。王老师要买15本同样的《十万个为什么》，需要付多少钱？ 【思路点拨】所有图书买2本送1本，也就是买2本给3本；用15除以3求出买了几个2本，然后乘2求出实际买的本数，然后再乘30即可。 【规范解答】解： （个 （元 答：需要付300元。 【考点评析】本题关键是明确2本送1本的含义，再求出实际买的本数，然后再进一步解答。 18．（2024春•南阳期末）附小学生为地震灾区孩子们捐书．三年级捐书230本，四年级捐的是三年级的2倍，比五年级少捐160本，三个年级共捐书多少本？ 【思路点拨】用三年级的捐书数乘以2，求出四年级的捐书数，再根据四年级比五年级少捐160本，就用四年级的捐书数加上160本，就是五年级的捐书数，再用加法求出三、四、五三个年级共捐书的本数即可． 【规范解答】解： （本； 答：三个年级共捐书1310本． 【考点评析】解答此题的关键：根据求一个数的几倍是多少，求出四年级捐书数，再根据一个数比另一个数多（或少）几，进而求出五年级的捐书数，即可用加法解答即可． 19．（2024春•海门区期中）山上原有48行白杨树，每行的棵数相等，今年打算再栽这样的9行，需要购进树苗324棵，山上原有白杨树多少棵？ 【思路点拨】再栽这样的9行，需要购进树苗324棵，根据除法的意义，用324除以9求出每行栽多少棵，再用每行栽的棵数乘原来的48即可求出山上原有白杨树多少棵。 【规范解答】解： （棵 答：山上原有白杨树1728棵。 【考点评析】本题关键是求出每一行的棵数，然后再进一步解答。 20．（2024春•海门区期中）商场年中庆典，某品牌飞行员夹克反季节促销。原来买15件的钱现在可以买多少件？ 【思路点拨】首先根据总价单价数量，用飞行员夹克的原价乘以购买的数量15件，求出原来买15件的钱一共需要多少钱；然后用原来买15件的钱数除以飞行员夹克的现价，求出原来买15件的钱现在可以买多少件即可。 【规范解答】解： （件 答：原来买15件的钱现在可以买18件。 【考点评析】此题主要考查了乘法、除法的意义的应用，解答此题的关键是熟练掌握单价、总价、数量的关系。 21．（2022春•金湾区期中）100千克花生可以榨油39千克，10千克花生可以榨油多少千克？1吨花生可以榨油多少千克？ 【思路点拨】先根据除法的意义，用100千克的花生可以榨油的重量除以100，求出1千克花生可以榨油多少千克，再乘以10即可求出10千克花生可以榨油多少千克；然后乘以吨千克）求出1吨花生可以榨油多少千克即可． 【规范解答】解： （千克）； 1吨千克， （千克）； 答：10千克花生可以榨油3.9千克，1吨花生可以榨油390千克． 【考点评析】此题考查的目的是理解出油率的意义，掌握花生的出油率的计算方法． 22．（2021春•蓬江区期中）希望小学共有25个中队，每个中队又分成4个小队．全校共有少先队员1200人，平均每个小队有多少人？ 【思路点拨】首先用全校中队的数量乘每个中队分成的小队的数量，求出全校共有多少个小队；然后用全校共有少先队员的数量除以全校的小队的数量，求出平均每个小队有多少人即可． 【规范解答】解： （人 答：平均每个小队有12人． 【考点评析】此题主要考查了整数乘除法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是求出全校共有多少个小队． 23．（2019秋•东海县期中）一瓶药水的规格是600毫升，这瓶药水给一个8岁的儿童喝，至少能喝多少天？ 【思路点拨】首先判断出8岁的儿童每次最多喝20毫升，再乘以3，求出每天最多喝多少毫升；然后用600除以每天最多喝的，求出至少能喝多少天即可． 【规范解答】解： （天 答：至少能喝10天． 【考点评析】解答本题首先要明确图示表达的意义，再根据数量间的等量关系，代入数据即可解答． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学四年级寒假学习培优讲义（新课衔接） 专题02 乘、除法的意义和各部分间的关系 （导图+3个知识点+7个易错点+7个考点讲练+拔尖训练） 目录 导图知识荟萃 2 新知预习强化 2 知识点01：乘法的意义 2 知识点02：除法的意义 3 知识点03：乘除法各部分间的关系 3 易错知识指引 3 易错知识点01：加法意义的理解误区 3 易错知识点02：减法意义的理解偏差 3 易错知识点03：各部分名称混淆 4 易错知识点04： 加减法关系理解不透彻 4 易错知识点05：运算顺序错误 4 易错知识点06：实际问题与数学模型的脱节 4 易错知识点07：忽视验算的重要性 4 考点培优讲练 4 考点1：表内乘加、乘减 4 考点2：表外乘加、乘减 5 考点3：表内除加、除减 6 考点4：表外除加、除减 6 考点5：表内乘除混合 7 考点6：表外乘除混合 7 考点7：无括号四则混合运算 8 真题汇编拔尖练 8 知识点01：乘法的意义 1. 乘法的定义：乘法是加法的简便运算，表示求几个相同加数的和的简便运算。例如，3×4可以表示为3+3+3+3或4+4+4。 2. 乘法的各部分名称：在乘法算式中，乘号“×”前后的数叫做因数（乘数），等号“=”后边的数叫做积。例如，在3×4=12中，3和4是因数，12是积。 3. 乘法的性质： 交换律：a×b=b×a（两个因数相乘，交换因数的位置，积不变）。 结合律：(a×b)×c=a×(b×c)（三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变）。 4. 乘法的应用：乘法广泛应用于解决实际问题，如计算面积、体积、数量关系的表示等。 知识点02：除法的意义 1. 除法的定义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。例如，在12÷3=4中，12是被除数，3是除数，4是商。 2. 除法的各部分名称：在除法算式中，除号“÷”前面的数叫做被除数，除号“÷”后面的数叫做除数，等号“=”后边的数叫做商。被除数÷除数=商。 3. 除法的性质： 除法的运算性质与乘法的逆运算紧密相关。即，如果a×b=c，那么c÷b=a（在b不为0的情况下）。 4. 有余数的除法：在整数除法中，如果除数大于被除数的个位，且被除数不能被除数整除，那么除法运算的结果会有余数。例如，在9÷4=2……1中，9是被除数，4是除数，2是商，1是余数。 5. 除法的应用：除法广泛应用于解决实际问题，如求解平均数、比例关系、未知数等。 知识点03：乘除法各部分间的关系 1. 乘法与除法的关系：乘法与除法是互为逆运算的关系。即，如果a×b=c，那么c÷b=a（在b不为0的情况下），同时c÷a=b（在a不为0的情况下）。 2. 因数、积与商的关系：在乘法中，因数的乘积等于积；在除法中，被除数等于除数乘以商（在没有余数的情况下），或者等于除数乘以商再加上余数（在有余数的情况下）。 易错知识点01：加法意义的理解误区 易错点：学生可能误认为加法只能用于两个数的合并，而忽视了加法在解决实际问题中的广泛应用，如计数、测量等。 纠正：加法不仅限于两个数的简单合并，它还可以用于表示数量的增加、累积等。 易错知识点02：减法意义的理解偏差 易错点：学生可能将减法仅视为“拿走”或“去掉”的动作，而忽视了减法在求解未知数中的应用。 纠正：减法不仅是“拿走”或“去掉”，它更是求解部分与整体关系、未知数的重要手段。 易错知识点03：各部分名称混淆 易错点：学生在使用加法或减法时，容易混淆加数、和、被减数、减数、差等概念。 纠正：明确各部分名称，并在解题过程中准确使用，避免混淆。 易错知识点04： 加减法关系理解不透彻 易错点：学生可能认为加法和减法是相互独立的运算，而忽视了它们之间的内在联系。 纠正：加法与减法互为逆运算，理解这一点有助于更好地掌握加减法的应用。 易错知识点05：运算顺序错误 易错点：在进行加减混合运算时，学生可能忽视运算的优先级，导致计算结果错误。 纠正：遵循“先乘除后加减”的运算顺序，确保计算结果的准确性。 易错知识点06：实际问题与数学模型的脱节 易错点：学生在将实际问题转化为加减法问题时，可能忽视问题中的关键信息，导致建立的数学模型不准确。 纠正：仔细分析问题，提取关键信息，确保建立的数学模型与实际问题相符。 易错知识点07：忽视验算的重要性 易错点：学生在完成加减法运算后，可能忽视验算步骤，导致错误未能及时发现。 纠正：养成验算的好习惯，利用加减法各部分间的关系进行验算，确保计算结果的准确性 考点1：表内乘加、乘减 【典例精讲】（2024春•舞钢市期末）小梅和小娟同时从学校出发各自回家，小娟的速度是55米分，小梅的速度是50米分，8分钟后两人同时到家。 （1）小梅家和小娟家相距多少米？ （2）一天，两人按照各自原来的速度同时从学校去小玲家，5分钟后小娟到达小玲家，这时小梅离小玲家多远？ 【变式1】（2020秋•成安县月考）小华出了一道题考小明：计算．聪明的小明想了想，马上说出了正确的答案． 你知道小明是怎样算的吗？ 【变式2】（2024春•顺庆区期末）下面各图中，不能说明“”与“”相等的是　　 A． B． C． D． 考点2：表外乘加、乘减 【典例精讲】（2024秋•沈阳期末）食堂运来一批大米和面粉，其中大米有115千克，面粉的质量比大米的3倍多196千克，食堂运来多少千克面粉？ 【变式1】（2024春•兴义市期末）小红在计算★时，错算成★，这样算出的结果是45。这道算式中的★是 　　，原算式的正确答案是 　　。 【变式2】（2024春•龙岩期末）下列问题中，能用算式“”解决的是　　 A．葡萄每千克25元，苹果每千克10元。各买2千克，葡萄的总价比苹果总价贵多少钱？ B．葡萄原价每千克25元，现降价10元，买2千克一共要花多少元？ C．葡萄每千克25元，买1千克付了2张10元的人民币，还需付多少钱？ D．葡萄每千克25元，买一千克苹果比它便宜10元。买2千克苹果多少钱？ 考点3：表内除加、除减 【典例精讲】（2024春•丰润区期中）应先算 　　法，再算 　　法。如果变成先加法，再除法，原式应变成 　　，我知道 　　能改变运算顺序。 【变式1】（2023春•铜梁区期末）把算式“”按“先算加法，再算除法，最后算乘法”的运算顺序添上括号后是 　　。 【变式2】．（2024春•项城市期末）将，合并成一道综合算式，应是　　 A． B． C． 考点4：表外除加、除减 【典例精讲】（2024春•叶县期中）看图列式计算。 （1） （2） 【变式1】．（2024春•房县期中）在横线上填上“”“ ”或“”。 　　 　　 3.0995 　　4.01 5.6平方千米 　　56公顷 【变式2】．（2019春•环江县期末）把，，列成综合算式是　　．0.82的计数单位是　　，再加上　　个这样的单位，就可以得到2． 考点5：表内乘除混合 【典例精讲】（2020秋•丹阳市校级月考）小军用36元买了4盒正方形蛋糕，每盒3块；小华用50元买了5盒圆形蛋糕，每盒2块；小力用48元买了3盒三角形蛋糕，每盒4块．哪种蛋糕最贵，哪种最便宜？ 【变式1】（2024春•高邮市期中）用递等式计算。 【变式2】（2024春•杞县期中）直接写得数。 考点6：表外乘除混合 【典例精讲】（2021春•疏勒县期末）学校买回6梱书，每梱40本，把这些平均分给8个班，每个班可分图书多少本？ 【变式1】（2021春•泊头市期中）奶牛场有5个牛棚，每个牛棚有4头奶牛，奶牛场一天共喂饲料．平均每头奶牛一天喂多少千克饲料？（用两种方法解答） 【变式2】（2024春•海门区期中）小青在计算一道三位数乘两位数的算式时，把两位数21错看成了12，得到的结果比正确结果小936。正确的结果是 　 　。 考点7：无括号四则混合运算 【典例精讲】（2023春•商州区期中）　　 A．20 B．15 C．108 D．10 【变式1】（2023春•山海关区期末）13与540的积减去225与15的商，差是多少？列式为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023春•广阳区期末）计算，能简算的要简算。 1．（2024春•南京期中）小刚用计算器算时，发现数字键3坏了，下面哪种方法是对的？　　 A． B． C． D． 2．（2024春•官渡区期末）根据，，。列出一个综合算式是　　 A． B． C． D． 3．（2024春•临平区期末）新华书店搞促销活动，《漫画数学》每套62元，《数学王国奇遇记》每套46元，买4套《漫画数学》和5套《数学王国奇遇记》，一共需要多少元？下面所列算式中，错误的是　　 A． B． C． D． 4．（2024春•方城县期中）不能解决的问题是　　 A．男生5人，女生7人，平均每人栽树12棵，一共栽多少棵树？ B．参加绘画比赛的男生有12人，女生人数是男生的5倍多7人，女生有多少人？ C．工程队修路，平均每天修12米，已经修了5天还有7米没有修，这条路一共多少米？ 5．（2024春•方城县期末）根据算式，和，列出一道综合算式 　　。 6．（2024春•江岸区期末）小马虎计算□时弄错了运算顺序，结果算出来比正确答案多72，□代表的数是 　　。 7．（2022春•襄城县期末）用如图四张扑克牌上的点数，写一个得数是24的算式 　　。 8．（2024春•项城市期末）只有加、减法或只有乘、除法的算式，按从左往右的顺序进行计算．　 　．（判断对错） 9．（2021秋•金山区期末）东东在计算□时，把运算顺序弄错了，结果得到500。这道题的正确得数是　　。 10．（2024春•万载县期中）小华在计算〇时，把算式抄成了〇，这样计算后，两个算式的结果相差了 　　。 11．（2024春•陕州区期中）。 　　（判断对错） 12．（2023春•延庆区期末）与的计算结果相同。 　　（判断对错） 13．（2022春•安溪县期中）脱式计算 ． 14．（2024春•洪洞县期末）山西也有着刀削面、莜面栲栳栳、平遥牛肉等众多特色美食。夕阳红旅游团想要购买36份种酥肉面套餐和22份种饸饹面套餐。一共需要支付多少元？ 套餐 内容 价格 种套餐 一碗酥肉面一个饽糕一份凉菜 28元 种套餐 一碗饸饹面一份枣米一份牛肉 36元 15． （2024春•石门县期末）某工厂原来每周用电3500度，开展节能活动后，原来两个月周）的用电量现在可以多用1周，平均每周节电多少度？ 16． （2024春•延津县期末）王艳准备叠160颗星星给妈妈作为生日礼物。前3天平均每天叠20个，剩下的要4天叠完。剩下的平均每天要叠多少个？ 17．（2024春•武平县期末）为了让孩子们的阅读知识面更加广泛，王老师去新华书店购置新书，刚好书店在举办“迎暑假”促销活动，所有图书买2本送1本。王老师要买15本同样的《十万个为什么》，需要付多少钱？ 17． （2024春•南阳期末）附小学生为地震灾区孩子们捐书．三年级捐书230本，四年级捐的是三年级的2倍，比五年级少捐160本，三个年级共捐书多少本？ 18． （2024春•海门区期中）山上原有48行白杨树，每行的棵数相等，今年打算再栽这样的9行，需要购进树苗324棵，山上原有白杨树多少棵？ 20．（2024春•海门区期中）商场年中庆典，某品牌飞行员夹克反季节促销。原来买15件的钱现在可以买多少件？ 21． （2022春•金湾区期中）100千克花生可以榨油39千克，10千克花生可以榨油多少千克？1吨花生可以榨油多少千克？ 22． （2021春•蓬江区期中）希望小学共有25个中队，每个中队又分成4个小队．全校共有少先队员1200人，平均每个小队有多少人？ 23．（2019秋•东海县期中）一瓶药水的规格是600毫升，这瓶药水给一个8岁的儿童喝，至少能喝多少天？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$