（新课衔接站）专题03 列方程解决实际问题-2024-2025学年苏教版数学五年级寒假学习培优真题讲练讲义（学生版+教师版）

2024-2025学年苏教版数学五年级寒假学习培优讲义（新课衔接） 专题03 列方程解决实际问题 （导图+4个知识点+7个易错点+3个考点讲练+拔尖训练） 目录 导图知识荟萃 2 、新知预习强化 2 知识点01：方程的基本概念 2 知识点02：列方程解决实际问题的步骤 2 知识点03：列方程解决实际问题的常见类型 3 知识点04：注意事项 3 易错知识指引 4 易错知识点01：理解题意不清 4 易错知识点02：设立未知数不当 4 易错知识点03：找出等量关系不准确 4 易错知识点04：列方程不规范 4 易错知识点05：解方程方法不当 4 易错知识点06：检验解的合理性不够 5 易错知识点07：忽视题目中的隐含条件 5 考点培优讲练 5 考点1：列方程解应用题（两步需要逆思考） 5 考点2：列方程解三步应用题 6 考点3：列方程解含有两个未知数的应用题 7 真题汇编拔尖练 9 知识点01：方程的基本概念 1. 方程的定义：方程是含有未知数的等式，它表示两个数学表达式之间的相等关系。 2. 方程的解：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。 知识点02：列方程解决实际问题的步骤 1. 审题： 仔细阅读题目，理解题目的意思和要求。 识别题目中的已知条件和未知量。 2. 设未知数：根据题目要求，用字母（通常是xxx、yyy等）表示题目中的未知量。 3. 找等量关系： 分析题目中的信息，找出等量关系。 等量关系可以是题目中直接给出的，也可以通过推理得到。 4. 列方程：根据等量关系，列出含有未知数的方程。 5. 解方程： 使用适当的数学方法（如移项、合并同类项、因式分解等）解方程。 得出未知数的值。 6. 检验： 将求得的未知数的值代入原方程，检验是否满足方程。 同时，也要检验这个解是否符合题目的实际意义。 7. 作答：根据题目的要求，写出完整的答案。 知识点03：列方程解决实际问题的常见类型 1. 和差倍问题： 这类问题通常涉及两个或多个数量的和、差、倍等关系。 需要通过设立方程来求解未知量。 2. 分数应用题： 涉及分数的加减乘除运算。 需要通过设立方程来求解分数表达式中的未知量。 3. 行程问题： 涉及速度、时间、距离等概念。 需要通过设立方程来描述不同物体之间的行程关系。 4. 工程问题： 涉及工作量、工作时间、工作效率等概念。 需要通过设立方程来描述不同工作之间的效率关系。 5. 浓度问题： 涉及溶液的浓度、溶质和溶剂等概念。 需要通过设立方程来描述不同浓度溶液之间的混合关系。 知识点04：注意事项 1. 准确理解题意：在审题时要准确理解题目的意思和要求，避免误解题目。 2. 正确设立未知数：要根据题目的实际情况正确设立未知数，避免设立错误的未知数导致后续计算出错。 3. 准确找出等量关系：要仔细分析题目中的信息，准确找出等量关系，避免遗漏或错误地找出等量关系。 4. 规范书写方程：在列方程时要规范书写，避免书写错误导致后续计算出错。 5. 正确解方程：要使用适当的数学方法正确解方程，避免计算错误导致得出错误的解。 6. 检验解的合理性：在得出解后要进行检验，确保解满足方程和题目的实际意义。 易错知识点01：理解题意不清 易错点：学生没有准确理解题目的意思和要求，导致设立的方程不正确。 解析：在审题时，学生需要仔细阅读题目，明确题目中的已知条件和未知量，以及它们之间的关系。如果理解题意不清，就可能导致设立的方程与题目要求不符。 易错知识点02：设立未知数不当 易错点：学生没有根据题目的实际情况正确设立未知数，导致后续计算出错。 解析：在设立未知数时，学生需要根据题目的描述，用适当的字母表示未知量。如果设立不当，比如用了一个已经给出的量作为未知数，或者设立的未知数无法表示题目中的关系，就会导致后续的计算无法正确进行。 易错知识点03：找出等量关系不准确 易错点：学生没有准确找出题目中的等量关系，导致列出的方程不正确。 解析：找出等量关系是列方程的关键步骤。学生需要仔细分析题目中的信息，通过推理和计算找出等量关系。如果找出等量关系不准确，就会导致列出的方程与题目中的实际情况不符。 易错知识点04：列方程不规范 易错点：学生在列方程时书写不规范，导致方程无法正确表达题目的意思。 解析：列方程时需要遵循一定的规范，比如方程两边要相等，未知数要放在等式的一边等。如果书写不规范，就可能导致方程无法正确表达题目的意思，进而影响后续的计算。 易错知识点05：解方程方法不当 易错点：学生在解方程时没有使用正确的方法，导致得出的解不正确。 解析：解方程需要掌握一定的方法和技巧，比如移项、合并同类项、因式分解等。如果方法不当，就可能导致得出的解不正确。此外，还需要注意解方程的步骤和顺序，避免在计算过程中出现错误。 易错知识点06：检验解的合理性不够 易错点：学生在得出解后没有进行充分的检验，导致解可能不符合题目的实际意义。 解析：在得出解后，学生需要进行检验，确保解满足方程和题目的实际意义。如果检验不够充分，就可能导致解不符合题目的要求。检验时可以将解代入原方程进行验证，也可以检查解是否符合题目的实际情况。 易错知识点07：忽视题目中的隐含条件 易错点：学生没有注意到题目中的隐含条件，导致列出的方程不完整或错误。 解析：有些题目中可能包含一些隐含条件，比如某个量的取值范围、某个关系的成立条件等。如果忽视这些隐含条件，就可能导致列出的方程不完整或错误。因此，在审题时需要仔细分析题目中的信息，确保没有遗漏任何重要的条件。 考点1：列方程解应用题（两步需要逆思考） 【典例精讲】（2024秋•南开区期末）图中梯形的面积是，下底是多少？ 解：设下底是。下列方程正确的有　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024春•成都期末）快递站分配给两名快递员140份快递。张叔叔平均每小时能投递13份，李叔叔平均每小时能投递15份。他们同时开始工作，小时完成任务。下列说法错误的是　　 A．工作完成时，李叔叔的工作量超过了总量的一半。 B．工作完成时，张叔叔用的时间更长。 C．工作完成时，李叔叔一共投递了份快递。 D．根据题意，可以列出的方程是：。 【变式2】（2024春•淮阴区期中）学校组织四、五年级学生去春游，五年级145人，四年级132人，五年级买门票比四年级多用65元，每张门票多少元？（方程解） 【变式3】（2023春•海安市期末）学校买4张桌子和9把椅子一共用2520元．已知椅子的价格是每把120元，桌子的价格是多少元？（用方程解） 【变式4】（2024秋•东城区期末）2023年我国高速铁路营业里程达到4.5万千米，比2015年的2倍还多0.54万千米。2015年我国高速铁路营业里程是多少万千米？（列方程解答） 考点2：列方程解三步应用题 【典例精讲】（2024春•莲湖区期末）甲、乙两地相距120千米，客车和货车分别从甲、乙两地同时出发相向而行。已知客车每小时行54千米，货车每小时行42千米，设经过了小时客车和货车相遇，则列方程为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024春•兰溪市期末）一辆小汽车从甲地开往乙地，每时行驶110千米，一辆大货车同时从乙地开往甲地，每时行驶95千米，相遇时小汽车比大货车多行驶30千米。相遇时两辆车各行了多少时？（先想一想等量关系，再列方程解） 【变式2】（2024春•城固县期末）甲地到乙地的路程是475千米，一辆货车和一辆客车分别同时从甲、乙两地相对开出，货车每时行75千米，客车每时行115千米，经过多长时间两车相遇？（列方程解答） 【变式3】（2021秋•蓬江区期末）成渝高速路长330千米，一辆大客车从重庆开往成都，一辆小轿车同时从成都开往重庆．2小时在途中相遇，已知小轿车的速度是大客车的1.2倍．两车每小时各行多少千米？ 【变式4】（2019春•汾阳市期末）甲、乙两地的公路长285千米，一辆客车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，经过3小时两车相遇，已知客车每小时行45千米，货车每小时行多少千米？（用方程解） 考点3：列方程解含有两个未知数的应用题 【典例精讲】（2023春•高淳区期末）“六一”儿童节，学校印制画册共用去2240元，画册的印刷费是3.6元本，其余费用是800元。 （1）学校印制了多少本画册？ （2）学校印制的这些画册包括教师作品类和学生作品类两种类型，其中学生作品类是教师的7倍。这些画册中教师作品类和学生作品类各有多少本？（用方程解） 【变式1】．（2023春•淄博期末）小学阶段随着知识体系的丰富，同一问题可以不断尝试新的方法去解答。这里对下图教材中的一道例题进行了多种改编，请作答以下3组题目。 （1）动物园中一共有东北虎和白虎共24只，其中东北虎是白虎的7倍，求东北虎和白虎各多少只？（请结合方程知识列方程解答） （2）动物园中一共有东北虎和白虎共24只，其中东北虎：白虎，求东北虎和白虎各多少只？（请结合比的知识进行解答） （3）动物园中一共有东北虎和白虎共24只，其中东北虎占了总数的，求东北虎和白虎各多少只？（请结合百分数知识进行解答） 【变式2】（2023春•雨花台区期末）箱子里装有同样多的圆球和方块，每次取5个圆球和3个方块。取若干次后，箱子里还剩6个方块，圆球已取完。一共取了 　　次，圆球有 　　个。 【变式3】（2023春•横山区期末）有黑、白棋子一堆，其中黑子的2倍与白子的5倍相等，如果每次取出黑子7个，白子4个，若干次后，黑子还剩下24个，白子刚好取完，求这堆棋子一共有几个？ 【变式4】（2019春•闵行区月考）学校买来6张办公桌和8把椅子，共付294.4元，每张桌子比每把椅子贵19.2元，每张桌子和每把椅子各多少钱？ 1．（2024春•淮上区期末）下列数学问题中，不能用方程“”解决的是　　 A．哥哥今年14岁，比弟弟年龄的2倍多6岁，弟弟今年几岁？ B．2个面包和1瓶6元的牛奶共14元，1个面包多少元？ C． 2．（2024春•连云港期末）甲有张贺卡，乙有14张贺卡，如果乙再收集8张贺卡，那么两人的贺卡数正好相等。下面等式正确的是　　 A． B． C． D． 3．（2024春•尖草坪区期末）下列选项中，能用方程表示的是　　 A．甲乙两队合修一条长的公路，6天修完。甲队每天修千米，乙队每天修2千米。 B． C． 4．（2024春•商水县期末）小红原有50元钱，妈妈每天给她元，两周后，小红一共有80元。根据题中的数量关系列方程是 　　，如果妈妈每天给她5元，两周后小红有 　　元。 5．（2024春•郸城县期中）苏州到上海的高速公路大约长，比苏州到南京的高速公路约近，苏州到南京的高速公路大约长。等量关系式是 　　的长度　　的长度，列方程为 　　。 6．（2023春•淮安期末）盒子里装有同样多的红球和黄球，每次取出6个红球和4个黄球，取若干次后，红球已经取完，盒子里只剩下8个黄球。一共取了 　　次，黄球共有 　　个。 7．（2023春•福田区期末）随着互联网技术的快速发展，智能终端正在成为新技术的重要载体。据预测数据，到2025年全球智能终端市场规模有望超过130亿美元。比2020年智能终端市场规模的2倍少43亿美元。2020年智能终端市场规模约多少亿美元？ 等量关系：　　亿美元亿美元 解：设2020年智能终端市场规模约亿美元。 列出方程：　　。 8．张强用270元买了一件外衣，一顶帽子和一双鞋子，外衣比鞋贵140元，买外衣和鞋比帽子多花210元，张强买这双鞋花了 　　钱． 9．（2023春•神木市期末）根据下图可列方程为。 　　（判断对错） 10．（2023春•白云区期中）学校今年栽梧桐树128棵，比樟树棵数的3倍少22棵。学校今年栽樟树棵，列出方程为。 　　（判断对错） 11．（2023春•武功县期末）张叔叔家种了98棵果树，比李叔叔家种的果树棵数的2倍少16棵。李叔叔家种了多少棵果树？解：设李叔叔家种了棵果树，则列方程为。 　　（判断对错） 12．（2024秋•芝罘区期末）书画院中硬笔书法班比软笔书法班多24人，硬笔书法班的人数是软笔书法班的1.8倍，软笔书法班和硬笔书法班各有多少人？（列方程解答） 13．（2024春•赫章县期末）星星养殖场有鸡和鸭共2046只，其中鸡是鸭的1.2倍，这个养殖场的鸡和鸭各有多少只？（用方程解答） 14． （2024春•防城港期末）今年“五一”期间，防城港文旅活动火爆。全市重点景区累计接待游客约122万人次，比2019年“五一”游客量的2.6倍还多5万人次。2019年“五一”游客量是多少万人次？（列方程解答） 15． 16． （2024春•尧都区期末）临汾市图书馆作为公共文化服务的场所，为深入弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的精神，发挥服务社会的积极作用，成立了少儿志愿者团队。小明和小亮积极报名参加了志愿队。小亮参与志愿服务的次数是小明的1.5倍，小明比小亮少参与24次。小明和小亮各参与志愿服务多少次？（列方程解答） 17． （2018秋•潍城区校级期中）2004年雅典奥运会中国队共获32枚金牌，比1988年汉城奥运会的7倍少3枚，1988年中国队共获得多少枚金牌？ 17．（2024秋•南开区期末）列方程解答。 去年在杭州举行的第19届亚运会的主会场“大莲花”体育场总建筑面积约为22.9公顷，比杭州奥体中心游泳馆的4倍还多1.3公顷。奥体中心游泳馆的总建筑面积约是多少公顷？ 18．（2024春•城固县期末）看图列方程并解答。 19．（2024春•八步区期末）青藏铁路是世界上海拔最高、线路最长的高原铁路，东起青海西宁，南至西藏拉萨，全长1956千米。两列火车分别从拉萨和西宁同时出发相向而行，已知快车的速度为90千米时，慢车的速度为73千米时。 （1）估计两车在何处相遇，在图中用“”标出。 （2） 经过多少小时两车相遇？（先写出等量关系，再列方程解答。 20．（2024春•南安市期末）电脑课上，小海用一个等边三角形和一个正六边形制作了一幅图（如图），通过测量，发现等边三角形的周长比正六边形的周长少9.6厘米，那么这个正六边形的边长是多少厘米？（用方程解） 21． （2024•江北区）一只两层书架，上层放的书比下层的3倍还多18本，如果把上层的书拿出101本放到下层，那么两层所放的书本数相等．原来上下层各有书几本？（用方程解） 22． （2023春•梁溪区期末）师徒两人合作完成360个零件，9天完工，已知师傅每天做28个，徒弟每天做多少个？（用方程解） 23． （2022秋•灵宝市期末）学校开展课外活动，书法班有54人，比音乐班人数的2倍还多6人，音乐班有多少人？（用方程解） 24． （2024春•宿城区期中）地球表面的海洋面积大约是3.6亿平方千米，比陆地面积多2.1亿平方千米．陆地面积大约是多少亿平方千米？（列方程解答） 25．（2022秋•乡宁县期末）宁夏的同心县是一个“干渴”的地区，年平均蒸发量是，比年平均降水量的8倍还多，同心县的年平均降水量多少毫米？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏教版数学五年级寒假学习培优讲义（新课衔接） 专题03 列方程解决实际问题 （导图+4个知识点+7个易错点+3个考点讲练+拔尖训练） 目录 导图知识荟萃 2 新知预习强化 2 知识点01：方程的基本概念 2 知识点02：列方程解决实际问题的步骤 2 知识点03：列方程解决实际问题的常见类型 3 知识点04：注意事项 3 易错知识指引 4 易错知识点01：理解题意不清 4 易错知识点02：设立未知数不当 4 易错知识点03：找出等量关系不准确 4 易错知识点04：列方程不规范 4 易错知识点05：解方程方法不当 4 易错知识点06：检验解的合理性不够 5 易错知识点07：忽视题目中的隐含条件 5 考点培优讲练 5 考点1：列方程解应用题（两步需要逆思考） 5 考点2：列方程解三步应用题 7 考点3：列方程解含有两个未知数的应用题 10 真题汇编拔尖练 13 知识点01：方程的基本概念 1. 方程的定义：方程是含有未知数的等式，它表示两个数学表达式之间的相等关系。 2. 方程的解：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。 知识点02：列方程解决实际问题的步骤 1. 审题： 仔细阅读题目，理解题目的意思和要求。 识别题目中的已知条件和未知量。 2. 设未知数：根据题目要求，用字母（通常是xxx、yyy等）表示题目中的未知量。 3. 找等量关系： 分析题目中的信息，找出等量关系。 等量关系可以是题目中直接给出的，也可以通过推理得到。 4. 列方程：根据等量关系，列出含有未知数的方程。 5. 解方程： 使用适当的数学方法（如移项、合并同类项、因式分解等）解方程。 得出未知数的值。 6. 检验： 将求得的未知数的值代入原方程，检验是否满足方程。 同时，也要检验这个解是否符合题目的实际意义。 7. 作答：根据题目的要求，写出完整的答案。 知识点03：列方程解决实际问题的常见类型 1. 和差倍问题： 这类问题通常涉及两个或多个数量的和、差、倍等关系。 需要通过设立方程来求解未知量。 2. 分数应用题： 涉及分数的加减乘除运算。 需要通过设立方程来求解分数表达式中的未知量。 3. 行程问题： 涉及速度、时间、距离等概念。 需要通过设立方程来描述不同物体之间的行程关系。 4. 工程问题： 涉及工作量、工作时间、工作效率等概念。 需要通过设立方程来描述不同工作之间的效率关系。 5. 浓度问题： 涉及溶液的浓度、溶质和溶剂等概念。 需要通过设立方程来描述不同浓度溶液之间的混合关系。 知识点04：注意事项 1. 准确理解题意：在审题时要准确理解题目的意思和要求，避免误解题目。 2. 正确设立未知数：要根据题目的实际情况正确设立未知数，避免设立错误的未知数导致后续计算出错。 3. 准确找出等量关系：要仔细分析题目中的信息，准确找出等量关系，避免遗漏或错误地找出等量关系。 4. 规范书写方程：在列方程时要规范书写，避免书写错误导致后续计算出错。 5. 正确解方程：要使用适当的数学方法正确解方程，避免计算错误导致得出错误的解。 6. 检验解的合理性：在得出解后要进行检验，确保解满足方程和题目的实际意义。 易错知识点01：理解题意不清 易错点：学生没有准确理解题目的意思和要求，导致设立的方程不正确。 解析：在审题时，学生需要仔细阅读题目，明确题目中的已知条件和未知量，以及它们之间的关系。如果理解题意不清，就可能导致设立的方程与题目要求不符。 易错知识点02：设立未知数不当 易错点：学生没有根据题目的实际情况正确设立未知数，导致后续计算出错。 解析：在设立未知数时，学生需要根据题目的描述，用适当的字母表示未知量。如果设立不当，比如用了一个已经给出的量作为未知数，或者设立的未知数无法表示题目中的关系，就会导致后续的计算无法正确进行。 易错知识点03：找出等量关系不准确 易错点：学生没有准确找出题目中的等量关系，导致列出的方程不正确。 解析：找出等量关系是列方程的关键步骤。学生需要仔细分析题目中的信息，通过推理和计算找出等量关系。如果找出等量关系不准确，就会导致列出的方程与题目中的实际情况不符。 易错知识点04：列方程不规范 易错点：学生在列方程时书写不规范，导致方程无法正确表达题目的意思。 解析：列方程时需要遵循一定的规范，比如方程两边要相等，未知数要放在等式的一边等。如果书写不规范，就可能导致方程无法正确表达题目的意思，进而影响后续的计算。 易错知识点05：解方程方法不当 易错点：学生在解方程时没有使用正确的方法，导致得出的解不正确。 解析：解方程需要掌握一定的方法和技巧，比如移项、合并同类项、因式分解等。如果方法不当，就可能导致得出的解不正确。此外，还需要注意解方程的步骤和顺序，避免在计算过程中出现错误。 易错知识点06：检验解的合理性不够 易错点：学生在得出解后没有进行充分的检验，导致解可能不符合题目的实际意义。 解析：在得出解后，学生需要进行检验，确保解满足方程和题目的实际意义。如果检验不够充分，就可能导致解不符合题目的要求。检验时可以将解代入原方程进行验证，也可以检查解是否符合题目的实际情况。 易错知识点07：忽视题目中的隐含条件 易错点：学生没有注意到题目中的隐含条件，导致列出的方程不完整或错误。 解析：有些题目中可能包含一些隐含条件，比如某个量的取值范围、某个关系的成立条件等。如果忽视这些隐含条件，就可能导致列出的方程不完整或错误。因此，在审题时需要仔细分析题目中的信息，确保没有遗漏任何重要的条件。 考点1：列方程解应用题（两步需要逆思考） 【典例精讲】（2024秋•南开区期末）图中梯形的面积是，下底是多少？ 解：设下底是。下列方程正确的有　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设下底是，根据等量关系：（上底下底）高梯形的面积，列方程解答即可。 【规范解答】解：设下底是。 故选：。 【考点评析】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为，由此列方程解决问题，还用到梯形的面积公式。 【变式1】（2024春•成都期末）快递站分配给两名快递员140份快递。张叔叔平均每小时能投递13份，李叔叔平均每小时能投递15份。他们同时开始工作，小时完成任务。下列说法错误的是　　 A．工作完成时，李叔叔的工作量超过了总量的一半。 B．工作完成时，张叔叔用的时间更长。 C．工作完成时，李叔叔一共投递了份快递。 D．根据题意，可以列出的方程是：。 【思路点拨】逐项分析后即可判断正误。 【规范解答】解：张叔叔和李叔叔同时开始工作，小时完成任务，即他们俩的工作时间相同，因为李叔叔每分钟比张叔叔多投递份，即结束任务时，李叔叔比张叔叔多投递份，所以工作完成时，李叔叔的工作量超过了总量的一半。即原说法正确； 题干很明确：他们俩同时开始工作，小时完成任务，即同时完成任务，所以工作完成时，张叔叔用的时间和李叔叔用的时间一样长。即原说法错误； 李叔叔每分钟投递15件，投递了分钟，即投递了件快递。即原说法正确； 两人工作了小时，根据工作量工作时间工作效率，即张叔叔投递了件，李叔叔投递了件，两人合计投递了140件，所以，即根据题意，可以列出的方程是：。即原说法正确。 综上，只有选项说法错误。 故选：。 【考点评析】观察题干，分析数量关系，设出未知数列方程解答即可。 【变式2】（2024春•淮阴区期中）学校组织四、五年级学生去春游，五年级145人，四年级132人，五年级买门票比四年级多用65元，每张门票多少元？（方程解） 【思路点拨】根据题意知本题的数量关系：每张门票的单价（五年级的人数四年级的人数）五年级买门票比四年级多用的钱数，据此数量关系可列方程解答． 【规范解答】解：设每张门票元 答：每张门票5元． 【考点评析】本题的重点是找出题目中的数量关系，再列方程解答． 【变式3】（2023春•海安市期末）学校买4张桌子和9把椅子一共用2520元．已知椅子的价格是每把120元，桌子的价格是多少元？（用方程解） 【思路点拨】根据题干，设桌子的价格是元，根据桌子的单价桌子的数量椅子的单价椅子的数量总价2520元，据此列出方程即可解决问题． 【规范解答】解：设桌子的价格是元，根据题意可得方程： 答：桌子的单价是360元． 【考点评析】此题考查了单价、数量与总价之间的关系的实际应用，找出基本数量关系，由此列方程解决问题． 【变式4】（2024秋•东城区期末）2023年我国高速铁路营业里程达到4.5万千米，比2015年的2倍还多0.54万千米。2015年我国高速铁路营业里程是多少万千米？（列方程解答） 【思路点拨】根据题意可找出数量间的相等关系：2023年我国高速铁路营业里程年我国高速铁路营业里程，已知2023年我国高速铁路营业里程，所以设2015年我国高速铁路营业里程是万千米，列方程解答即可。 【规范解答】解：设2015年我国高速铁路营业里程是万千米。 答：2015年我国高速铁路营业里程是1.98万千米。 【考点评析】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为，由此列方程解决问题。 考点2：列方程解三步应用题 【典例精讲】（2024春•莲湖区期末）甲、乙两地相距120千米，客车和货车分别从甲、乙两地同时出发相向而行。已知客车每小时行54千米，货车每小时行42千米，设经过了小时客车和货车相遇，则列方程为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据“路程速度时间”代入数值解答即可。 【规范解答】解：甲、乙两地相距120千米，客车和货车相向而行，客车每小时行54千米，货车每小时行42千米，设经过了小时客车和货车相遇， 则方程为：。 故选：。 【考点评析】此题主要考查路程、速度、时间三者的关系式：路程速度时间，速度路程时间，时间路程速度，灵活变形列式解决问题。 【变式1】（2024春•兰溪市期末）一辆小汽车从甲地开往乙地，每时行驶110千米，一辆大货车同时从乙地开往甲地，每时行驶95千米，相遇时小汽车比大货车多行驶30千米。相遇时两辆车各行了多少时？（先想一想等量关系，再列方程解） 【思路点拨】根据题意，先计算每小时小汽车比大货车多行多少千米，再计算多行30千米所需时间，设小时后两车相遇，路程差是30千米，利用路程速度时间即可即可。 【规范解答】解：等量关系：速度差时间路程差 设小时后两车相遇，路程差是30千米。 答：相遇时两辆车各行了2小时。 【考点评析】本题主要考查列方程解应用题，关键利用路程、速度和时间的关系做题。 【变式2】（2024春•城固县期末）甲地到乙地的路程是475千米，一辆货车和一辆客车分别同时从甲、乙两地相对开出，货车每时行75千米，客车每时行115千米，经过多长时间两车相遇？（列方程解答） 【思路点拨】设经过小时两车相遇，根据行程问题公式：路程和速度和时间，列方程求解即可。 【规范解答】解：设经过小时两车相遇。 答：经过2.5小时两车相遇。 【考点评析】本题主要主要考查相遇问题中的基本数量关系：速度和相遇时间总路程；再由关系式列方程解决问题。 【变式3】（2021秋•蓬江区期末）成渝高速路长330千米，一辆大客车从重庆开往成都，一辆小轿车同时从成都开往重庆．2小时在途中相遇，已知小轿车的速度是大客车的1.2倍．两车每小时各行多少千米？ 【思路点拨】设大客车每小时行千米，则小轿车每小时行千米，根据等量关系：（大客车的速度小轿车的速度）千米，据此列出方程解决问题． 【规范解答】解：大客车每小时行千米，则小轿车每小时行千米， （千米） 答：大客车每小时行75千米，小轿车每小时行90千米． 【考点评析】此题属于含有两个未知数的应用题，这类题用方程解答比较容易，关键是找准数量间的相等关系，设一个未知数为，另一个未知数用含的式子来表示，进而列并解方程即可． 【变式4】（2019春•汾阳市期末）甲、乙两地的公路长285千米，一辆客车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，经过3小时两车相遇，已知客车每小时行45千米，货车每小时行多少千米？（用方程解） 【思路点拨】此题属于相遇问题，客车所行的路程与货车所行的路程和就是甲、乙两站之间的距离，设出货车的速度，列出方程解答即可． 【规范解答】解：设货车每小时行千米，根据题意列方程得， 答：客车每小时行50千米． 【考点评析】此题主要考查相遇问题中的基本数量关系：速度和相遇时间总路程，或客车所行的路程货车所行的路程甲、乙两站之间的距离；再由关系式列方程解决问题． 考点3：列方程解含有两个未知数的应用题 【典例精讲】（2023春•高淳区期末）“六一”儿童节，学校印制画册共用去2240元，画册的印刷费是3.6元本，其余费用是800元。 （1）学校印制了多少本画册？ （2）学校印制的这些画册包括教师作品类和学生作品类两种类型，其中学生作品类是教师的7倍。这些画册中教师作品类和学生作品类各有多少本？（用方程解） 【思路点拨】（1）根据题意，可用2240减去800计算出印刷画册的钱数，然后再除以3.6进行计算即可得到答案。 （2）设学生作品类有本，教师作品类有本，根据等量关系：教师作品类的本数学生作品类的本数本，列方程解答即可。 【规范解答】解：（1） （本 答：学校印制了400本画册。 （2）设学生作品类有本，教师作品类有本。 （本 答：这些画册中教师作品类有50本，学生作品类有350本。 【考点评析】解答此题的关键是确定印刷画册共用的钱数，然后再利用总价、单价和数量之间的关系进行解答即可。还考查了列方程解应用题。 【变式1】．（2023春•淄博期末）小学阶段随着知识体系的丰富，同一问题可以不断尝试新的方法去解答。这里对下图教材中的一道例题进行了多种改编，请作答以下3组题目。 （1）动物园中一共有东北虎和白虎共24只，其中东北虎是白虎的7倍，求东北虎和白虎各多少只？（请结合方程知识列方程解答） （2）动物园中一共有东北虎和白虎共24只，其中东北虎：白虎，求东北虎和白虎各多少只？（请结合比的知识进行解答） （3）动物园中一共有东北虎和白虎共24只，其中东北虎占了总数的，求东北虎和白虎各多少只？（请结合百分数知识进行解答） 【思路点拨】（1）根据题意可知，东北虎的只数白虎的只数只，设白虎有只，则东北虎有只，据此列方程解答。 （2）先求出总份数，再利用按比例分配的方法解答。 （3）把总只数看作单位“1”，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法求出东北虎的只数，进而求出白虎的只数。 【规范解答】解：（1）设白虎有只，则东北虎有只。 （只 答：东北虎有21只，白虎有3只。 （2） （只 （只 答：东北虎有21只，白虎有3只。 （3）（只 （只 答：东北虎有21只，白虎有3只。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握列方程解决问题的方法及应用，按比例分配的方法及应用，百分数的意义及应用，求一个数的百分之几是多少的方法及应用。 【变式2】（2023春•雨花台区期末）箱子里装有同样多的圆球和方块，每次取5个圆球和3个方块。取若干次后，箱子里还剩6个方块，圆球已取完。一共取了 　3　次，圆球有 　　个。 【思路点拨】由“每次取出5个圆球和3个方块，取若干次后，箱子里还剩下6个方块，而圆球已取光”，可设一共取了次，则圆球共有个，这时方块取了个，还剩6个方块，根据圆球和方块数量相等，得：，解方程即可 【规范解答】解：设一共取了次 （个 答：一共取3次，圆球有15个。 故答案为：3，15。 【考点评析】此题采用了方程解法，设出未知数，根据圆球和方块数量相等，列出方程，解决问题。 【变式3】（2023春•横山区期末）有黑、白棋子一堆，其中黑子的2倍与白子的5倍相等，如果每次取出黑子7个，白子4个，若干次后，黑子还剩下24个，白子刚好取完，求这堆棋子一共有几个？ 【思路点拨】根据题意可知，取相同次数后，黑棋子比白棋子多24个，设取了次，由题意可得方程：，解方程求出取的次数，进而求出这堆棋子一共有多少个。 【规范解答】解：设取了次。 （个 答：这堆棋子一共有112个。 【考点评析】此题属于含有两个未知数的应用题，这类题用方程解答比较容易，关键是找准数量间的相等关系，设一个未知数为，另一个未知数用含的式子来表示，进而列并解方程即可。 【变式4】（2019春•闵行区月考）学校买来6张办公桌和8把椅子，共付294.4元，每张桌子比每把椅子贵19.2元，每张桌子和每把椅子各多少钱？ 【思路点拨】根据“学校买来6张办公桌和8把椅子，共付294.4元”，可找出数量之间的相等关系式为：办公桌的单价椅子的单价元，再根据“每张桌子比每把椅子贵19.2元”，可设每把椅子为元，那么每张桌子为元，据此列出方程并解方程即可． 【规范解答】解：设每把椅子为元，那么每张桌子为元，由题意得： ， ， ， ， ， 桌子的单价：（元； 答：每张桌子32元，每把椅子12.8元． 【考点评析】此题属于含有两个未知数的应用题，这类题用方程解答比较容易，关键是找准数量间的相等关系，设一个未知数为，另一个未知数用含的式子来表示，进而列并解方程即可． 1．（2024春•淮上区期末）下列数学问题中，不能用方程“”解决的是　　 A．哥哥今年14岁，比弟弟年龄的2倍多6岁，弟弟今年几岁？ B．2个面包和1瓶6元的牛奶共14元，1个面包多少元？ C． 【思路点拨】设弟弟今年岁，根据弟弟的年龄哥哥的年龄，列方程为：；设1个面包元，根据面包的单价牛奶的单价元，列方程为：；根据长方形的面积（长宽），列方程为：；据此解答。 【规范解答】解：由分析可知，能用方程“”解决的有、，不能用方程“”解决的有。 故选：。 【考点评析】解决这类问题主要找出题里面蕴含的数量关系，由此列出方程解决问题。 2．（2024春•连云港期末）甲有张贺卡，乙有14张贺卡，如果乙再收集8张贺卡，那么两人的贺卡数正好相等。下面等式正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据等量关系：甲有的贺卡张数乙有的贺卡张数张或甲有的贺卡张数张乙有的贺卡张数，列方程即可。 【规范解答】解：等式正确的是。 故选：。 【考点评析】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，列方程解决问题。 3．（2024春•尖草坪区期末）下列选项中，能用方程表示的是　　 A．甲乙两队合修一条长的公路，6天修完。甲队每天修千米，乙队每天修2千米。 B． C． 【思路点拨】根据等量关系：甲队每天修的千米数修的天数乙队每天修的千米数修的天数公路的总长，列方程解答即可。 根据等量关系：长宽周长，列方程解答即可。 根据等量关系：左边长方形的面积右边长方形的面积，列方程解答即可。 【规范解答】解：，不能用方程表示。 ，不能用方程表示。 能用方程表示。 故选：。 【考点评析】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为，由此列方程解决问题。 4．（2024春•商水县期末）小红原有50元钱，妈妈每天给她元，两周后，小红一共有80元。根据题中的数量关系列方程是 　　，如果妈妈每天给她5元，两周后小红有 　　元。 【思路点拨】一周天，两周天，用妈妈每天给小红的钱数，求出两周妈妈给小红的钱数小红原来有的钱数元，据此列出算式解答；如果，代入算式，即可解答。 【规范解答】解：1周天；2周（天 当时 （元 答：根据题中的数量关系列方程是，如果妈妈每天给她5元，两周后小红有120元。 故答案为：，120。 【考点评析】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，列方程解决问题。 5．（2024春•郸城县期中）苏州到上海的高速公路大约长，比苏州到南京的高速公路约近，苏州到南京的高速公路大约长。等量关系式是 　苏州到南京的高速公路　的长度　　的长度，列方程为 　　。 【思路点拨】根据等量关系：苏州到南京的高速公路的长度苏州到上海的高速公路的长度，列方程解答即可。 【规范解答】解：苏州到南京的高速公路的长度苏州到上海的高速公路的长度 答：苏州到南京的高速公路大约长。 故答案为：苏州到南京的高速公路，苏州到上海的高速公路，。 【考点评析】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为，由此列方程解决问题。 6．（2023春•淮安期末）盒子里装有同样多的红球和黄球，每次取出6个红球和4个黄球，取若干次后，红球已经取完，盒子里只剩下8个黄球。一共取了 　4　次，黄球共有 　　个。 【思路点拨】设一共取了次，则与的差等于8，据此先求出取的次数；然后用取的次数乘4再加上8，即可求出黄球的个数。 【规范解答】解：设一共取了次。 （个 答：一共取了4次，黄球共有24个。 故答案为：4，24。 【考点评析】利用方程解决问题的关键是找准题目中的等量关系。 7．（2023春•福田区期末）随着互联网技术的快速发展，智能终端正在成为新技术的重要载体。据预测数据，到2025年全球智能终端市场规模有望超过130亿美元。比2020年智能终端市场规模的2倍少43亿美元。2020年智能终端市场规模约多少亿美元？ 等量关系：　2020年智能终端市场规模　亿美元亿美元 解：设2020年智能终端市场规模约亿美元。 列出方程：　　。 【思路点拨】根据题意可知：2020年智能终端市场规模亿美元年全球智能终端市场规模，设2020年智能终端市场规模约亿美元，据此列方程解答。 【规范解答】解：2020年智能终端市场规模亿美元亿美元。 设2020年智能终端市场规模约亿美元。 答：2020年智能终端市场规模约86.5亿美元。 故答案为：2020年智能终端市场规模，。 【考点评析】此题主要考查了列方程解应用题，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键。 8．张强用270元买了一件外衣，一顶帽子和一双鞋子，外衣比鞋贵140元，买外衣和鞋比帽子多花210元，张强买这双鞋花了 　50元　钱． 【思路点拨】设张强买这双鞋花了元钱，则外衣为元，帽子为元，根据等量关系：一件外衣的价钱一顶帽子的价钱一双鞋子的价钱元，列方程解答即可． 【规范解答】解：设张强买这双鞋花了元钱，则外衣为元，帽子为元， ， 答：张强买这双鞋花了50元钱． 故答案为：50元． 【考点评析】本题考查了列方程解应用题，关键是根据等量关系：一件外衣的价钱一顶帽子的价钱一双鞋子的价钱元，列方程． 9．（2023春•神木市期末）根据下图可列方程为。 　　（判断对错） 【思路点拨】根据图示可知，桃树有棵，梨树有棵，两种数一共有200棵，据此列方程即可。 【规范解答】解：设桃树有棵，则梨树有棵。 由题意，得。 原题说法正确。 故答案为：。 【考点评析】解决这类问题主要能看懂图示，找出题里面蕴含的数量关系，由此列出方程解决问题。 10．（2023春•白云区期中）学校今年栽梧桐树128棵，比樟树棵数的3倍少22棵。学校今年栽樟树棵，列出方程为。 　　（判断对错） 【思路点拨】学校今年栽樟树棵，根据等量关系：学校今年栽樟树的棵数学校今年栽梧桐树的棵数，列方程即可。 【规范解答】解：设学校今年栽樟树棵。 答：学校今年栽樟树50棵，本题说法正确。 故答案为：。 【考点评析】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，列方程解决问题。 11．（2023春•武功县期末）张叔叔家种了98棵果树，比李叔叔家种的果树棵数的2倍少16棵。李叔叔家种了多少棵果树？解：设李叔叔家种了棵果树，则列方程为。 　　（判断对错） 【思路点拨】由于李叔叔家种了棵果树，张叔叔家比李叔叔家种的果树棵数的2倍少16棵，那么李叔叔家种的果树棵数张叔叔家种的果树棵数，据此即可判断。 【规范解答】解：由分析可知： 可列方程为： 利用等式的性质1，等式两边都加上16，即原式变为：，所以原题说法错误。 故答案为：。 【考点评析】本题主要考查列简易方程，关键是找准等量关系。 12．（2024秋•芝罘区期末）书画院中硬笔书法班比软笔书法班多24人，硬笔书法班的人数是软笔书法班的1.8倍，软笔书法班和硬笔书法班各有多少人？（列方程解答） 【思路点拨】设软笔书法班有人，则硬笔书法班有人，根据等量关系：硬笔书法班人数软笔书法班人数人，列方程解答即可。 【规范解答】解：设软笔书法班有人，则硬笔书法班有人。 （人 答：软笔书法班有30人，硬笔书法班有54人。 【考点评析】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为，由此列方程解决问题。 13．（2024春•赫章县期末）星星养殖场有鸡和鸭共2046只，其中鸡是鸭的1.2倍，这个养殖场的鸡和鸭各有多少只？（用方程解答） 【思路点拨】设这个养殖场的鸭有只，则鸡有只，根据等量关系：鸡的只数鸭的只数只，列方程解答即可。 【规范解答】解：设这个养殖场的鸭有只，则鸡有只。 （只 答：这个养殖场的鸡有1116只，鸭有930只。 【考点评析】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为，由此列方程解决问题。 14．（2024春•防城港期末）今年“五一”期间，防城港文旅活动火爆。全市重点景区累计接待游客约122万人次，比2019年“五一”游客量的2.6倍还多5万人次。2019年“五一”游客量是多少万人次？（列方程解答） 【思路点拨】设2019年“五一”游客量是万人次。今年比2019年的2.6倍多5万人次，今年是，是122万人次。据此列方程解答，根据等式的性质解方程。将等式两边同时减去一个数，等式不变；等式两边同时除以一个数，等式不变。 【规范解答】解：设2019年“五一”游客量是万人次。 答：2019年“五一”游客量是45万人次。 【考点评析】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为，由此列方程解决问题。 15．（2024春•尧都区期末）临汾市图书馆作为公共文化服务的场所，为深入弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的精神，发挥服务社会的积极作用，成立了少儿志愿者团队。小明和小亮积极报名参加了志愿队。小亮参与志愿服务的次数是小明的1.5倍，小明比小亮少参与24次。小明和小亮各参与志愿服务多少次？（列方程解答） 【思路点拨】设小明参与志愿服务次，则小亮参与志愿服务次，根据等量关系：小亮参与志愿服务的次数小明参与志愿服务的次数次，列方程解答即可。 【规范解答】解：设小明参与志愿服务次，则小亮参与志愿服务次。 （次 答：小明参与志愿服务48次，小亮参与志愿服72次。 【考点评析】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为，由此列方程解决问题。 16．（2018秋•潍城区校级期中）2004年雅典奥运会中国队共获32枚金牌，比1988年汉城奥运会的7倍少3枚，1988年中国队共获得多少枚金牌？ 【思路点拨】由题意可知：1988年的金牌数量年的金牌数量，据此即可列方程求解． 【规范解答】解：设1988年中国队获得枚金牌， 答：1988年中国队共获得5枚金牌． 【考点评析】解答此题的关键是：分析题意，弄清楚数量间的关系，得出等量关系式，问题即可得解． 17．（2024秋•南开区期末）列方程解答。 去年在杭州举行的第19届亚运会的主会场“大莲花”体育场总建筑面积约为22.9公顷，比杭州奥体中心游泳馆的4倍还多1.3公顷。奥体中心游泳馆的总建筑面积约是多少公顷？ 【思路点拨】设奥体中心游泳馆的总建筑面积约是公顷，根据等量关系：奥体中心游泳馆的总建筑面积公顷 “大莲花”体育场总建筑面积，列方程解答即可。 【规范解答】解：设奥体中心游泳馆的总建筑面积约是公顷。 答：奥体中心游泳馆的总建筑面积约是5.4公顷。 【考点评析】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为，由此列方程解决问题。 18．（2024春•城固县期末）看图列方程并解答。 【思路点拨】（1）根据等量关系：原价现价，列方程解答即可。 （2）根据等量关系：排球的个数篮球的个数个，列方程解答即可。 【规范解答】解：（1） 答：原价200元。 （2） 答：篮球25个。 【考点评析】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为，由此列方程解决问题。 19．（2024春•八步区期末）青藏铁路是世界上海拔最高、线路最长的高原铁路，东起青海西宁，南至西藏拉萨，全长1956千米。两列火车分别从拉萨和西宁同时出发相向而行，已知快车的速度为90千米时，慢车的速度为73千米时。 （1）估计两车在何处相遇，在图中用“”标出。 （2）经过多少小时两车相遇？（先写出等量关系，再列方程解答。 【思路点拨】（1）快车每小时比慢车多行驶千米，因此两车相遇时，更靠近西宁站，在两地中点偏西宁方向，据此标出； （2）根据“路程和速度和时间”，设经过小时两车相遇。则，求出即可解答本题。 【规范解答】解：（1）如下图所示： （2）设经过小时两车相遇。 答：经过12小时两车相遇。 【考点评析】此题主要考查相遇问题中的基本数量关系：速度和相遇时间总路程或甲车所行的路程乙车所行的路程两地之间的距离；再由关系式列方程解决问题。 20．（2024春•南安市期末）电脑课上，小海用一个等边三角形和一个正六边形制作了一幅图（如图），通过测量，发现等边三角形的周长比正六边形的周长少9.6厘米，那么这个正六边形的边长是多少厘米？（用方程解） 【思路点拨】根据题图可知等边三角形和正六边形的边长相同，根据等边三角形的周长比正六边形的周长少9.6厘米，设这个正六边形的边长是厘米。则，求出即可解答本题。 【规范解答】解：设这个正六边形的边长是厘米。 答：这个正六边形的边长是3.2厘米。 【考点评析】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为，由此列方程解决问题。 21．（2024•江北区）一只两层书架，上层放的书比下层的3倍还多18本，如果把上层的书拿出101本放到下层，那么两层所放的书本数相等．原来上下层各有书几本？（用方程解） 【思路点拨】根据上层放的书比下层的3倍还多18本，确定把下层放的数量看作一份，（设原来下层有书本），再根据“如果把上层的书拿出101本放到下层，那么两层所放的书本数相等”．列方程解答即可． 【规范解答】解：设原来下层有书本，则原来上层有书本， ， ， ； ． 答：原来上层有书294本，原来下层有书92本． 【考点评析】此题主要考查列方程解含有两个未知数的应用题，解答关键是找出被比的数量把它设为，另一个未知数用含有的式子表示，找出等量关系列方程解答即可． 22．（2023春•梁溪区期末）师徒两人合作完成360个零件，9天完工，已知师傅每天做28个，徒弟每天做多少个？（用方程解） 【思路点拨】设徒弟每天做个，根据等量关系：师傅9天做的个数徒弟9天做的个数个零件，列方程解答即可． 【规范解答】解：设徒弟每天做个， 答：徒弟每天做12个． 【考点评析】本题考查了列方程解应用题，关键是根据等量关系：师傅9天做的个数徒弟9天做的个数个零件，列方程． 23．（2022秋•灵宝市期末）学校开展课外活动，书法班有54人，比音乐班人数的2倍还多6人，音乐班有多少人？（用方程解） 【思路点拨】根据书法班比音乐班人数的2倍还多6人，可知本题的数量关系：音乐班人数书法班人数，据此等量关系可列方程解答． 【规范解答】解：设音乐班有人，根据题意得 ， ， ， ． 答：音乐班有24人． 【考点评析】本题的关键是找出题目中的数量关系，再列方程解答． 24．（2024春•宿城区期中）地球表面的海洋面积大约是3.6亿平方千米，比陆地面积多2.1亿平方千米．陆地面积大约是多少亿平方千米？（列方程解答） 【思路点拨】根据题意可得数量间的相等关系为：陆地面积海洋面积，设陆地面积为亿平方千米，列并解方程即可． 【规范解答】解：设陆地面积为亿平方千米， ， ， ； 答：陆地面积大约是1.5亿平方千米． 【考点评析】此题考查列方程解应用题，解决此题的关键是数量间的相等关系：陆地面积海洋面积． 25．（2022秋•乡宁县期末）宁夏的同心县是一个“干渴”的地区，年平均蒸发量是，比年平均降水量的8倍还多，同心县的年平均降水量多少毫米？ 【思路点拨】设年平均降水量毫米，根据“年平均降水量的8倍年平均蒸发量”列出方程，解答即可． 【规范解答】解：设年平均降水量毫米，则： ， ， ； 答：同心县的年平均降水量277毫米． 【考点评析】解答此题的关键：设出所求的量为未知数，进而找出题中的数量间的相等关系式，然后根据关系式，列出方程，解答即可． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$