专题01 二次根式性质的五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（人教版）

专题01 二次根式性质的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、二次根式 2 类型二、二次根式有意义的条件 3 类型三、已知二次根式求参数的值 5 类型四、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 6 类型四、含隐含条件的参数范围化简二次根式 8 类型五、复杂的复合二次根式化简 9 压轴能力测评（15题） 13 解题知识必备 知识点1 二次根式 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数. 知识点2 二次根式有无意义的条件 1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即； 2.二次根式无意义：被开方数为负数，即； 知识点3 二次根式的性质 1.二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． 2.二次根式的性质：（） 3.二次根式的性质： 压轴题型讲练 类型一、二次根式 例题：（24-25九年级上·山西长治·期末）下列根式是二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25九年级上·河南周口·期中）在式子，，，，，，中，二次根式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练3】（2024八年级上·全国·专题练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定是二次根式的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 类型二、二次根式有意义的条件 例题：（22-23八年级下·江苏·周测）若二次根式有意义，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）当a是怎样的实数时，在实数范围内有意义（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25九年级上·河南新乡·期末）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【变式训练3】（2024八年级上·全国·专题练习）若，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 类型三、已知二次根式求参数的值 例题：（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 【变式训练1】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知是整数，则自然数的值是 ． 【变式训练2】（23-24八年级下·湖北咸宁·期中）若是正整数，则整数可取的最小值为 ． 【变式训练3】（23-24八年级下·福建福州·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 ． 类型四、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 例题：（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）化简： ． 【变式训练1】（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知，化简的结果是 ． 【变式训练2】（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若，则的值为 ． 【变式训练3】（23-24七年级下·河南许昌·阶段练习）如果实数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简代数式 ． 类型四、含隐含条件的参数范围化简二次根式 例题：（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）二次根式化简结果正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24八年级下·河南安阳·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（23-24八年级下·天津·期中）已知，，化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【变式训练3】（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）化简： ． 类型五、复杂的复合二次根式化简 例题：（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）有这样一类题目，例如： ． 请仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 【变式训练1】（22-23九年级上·湖南衡阳·阶段练习）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 【变式训练2】（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考 ①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ① ② 【变式训练3】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于， 即， (1)填空：______，______； (2)化简求值． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·四川眉山·开学考试）下列各式中为二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如果二次根式有意义，那么的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．0 3．（2024八年级·全国·竞赛）已知是整数，则满足条件的最小正整数（    ）． A．5 B．0 C．3 D．75 4．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）当时，化简（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2024八年级上·全国·专题练习）在式子① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ 中，是二次根式的有 （填写序号）． 6．（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 7．（24-25八年级上·上海·期中）将根号外的因式移到根号内得 ． 8．（24-25八年级上·北京昌平·期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 三、解答题 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）把二次根式根号外面的因式移到根号内 10．（24-25八年级上·福建三明·期中）若2，5，n为三角形的三边长，化简 11．（24-25八年级上·福建三明·期中）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______； (3)先化简，再求值：，其中． 12．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）探究并解决问题． (1)通过计算下列各式的值探究问题． ①______；_____； 探究：对于任意非负有理数a，_____． ②______；______； 探究：对于任意负有理数a，_____． 综上，对于任意有理数a，_____． (2)应用（1）所得结论解决问题：有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：． 13．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）通过学习算术平方根，我们知道所有的非负数都可以看作一个正数的平方，如：，，，，，那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：， 的算术平方根是． 请根据上面的方法化简下列式子： (1)； (2)． 14．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）观察下列各式及其验证过程： ；． 验证：；． (1)按照上面结论猜想的结果，并写出验证过程； (2)根据上述各式反映的规律，写出用n（n为正整数，且）表示的等式，并给出验证过程． 15．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）阅读下列解题过程 例：若代数式的值是2，求的取值范围 解：原式， 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． ∴的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：______． (2)解方程：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式性质的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、二次根式 2 类型二、二次根式有意义的条件 3 类型三、已知二次根式求参数的值 5 类型四、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 6 类型四、含隐含条件的参数范围化简二次根式 8 类型五、复杂的复合二次根式化简 9 压轴能力测评（15题） 13 解题知识必备 知识点1 二次根式 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数. 知识点2 二次根式有无意义的条件 1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即； 2.二次根式无意义：被开方数为负数，即； 知识点3 二次根式的性质 1.二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． 2.二次根式的性质：（） 3.二次根式的性质： 压轴题型讲练 类型一、二次根式 例题：（24-25九年级上·山西长治·期末）下列根式是二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题考查了二次根式．熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如的式子是二次根式． 根据二次根式的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，，不是二次根式，是二次根式， ∴A、B、D不符合要求；C符合要求； 故选：C． 【变式训练1】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，理解二次根式中被开方数是非负数是解决问题的关键． 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．直接利用二次根式的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A．当时，原式无意义，故A不一定不是二次根式； B．当时，原式无意义，故B不一定是二次根式； C．恒成立，故C一定是二次根式； D．当时，原式无意义，故D不一定是二次根式； 故选：C． 【变式训练2】（24-25九年级上·河南周口·期中）在式子，，，，，，中，二次根式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如“”这样的式子是二次根式．根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：，，，，是二次根式， ，没有意义， 不是二次根式， 是整式， 即二次根式有4个， 故选：C． 【变式训练3】（2024八年级上·全国·专题练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定是二次根式的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义，二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，根据二次根式的定义，分别判断各式即可． 【详解】解：①符合二次根式的定义，故正确； ②无意义，故错误； ③中的，符合二次根式的定义，故正确； ④中的，符合二次根式的定义，故正确； ⑤是开3次方，故错误； ⑥中的，符合二次根式的定义，故正确． 正确的有①③④⑥，共4个． 故选：B． 类型二、二次根式有意义的条件 例题：（22-23八年级下·江苏·周测）若二次根式有意义，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得到，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 故选：D． 【变式训练1】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）当a是怎样的实数时，在实数范围内有意义（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数非负．根据被开方数非负得到，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：C． 【变式训练2】（24-25九年级上·河南新乡·期末）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式中的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， 故选：D． 【变式训练3】（2024八年级上·全国·专题练习）若，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式有意义的条件、负整数指数幂 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求代数式的值，解题的关键是掌握：在二次根式中，要求字母必须满足条件，即被开方数是非负的，则当时，二次根式有意义，当时，二次根式无意义．据此得到关于的不等式组，继而得到、的值，再代入计算即可．也考查了负整数指数幂． 【详解】解：根据题意，得， 解得：， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 故选：A． 类型三、已知二次根式求参数的值 例题：（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 【答案】3 【知识点】求二次根式中的参数、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是整数，或或， ∴满足条件的正整数是或或． 即满足条件的正整数共有3个， 故答案为：3． 【变式训练1】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知是整数，则自然数的值是 ． 【答案】或 【知识点】求二次根式中的参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了求二次根式中参数的值，先根据二次根式中被开方数是非负数求出的范围，再分析求出的值． 【详解】解：根据被开方数是非负数可得，中的， 解得：， ∵是自然数， ∴， ∵是整数， ∴，， ∴自然数的值是或， 故答案为：或． 【变式训练2】（23-24八年级下·湖北咸宁·期中）若是正整数，则整数可取的最小值为 ． 【答案】15 【知识点】求二次根式中的参数、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，整理，再结合“是正整数”以及“是整数”，进行作答． 【详解】解：依题意，得， ∵是正整数，且是整数， ∴整数可取的最小值为15， 故答案为：15． 【变式训练3】（23-24八年级下·福建福州·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 ． 【答案】35 【知识点】求二次根式中的参数、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的化简．根据题意可变形为，即可求解． 【详解】解：∵，是整数，n是正整数， ∴n的最小值为35． 故答案为：35 类型四、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 例题：（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵被开方数恒为非负数，即中，， ∴中，， ∴， 故答案为： ． 【变式训练1】（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知，化简的结果是 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是二次根式以及绝对值的化简，根绝未知数的值化简是解决本题的关键. 根据，判断，的正负，进行化简，合并同类项，得出结果. 【详解】解：∵ ∴. 故答案为：5 【变式训练2】（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据题意先得到，再由进行化解求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式训练3】（23-24七年级下·河南许昌·阶段练习）如果实数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简代数式 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质，立方根的定义，掌握二次根式的性质，立方根的定义，是解题的关键． 根据数轴的特点确定的符号和大小，再根据二次根式的性质，立方根的定义化简，即可求解． 【详解】解：根据数轴上点的位置可得，，，， ∴ ， 故答案为： ． 类型四、含隐含条件的参数范围化简二次根式 例题：（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）二次根式化简结果正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，先根据，得出，二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质与化简． 【详解】∵，， ∴原式， ， 故选：． 【变式训练1】（23-24八年级下·河南安阳·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键． 由的积小于0得到与异号，再根据负数没有平方根得到大于0，进而确定出小于0，所求式子利用二次根式的化简公式即可得到结果． 【详解】 解：，与异号， ，， ， 则． 故选：C． 【变式训练2】（23-24八年级下·天津·期中）已知，，化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的化简，根据二次根式的被开方数必须为非负数，及二次根式性质原式化简得到答案． 【详解】解：∵， ∴，故， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式训练3】（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简等知识，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】根据题意有：，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 类型五、复杂的复合二次根式化简 例题：（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）有这样一类题目，例如： ． 请仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解； （2）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解； 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则，二次根式的性质，完全平方公式是解题的关键． 【变式训练1】（22-23九年级上·湖南衡阳·阶段练习）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】此题考查化简二次根式，活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解． 【详解】（1）解：； （2）； （3）∵， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴a的值为：或． 【变式训练2】（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考 ①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ① ② 【答案】(1)④， (2)①；② 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质即可求解； （2）根据（1）中的材料化简即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 ④步出现了错误， 故答案为：④，； （2）解：①原式 ； ②原式 ． 【变式训练3】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于， 即， (1)填空：______，______； (2)化简求值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方式的运用以及二次根式性质的运用． （1）由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为3和2后，即可得出结论；由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为8和9后，即可得出结论 （2）由条件对进行变形利用完全平方公式的形式化简，求解．即可． 【详解】（1） ， ， 故答案为：，； （2）． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·四川眉山·开学考试）下列各式中为二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，注意有意义的条件是根号内的数为非负数．根据二次根式有意义的条件逐个判断即可． 【详解】二次根式有意义的条件是根号内的数为非负数 解：A．是二次根式，故A符合题意； B．，是负数，无意义，不是二次根式，故B不符合题意； C．是三次根式，不是二次根式，故C不符合题意； D．中，无意义，不是二次根式，故D不符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如果二次根式有意义，那么的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．0 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数为非负数得出，求解即可得解． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， ∴的值可以是0， 故选：D． 3．（2024八年级·全国·竞赛）已知是整数，则满足条件的最小正整数（    ）． A．5 B．0 C．3 D．75 【答案】C 【知识点】求二次根式中的参数、利用二次根式的性质化简 【分析】此题考查了无理数与有理数的联系，根据二次根式的定义进行解答，解题的关键是正确理解什么情况下为正整数． 【详解】解：∵， ∴是一个平方数， ∴正整数最小是， 故选：． 4．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）当时，化简（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，能够根据二次根式的被开方数中因式的特点正确化简二次根式是本题的关键． 先利用的取值范围判断的正负性，根据二次根式的性质进行化简，最后根据绝对值的性质去绝对值，然后进行计算即可． 【详解】解：． ． ． 故选：B． 二、填空题 5．（2024八年级上·全国·专题练习）在式子① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ 中，是二次根式的有 （填写序号）． 【答案】③④⑥ 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的识别，形如这样的式子称为二次根式，根据这个定义去判断即可． 【详解】解：，中被开方数是负数，不是二次根式，是立方根，也不是二次根式，其余均是二次根式； 故答案为：③④⑥． 6．（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键．根据二次根式与分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：且， 故答案为：且． 7．（24-25八年级上·上海·期中）将根号外的因式移到根号内得 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 根据二次根式的性质，得，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·北京昌平·期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 【答案】3 【知识点】实数与数轴、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质等知识，先根据数轴得出，则，然后根据二次根式的性质化简计算即可． 【详解】解：由数轴知：， ∴， ∴ ， 故答案为：3． 三、解答题 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）把二次根式根号外面的因式移到根号内 【答案】． 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，首先根据既在根号下又在分母中，可得，所以原式可以化为，然后把根号外面的式子写到根号里面可得，把根号里面的部分约分即可． 【详解】解：既在根号下又在分母中， ， ， ． 10．（24-25八年级上·福建三明·期中）若2，5，n为三角形的三边长，化简 【答案】5 【知识点】利用二次根式的性质化简、三角形三边关系的应用、化简绝对值 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理和二次根式的性质，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．根据三角形三边关系定理求出，再根据二次根式的性质和绝对值意义化简即可． 【详解】解：∵2，5，n为三角形的三边长， ∴，即， ∴原式． 11．（24-25八年级上·福建三明·期中）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2) (3)2030 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了利用二次根式性质进行化简求值． （1）将代入式子，由结合二次根式的性质化简即可； （2）根据错误的原因可得； （3）将代入式子，由结合二次根式的性质化简即可； 【详解】（1）解：当时， 原式 原式 ， 小亮错误， 故答案：小亮． （2）解：由题意得 ； 故答案：． （3）解：当时， 原式 原式 ． 12．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）探究并解决问题． (1)通过计算下列各式的值探究问题． ①______；_____； 探究：对于任意非负有理数a，_____． ②______；______； 探究：对于任意负有理数a，_____． 综上，对于任意有理数a，_____． (2)应用（1）所得结论解决问题：有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】(1)①4；0；a；②3；5；； (2) 【知识点】利用二次根式的性质化简、根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、求一个数的算术平方根 【分析】此题主要考查了算术平方根的计算以及二次根式的化简，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键． （）①分别计算各式的值，并归纳出探究结果； ②分别计算各式的值，归纳出探究结果，并总结出，； （）先利用（）式的探究结果化简二次根式，再根据字母、在数轴上的位置及绝对值的意义进行化简，合并后即可得出结果． 【详解】（1）解：，， 探究：对于任意非负有理数a，； ，， 探究：对于任意负有理数，； 综上，对于任意有理数，； （2）解：观察数轴可知： ，，， ． 13．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）通过学习算术平方根，我们知道所有的非负数都可以看作一个正数的平方，如：，，，，，那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：， 的算术平方根是． 请根据上面的方法化简下列式子： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，读懂题意，将整数分成两个合适的整数相加是解题的关键． （1）将7分成，利用完全平方公式即可求出结论； （2）由（1）可得，整理得，再将12分成，利用完全平方公式即可求出结论． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）观察下列各式及其验证过程： ；． 验证：；． (1)按照上面结论猜想的结果，并写出验证过程； (2)根据上述各式反映的规律，写出用n（n为正整数，且）表示的等式，并给出验证过程． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查二次根式的性质， （1）根据材料提示的方法进行计算即可求解； （2）根据材料提示，二次根式的性质进行化简即可求解． 【详解】（1）解：， 验证：； （2）解：， 验证：． 15．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）阅读下列解题过程 例：若代数式的值是2，求的取值范围 解：原式， 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． ∴的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：______． (2)解方程：． 【答案】(1)2 (2)的值为或7 【知识点】绝对值方程、利用二次根式的性质化简、化简绝对值 【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，解绝对值方程．掌握二次根式的性质，绝对值的性质是解题的关键． （1）根据题意可确定，，从而化简二次根式的性质即可； （2）由阅读材料可知，再分类讨论，结合绝对值的性质，化简即可． 【详解】（1）解：当时，，， ∴． （2）解：原式， 当时，原式，解得，符合条件； 当时，原式，舍去； 当时，原式，解得，符合条件． ∴的值为或7． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$