专题02 整式的乘法的八种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（北师大版2024）

专题02 整式的乘法的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 2 类型二、已知多项式乘积不含某项求字母的值 3 类型三、整式的乘法混合运算 5 类型四、整式的乘法中化简求值 7 类型五、(x+p)(x+q)型多项式乘法 9 类型六、整式的乘法与图形面积 11 类型七、多项式乘法中的规律性问题 13 类型八、整式的乘法中的新定义型问题 17 压轴能力测评（16题） 21 解题知识必备 知识点01 单项式与单项式相乘 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 　 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： 　 ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆； 　　 ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则； 　 ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； 　　 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； 　　 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 知识点02 单项式与多项式相乘 单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b+c)m=am+bm+cm　　 单项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　 ①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； 　 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； 　 ③在混合运算时，要注意运算顺序. 知识点03 多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 　 多项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　　 ①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积； 　　 ②多项式相乘的结果应注意合并同类项； 　　 ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab 对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到. 压轴题型讲练 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 例题：（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题考查单项式乘多项式，利用单项式乘以多项式去括号后即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）若对任意都成立，则 ． 【答案】1 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用单项式乘多项式的法则对等式左边进行整理，再结合等式的性质进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 原式子对任意都成立， ，， 解得：，， ． 故答案为：1． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）若不论为何值时，等式恒成立，则 ， ． 【答案】 1 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题考查单项式乘以多项式，整式加减运算中的恒等问题，将等式左边的多项式去括号，合并同类项后，根据对应项的系数相同，进行求解即可． 【详解】恒成立， ． 故答案为：1，． 类型二、已知多项式乘积不含某项求字母的值 例题：（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）若的乘积中不含项，求n的值． 【答案】4 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算方法．先根据整式的乘法运算算出结果，然后令项前面的系数为零，求出n的值． 【详解】解： ， ∵乘积中不含项， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2)12 【知识点】积的乘方的逆用、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，积的乘方的逆运算． （1）将展开，根据结果不含与项，即含与项的系数为0进行求解即可； （2）将（1）所求值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 的积中不含与项， ， ； （2）解：∵，， ∴ ． 2．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知的展开式中不含的一次项，常数项是． (1)求，的值． (2)先化简再求值． 【答案】(1)， (2)35 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘以多项式运算法则将原式展开，结合展开式中不含的一次项，常数项是可得，，求解即可获得答案； （2）根据多项式乘以多项式运算法则将原式化简，然后将，的值代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， 又∵展开式中不含的一次项，常数项是， ∴，， 解得，； （2）原式 ， ∵，， ∴原式 ． 类型三、整式的乘法混合运算 例题：（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)3 【知识点】整式乘法混合运算、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先计算单形式乘以多项式，再计算加法即可． （2）先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1） （2） 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式乘法混合运算、计算多项式乘多项式 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则． （1）运用多项式乘以多项式的法则运算即可求解； （2）先根据整式的乘法运算，然后合并即可求解； 【详解】（1）解： ； （2） 2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题考查整式乘法的混合运算，熟记单项式乘多项式，合并同类项法则是解题的关键． （1）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （2）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （3）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （4）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 类型四、整式的乘法中化简求值 例题：（23-24七年级下·浙江金华·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式乘法混合运算 【分析】本题考查整式的乘法，熟练整式乘法的计算方法是解题的关键． 先根据整式的乘法化简原式，再带入数值求解即可． 【详解】原式， ， ， 当时， 原式． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）先化简，再求值，其中，． 【答案】；6 【知识点】已知字母的值，化简求值、整式乘法混合运算 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据整式乘法混合运算法则进行化简，然后再代入数值进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时， ． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】；2 【知识点】已知字母的值，化简求值、整式乘法混合运算 【分析】本题主要考查了整式化简求值，先根据多项式乘法运算法则进行化简计算，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 3．（23-24八年级上·北京大兴·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】整式乘法混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了整式化简求值，运用单项式乘以多项式、多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，代值计算，即可求解；掌握单项式乘以多项式、多项式乘以多项式法则，括号前是“”时，去括号时要变号是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 当，时， 原式 ． 类型五、(x+p)(x+q)型多项式乘法 例题：（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）观察下列各式： 回答下列问题： (1)总结公式：_____； (2)已知a，b，m均为整数，若，求m的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式． （1）观察题目中的四个式子发现规律：二次项系数都是1，一次项系数为左边括号中两个常数的和，常数项为左边括号中两个常数的积，据此求解即可； （2）利用（1）的猜想展开左边，再根据一次项系数和常数项列方程，最后根据a，b，m均为整数求解即可． 【详解】（1）解：根据上面的计算，可发现：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ∵a，b，m均为整数， ∴， ∴或或或， ∴或， ∴m的值为或． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·云南昆明·期中）观察下列多项式的乘法计算，回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)计算__________； 根据你发现的规律，猜想__________； (2)若，求的值． 【答案】(1)；； (2)n的值为 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算，观察各①②③④小题结果的二次项系数、一次项系数及常数项，发现规律得猜想； （2）利用（1）的猜想先求出，再根据得关于m、n的方程，求解即可． 【详解】（1）解： 根据上面的计算，可发现： 故答案为：；； （2）解：由（1）的规律知：， ∵， ∴． ∴，． ∴． 答：n的值为． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，利用多项式乘多项式法则发现规律得到猜想是解决本题的关键． 类型六、整式的乘法与图形面积 例题：（24-25八年级上·吉林松原·期末）在莹莹住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖互相垂直且宽度均为a米的通道． (1)用含a、b的式子表示剩余草坪的面积； (2)若，，求剩余草坪的面积． 【答案】(1)平方米 (2)260平方米 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何图形中的应用； （1）根据图形利用平移的性质可得剩余草坪的面积为宽为米，长为米的长方形面积，根据多项式乘以多项式，即可求解； （2）将，代入（1）中结果，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：依题意，剩余草坪的面积为 答：剩余草坪的面积为平方米． （2）当，时，原式， ∴剩余草坪的面积是260平方米． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·广东深圳·阶段练习）如图，某小区有一块长为，宽为，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米． (1)用含有a、b的式子表示绿化的总面积S； (2)若，求出此时绿化的总面积S． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题考查了整式加减运算的应用，代数式求值．熟练掌握整式加减运算的应用，代数式求值是解题的关键． （1）由题意得：，计算求解即可； （2）将，代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：当时，， ∴当时，绿化的总面积为． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）为了提升居民的幸福指数，某居民小组规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为米、宽为b米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材． (1)求安装健身器材的区域面积； (2)若，，求篮球场的面积． 【答案】(1)安装健身器材的区域面积为平方米； (2)篮球场的面积为420平方米． 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，代数式表示式，求代数式的值，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）根据“安装健身器材的区域面积长方形场地面积篮球场面积”列式计算，即可解题； （2）根据长方形面积列出代数式，再将，代入式子中计算，即可解题． 【详解】（1）解：安装健身器材的区域面积为： 平方米； （2）解：由题知，篮球场的面积为：， 当，时， 篮球场的面积为：（平方米）， 答：篮球场的面积为420平方米． 3．（24-25八年级上·山西·阶段练习）晋阳湖公园是太原市面积最大的城市综合性公园，位于太原市西南方的晋阳湖水域周边．小华与家人在公园内某一长方形区域观赏风景，设该观景区长3a米，宽米，中间修有一条“S”型等宽小路供游客行走，已知小路宽2米，其余区域皆为草坪． (1)求该观景区草坪的面积． (2)当，时，草坪的面积是多少？ 【答案】(1) (2)草坪的面积是4400平方米． 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值． （1）根据矩形的面积公式即可得到结论； （2）把，代入（1）中的代数式，即可得到结论． 【详解】（1）解：该观景区草坪的面积平方米； （2）解：当，时， （平方米）， 答：草坪的面积是4400平方米． 类型七、多项式乘法中的规律性问题 例题：（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）阅读理解：请你仔细阅读以下等式，并运用你发现的规律完成问题： ① ② ③ ④ (1)规律探究：(________________)； (2)知识运用： ①________________； ②利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题主要考查了整式的乘法，有理数的乘方等知识点， (1)根据探索材料找到规律直接写出答案； (2)把代入(1)中的等式进行求值即可；把代入(1)中式子计算即可； 熟练掌握相应的运算法则，找到规律是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵① ② ③ ④ ， ∴ 故答案为：； （2）解：由（1）知，， ， 故答案为： 把代入中得， ， ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知． (1)根据以上式子计算： ①； ②． (2)请你进行下面的探索： ①____________； ②____________； ③____________． 【答案】(1)①；② (2)①；②；③ 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题主要考查了多项式与多项式相乘，以及规律的探索，解题的关键是总结所给式子的特点，从而进行解题． （1）①直接利用题中的结论代入数值计算；②中，把按升幂进行排列，把化为，然后套用规律进行解答，需要处理好符号； （2）仿照所给等式的规律即可直接写出答案． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：①； ②； 同理可知： ③ 故答案为∶①；②；③． 2．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例、如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，在三角形中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． (1)根据上面的规律不难发现，的展开式共有____________项，请写出它的展开式； (2)的展开式共有__________项，系数和为___________； (3)利用上面的规律计算：； (4)运用：若今天是星期二，经过天后是星期___________． 【答案】(1)6项，； (2)共有（）项，系数和为； (3)1； (4)三． 【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了整式乘法运算，多项式乘多项式规律探究，学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键． （1）观察规律可知，的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答； （2）的展开式共有项，写出前几项系数，得出一般规律即可； （3）利用规律，根据有理数混合运算的法则计算即可； （4）根据规律展开后看最后一项即可． 【详解】（1）解：根据上面规律，的展开式共有6项， 则； （2）解：的展开式共有项， 系数和为， 系数和为， 系数和为， 故系数和为； （3）解：根据规律可知： ； （4）解：的最后一项是1， 则的余数是1， 若今天是星期二，经过天后是星期三． 类型八、整式的乘法中的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·重庆·期末）定义：对于一组关于x的多项式，，，（a．b，c，d是有理数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个有理数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，有理数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．例如：对于多项式，，，，因为，所以多项式，，，是一组黄金多项式，其黄金因子为． (1)小贤发现多项式，，，是一组黄金多项式，其列式为 请帮小贤求出这组黄金多项式的黄金因子． (2)若多项式，，，（n是有理数）是一组黄金多项式，求n的值． (3)若多项式（m为有理数），，是一组黄金多项式，且黄金因子为5，请直接写出m的值． 【答案】(1)12 (2)的值为或8或2 (3)的值为 【知识点】新定义下的实数运算、计算多项式乘多项式、多项式乘多项式——化简求值 【分析】（1）根据整式的四则混合运算法则计算，根据“黄金因子”的定义即可解答； （2）分三种情况，分别计算①②；③，根据“黄金多项式”的定义即可解答； （3）分三种情况，分别计算①，②，③，根据这是一组黄金多项式，且黄金因子为4，进行判断即可解答． 本题考查定义新概念，整式的四则混合运算，读懂题意，理解“黄金多项式”，“黄金因子”等定义是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 这组黄金多项式的黄金因子是； （2）解：若多项式，，，是有理数）是一组黄金多项式，有三种情况， ① ． 这是一组黄金多项式， ， ； ② ． 这是一组黄金多项式， ， ； ③ ． 这是一组黄金多项式， ， ， 综上所述，的值为或8或2； （3）解：① ， 这是一组黄金多项式， ， ， 黄金因子为，不合题意，舍去； ② ， 这是一组黄金多项式， ， ， 黄金因子为，不合题意，舍去； ③ ， 这是一组黄金多项式， ， ， 黄金因子为，符合题意， 综上所述，的值为． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2)81 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方运算、同底数幂除法的逆用 【分析】（1）根据新定义的运算方法计算即可； （2）根据条件结合新定义的运算方法判断出，，可得结论． 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2），， ，， 整理得：，，解得：， ． 【点睛】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题． 2．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：．    请解答下列问题： (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)24 【知识点】新定义下的实数运算、已知多项式乘积不含某项求字母的值、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式： （1）根据新定义计算求解即可； （2）根据新定义求出，再根据不含x的一次项，即可含x的一次项的系数为0进行求解即可； （3）根据新定义求出，再利用整体代入法代值计算即可； （4）根据所给图形可得，根据推出，再根据新定义，进而一步步利用整体代入法降次求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解： ∵代数式中不含x的一次项， ∴， ∴； （3）解： ∵， ∴原式； （4）解：根据题意得：， 整理得：， ∴ ． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·海南·期中）若，则的值为（   ） A．11 B． C． D．1 【答案】C 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了整式的乘法，代数式求值，掌握多项式乘多项式法则是解决问题的关键． 先利用多项式乘多项式法则计算，再根据整式的值相等确定的值,最后计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选： C． 2．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】本题考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，据此即可求出答案． 【详解】解， ， ，， ， 故选: C． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了多项式的乘法运算及数字的变化规律，解题的关键是将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出规律． 根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案． 【详解】解：∵①； ②； ③； ④， ……， ∴． ∴ ， 因为，，，，， 所以2的乘方运算，其末位数字分别为2，4，8，6，每4个为一组，依次循环． 因为，所以的末位数字为2，所以的末位数字为1， 即的计算结果的末位数字为1． 故选：A． 4．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，有三张正方形纸片，将三张纸片按照如图所示的方式放置于一个长方形中，已知中间重叠部分四边形恰好是一个正方形，记图中两块未被覆盖的阴影部分面积分别为和，已知，，若要知道和的面积差，只需要知道（   ） A．正方形的边长 B．正方形的边长 C．正方形的边长 D．正方形的边长 【答案】C 【知识点】列代数式、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，延长交于点，则右上角未被覆盖部分阴影部分的面积，分别设正方形的边长分别为，正方形的边长为，表示出，，再作差即可得解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点，则右上角未被覆盖部分阴影部分的面积， 设正方形的边长分别为，正方形的边长为， 则，，，，，， ∴，， ∴ 故要知道和的面积差，只需要知道的值即可，即要知道正方形的边长， 故选：． 二、填空题 5．（24-25八年级上·天津静海·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的运算，把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 6．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知的展开式中不含x项，则常数a的值为 ． 【答案】/0.25 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查多项式乘多项式不含某一项的问题．先根据多项式乘多项式法则进行展开，再根据展开式中不含x项，得到x项的系数为0，即可求出a的值． 【详解】解： ， ∵展开式中不含x项， ∴， 解得， 故答案为：． 7．（2024七年级上·上海·专题练习）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则的值为 ． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，掌握运算法则是解题的关键． 先根据题意得出，，再整体代入求解． 【详解】解：由题意得： ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释．现有如图所示的三种类型卡片，，，想要拼成如图所示的长方形，则需要类型卡片 张． 【答案】 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了整式的乘法、整式的加减，利用长方形面积公式表示出长方形的面积，首先把大长方形、型卡片、型卡片的面积用代数式表示出来，大长方形的面积减去个型卡片的面积和个型卡片的面积，根据剩下的面积和型卡片的面积求出需要的型卡片的数量． 【详解】解：如下图所示，长方形的长为，宽为， 长方形的面积为， 图中有个，个， 长方形中剩余部分的面积为， 型卡片的面积为， 需要个类型的卡片． 故答案为： ． 三、解答题 9．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】整式乘法混合运算、计算单项式乘多项式及求值、计算多项式乘多项式 【分析】（1）直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案． （2）直接利用多项式乘以多项式运算法则、单项式乘多项式运算法则计算得出答案． （3）直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案． （4）直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【点睛】本题考查了整式的乘法，掌握其计算法则是解题的关键． 10．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)；6 (2)；10 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式四则混合运算、零指数幂 【分析】此题考查了整式的四则混合运算化简求值，幂的运算法则及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用幂的乘方、同底数幂相乘及单项式乘多项式法则，进行计算得到最简结果，把的值代入计算即可求出值； （2）原式利用积的乘方、同底数幂相除及多项式乘多项式法则进行化简，把与的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：原式 . 当时， 原式； （2）解：原式 ， 当，时， 原式． 11．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图．在长为，宽为的长方形铁片上，截去长为，宽为的小长方形铁片． (1)用含、的代数式表示剩余部分（即阴影部分）的面积；（结果化为最简形式） (2)求剩余部分的面积与截去的小长方形铁片的面积之差． 【答案】(1) (2) 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、整式的加减运算 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）分别表示出长方形的面积，剪去铁片的面积，再根据整式的减法运算法则计算即可； （2）根据题意，运用整式的减法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：长方形的面积为，剪去铁片的面积为， ∴， ∴剩余部分（即阴影部分）的面积为； （2）解：． 12．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）观察下列各式： ①； ②； ③； ④ 请回答下列问题： (1)总结公式：______； (2)已知a，b，m均为整数，且，求m的值； (3)已知a，b，m，n均为整数，且若，请直接写出n的值． 【答案】(1)； (2)m的值为6或； (3)n的值为22或8或或 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】此题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，漏解是易错点． （1）根据已知算式的规律可得出答案； （2）根据（1）中的规律得，，再根据a，b，m均为整数，①，；②，；③，；④，，据此可得m的值； （3）根据中的规律得，，，再根据a，b，m，n均为整数，且得①，；②，；③，；④，，据此可得n的值． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； 以此类推，， 故答案为： （2）解：， 由（1）得：，， ，b，m均为整数， 有以下四种情况： ①，；②，；③，；④，， ①当，时，， ②当，时，， ③当，时，， ④当，时，， 综上所述：m的值为6或 （3）解：，， ，，， 又，b，m，n均为整数，且， 有以下四种情况： ①，；②，；③，；④，， ①当，时，； ②当，时，； ③当，时，； ④当，时，， 综上所述：n的值为22或8或或 13．（23-24七年级下·江苏南京·期末）一个正方形边长为 (a为常数，)，记它的面积为．将这个正方形的一组邻边长分别增加2 和减少2，得到一个长方形，记该长方形的面积为． (1)求 (用含a的代数式表示)． (2)小丽说无论a为何值，与的差都不变，你同意她的观点吗？为什么？ (3)将原正方形一组邻边分别增加4 和减少3，得到一个长方形，记该长方形的面积为，比较与的大小． 【答案】(1) (2)同意；理由见解析 (3) 【知识点】整式乘法混合运算、整式加减的应用、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用和整式加减的应用，解题的关键是根据题意列出代数式，熟练掌握整式乘法运算法则． （1）根据题意得出长方形的两条边长，求出长方形的面积即可； （2）求出，然后进行判断即可； （3）表示出，然后再作差，比较大小即可． 【详解】（1）解：得到的长方形的两边长分别为，， ∴； （2）解：同意；理由如下： ， ∴与的差都不变． （3）解：∵， ∴， ∴当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：． 14．（23-24七年级上·山西朔州·期末）综合与实践 如图1，长方形的两边长分别为，；如图2，长方形的两边长分别为，．（其中m为正整数） (1)图1中长方形的面积____________；图2中长方形的面积____________；比较____________（选填“”、“=”或“”）； (2)现有一正方形，其周长与图1中的长方形周长相等． ①求正方形的边长；（用含m的代数式表示） ②试探究：该正方形的面积S与图1中长方形的面积的差（即）是一个常数，并求出这个常数． 【答案】(1)，， (2)①；② 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题考查了整式乘法混合运算，列代数式； （1）由长方形面积公式及多项式乘多项式即可求得，再计算，根据m为正整数即可判断的大小； （2）①由题意可求得正方形的周长，即可求得其边长； ②计算即可． 【详解】（1）解：，， ， 由于m为正整数，所以， 所以，即； 故答案为：，，>； （2）解：①因为图1中长方形的周长为， 所以正方形的边长为； ②因为，为定值， 所以这个常数为9. 15．（23-24八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则，一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即），如果．则称B是A的“郡园多项式”如果，则称B是A的“郡园志勤多项式”． (1)若，，则B是不是A的“郡园多项式”？请判断并说明理由； (2)若，是关于x的多项式，且B是A的“郡园志勤多项式”，则_____； (3)若，是关于x的多项式，且B是A的“郡园志勤多项式”，求m的值． 【答案】(1)B是A的“郡园多项式”，理由见解析 (2) (3)或 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，熟知多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （1）先计算出，则，，即可得到，由此即可得到结论； （2）先计算出，再根据题意得到，则，即可求出； （3）先求出当时，则，，此时B是A的“郡园志勤多项式”，符合题意；当时， 则，即可得到，则，综上所述，或． 【详解】（1）解：B是A的“郡园多项式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴B是A的“郡园多项式”； （2）解：∵，， ∴ ， ∵，B是A的“郡园志勤多项式”， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2； （3）解：∵，， ∴ ， 当时，则，，此时B是A的“郡园志勤多项式”，符合题意； 当时，， ∵B是A的“郡园志勤多项式”， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 16．（24-25八年级上·北京·期中）长方形窗户（如图1），是由上下两个长方形（长方形和长方形）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和（即，），其中．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸至．当下面窗户 的遮阳帘水平向左拉伸时，恰好与在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）． (1)求长方形窗户的总面积；（用含a、b的代数式表示） (2)如果上面窗户的遮阳帘拉伸至，下面窗户的遮阳帘拉伸至处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减的应用、多项式乘多项式与图形面积 【分析】（1）先将长方形的长和宽表示出来，再根据长方形面积公式，即可求解； （3）求出透光部分的面积，再根据窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，得出等式，即可求出的值． 本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是正确理解题意，根据图形列出式子进行计算，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由题知：，，，， ，， ， ∴长方形窗户的总面积为． （2）解：根据题意可得， ， ， ， ， ∴ ． ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 整式的乘法的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 2 类型二、已知多项式乘积不含某项求字母的值 3 类型三、整式的乘法混合运算 5 类型四、整式的乘法中化简求值 7 类型五、(x+p)(x+q)型多项式乘法 9 类型六、整式的乘法与图形面积 11 类型七、多项式乘法中的规律性问题 13 类型八、整式的乘法中的新定义型问题 17 压轴能力测评（16题） 21 解题知识必备 知识点01 单项式与单项式相乘 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 　 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： 　 ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆； 　　 ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则； 　 ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； 　　 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； 　　 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 知识点02 单项式与多项式相乘 单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b+c)m=am+bm+cm　　 单项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　 ①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； 　 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； 　 ③在混合运算时，要注意运算顺序. 知识点03 多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 　 多项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　　 ①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积； 　　 ②多项式相乘的结果应注意合并同类项； 　　 ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab 对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到. 压轴题型讲练 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 例题：（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）若，则的值为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）若对任意都成立，则 ． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）若不论为何值时，等式恒成立，则 ， ． 类型二、已知多项式乘积不含某项求字母的值 例题：（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）若的乘积中不含项，求n的值． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 2．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知的展开式中不含的一次项，常数项是． (1)求，的值． (2)先化简再求值． 类型三、整式的乘法混合运算 例题：（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）计算 (1) (2) 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2) 2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 类型四、整式的乘法中化简求值 例题：（23-24七年级下·浙江金华·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）先化简，再求值，其中，． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 3．（23-24八年级上·北京大兴·期末）先化简，再求值：，其中，． 类型五、(x+p)(x+q)型多项式乘法 例题：（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）观察下列各式： 回答下列问题： (1)总结公式：_____； (2)已知a，b，m均为整数，若，求m的值． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·云南昆明·期中）观察下列多项式的乘法计算，回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)计算__________； 根据你发现的规律，猜想__________； (2)若，求的值． 类型六、整式的乘法与图形面积 例题：（24-25八年级上·吉林松原·期末）在莹莹住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖互相垂直且宽度均为a米的通道． (1)用含a、b的式子表示剩余草坪的面积； (2)若，，求剩余草坪的面积． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·广东深圳·阶段练习）如图，某小区有一块长为，宽为，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米． (1)用含有a、b的式子表示绿化的总面积S； (2)若，求出此时绿化的总面积S． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）为了提升居民的幸福指数，某居民小组规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为米、宽为b米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材． (1)求安装健身器材的区域面积； (2)若，，求篮球场的面积． 3．（24-25八年级上·山西·阶段练习）晋阳湖公园是太原市面积最大的城市综合性公园，位于太原市西南方的晋阳湖水域周边．小华与家人在公园内某一长方形区域观赏风景，设该观景区长3a米，宽米，中间修有一条“S”型等宽小路供游客行走，已知小路宽2米，其余区域皆为草坪． (1)求该观景区草坪的面积． (2)当，时，草坪的面积是多少？ 类型七、多项式乘法中的规律性问题 例题：（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）阅读理解：请你仔细阅读以下等式，并运用你发现的规律完成问题： ① ② ③ ④ (1)规律探究：(________________)； (2)知识运用： ①________________； ②利用上述规律计算：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知． (1)根据以上式子计算： ①； ②． (2)请你进行下面的探索： ①____________； ②____________； ③____________． 2．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例、如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，在三角形中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． (1)根据上面的规律不难发现，的展开式共有____________项，请写出它的展开式； (2)的展开式共有__________项，系数和为___________； (3)利用上面的规律计算：； (4)运用：若今天是星期二，经过天后是星期___________． 类型八、整式的乘法中的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·重庆·期末）定义：对于一组关于x的多项式，，，（a．b，c，d是有理数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个有理数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，有理数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．例如：对于多项式，，，，因为，所以多项式，，，是一组黄金多项式，其黄金因子为． (1)小贤发现多项式，，，是一组黄金多项式，其列式为 请帮小贤求出这组黄金多项式的黄金因子． (2)若多项式，，，（n是有理数）是一组黄金多项式，求n的值． (3)若多项式（m为有理数），，是一组黄金多项式，且黄金因子为5，请直接写出m的值． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 2．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：．    请解答下列问题： (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·海南·期中）若，则的值为（   ） A．11 B． C． D．1 2．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 4．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，有三张正方形纸片，将三张纸片按照如图所示的方式放置于一个长方形中，已知中间重叠部分四边形恰好是一个正方形，记图中两块未被覆盖的阴影部分面积分别为和，已知，，若要知道和的面积差，只需要知道（   ） A．正方形的边长 B．正方形的边长 C．正方形的边长 D．正方形的边长 二、填空题 5．（24-25八年级上·天津静海·阶段练习）若，则 ． 6．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知的展开式中不含x项，则常数a的值为 ． 7．（2024七年级上·上海·专题练习）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则的值为 ． 8．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释．现有如图所示的三种类型卡片，，，想要拼成如图所示的长方形，则需要类型卡片 张． 三、解答题 9．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 11．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图．在长为，宽为的长方形铁片上，截去长为，宽为的小长方形铁片． (1)用含、的代数式表示剩余部分（即阴影部分）的面积；（结果化为最简形式） (2)求剩余部分的面积与截去的小长方形铁片的面积之差． 12．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）观察下列各式： ①； ②； ③； ④ 请回答下列问题： (1)总结公式：______； (2)已知a，b，m均为整数，且，求m的值； (3)已知a，b，m，n均为整数，且若，请直接写出n的值． 13．（23-24七年级下·江苏南京·期末）一个正方形边长为 (a为常数，)，记它的面积为．将这个正方形的一组邻边长分别增加2 和减少2，得到一个长方形，记该长方形的面积为． (1)求 (用含a的代数式表示)． (2)小丽说无论a为何值，与的差都不变，你同意她的观点吗？为什么？ (3)将原正方形一组邻边分别增加4 和减少3，得到一个长方形，记该长方形的面积为，比较与的大小． 14．（23-24七年级上·山西朔州·期末）综合与实践 如图1，长方形的两边长分别为，；如图2，长方形的两边长分别为，．（其中m为正整数） (1)图1中长方形的面积____________；图2中长方形的面积____________；比较____________（选填“”、“=”或“”）； (2)现有一正方形，其周长与图1中的长方形周长相等． ①求正方形的边长；（用含m的代数式表示） ②试探究：该正方形的面积S与图1中长方形的面积的差（即）是一个常数，并求出这个常数． 15．（23-24八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则，一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即），如果．则称B是A的“郡园多项式”如果，则称B是A的“郡园志勤多项式”． (1)若，，则B是不是A的“郡园多项式”？请判断并说明理由； (2)若，是关于x的多项式，且B是A的“郡园志勤多项式”，则_____； (3)若，是关于x的多项式，且B是A的“郡园志勤多项式”，求m的值． 16．（24-25八年级上·北京·期中）长方形窗户（如图1），是由上下两个长方形（长方形和长方形）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和（即，），其中．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸至．当下面窗户 的遮阳帘水平向左拉伸时，恰好与在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）． (1)求长方形窗户的总面积；（用含a、b的代数式表示） (2)如果上面窗户的遮阳帘拉伸至，下面窗户的遮阳帘拉伸至处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$