第16章 二次根式（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（沪科版）

第16章 二次根式（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共 10小题，每小题4分，满分40分） 1．下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．二次根式中字母的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 6．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 7．若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 8．将根号外的因式移到根号内，结果为（   ） A． B． C． D． 9．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（   ） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 10．对于任意的正数m，n定义运算“*”为：，计算的结果为（   ） A． B．2 C． D．20 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为 ． 12．若，则 ． 13．已知是整数，则的最小整数值是 ． 14．观察分析，探求规律，然后填空：， （在横线上写出第50个数）． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．解下列各题： (1)； (2)． 16．已知，， (1)求及的值； (2)求的值． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．如图，数轴上点A和点B所对应的数分别是1和，点B关于点A的对称点是点C，设点C所对应的数为m． (1)求实数m的值； (2)求的值． 18．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）如图，某小区内有一块长方形广场，广场长为米，宽为米，广场中间有两块大小相同的长方形绿地（阴影部分），每块小长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求广场的周长； (2)除绿地部分，广场其它部分都要铺上地砖，已知铺地砖的费用为50元/平方米，求这个广场铺地砖的费用为多少？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简． 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ①； ②； ③； ④． 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为_________； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简和． 20．阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题： (1)化简：_____； (2)的有理化因式是______，______； (3)比较大小：______（填，，，或中的一种）； (4)若，求的值． 六、（本题满分12分） 21．定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出，的“如意数”． (2)如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数”． (3)已知，且，的“如意数”，求的值． 七、（本题满分12分） 22．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第4个等式：______． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示）． (3)请用（2）中发现的规律计算：． 8、 （本题满分 14 分） 23．材料一：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ； 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： (1)_______；（直接写结果） (2)计算：； (3)计算：； (4)计算：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16章 二次根式（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共 10小题，每小题4分，满分40分） 1．下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的判断，根据形如的式子叫做二次根式进行判断即可． 【详解】解：A、被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、被开方数，不是二次根式，不符合题意； D、，形式不符合，不是二次根式，不符合题意， 故选：B． 2．二次根式中字母的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据二次根式的意义：被开方数大于等于，列不等式求解． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故选：B． 3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】本题考查了最简二次根式的识别，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，这样的二次根式叫做最简二次根式． 根据最简二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式；     B．是最简二次根式；     C．中被开方数是分数，不是最简二次根式； D．，不是最简二次根式．     故选：B． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的加减乘除运算逐一判断即可，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不能合并，原选项计算错误，不符合题意； 、与不能合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 故选：． 5．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据同类二次根式的定义判断即可，正确理解同类二次根式的定义和掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】、与不是同类二次根式，不符合题意； 、与不是同类二次根式，不符合题意； 、∵， ∴与是同类二次根式，符合题意； 、∵， ∴与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：． 6．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，掌握二次根式的化简及同类二次根式的定义是解题的关键． 根据几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式是同类二次根式，逐项判断即可． 【详解】解：A．，，被开方数不同，不是同类二次根式，该选项不符合题意； B．，，被开方数相同，是同类二次根式，该选项符合题意； C．，，被开方数不同，不是同类二次根式，该选项不符合题意； D．，，被开方数不同，不是同类二次根式； 故选：B． 7．若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【知识点】化简绝对值、已知字母的值 ，求代数式的值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了化简绝对值，利用二次根式的性质化简，代数式求值等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 先根据化简绝对值和二次根式，然后合并同类项即可． 【详解】解：∵， ，， ∴， 故选：D． 8．将根号外的因式移到根号内，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是根据题意得出．根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选：B． 9．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（   ） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的除法运算和性质是解答的关键．根据二次根式的除法法则可和性质逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴小明没有出现错误； ∵， ∴小丽出现错误； ∵， ∴小红出现错误； ∵， ∴小亮没有出现错误， 故自己负责的式子出现错误的是小丽和小红， 故选：B． 10．对于任意的正数m，n定义运算“*”为：，计算的结果为（   ） A． B．2 C． D．20 【答案】B 【知识点】新定义下的实数运算、运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，平方差公式等知识点，根据题中的新定义正确列式计算是解题的关键． 根据新定义分别求出和，然后利用平方差公式结合二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为 ． 【答案】2 【知识点】已知最简二次根式求参数、同类二次根式 【分析】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据最简二次根式、同类次根式即可求得的值． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：． 12．若，则 ． 【答案】 【知识点】负整数指数幂、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而得出y的值，再求出的值即可． 【详解】解：∵式子与在实数范围内有意义， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 13．已知是整数，则的最小整数值是 ． 【答案】0 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式有意义的条件等知识点，确定n的取值范围成为解题的关键． 由结合题意可得是完全平方数，即，进而确定n的取值范围，然后取最小整数即可． 【详解】解：∵且是整数， ∴是整数， ∴是完全平方数． ∵， ∴， ∴n的最小整数值是0． 故答案为：0． 14．观察分析，探求规律，然后填空：， （在横线上写出第50个数）． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法、与实数运算相关的规律题 【分析】本题主要考查了实数类规律题，观察可知，第一个数为：，第二个数为：，第三个数为：，第四个数为：，进而可得得出若n是奇数，则第n个数为：；若n是偶数，：则第n个数为：，最后代入50求解即可． 【详解】解：第一个数为：， 第二个数为：， 第三个数为：， 第四个数为：， ∴若n是奇数，则第n个数为：；若n是偶数，：则第n个数为：， ∴第50个数为：， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．解下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的四则混合运算； （1）先计算二次根式的乘法，再计算减法； （2）先用平方差公式计算，同时进行除法计算，最后计算加减法． 【详解】（1）解： （2）解： 16．已知，， (1)求及的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)7 【知识点】分母有理化、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了分母有理化、二次根式的化简求值的知识，掌握分母有理化、二次根式的运算法则是关键． （1）先求出再代入求值即可； （2）先计算，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解：， 将代入得： 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．如图，数轴上点A和点B所对应的数分别是1和，点B关于点A的对称点是点C，设点C所对应的数为m． (1)求实数m的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、二次根式的混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值、实数与数轴 【分析】（1）先求出的长，利用轴对称的性质可得，由于点A所对应的数已知，因而可求出点C所对应的数，即实数m的值； （2）将代入，按照二次根式的混合运算法则计算即可得出答案． 【详解】（1）解：数轴上点A和点B所对应的数分别是1和， ， 点C与点B关于点A对称， ， 点C表示的数为：， 即：； （2）解：， ． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，数轴上两点之间的距离，轴对称的性质，代数式求值，二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握实数与数轴并运用数形结合思想是解题的关键． 18．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）如图，某小区内有一块长方形广场，广场长为米，宽为米，广场中间有两块大小相同的长方形绿地（阴影部分），每块小长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求广场的周长； (2)除绿地部分，广场其它部分都要铺上地砖，已知铺地砖的费用为50元/平方米，求这个广场铺地砖的费用为多少？ 【答案】(1)米 (2)元 【知识点】二次根式的应用、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式求解即可得到答案； （2）先用大长方形面积减去小长方形的面积，再乘以单价即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，广场的周长为：， 广场的周长为米； （2）解：铺地砖的面积为：（平方米）， 这个广场铺满地砖的费用为：（元）． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简． 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ①； ②； ③； ④． 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为_________； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简和． 【答案】(1)④； (2)； 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查二次根式的性质，理解并掌握二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质，进行分析判定即可求解； （2）根据材料提示方法变形，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，且二次根式中被开方数为非负数， ∴④出错了， ， 故答案为：④，； （2）解： ； ； ． 20．阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题： (1)化简：_____； (2)的有理化因式是______，______； (3)比较大小：______（填，，，或中的一种）； (4)若，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) (4)9 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键． （1）利用二次根式的运算法则进行化简求解； （2）利用有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解； （3）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解； （4）先利用有理化因式的定义求出，再将所求值的代数式进行配方得到，再将代入求解． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：的有理化因式是． ． 故答案为：， （3）解：因为 ，， 而， ． 和都是大于的数， ． 故答案为：． （4）解： ， ， ， ． 六、（本题满分12分） 21．定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出，的“如意数”． (2)如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数”． (3)已知，且，的“如意数”，求的值． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3) 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式， （1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c； （2）根据题目中所给的运算规则计算出“如意数”c后，把所得的式子化为完全平方式的形式即可判定“如意数”c的大小； （3）先有理化可得，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解． 【详解】（1） （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵， ，的“如意数”， ∴， ∴， 即：． 七、（本题满分12分） 22．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第4个等式：______． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示）． (3)请用（2）中发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二次根式的应用、分式的规律性问题 【分析】本题考查了二次根式的规律探究，分式的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意可得，第4个等式； （2）由题意知，第n个等式为； （3）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，第4个等式， 故答案为：； （2）解：由题意知，第n个等式为； （3）解： ， ∴． 8、 （本题满分 14 分） 23．材料一：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ； 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： (1)_______；（直接写结果） (2)计算：； (3)计算：； (4)计算：． 【答案】(1) (2)9 (3) (4) 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查分母有理数、二次根式的混合运算，理解分母有理化的求解过程并灵活运用是解答的关键． （1）仿照题中例题解过程求解即可； （2）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （3）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （4）先对分母分解因式，再进行裂项化简各数，然后加减运算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$