第十五章 四边形易错训练与压轴训练（3易错+5压轴）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（北京版）

第15章 四边形易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　四边形翻折问题 1 易错题型二　四边形最值问题 6 易错题型三　四边形综合问题 12 压轴题型一　四边形规律性问题 22 压轴题型二　含辅助线的证明 28 压轴题型三　动点定值问题 41 压轴题型四　动点探究数量关系 56 压轴题型五　动点存在性 66 02 易错题型 易错题型一　四边形翻折问题 例题：如图，已知矩形中，，，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】设，则，首先得到，然后利用勾股定理求解即可． 此题考查了矩形和折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】解：设，则 由折叠可得， ∵四边形是矩形 ∴ ∴，即 解得 ∴的长为4． 故选：B． 巩固训练 1．如图，矩形中，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为（    ） A．3 B． C．2或3 D．3或 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，先利用勾股定理求出，再分为两种情况，当和时，将图形画出，利用折叠性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，当时，    矩形中，， ∴， 由折叠性质可得：， ∴， 设，则： 在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， 如图，当时，    ∴， 由折叠性质可得：， ∴四边形为正方形， ∴， 综上，或， 故选．D． 2．如图，在菱形中，，点M和N分别是和上一点，沿将折叠，点A恰好落在边的中点E上．若，则的长为（    ）    A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理、角的直角三角形的性质、折叠性质等知识．过点M作于点F．求出．则，．设，则，，，．根据勾股定理，得，即，解得，即可求出的长． 【详解】如图，过点M作于点F．    ∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴． ∴． ∴，． 设，则，，，． 根据勾股定理，得，即，解得， ∴． 故选：B． 3．如图，在矩形中，，，点为射线上一动点（不与点重合），将沿所在直线折叠，点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识；由矩形的性质得出，，，由折叠的性质得，，证、、三点共线，设，①点在线段上时，由勾股定理得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②点在线段的延长线上时，由勾股定理得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 由折叠的性质得：，，， 设， 当为直角三角形时，则， ， 、、三点共线， 分两种情况： ①点在线段上时，如图1所示： 则， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 解得：， ； ②点在线段的延长线上时，如图2所示： 则， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 解得：， ； 综上所述，当为直角三角形时，的长为或； 故选：C． 4．如图，正方形纸片的边长为2，先将正方形纸片对折，折痕为，再把点B折叠到上，折痕为，点B对应点为H，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理．求得四边形是矩形，利用勾股定理求得的长，据此求解即可． 【详解】解：四边形是边长为2的正方形， ，， 由折叠得点与点关于直线对称，， 垂直平分， ，， 四边形是矩形，， ， ， 故选：C． 易错题型二　四边形最值问题 例题：如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，中位线定理，勾股定理，根据中位线定理可得出点的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知，故的最小值为的长，由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图： 当点与点重合时，点在处，，此时为中点， 当点与点重合时，点在处，，此时为中点， ∴是中位线， 且， 当点在上除点、的位置时，为中点， ∴是中位线，是中位线， ，， ∴点在线段上， 点的运动轨迹是线段， 当时，取得最小值， 矩形中，，，为的中点，为中点， ∴，， 、、为等腰直角三角形， ，， ∵， ， ， ，即， 的最小值为的长， 在等腰直角中，， 的最小值是． 故选：D． 巩固训练 1．如图，在菱形中，边长为2，，点在对角线上，点为边中点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】连接，，，证明，可得，即可得到，然后利用等边三角形得到，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】解：连接，，， ∵是菱形， ∴，，，     又∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 又∵M是的中点， ∴，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 2．如图，在菱形中，分别是边上的动点，连接、分别为的中点，连接．若的最小值为4，则的长为（   ） A． B．8 C． D．16 【答案】C 【分析】连接，由三角形中位线定理可得，要使最小，只要最小，当时，最小，由的最小值为4可得，由可得为等腰直角三角形，从而得到，由勾股定理可得，最后由菱形的性质即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，    分别为的中点， 为的中位线， ， 要使最小，只要最小，当时，最小， 的最小值为4， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解题的关键． 3．一副三角板如图所示放置，，，，，F为的中点，将绕点B旋转过程中，的最大值为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的中位线定理，含30 度角的直角三角形，勾股定理，取的中点，连接，勾股定理求出的长，三角形的中位线定理，求出的长，根据，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 取的中点，连接，则：， ∴， ∵F为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴的最大值为； 故选A． 4．如图，四边形中，于点D，，，，点E是的中点，连接，则的最大值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理，直角三角形的性质，三角形的中位线，三角形的三边关系等知识的综合运用，构造直角三角形是解题的关键． 连接，取的中点为，连接、，由勾股定理可求的长，利用直角三角形斜边上的中线可求解的长，根据三角形的中位线可求解的长，再利用三角形的三边关系可求解． 【详解】解：如图，连接，取的中点为，连接、， ， ， ，， ， 是的中点， ， 是的中点，E是的中点， 是中位线， ， （当且仅当在线段上时等号成立）， ， 最大为6， 故选：A． 易错题型三　四边形综合问题 例题：如图所示，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上定理与性质是解题关键．由在平行四边形中，，是的中点，易得，继而证得，可判断①；然后延长，交延长线于，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出，可得，再证明，可判断②；由，可得，结合，则，可判断③；设，则，再分别表示：，，从而可判断④． 【详解】解：①∵是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故①正确； ②如图，延长，交延长线于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， 故③错误； ④设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确． 综上可知：一定成立的是①②④， 故选：C． 巩固训练 1．如图所示，在四边形中，对角线相交于点O，于点 E，于点F， 连接， 若， 则下列结论：①；②③；④四 边 形是平行四边形． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定性质，平行四边形的判定和性质．解题的关键是证明 ． 证明，得到，进而得到，推出四边形是平行四边形；得到，进一步推出是平行四边形，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即：， 又， ∴， ∴；故①正确； ∴， ∴四边形是平行四边形；故④正确； ∴， ∴即：；故②正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，故③正确； 综上，正确的有4个； 故选：D 2．如图，E、F、G分别是正方形边、、的中点，交于H点，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、线段的垂直平分线的性质；本题综合性强，有一定难度． 由正方形的性质和已知条件证出，得出，①正确； 由全等三角形的性质和角的互余关系得出，得出②正确； 证出四边形是平行四边形，得出，证出，得出是的垂直平分线，得出③正确； 由与不平行，得出④不正确；即可得出结论． 【详解】解：①正确；理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵E、F、分别是正方形边、的中点， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴． ②正确；理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵G是的中点， ∴． ③正确；理由如下： ∵E、F、分别是正方形边、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴． ④不正确；理由如下： ∵与不平行， ∴， ∴， 正确的是①②③， 故选：A． 3．如图，在正方形外取一点E，连接、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若，．下列结论：①；②点B到直线AE的距离为；③；④；⑤．其中正确结论的序号是（   ） A．①③⑤ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件可证两三角形全等；③利用①中的全等，可得，结合三角形的外角的性质，易得，即可证；②过点E作，交的延长线于点F，利用③中的，利用勾股定理可求，结合是等腰直角三角形，可证是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求、；⑤在利用勾股定理可求，即是正方形的面积；④连接，求出的面积，然后减去的面积即可． 【详解】解：点A作AE的垂线交DE于点P， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 故①正确； ， ， ， ， ， ， 故③正确； 过点E作，交的延长线于点F， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ∴在中，由勾股定理得：， ， 故②错误， 如图：连接，在中， ， ， ， 由勾股定理可求得， ， ， ， ， 故④错误； ， 在中，由勾股定理得：， ， 故⑤正确； 综上所述：其中正确结论有①③⑤； 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、正方形和三角形的面积公式、勾股定理，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解． 4．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与交于点，连接交于点，连接．若，则下列结论中正确结论的个数是（   ） ①；②四边形是菱形；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先证明，再证明是等边三角形，即可判断①选项；由和是等边三角形，可得，即可判断②选项；由含角的直角三角形的性质即可判断③选项；先证明，再由，，得到，据此可判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ， ，， 在等边中，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 平分， ，， 垂直平分， 如图，连接， AI 在矩形中，为的中点， ，，三点在同一直线上， 在线段的垂直平分线上， ， ， 是等边三角形， ， 故①符合题意； 由①得和是等边三角形， ， 四边形是菱形； 故②符合题意； 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 同理可得， ∴故③符合题意； 在和中， ， ， ， ，， ∴ ，故④不符合题意， 综上所述，正确的结论有①②③， 故选：C． 03 压轴题型 压轴题型一　四边形规律性问题 例题：如图，正方形中，，与直线所夹的锐角为，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，…，依此规律，则线段 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形及平行线的性质，通过计算得到本题的规律是解决本题的关键．得到规律计算解题即可． 【详解】解：∵是正方形， ∴， ∵与直线所夹的锐角为， ∴，； ∵是正方形， ∴， ∴，； ， ∴， ∴． 故答案为：． 巩固训练 1．如图，在菱形中，边长为10，．顺次连结菱形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去…．则四边形的周长是 ；四边形的周长是 【答案】 20 【分析】先证明四边形是菱形，求出， ，，求出周长，同理可得四边形、、……为菱形，且对应的边长：，，…… ，进而求出四边形的周长即可． 【详解】解：连接，，，，如图所示： ∵菱形中，边长为10， ∴，，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵顺次连结菱形各边中点，得到四边形， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵顺次连结四边形各边中点，可得四边形， ∴，，，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∴是等边三角形，四边形是菱形， ∴的周长为； 同理可得：四边形、、……为菱形， 且对应的边长：， ， …… ∴四边形为菱形，边长为， ∴四边形的周长为： ． 故答案为：20；． 【点睛】本题考查了中点四边形，三角形中位线的性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，根据题意发现中点四边形性质，分别求出菱形矩形边长并发现规律进行推理是解题关键． 2．如图，是边长为2的等边三角形，分别取边的中点，，，连接，得到四边形，它的周长记作；分别取的中点，，，连接，，得到四边形，它的周长记作；照此规律作下去，则等于 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了三角形中位线定理、图形的变化规律，根据三角形中位线定理、线段中点的定义求出四边形的各边长，从而得出边长，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：∵点，，分别为边的中点， ∴、都是的中位线， ∴，，，， ∴四边形的周长：， 同理可得：四边形的周长， 四边形的周长， 四边形的周长， …， ∴， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，有一边长为的正方形，点在轴的正半轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，，照此规律作下去，则的坐标是 ；的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了规律型点的坐标，解决本题的关键是利用正方形的变化过程寻找点的变化规律． 根据已知条件和勾股定理求出的长度即可求出的坐标，再根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转，边长都乘以，所以可求出从到变化的坐标． 【详解】解：四边形是正方形，， ， ， 的坐标是， 根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转，边长都乘以， 旋转8次则旋转一周， 从到经过了2024次变化， ， 从到与都在轴正半轴上， 点的坐标是． 故答案为：，；． 4．如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形…按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的规律问题，涉及了正方形的性质，根据图形得出第个正方形的边长为，据此即可求解． 【详解】解：由图可知：第1个正方形的边长为1， 第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， …… 第个正方形的边长为， ∴第个正方形的边长为，面积为， 故答案为： 压轴题型二　含辅助线的证明 例题：平行四边形中，与交于点O．M为线段上一动点（不与点C重合），点N在射线上，连接． (1)如图1，若，当M是中点时，求的度数； (2)如图2，若． ①依题意补全图形； ②请用等式表示线段之间的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】（1）取的中点P，连接，证，得，再证，进而证，然后证是等边三角形，得，即可得出结论； （2）①依题意补全图形即可； ②过点A作于点G，过M作于点H，证和是等腰直角三角形，得，再证，得，即可解决问题． 【详解】（1）如图1， 取的中点P，连接， 则， ∵M是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 即的度数为； （2） ①依题意补全图形如图2， ②，证明如下： 如图3， 如图 3，过点作于点，过作于点， 则， ∵， ∴和是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ． 巩固训练 1．在正方形中，E为上一点，点M在上，点N在上，且，垂足为点F． (1)如图1，当点N与点C重合时，求证：； (2)将图1中的向上平移，使得F为的中点，此时与相交于点H． ①依题意补全图2； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，见解析 【分析】（1）根据正方形的性质证明即可； （2）按题意补充图形即可；在上截取，连接交于点K，作交于点T，根据题意证明，，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴； （2）①过的中点F作，分别与交于点M、H、N，如图即为补全的图形； 图2 ②，理由如下： 如图，在上截取，连接交于点K，作交于点T， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练利用正方形的性质确定全等三角形是解本题的关键． 2．如图，正方形中，点在延长线上，点是的中点，连接，在射线上方作，且．连接． (1)补全图形； (2)用等式表示与的数量关系并证明； (3)连接，若正方形边长为5，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）作交的延长线于，则，证明，得出，从而得到，进而得出，作交的延长线于，连接，则四边形为正方形，再证明得出，证明出为等腰直角三角形，最后由等腰直角三角形的性质结合勾股定理即可得出答案； （3）由（2）可得：四边形为正方形，，，由正方形的性质结合题意得出，，计算出，即可得解． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： ； （2）解：， 证明如下：如图，作交的延长线于，则， ， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴，即， 作交的延长线于，连接， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）解：如图所示： ， 由（2）可得：四边形为正方形，，， ∵正方形边长为5，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 3．如图，在正方形中，点E和F分别在和上，且关于对称，连接，，过点F作，点G在的右侧，且，连接交于H，连接． (1)请依题意补全图形，求证：； (2)猜想的数量关系并证明． 【答案】(1)图形见解析，证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据题中要求画出图像，通过垂直平分线性质，正方形性质证明即可得出结论； （2）过点G作垂直于的延长线于点K ，过点F作于点I，交于点N，连接，证明四边形为正方形，四边形为矩形，四边形为正方形，得到，再利用两直线平行内错角相等，对顶角相等即可得出从而得到． 【详解】（1）解：补全图形如下： 分别在和上，且关于对称， 垂直平分， 为正方形， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ； （2）解：如图，过点G作垂直于的延长线于点K ，过点F作于点I，交于点N，连结GN并延长，交AB于E， 则四边形为矩形， 垂直平分， 四边形为正方形， 四边形为矩形， ，， ， 四边形为正方形， ， ， ，即， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，准确作出辅助线构造矩形，正方形是解题关键． 4．已知正方形中，点E是射线上一点，连接，作的垂直平分线交直线于点M，交直线于点N，交于点F． (1)如图1，当点E在正方形的边上时． ①依题意补全图形； ②求证：； (2)如图2，当点E在的延长线上时．连接并延长交的延长线于点P，连接． ①直接写出的度数为 　　； ②用等式表示线段，，之间的数量关系 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)①；② 【分析】（1）①根据题意画图即可； ②证明四边形是矩形，得出，，证明，得出即可； （2）①过P作交BA延长线于T，过E作于K， 证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，证明是等腰直角三角形，得出； ②根据是等腰直角三角形，，得出，求出，根据，得出，即可得出结论． 【详解】（1）①解：补全图形如下： ②证明：过N作于H， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：①过P作交BA延长线于T，过E作于K，如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 故答案为：； ②由①可知，是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 同（1）可得， ∴， ∴， 即． 压轴题型三　动点定值问题 例题：如图，已知矩形中，，，点E、F分别为上的两个动点，且，请回答下列问题： (1)如图1，若点G是的中点，求证：四边形是菱形； (2)如图2，在点E、F的运动过程中，线段的长度是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2)线段的长度为定值 (3) 【分析】（1）证明得到，进而证得四边形是平行四边形，然后利用菱形的判定可得结论； （2）如图2，取的中点O，过O作，交于P，于Q，连接 ，，证明四边形是平行四边形得到．由（1）知四边形是菱形， 设，利用菱形的性质、矩形性质以及勾股定理分别求得， 即可求解； （3）过C作，且，连接，，四边形是平行四边形，得到，进而可得，当A、F、共线时取等号，此时最小，最小值为， 在中，利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵点G是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：线段的长度为定值， 如图2，取的中点O，过O作，交于P，于Q，连接 ，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， 由（1）知，四边形是菱形， ∴，， 设， 在矩形中，，，，， ∴，， 在中，由得， 解得， 在中，，， ∴， ∴，则， 故线段的长度为定值； （3）解：过C作，且，连接，， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴，当A、F、共线时取等号，此时最小，最小值为的长， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， 故的最小值为， 故答案为：． 巩固训练 1．如图，已知正方形的边长为，点为对角线上一动点，连接、过点作，交点，以、为邻边作矩形，连接．    (1)求证：矩形是正方形； (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)直接写出当点满足什么条件时，的最小值，最小值是多少？ 【答案】(1)见解析； (2)为定值，； (3)16． 【分析】（1）作出辅助线，得到，然后再判断，得到，则有，即可判断矩形为正方形； （2）由四边形为正方形，四边形是正方形可知，，故可得，得到，即可判断，为定值； （3）过点分别作，于点、，则四边形是矩形，得，，，利用勾股定理得，，从而得，进而根据正方形的性质及垂线段段最短即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过作于点，过作于点，      四边形为正方形， ， ，， ， ， 四边形为矩形， ， ， 即， 点是正方形对角线上的一点， ， 在和中， ， ， ， 矩形为正方形； （2）解：的值为定值， ∵，， ∴， 由（）知，矩形为正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ，是定值； （3）解：过点分别作，于点、，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得∶ ， ∴， ∵当时，的值最小， ∴当时，的值最小， ∵，， ∴ ， ∴的最小值为． 巩固训练 1．如图1，在菱形中，，，点、分别在边，上运动，满足，连接．      (1)求证：． (2)求线段，，间的数量关系． (3)①如图2，连接对角线，与交于点，作于点，设，则的值是否变化？若变化，请用含的式子表示并求其取值范围；若不变，则求出这个定值； ②如图3，作，直接写出的值为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①变化，，；②6 【分析】（1）根据四边形是菱形，，得出，即可证明是等边三角形，，证明，根据全等三角形的性质即可证明； （2）由（1）得，即可得出，过点作交于点，得，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出在中，，根据勾股定理即可求解； （3）①∵，故，根据，，得出，根据直角三角形的性质得出，勾股定理得出，过点作交于点，得出，再根据即可表示出，结合，即可求出； ②根据，，得出，从而得出，，由①得，即可得出． 【详解】（1）证明：四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， 即， 过点作交于点，    ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即， 化简得：； （3）解：①∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 过点作交于点，    ∵， ∴， ∴， ∴ ， ， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴， 由①得， ∴． 2．如图，在菱形中，，．过点作对角线的平行线与边的延长线相交于点，为边上的一个动点（不与端点，重合），连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)求四边形的周长和面积． (3)记的周长和面积分别为和，的周长和面积分别为和，在点的运动过程中，试探究下列两个式子的值或范围：①，②，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定值的，请直接写出它的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为：，的面积为：； (3)①；②的值为定值，这个定值为； 【分析】（1）利用菱形的性质得：，由两组对边分别平行的四边形可得结论； （2）设对角线与相交于点．根据直角三角形角的性质得的长，由勾股定理得的长和的长，根据平行四边形的性质可得其周长和面积； （3）①先根据三角形的周长计算，确定的最大值和最小值即可； 根据轴对称的最短路径问题可得：当在处时，的值最小，最小值是，由图形可知：当在点处时，的值最大，构建直角三角形计算即可； ②的值为定值，这个定值为，根据面积公式可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， 即． ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：设对角线与相交于点． ∵四边形是菱形，， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴的周长为：， 的面积为：； （3）①∵， ∵和关于直线对称， ∴当在处时，的值最小，最小值是， 当在点处时，的值最大，如图， 过作，交的延长线于， ∵， ∴， ∵， ∴， 中，， 由勾股定理得：， ∴的最大值是：， ∵为边上的一个动点（不与端点重合）， ∴， 即； ②的值为定值，这个定值为； 理由是： ． 3．如图，在正方形ABCD中， ，点E为对角线AC上一动点（点E不与点A、C重合），连接DE，过点E作，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求AC的长； （2）求证矩形DEFG是正方形； （3）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）2；（2）见解析；（3）是，定值为2 【分析】（1）运用勾股定理直接计算即可； （2）过作于点，过作于点，即可得到，然后判断，得到，则有即可； （3）同（2）的方法证出得到，得出即可． 【详解】解：（1）， ∴AC的长为2； （2）如图所示，过作于点，过作于点， 正方形， ，， ，且， 四边形为正方形， 四边形是矩形， ，， ， 又， 在和中，， ， ， 矩形为正方形， （3）的值为定值，理由如下： 矩形为正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， 在和中，， ， ， ， 是定值． 4．在平面直角坐标系中，、，四边形是正方形，点是轴正半轴上一动点，，交正方形外角的平分线于点．    (1)如图1，当点是的中点时，求证：； (2)点在轴正半轴上运动，点在轴上．若四边形为菱形，求直线的解析式． (3)连，点是的中点，当点在轴正半轴上运动时，点随之而运动，点到的距离是否为定值？若为定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)是定值， 【分析】（1）如图1中，取的中点，连接．只要证明即可； （2）如图2中，作交作于，则，由四边形是正方形，可证，四边形是平行四边形，当点在边上时，点在上，，推出四边形不可能是菱形，推出点在点的右侧，如图3中，利用全等三角形的性质求出，可得当坐标，致力于待定系数法即可解决问题； （3）只要证明点到的距离为定值且等于平行线之间的距离即可． 【详解】（1）证明：如图1中，取的中点，连接．   为正方形的外角平分线， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图2中，作交作于，由四边形是正方形，可证，    ∴， 由（1）可知， ∴， ∴四边形是平行四边形，当点在边上时，点在上，， ∴四边形不可能是菱形， ∴点在点的右侧， 如图3中，    ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有， 解得， ∴直线的解析式为． （3）解：如图4或5，连接．      ∵， ∴， ∵是中点， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∵垂直平分， ∴点在直线上， ∵， ∴， ∴点到的距离为定值且等于平行线之间的距离， ∴点到的距离． 压轴题型四　动点探究数量关系 例题：如图，正方形的对角线，相交于点O，点E是边上的一动点，连接交于点M，过点B作于点P，交于点，交于点F． (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)当点E运动到使平分时，与是否存在一定的数量关系？若存在，写出它们的数量关系并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)3 (3)，理由见详解 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是根据正方形的性质证明全等． （1）由正方形的性质得出，，结合直角三角形的性质推出，即可证明，由全等三角形的性质即可得出． （2）根据正方形的性质，证明，根据全等三角形的性质即可得解； （3）过点作于点，先证明，利用勾股定理即可解决． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：在正方形中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴； （3）解：与存在一定的数量关系，，理由如下： 如图，过点作于点， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中， ． 巩固训练 1．如图，正方形中，点E是边上的一点，连接，交于点F，交于点G． (1)如图1求证：； (2)如图2，设Q是线段上的动点，于M，交于H．试猜想线段间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)猜想，证明见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定： （1）根据正方形的性质得到，再证明，进而可证明，则可证明； （2）先证明四边形是平行四边形，得到，再由全等三角形的性质得到，根据，即可得到． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：猜想，证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 2．正方形 ，点 E、F 在、延长线上，且 ，与延长线交于点 G． (1)如图 1，求证 ； (2)如图 2，点 M 是延长线上一点，，的平分线交于点 N，连接．试探究、、三条线段的数量关系，并证明； (3)如图 3，E 为上一点，，F 是的中点，G 为上一动点，以为边在正方形内作等边，若，则的最小值是 ． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由四边形是正方形得，，则，而，即可证明，得，所以，则，所以； （2）连接，作交于点，令与交于点，先证明，，再证明，则，即可证明，则，所以，于是证明，得，而，所以； （3）过点作于，连接，，证明为等边三角形，再证，可知点的轨迹在过点垂直于的直线是上，再结合含的直角三角形的性质，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：， 证明：如图，连接，作交于点，令与交于点， ，， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）在正方形中，， ∵，， ∴，则， 过点作于，连接，， 则，，， ∵点为的中点， ∴，则， ∴为等边三角形，则，，， 又∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点的轨迹在过点垂直于的直线是上， ∴， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时，，则，， 即：的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含直角三角形的性质、同角或等角的余角相等、勾股定理、等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 3．如图1，线段是由线段平移得到的．分别连接，．直线于点，延长与相交于点．点是射线上的一个动点，点不与点、点、点重合．连接，．    (1)线段，的关系是_____； (2)如图1，当点P在线段上运动时，，，之间的数量关系是_____； (3)如图2，当点P在线段上运动时，，，之间的数量关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由； (4)如图3，当点P在点D上方运动时，请直接写出，，之间的数量关系：_____． 【答案】(1)； (2)； (3)不会发生变化，证明见解析； (4)． 【分析】（1）由平移的性质可得，，由“对边平行且相等的四边形为平行四边形”可得四边形为平行四边形，进而可得线段，的关系； （2）由平行线的性质可得，由三角形外角性质可得，进而可得，，之间的数量关系； （3）过点作交于点，易得，由平行线的性质可得，，由得到，以此即可求解； （4）由平行线的性质可得，由三角形外角性质可得，进而得到，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：线段是由线段平移得到的， ，， 四边形为平行四边形， ，； 故答案为：，； （2）解：如图，设与交于点，    ∵， ， ， ； 故答案为：； （3）解：当点在线段上运动时，，，之间的数量关系不会发生变化，理由如下： 如图，过点作交于点，    ∵， ∴， ，， ， ； （4）解：如图，设交于点，    ∵， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平移的性质、平行四边形的判定与性质、三角形外角性质、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角性质是解题关键． 4.四边形 是正方形，点 是射线 上一动点，过点作交直线 于点，作的平分线交直线于点，连接． (1)如图1，若点 在线段延长线上，点在线段上． ①求证：； ②如图2，连接 交 于点 ，交 于点 ，请探索之间的数量关系并证明； (2)请直接写出 和之间的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②； (2)当点E在线段的延长线上时，；当点E在线段的上时，． 【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识． （1）①利用同角的余角相等即可得到结论；②在上截取点G，使得，连接，证明，则，得到，则，得到，证明，则，即可得到； （2）当点E在线段的延长线上时，证明，则，证明，则，得到；当点E在线段的上时，证明，则，证明，则，即可得到． 【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②，证明如下；在上截取点G，使得，连接，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的平分线交直线于点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）当点E在线段的延长线上时，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点E在线段的上时，如图， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 综上可知，当点E在线段的延长线上时，；当点E在线段的上时，． 压轴题型五　动点存在性 例题：如图，在中，，动点P从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点Q从点C开始沿边向点B以每秒个单位长度的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．过点P作，交于点D，连接．设运动时间为t秒（）． (1)用含t的代数式分别表示的长度：______，______，______． (2)当t取何值时．四边形是平行四边形？ (3)是否存在t，使四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），能使四边形在某一时刻成为菱形． 【答案】(1)；； (2) (3)不存在，证明见解析； 点速度为每秒个单位长度，能使四边形在某一时刻成为菱形 【分析】（1）可用表示出、的长，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理可得，的长； （2）由平行四边形的性质可得，列方程求出即可； （3）当时，求出，故不存在的值，使四边形为菱形，设点的速度为每秒个单位长度，根据菱形的性质得到＝＝，列方程求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， ，， ， ， ，， ； 故答案为：；；． （2）若四边形是平行四边形，则有， 即， 解得：； （3）不存在； 证明：由（2）得，当时，四边形是平行四边形， 此时 ， 不存在的值，使四边形为菱形， 设点的速度为每秒个单位长度， 则 ， 要使四边形为菱形，则， 当时，即， 解得： ， 当， 时，即， 解得： 当点的速度为每秒个单位长度时，在某一时刻可以使四边形是菱形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理，含度角的直角三角形的性质．熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 巩固训练 1．如图四边形是平行四边形，点P为边上一动点，连接并延长交的延长线于点M，过M作，垂足是 N，连接，，设点 P 运动时间为t（s）解答下列问题： (1)若，，，点 P 从点A 出发沿方向运动速度为．当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)在（1）的条件下是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形？若存在求出相应的t的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质及判定，勾股定理，运用反证法是解题的关键． （1）连接，，当时，可推出，得到，从而四边形是平行四边形，根据，，代入，即可求解； （2）根据已知条件得出，由四边形是平行四边形得到，假设四边形是平行四边形，则，得到四边形是平行四边形，从而得到，，根据得到得．另外若四边形是平行四边形，平行且等于，从而四边形是平行四边形，由（1）可得此时，与当时，四边形是平行四边形相矛盾，即四边形不是平行四边形． 【详解】（1）解：连接，， ∵在中，， ∴， ∵ ∴当时，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 假设四边形是平行四边形，则，， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴ 又∵ ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形， 若四边形是平行四边形，则，， ∵ ∴平行且等于 ∴四边形是平行四边形， 由（1）可得此时， 与当时，四边形是平行四边形相矛盾， ∴四边形不是平行四边形． 2．如图，在中，，P为边上一动点， 于点G，于点 H． (1)求证：四边形 是矩形； (2)在点P的运动过程中，的长是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，建立平面直角坐标系，和x轴重合，点C和坐标原点重合，若四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)存在最小值，的最小值为 (3)D的坐标为或或 【分析】本题考查四边形综合应用，坐标与图形，勾股定理逆定理，矩形的判定与性质，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）用勾股定理的逆定理证明，根据三个角是直角的四边形是矩形可证四边形是矩形； （2）连接，可得，故当最小时，最小，此时，用面积法可得答案； （3）过A作于K，求出点A的坐标，设，而，分三种情况：①若为对角线；②若为对角线；若为对角线，分别解方程组可得D的坐标为即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：在点P的运动过程中，的长存在最小值，理由如下： 连接，如图： 由（1）知，四边形是矩形， ， ∴当最小时，最小，此时， ∴， ， ∴的最小值为； （3）过A作于K，如图： 同（2）可知， ， ， 设，而， ①若为对角线，则的中点重合， ，解得：， ； ②若为对角线，则的中点重合， ，解得：， ； ③若为对角线，则的中点重合， ，解得：， ； 综上所述，D的坐标为或或． 3．如图，边长为1的正方形与直角边为1的等腰拼成如图所示的四边形，P、Q分别为边上的两个动点（不与C、D、E重合），且，的延长线分别交于点M、F． (1)求证：①；②； (2)设，试问：是否存在这样t的值，使得和互相垂直平分，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)存在，． 【分析】（1）①证明即可；②全等三角形的性质，结合三角形的内角和定理，得到，即可； （2）连接，，当和互相垂直平分时，四边形为菱形，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵正方形， ∴， ∵等腰， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ②∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）存在：连接，， 当和互相垂直平分时，四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴，， ∴，即：， ∴； 当时：则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，满足题意． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，． (1)求出点的坐标； (2)一次函数的图象分别与线段交于两点，求证：； (3)点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见详解 (3)存在，或 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及图形与坐标，一次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用平行四边形的性质，得出，因为，则点的坐标； （2）依题意，把代入，得出，把代入，得，根据线段关系，分别表达 ，进行比较，即可作答． （3）结合以为顶点的四边形是平行四边形，进行分类讨论，即当为对角线时，当为边时，运用平行四边形的性质：对边平行且相等等性质内容进行线段的运算，即可作答． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴点的坐标 （2）解：∵，且由（1）得点的坐标 ∴ ∵一次函数的图象分别与线段交于两点， ∴把代入，得出，即 ∴把代入，得出，即 则 ∴； （3）解：存在： 如图所示：连接，即相交于一点，即为 图形观察：点W的横坐标小于C的横坐标 依题意，当为对角线时， ∵以为顶点的四边形是平行四边形 ∴ ∵由（2）知，点的坐标， ∴，即点W的横坐标大于C的横坐标， 与图形表示的信息是矛盾的，故当为对角线的情况舍去； 当为边时，且当N在轴的负半轴时，如图所示： ∵四边形是平行四边形 ∴ ∵点的坐标， ∴点的纵坐标与的纵坐标相等，即为 ∵点是直线上一动点 ∴此时点与点重合的 ∴ 则 ∵当N在轴的负半轴 ∴； ∴，即点W的横坐标大于C的横坐标 ∵ ∴当为边时，且当N在轴的正半轴时，如图所示： 设点N的坐标为 ∵四边形是平行四边形 ∴ ∵点的坐标， ∴点向下平移个单位，向左平移个单位得到点， ∴点N向下平移个单位，向左平移个单位得到点M， ∴点的纵坐标为 ∵点是直线上一动点 ∴设的解析式为 把，代入 则 解得 ∴的解析式为 把代入 解得 ∴ ∵点N向下平移个单位，向左平移个单位得到点M， ∴ ∴ 综上：或 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15章 四边形易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　四边形翻折问题 1 易错题型二　四边形最值问题 2 易错题型三　四边形综合问题 4 压轴题型一　四边形规律性问题 5 压轴题型二　含辅助线的证明 7 压轴题型三　动点定值问题 9 压轴题型四　动点探究数量关系 11 压轴题型五　动点存在性 13 02 易错题型 易错题型一　四边形翻折问题 例题：如图，已知矩形中，，，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 巩固训练 1．如图，矩形中，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为（    ） A．3 B． C．2或3 D．3或 2．如图，在菱形中，，点M和N分别是和上一点，沿将折叠，点A恰好落在边的中点E上．若，则的长为（    ）    A． B． C．3 D． 3．如图，在矩形中，，，点为射线上一动点（不与点重合），将沿所在直线折叠，点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为（   ） A． B． C．或 D．或 4．如图，正方形纸片的边长为2，先将正方形纸片对折，折痕为，再把点B折叠到上，折痕为，点B对应点为H，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 易错题型二　四边形最值问题 例题：如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是（   ） A．4 B．8 C． D． 巩固训练 1．如图，在菱形中，边长为2，，点在对角线上，点为边中点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 2．如图，在菱形中，分别是边上的动点，连接、分别为的中点，连接．若的最小值为4，则的长为（   ） A． B．8 C． D．16 3．一副三角板如图所示放置，，，，，F为的中点，将绕点B旋转过程中，的最大值为（    ） A． B．2 C．4 D． 4．如图，四边形中，于点D，，，，点E是的中点，连接，则的最大值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 易错题型三　四边形综合问题 例题：如图所示，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 巩固训练 1．如图所示，在四边形中，对角线相交于点O，于点 E，于点F， 连接， 若， 则下列结论：①；②③；④四 边 形是平行四边形． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，E、F、G分别是正方形边、、的中点，交于H点，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3．如图，在正方形外取一点E，连接、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若，．下列结论：①；②点B到直线AE的距离为；③；④；⑤．其中正确结论的序号是（   ） A．①③⑤ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 4．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与交于点，连接交于点，连接．若，则下列结论中正确结论的个数是（   ） ①；②四边形是菱形；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 03 压轴题型 压轴题型一　四边形规律性问题 例题：如图，正方形中，，与直线所夹的锐角为，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，…，依此规律，则线段 ． 巩固训练 1．如图，在菱形中，边长为10，．顺次连结菱形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去…．则四边形的周长是 ；四边形的周长是 2．如图，是边长为2的等边三角形，分别取边的中点，，，连接，得到四边形，它的周长记作；分别取的中点，，，连接，，得到四边形，它的周长记作；照此规律作下去，则等于 ．    3．如图，在平面直角坐标系中，有一边长为的正方形，点在轴的正半轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，，照此规律作下去，则的坐标是 ；的坐标是 ． 4．如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形…按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为 ． 压轴题型二　含辅助线的证明 例题：平行四边形中，与交于点O．M为线段上一动点（不与点C重合），点N在射线上，连接． (1)如图1，若，当M是中点时，求的度数； (2)如图2，若． ①依题意补全图形； ②请用等式表示线段之间的数量关系并证明． 巩固训练 1．在正方形中，E为上一点，点M在上，点N在上，且，垂足为点F． (1)如图1，当点N与点C重合时，求证：； (2)将图1中的向上平移，使得F为的中点，此时与相交于点H． ①依题意补全图2； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 2．如图，正方形中，点在延长线上，点是的中点，连接，在射线上方作，且．连接． (1)补全图形； (2)用等式表示与的数量关系并证明； (3)连接，若正方形边长为5，直接写出线段的长． 3．如图，在正方形中，点E和F分别在和上，且关于对称，连接，，过点F作，点G在的右侧，且，连接交于H，连接． (1)请依题意补全图形，求证：； (2)猜想的数量关系并证明． 4．已知正方形中，点E是射线上一点，连接，作的垂直平分线交直线于点M，交直线于点N，交于点F． (1)如图1，当点E在正方形的边上时． ①依题意补全图形； ②求证：； (2)如图2，当点E在的延长线上时．连接并延长交的延长线于点P，连接． ①直接写出的度数为 　　； ②用等式表示线段，，之间的数量关系 压轴题型三　动点定值问题 例题：如图，已知矩形中，，，点E、F分别为上的两个动点，且，请回答下列问题： (1)如图1，若点G是的中点，求证：四边形是菱形； (2)如图2，在点E、F的运动过程中，线段的长度是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值为______． 1．如图，已知正方形的边长为，点为对角线上一动点，连接、过点作，交点，以、为邻边作矩形，连接．    (1)求证：矩形是正方形； (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)直接写出当点满足什么条件时，的最小值，最小值是多少？ 2．如图1，在菱形中，，，点、分别在边，上运动，满足，连接．      (1)求证：． (2)求线段，，间的数量关系． (3)①如图2，连接对角线，与交于点，作于点，设，则的值是否变化？若变化，请用含的式子表示并求其取值范围；若不变，则求出这个定值； ②如图3，作，直接写出的值为______． 3．如图，在菱形中，，．过点作对角线的平行线与边的延长线相交于点，为边上的一个动点（不与端点，重合），连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)求四边形的周长和面积． (3)记的周长和面积分别为和，的周长和面积分别为和，在点的运动过程中，试探究下列两个式子的值或范围：①，②，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定值的，请直接写出它的取值范围． 4．如图，在正方形ABCD中， ，点E为对角线AC上一动点（点E不与点A、C重合），连接DE，过点E作，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求AC的长； （2）求证矩形DEFG是正方形； （3）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 5．在平面直角坐标系中，、，四边形是正方形，点是轴正半轴上一动点，，交正方形外角的平分线于点．    (1)如图1，当点是的中点时，求证：； (2)点在轴正半轴上运动，点在轴上．若四边形为菱形，求直线的解析式． (3)连，点是的中点，当点在轴正半轴上运动时，点随之而运动，点到的距离是否为定值？若为定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由． 压轴题型四　动点探究数量关系 例题：如图，正方形的对角线，相交于点O，点E是边上的一动点，连接交于点M，过点B作于点P，交于点，交于点F． (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)当点E运动到使平分时，与是否存在一定的数量关系？若存在，写出它们的数量关系并证明；若不存在，请说明理由． 巩固训练 1．如图，正方形中，点E是边上的一点，连接，交于点F，交于点G． (1)如图1求证：； (2)如图2，设Q是线段上的动点，于M，交于H．试猜想线段间的数量关系． 2．正方形 ，点 E、F 在、延长线上，且 ，与延长线交于点 G． (1)如图 1，求证 ； (2)如图 2，点 M 是延长线上一点，，的平分线交于点 N，连接．试探究、、三条线段的数量关系，并证明； (3)如图 3，E 为上一点，，F 是的中点，G 为上一动点，以为边在正方形内作等边，若，则的最小值是 ． 3．如图1，线段是由线段平移得到的．分别连接，．直线于点，延长与相交于点．点是射线上的一个动点，点不与点、点、点重合．连接，．    (1)线段，的关系是_____； (2)如图1，当点P在线段上运动时，，，之间的数量关系是_____； (3)如图2，当点P在线段上运动时，，，之间的数量关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由； (4)如图3，当点P在点D上方运动时，请直接写出，，之间的数量关系：_____． 4．四边形 是正方形，点 是射线 上一动点，过点作交直线 于点，作的平分线交直线于点，连接． (1)如图1，若点 在线段延长线上，点在线段上． ①求证：； ②如图2，连接 交 于点 ，交 于点 ，请探索之间的数量关系并证明； (2)请直接写出 和之间的数量关系． 压轴题型五　动点存在性 例题：如图，在中，，动点P从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点Q从点C开始沿边向点B以每秒个单位长度的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．过点P作，交于点D，连接．设运动时间为t秒（）． (1)用含t的代数式分别表示的长度：______，______，______． (2)当t取何值时．四边形是平行四边形？ (3)是否存在t，使四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），能使四边形在某一时刻成为菱形． 巩固训练 1．如图四边形是平行四边形，点P为边上一动点，连接并延长交的延长线于点M，过M作，垂足是 N，连接，，设点 P 运动时间为t（s）解答下列问题： (1)若，，，点 P 从点A 出发沿方向运动速度为．当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)在（1）的条件下是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形？若存在求出相应的t的值；若不存在请说明理由． 2．如图，在中，，P为边上一动点， 于点G，于点 H． (1)求证：四边形 是矩形； (2)在点P的运动过程中，的长是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，建立平面直角坐标系，和x轴重合，点C和坐标原点重合，若四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标． 3．如图，边长为1的正方形与直角边为1的等腰拼成如图所示的四边形，P、Q分别为边上的两个动点（不与C、D、E重合），且，的延长线分别交于点M、F． (1)求证：①；②； (2)设，试问：是否存在这样t的值，使得和互相垂直平分，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，． (1)求出点的坐标； (2)一次函数的图象分别与线段交于两点，求证：； (3)点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $$