5.7 二次函数的应用（教学课件）数学青岛版九年级下册

5.7二次函数的应用 主讲： 青岛版数学九年级下册 第1章 对函数的再探索 目录 01 课程目标 02 新课导入 03 课堂练习 04 课堂小结 课程目标 1.经历数学建模的基本过程； 2.会运用二次函数求实际生活中的最值问题； 3.体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值. 新课导入 同学们，还记得我们从哪些方面学习二次函数的性质吗 开口方向 增减性 对称性 最值 顶点 新课导入 a＞0 a＜0 图像形状 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 向上 向下 y随x增大而减小 y随x增大而增大 y随x增大而增大 y随x增大而减小 y=ax2+bx+c的图像和性质 新课导入 函数 开口方向 对称轴 最低/最高 y随x的增大而增大时x的取值 y随x的增大而减小时x的取值 y=x2-3x y=x2+3x-1 向上 x= 最低值 x x 向下 x= 最高值 x x 向上 x=- 最低值 x x 向上 x=-3 最低值 x x 完成表格 课堂练习 用篱笆围成一个有一边靠墙的矩形菜园，已知篱笆的长度60m，应该怎样设计才使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 例题1 长：x 宽： =- 如图所示，x取何值时，函数有最大值呢？ 如图所示，函数的最大值位于顶点处。 对称轴 变式训练 1.如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），用长为24m的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设花圃的宽AB为x（m），面积为y（m2）． （1）写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围． （2）围成花圃的最大面积是多少？这时花圃的宽x等于多少？ （1）设：花圃的宽AB为x（m）， 则长BC为（24﹣3x）m， ∴y＝x（24﹣3x） ＝﹣3x2+24x （≤x＜8） 24-3x x x的范围是多少? ∵墙的最大可用长度为10m， ∴24﹣3x≤10, ∵篱笆长为24m， ∴3x＜24， ∴x＜8， ∴≤x＜8 课堂练习 变式训练 1.如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），用长为24m的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设花圃的宽AB为x（m），面积为y（m2）． （1）写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围． （2）围成花圃的最大面积是多少？这时花圃的宽x等于多少？ y＝﹣3x2+24x ＝﹣3（x﹣4）2+48， ∴抛物线的对称轴为直线x＝4，抛物线开口向下， ∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小 ∵≤x＜8 ∴当x= 课堂练习 例题2 已知：如图，ABCD是一块边长为2米的正方形铁板，在边AB上选取一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板料．当AM的长为何值时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小？ 2-x 解：设AM的长为x米，则MB的长为（2﹣x）米， 以AM和MB为边的两个正方形面积之和为y平方米． 根据题意，y与x之间的函数表达式为 y＝ ＝ ， 因为2＞0 于是，当x＝ 时，y有最小值， 所以，当AM的长为1米时截取两块相邻的正方形板料的总面积最小． x2+（x﹣2）2 2（x﹣1）2+2 1 课堂练习 变式训练 2.菱形的两条对角线的和为40cm． （1）如果菱形的面积为y（cm2），一条对角线的长为x（cm），写出y与x的表达式，并指出自变量x的取值范围； （2）当这两条对角线的长分别为多少时，菱形的面积最大？最大面积是多少？ 所以，当x=20时，ymax=200 课堂练习 变式训练 3.在生产中，为了节约原材料，常利用一些边角余料加工零件．如图所示，△ABC为一块锐角三角形余料，BC＝12cm，BC边上的高AD＝8cm，在△ABC上截取矩形PQMN，使点Q，M在BC边上，点P，N分别在边AB，AC上，设MN＝x，PN＝y． （1）用含x的代数式表示y； （2）当x和y分别取什么值时，矩形PQMN面积最大？最大面积是多少？ （1）∵四边形PNMQ为矩形， ∴PN∥BC， ∴△APN∽△ABC， 即 ∴当x＝4，y＝12﹣6＝6时，矩形PNMQ的面积最大，最大为24． 课堂练习 例题3 一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时铅球离地面m，铅球运行时距离地面的最大高度CD是2.5m，此时铅球沿水平方向行进了4m，铅球落地点在斜坡上的点B处，已知铅球经过的路线是抛物线，现以铅球出手点A所在的铅垂线OA的方向为y轴正方向，以铅垂线与地面的交点为点O建立直角坐标系，斜坡可以用一次函数y＝x刻画． （1）求抛物线所对应的函数解析式． （1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+2.5， ∵点（0，）在此抛物线上， ∴a（0﹣4）2+2.5＝， 解得，a＝-， 即抛物线所对应的函数解析式是y＝； 课堂练习 例题3 一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时铅球离地面m，铅球运行时距离地面的最大高度CD是2.5m，此时铅球沿水平方向行进了4m，铅球落地点在斜坡上的点B处，已知铅球经过的路线是抛物线，现以铅球出手点A所在的铅垂线OA的方向为y轴正方向，以铅垂线与地面的交点为点O建立直角坐标系，斜坡可以用一次函数y＝x刻画． （2）求铅球落地时在斜坡上运行的距离OB（结果保留根号） （2）， 解得，x1＝﹣2，x2＝7， 当x＝7时，y＝， ∴OB＝2＝， 即铅球落地时在斜坡上运行的距离OB为m． 课堂练习 变式训练 4.某公园草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管支柱（如图①，单位：m），为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图②所示的直角坐标系进行计算．求该抛物线的表达式；并计算所需不锈钢管的总长度至少为多少（精确到1m）． 设该抛物线的表达式为y＝ax2+c， 将（0，0.5）、（1，0）代入y＝ax2+c， ，解得：， ∴该抛物线的表达式为y＝﹣0.5x2+0.5． 当x＝0.2时，y＝﹣0.5x2+0.5＝0.48， 当x＝0.6时，y＝﹣0.5x2+0.5＝0.32， ∴不锈钢管的总长度为50×（2×0.48+2×0.32）＝80（米）． 课堂练习 5.如图所示，公园要建造圆形的喷水池，水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA＝1.25m，由柱子顶端A处喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m． （1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不能落到池外？ 变式训练 （1）以O为原点，建立如图所示平面直角坐标系， 顶点为（1，2.25）， 设解析式为y＝a（x﹣1）2+2.25过点（0，1.25）， 解得a＝﹣1， 所以解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+2.25， 令y＝0， 则﹣（x﹣1）2+2.25＝0， 解得x＝2.5 或x＝﹣0.5（舍去）， 所以花坛半径至少为2.5m． x y 课堂练习 5.如图所示，公园要建造圆形的喷水池，水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA＝1.25m，由柱子顶端A处喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m． （2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？ 变式训练 x y （2）根据题意得出： 设y＝﹣x2+bx+c，把点（0，1.25）（3.5，0） ∴， 解得：， ∴ ∴水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达米． 课堂练习 例题4 某公司开发一种新的软件，年初上市后，公司经历了扭亏为盈的过程．图中的图象是抛物线的一段，它刻画了该软件上市以来累积利润S（万元）与销售时间t（月）之间的函数关系（即前t个月的利润总和S与t之间的函数关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）由图象上的哪些点的坐标，便可求出S与t之间的函数表达式？ （1）由图象可知其顶点坐标为（2，﹣2）， 故可设其函数关系式为：S＝a（t﹣2）2﹣2． ∵所求函数关系式的图象过（0，0）， 于是得： a（0﹣2）2﹣2＝0， 解得a＝， ∴所求函数关系式为：S＝（t﹣2）2﹣2，即S＝t2﹣2t； 课堂练习 例题4 某公司开发一种新的软件，年初上市后，公司经历了扭亏为盈的过程．图中的图象是抛物线的一段，它刻画了该软件上市以来累积利润S（万元）与销售时间t（月）之间的函数关系（即前t个月的利润总和S与t之间的函数关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题： （2）截止到几月末，公司累积利润可达30万元？ （3）求公司第5个月所获的利润． （2）把S＝30代入S＝t﹣2)2﹣2， 得t﹣2)2﹣2＝30． 解得t1＝10，t2＝﹣6（舍去）． 答：截止到10月末公司累积利润可达30万元；   (3)把t＝4代入关系式， 得S＝×42﹣2×4＝0， 把t＝5代入关系式， 得S＝×52﹣2×5＝2.5， 2.5﹣0＝2.5 课堂练习 课堂小结 运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤 : 求出函数解析式和自变量的取值范围. 配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值. 检查求得的最大值或最小值对应的字变量的值必须在自变量的取值范围内 . 主讲： 青岛版数学九年级下册 感谢聆听 $$