高一期末复习题卷-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（北师大版2019必修第一册）

高一期末复习试卷 （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交并补的运算逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为，， 所以，所以，所以A错误， 对于B，因为，所以或， 因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以或，所以C错误， 对于D，因为，所以， 因为，所以，所以D正确. 故选：D 2．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全称命题的否定为存在量词命题即可求解. 【详解】命题“”的否定是:. 故选：B 3．设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过构造指数函数和对数函数比较大小. 【详解】因为函数在上单调递增，且，所以，即， 因为函数在上单调递减，且，所以，即； 因为函数在上单调递增，且，所以，即； 所以. 故选B. 4．中国古代数学著作主要有《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《四元玉鉴》，《张邱建算经》，若从上述5部书籍中任意抽取2部，则抽到《九章算术》的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用列举法结合古典概型运算求解. 【详解】用分别表示《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《四元玉鉴》，《张邱建算经》， 从上述5部书籍中任意抽取2部，则样本空间为 ，可知， 设抽到《九章算术》为事件M，则，可知， 所以. 故选：D. 5．某大学共有15000名学生，为了了解学生书籍阅读量情况，该校从全校学生中随机抽取1000名，统计他们2022年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是（    ）(注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表) A．众数约为10 B．中位数约为6.5 C．平均数约为6.76 D．该校学生2022年阅读的书籍数量的第60百分位数约为7.6 【答案】D 【分析】根据频率分布直方图可依次计算众数，中位数，平均数可判断A，B，C；利用百分位数的定义求解判断D. 【详解】对于A，由图可知众数在内，所以众数是6，故A错误； 对于B，由图，中位数在内，所以，解得 ，故B错误； 对于C，平均数为，故C错误； 对于D，由图，该校学生2022年阅读的书籍数量的第60百分位数约为，故D正确. 故选：D. 6．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的换底公式及对数的运算法则求解即可. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：C． 7．已知，若在上单调，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数和二次函数复合的函数的单调性求解即可. 【详解】令函数， 该函数在上单调递减，在上单调递增. 当时，要使在上单调，则在上单调， 且时，，故，解得或. 故选：D 8．已知，则方程的实数根个数不可能为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】A 【分析】作出的图象，令，由对勾函数的性质作出的图象，再对分类讨论，将问题转化为关于的方程（具体到每种类型时为常数）的解的个数问题. 【详解】因为， 当时，则在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，，，，， 作出的图象，如图所示： 令，由对勾函数的性质可知在，上单调递减， 在，上单调递增，且，，则的图象如下所示： ①当时，令或， 则关于的方程有两个实数解，关于的方程的方程也有两个实数解， 即此时对应的个数为，（以下处理方法类似）； ②当时，令或或，此时对应的个数为6； ③当时， 令或或或， 此时对应的个数为； ④当时，或或或，此时对应的个数为； ⑤当时，或或，此时对应的个数为； ⑥当时，或，此时对应的个数为3； ⑦当时，，此时对应的个数为2. 综上可知，实数根个数不可能为5个. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是作出的图象，再对分类讨论，将问题转化为关于的方程（具体到每种类型时为常数）的根的问题. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数的值域为 C．若，则 D．若幂函数，且在上是增函数，则实数 【答案】BC 【分析】选项A，根据条件，利用抽象函数定义域的求法，即可求解；选项B，分离常量得到，令，利用的单调性，即可求解；选项C，利用指对数的互换，即可求解；选项D，利用幂函数的定义及性质，即可求解. 【详解】对于选项A，因为函数的定义域为，由，得到， 得到函数的定义域为，所以选项A错误， 对于选项B，因为，令，所以， 得到，所以函数的值域为，故选项B正确， 对于选项C，因为，得到，所以，得到，即，所以选项C正确， 对于选项D，因为为幂函数，且在上是增函数， 所以，解得，故选项D错误， 故选：BC. 10．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（    ）    A．图（1）的平均数=中位数=众数 B．图（2）的众数<中位数<平均数 C．图（2）的众数<平均数<中位数 D．图（3）的平均数<中位数<众数 【答案】ABD 【分析】据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【详解】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确； 图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B正确，C错误； 图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确. 故选：ABD. 11．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A，直接证明即可；对于B，先证明，再利用对数的性质即可验证；对于C，先证明，然后得到，再使用指数的单调性即可；对于D，给出作为反例即可. 【详解】对于A，有，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，，，有，当且仅当时取等号， 故，从而，故B正确； 对于C，由，知，所以 故，从而，所以，故C正确； 对于D，由于当时，有，，但，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用不等式的性质，并利用指数和对数的性质验证不等式. 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的值为 . 【答案】3 【分析】利用对数、指数运算性质即可求解. 【详解】原式 故答案为：3 13．已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是 . 【答案】4 【分析】根据幂函数的定义求出m的值，结合偶函数的定义可得，代入即可得的值． 【详解】解：由题意得：，解得：或， 时，是奇函数，不符合题意， 时，是偶函数，符合题意， 故，， 故答案为： 14．设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据题意可设，结合的奇偶性判断的奇偶性，再结合题设判断的单调情况，进而结合不等式，讨论x的正负，结合的单调情况，分类求解，即可得答案. 【详解】设， 而是定义在上的奇函数，即， 故，即为偶函数； 对任意的，不妨设，则 ， 又对任意的满足， 当时，，则，即， 而，故， 则在上单调递减， 又为偶函数，故在上单调递增， ，故，则， 而不等式，即为不等式或， 即或， 故或， 即不等式的解集为， 故答案为： 【点睛】方法点睛：诸如此类抽象函数的问题，解答时要结合题设构造出函数，由此判断出其奇偶性和单调性，再结合所求解不等式同构为所构造函数的函数值大小比较形式，结合单调性以及奇偶性，即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合， (1)命题命题，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)函数的定义域为，若,实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据必要不充分条件的意义得到是的真子集，比较端点列不等式，计算即可. （2），则在内有解.运用参变分离，转化为二次函数最值问题即可. 【详解】（1）解不等式，即，则； 解不等式，即，解得. 所以 ．由于p是q的必要非充分条件，则是的真子集， 所以等号不同时成立且，解得，因此，实数的取值范围是. （2）因为，在内有解.   ，令， 则，所以. 16．已知函数 . (1)若，求不等式的解集; (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）依题意可得，即可得到，根据指数函数的性质解得即可； （2）令，则，依题意可得对任意恒成立，参变分离可得对任意恒成立，再由基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）当时，可得， 即，即，整理得， 因为， 所以，解得， 所以不等式的解集为； （2）因为，令，则，可得， 由，可得， 因为，恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 又因为，当且仅当，即时取等号， 所以， 即实数的取值范围为． 17．已知，分别为定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)求和的解析式； (2)利用函数单调性的定义证明在区间上是增函数； (3)已知，其中是大于1的实数，当时，，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由函数奇偶性，构造方程组即可求解； （2）利用增函数的定义，结合指数函数单调性推理即得； （3）换元并求出新元的范围，转化为二次函数在闭区间上的最小值求解即可. 【详解】（1），分别为定义在上的偶函数和奇函数 所以， ①， ②， 由①②可知，， （2）取， 因为，所以，，， 所以，即， 得证； （3）由已知 由(2)得在上单调递增， ， 设， 令 ，， 而函数，在上递减，在递增 ①当时，，，显然成立 即 ②当时，，， 即 综上所述，实数的取值范围是. 18．为迎接第二届湖南旅发大会，彬州某校举办“走遍五大洲，最美有极州”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：并整理得到如下频率分布直方图： (1)根据直方图，估计这次知识能力测评的平均数和中位数； (2)用分层随机抽样的方法从两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间的概率； (3)学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1分的概率是，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由． 【答案】(1)中位数为，平均数为分 (2) (3)甲最终获胜的可能性更大，理由见解析 【分析】（1）在频率分布直方图中按公式计算中位数和平均数； （2）先根据分层抽样得到两个区间共抽取出4名学分别抽取人、3人，再根据古典概型求概率； （3）根据甲至少得1分的概率是，得，计算甲的2分或3分的概率和乙得分为2分或3分的概率，比较大小得出甲最终获胜的可能性更大． 【详解】（1）由频率分布直方图，根据平均数的计算公式，估计这次知识能力测评的平均数： 因为前两组的频率和为， 前三组的频率和为， 所以中位数在第三组，设中位数为， 则，解得， 所以样本的中位数约为85.56分； 平均数为分． （2）由频率分布直方图，可得的频率为的频率为0.3， 所以用分层随机抽样的方法从 两个区间共抽取出4名学生， 可得从抽取人，即为， 从中抽取3人，即为， 从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享， 有，共有12个基本事件； 其中第二个交流分享的学生成绩在区间的有：，共有3个， 所以概率为． （3）甲最终获胜的可能性大． 理由如下：由题意，甲至少得1分的概率是， 可得，其中，解得， 则甲的2分或3分的概率为：， 所以乙得分为2分或3分的概率为， 因为，所以甲最终获胜的可能性更大． 19．如果函数在其定义域内存在实数，使得成立，那么称是函数的“阶梯点”． (1)试判断函数是否有“阶梯点”，并说明理由； (2)证明：函数有唯一“阶梯点”； (3)设函数在区间内有“阶梯点”，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数无“阶梯点”；理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据“阶梯点”定义列方程，判断方程是否有解即可. （2）根据“阶梯点”定义构造函数，由零点存在性定理判断函数的零点情况即可作答. （3）根据“阶梯点”定义列方程，变形构造函数，利用函数有零点分类讨论计算作答. 【详解】（1）假设有“阶梯点”，则是方程的解， 而方程可化为，该方程无实根， 所以函数无“阶梯点”． （2）假设是的“阶梯点”， 则是方程的解． 方程化为 考虑函数，显然函数是上的单调增函数， 且，故有唯一“阶梯点”. （3）函数在区间内有“阶梯点”方程在区间内有根， 再化为有正根. 当时，不合题意，故方程为一元二次方程． 当时，符合题意． 当时，其有正根有两种情况：一是两正，一是一正一负， 故或 解之得或 综上所述：的取值范围是． 【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一期末复习卷 （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 3．设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．中国古代数学著作主要有《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《四元玉鉴》，《张邱建算经》，若从上述5部书籍中任意抽取2部，则抽到《九章算术》的概率为（    ） A． B． C． D． 5．某大学共有15000名学生，为了了解学生书籍阅读量情况，该校从全校学生中随机抽取1000名，统计他们2022年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是（    ）(注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表) A．众数约为10 B．中位数约为6.5 C．平均数约为6.76 D．该校学生2022年阅读的书籍数量的第60百分位数约为7.6 6．若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，若在上单调，则的范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知，则方程的实数根个数不可能为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数的值域为 C．若，则 D．若幂函数，且在上是增函数，则实数 10．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（    ）    A．图（1）的平均数=中位数=众数 B．图（2）的众数<中位数<平均数 C．图（2）的众数<平均数<中位数 D．图（3）的平均数<中位数<众数 11．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的值为 . 13．已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是 . 14．设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知集合， (1)命题命题，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)函数的定义域为，若,实数的取值范围. 16．（15分）已知函数 . (1)若，求不等式的解集; (2)若恒成立，求实数的取值范围. 17．（15分）已知，分别为定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)求和的解析式； (2)利用函数单调性的定义证明在区间上是增函数； (3)已知，其中是大于1的实数，当时，，求实数的取值范围. 18．（17分）为迎接第二届湖南旅发大会，彬州某校举办“走遍五大洲，最美有极州”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：并整理得到如下频率分布直方图： (1)根据直方图，估计这次知识能力测评的平均数和中位数； (2)用分层随机抽样的方法从两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间的概率； (3)学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1分的概率是，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由． 19．（17分）如果函数在其定义域内存在实数，使得成立，那么称是函数的“阶梯点”． (1)试判断函数是否有“阶梯点”，并说明理由； (2)证明：函数有唯一“阶梯点”； (3)设函数在区间内有“阶梯点”，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$