专题11：高二期末复习卷-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（四川专用）

2024-2025学年高二数学上学期期末考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册全部。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若直线过两点和，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，已知向量，，若，则（   ） A． B．2 C．4 D． 3．圆关于直线对称，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 4．在等比数列中，是方程两根，若，则的值为（    ） A． B． C．3 D．9 5．在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆和双曲线有共同的焦点是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．对于数列，定义为数列的“加权和”．设数列的“加权和”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线：(，)的左、右焦点分别，．是上一点(在第一象限)，直线与轴交于点，若，且，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知抛物线的焦点为，直线，过的直线交抛物线于，两点，交直线于点，，，则（    ） A．的面积的最大值为2 B． C． D． 10．已知曲线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线，其渐近线方程为 D．若，则是两条直线 11．如图，正方体的棱长为，是的中点，点满足，其中，，则下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，平面 C．当时，异面直线与所成角的余弦值为 D．若，二面角的平面角为，则的面积为 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知双曲线的一条渐近线方程为，则椭圆的离心率为 ． 13．过点的直线l与曲线有且仅有两个不同的交点，则l斜率的取值范围为 ． 14．已知正项数列的前项和为，若，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知数列是等差数列，满足，数列是公比为3的等比数列，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 16．已知圆经过点、，并且直线：平分圆． (1)求圆的方程； (2)过点，且斜率为的直线与圆有两个不同的交点，且，求k的值． 17．已知点和点在椭圆上. (1)求椭圆C的方程； (2)若过点P的直线l交椭圆C于一点B，且的面积为，求直线l的方程. 18．如图，在四棱锥中，，，，，平面平面，为中点． (1)平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在一点，使∥平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值． 19．已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与的右支及渐近线的交点自上而下依次为，证明：； (3)求二元二次方程的正整数解，可先找到初始解，其中为所有解中的最小值，因为，所以；因为，所以；重复上述过程，因为与的展开式中，不含的部分相等，含的部分互为相反数，故可设，所以.若方程的正整数解为，则的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期末考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册全部。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若直线过两点和，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线上两点坐标表示斜率，再利用斜率和倾斜角的关系，即得解 【详解】由题意，设直线的斜率为，倾斜角为， 故，由于，故. 故选：C. 2．在空间直角坐标系中，已知向量，，若，则（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】利用向量数量积的坐标表示解方程可得结果. 【详解】由可得， 即，解得. 故选：A 3．圆关于直线对称，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出圆的圆心坐标，根据条件可得直线过圆心，从而可得，再结合基本不等式“1”的妙用方法计算即可得解. 【详解】由圆可得标准方程为， 因为圆关于直线对称， 该直线经过圆心，即，，， 当且仅当即时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 4．在等比数列中，是方程两根，若，则的值为（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】D 【分析】根据等比数列性质可得,再由根与系数的关系计算可得结果. 【详解】由是方程两根可得， 由等比数列性质可得，解得或（舍）； 所以. 故选：D 5．在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，运用向量的方法求解即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则， 所以 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A. 【点睛】 6．已知椭圆和双曲线有共同的焦点是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴长为，焦距为2c，根据椭圆及双曲线的定义及余弦定理可得，然后利用基本不等式即得. 【详解】如图，设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴长为，由对称性可取点在第一象限， 则根据椭圆及双曲线的定义可得，， 所以， 又，， 在中，由余弦定理得：， 化简得：，得到， 从而有， 整理得，当且仅当，即时等号成立， 故选：A. 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，进而转化为的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）. 7．对于数列，定义为数列的“加权和”．设数列的“加权和”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助与的关系可计算出数列的解析式，即可得，则分及两种情况分类讨论，当时，为有特殊定义域的二次函数，结合二次函数的性质可得，解出即可得. 【详解】当时，，则， 即，故， 当时，，符合上式，故， 则，故， 因为对任意的恒成立， 当时，有，即，不符合要求， 当时，则有， 解得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在得到后，可知当时，为有特殊定义域的二次函数，即可结合二次的函数的性质解题. 8．已知双曲线：(，)的左、右焦点分别，．是上一点(在第一象限)，直线与轴交于点，若，且，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，用，表示的各边长，利用勾股定理确定，的关系，再探求与的关系，利用余弦定理和直角三角形的边角关系，列出等式，再由双曲线中的关系，求出即可. 【详解】如图： 设，则，因为，所以，根据双曲线的定义：， 因为，由勾股定理得：，所以. 所以：， ，. 在中，. 在中，. 因为，，所以， 从而，即， 所以， 所以双曲线渐近线的方程为：. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是得到，利用得到关于的关系，整理过程运算量较大，要足够细心和耐心. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知抛物线的焦点为，直线，过的直线交抛物线于，两点，交直线于点，，，则（    ） A．的面积的最大值为2 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对A，设直线，联立抛物线方程可得，根据结合韦达定理求解即可；对B，根据韦达定理判断即可；对C，根据韦达定理结合抛物线方程判断即可；对D，根据题意结合平面向量的坐标运算可得，再代入韦达定理求解即可. 【详解】设直线，由得：， 则； 选项A： 应是最小值为2，故A错误； 选项B：，故B正确； 选项C：，，则，故C正确； 选项D：由，， 得：,， ∴，故D正确. 故选：BCD 10．已知曲线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线，其渐近线方程为 D．若，则是两条直线 【答案】AD 【分析】结合选项条件，分别根据椭圆、圆以及双曲线的标准方程，化简曲线C：为相应的标准方程，即可判断A，B，C；当时，方程即为，即可判断D. 【详解】A选项，若，则, 故曲线C:,即，表示椭圆，其焦点在y轴上，A正确； B选项，若，， 则曲线C:，即，表示半径为的圆，B错误； C选项，若，不妨设,则曲线C:，即，表示焦点在x轴上的双曲线，则，故渐近线方程为, 即，C错误； D 选项，若，曲线C：，即， 即，则C 是两条直线，D正确. 故选：AD. 11．如图，正方体的棱长为，是的中点，点满足，其中，，则下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，平面 C．当时，异面直线与所成角的余弦值为 D．若，二面角的平面角为，则的面积为 【答案】ABD 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， ，，则， ，，，， 所以，当时，，故，故A正确； 易知是平面的一个法向量， 因为，，即， 又因为平面，则平面，故B正确； 当时，，则， 则异面直线与所成角的余弦值为，故C错误； 当时，，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，所以，， 又因为平面的一个法向量为， 且二面角的平面角为， 则，因为，解得， 即点，，则， 所以，， 所以，，故D正确． 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知双曲线的一条渐近线方程为，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】由题意得，再结合椭圆的离心率公式即可求解. 【详解】由题意得双曲线的渐近线方程为，所以， 这意味着，所以. 故答案为：. 13．过点的直线l与曲线有且仅有两个不同的交点，则l斜率的取值范围为 ． 【答案】． 【分析】根据题意，将曲线，变形为，，分析可得其为圆的上部分， 结合直线与圆的位置关系即可． 【详解】由题意可设直线，又曲线可化为，， 作出直线l与曲线的图象如图所示： 设图中直线，，，的斜率分别为，，，， 则，，， 又直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 解得（舍去）或， 要使两图象有两个不同的交点，则． 故答案为： 14．已知正项数列的前项和为，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由的关系得，由等差数列求和公式结合对勾函数性质即可得解. 【详解】由题意，因为数列是正项数列， 所以解得， 当时，有，， 两式相减得， 整理得， 因为数列是正项数列， 所以，即数列是首项为2，公差为1的等差数列， 所以，， ， 又在单调递减，在单调递增， 而， 所以当且仅当时，的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：关键是首先得出，，由此即可顺利得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知数列是等差数列，满足，数列是公比为3的等比数列，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）设出等差数列的公差，运用等差数列的通项公式，结合已知，，可以求出公差，最后求出通项公式；这样利用已知数列是公比为3的等比数列，且．可以得到数列的通项公式，最后求出数列的通项公式； （2）根据等差数列和等比数列前n项和公式，利用分组求和法求数列的前n项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为d． 由，，得，解得． 所以． 即的通项公式为：，． 由于是公比为3的等比数列，且， 所以． 从而． （2）由（Ⅰ）． 数列的前n项和 ． 16．已知圆经过点、，并且直线：平分圆． (1)求圆的方程； (2)过点，且斜率为的直线与圆有两个不同的交点，且，求k的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）利用待定系数法即可得解； （2）联立直线与圆的方程得到，从而化简得到关于k的方程，解之即可得解. 【详解】（1）设圆C的标准方程为， 因为直线m：平分圆C的面积， 所以直线过圆心，即， 则，解得， 圆的方程为； （2）由题意直线的方程为， 联立，消去得， 设， 则，得， 故， 而， 所以 ， 故有，解得，满足， 所以. 17．已知点和点在椭圆上. (1)求椭圆C的方程； (2)若过点P的直线l交椭圆C于一点B，且的面积为，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2）以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程； 【详解】（1）由题意可知，解得， 椭圆的方程为. （2），则直线的方程为，即， ， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为，则， 解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立，得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或    18．如图，在四棱锥中，，，，，平面平面，为中点． (1)平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在一点，使∥平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据题意可得，再结合面面垂直的性质分析证明； （2）建系标点，求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角； （3）设，利用空间向量结合线面平行可得，即可得结果. 【详解】（1）因为，为中点，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）以为坐标原点，分别为轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得 由题意可知：平面的法向量， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）线段上是否存在一点，使平面. 设，则， 若平面，则， 可得，解得， 即，可知， 所以存在点，使平面，此时. 19．已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与的右支及渐近线的交点自上而下依次为，证明：； (3)求二元二次方程的正整数解，可先找到初始解，其中为所有解中的最小值，因为，所以；因为，所以；重复上述过程，因为与的展开式中，不含的部分相等，含的部分互为相反数，故可设，所以.若方程的正整数解为，则的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1 【分析】（1）根据双曲线关系和渐近线、实轴相关概念进行列式计算即可求解. （2）分别联立直线与及其渐近线方程求出、、、的坐标或坐标的关系，进而得出线段的中点重合，即可得证. （3）结合题目所给的循环构造的方法得，用向量面积公式表示出面积，再换元，化简即可求解. 【详解】（1）由题意，解得， 所以双曲线的标准方程为； （2）由题意直线的斜率不为0，设直线， 因为直线与的右支交于两点，所以， 联立得， 所以，且，即， 联立得，所以， 所以，即线段的中点重合，所以. （3）由题意得方程的初始解为，则根据循环构造原理得 ， 从而， 记，则，设，的夹角为， 则的面积 ， 令，， 则 ，于是的面积为定值. 【点睛】方法点睛：新定义问题解题策略：首先，明确新定义的特点；其次，根据定义中的步骤对具体题目进行运算；最后得到结论. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$