第六章 平面向量及其应用（10大压轴题专练）-2024-2025学年高一数学单元速记·巧练（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用（压轴题专练） 题型一：平面向量共线定理推论应用 1．（多选）（2024·山西晋中·模拟预测）在中，为边上一点且满足，若为边上一点，且满足，，为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为1 B．的最大值为 C．的最大值为12 D．的最小值为4 2．（24-25高三上·天津和平·期末）在平行四边形中，，，与交于点．设，，请用表示 ；若，则 ． 3．（2025高三·全国·专题练习）在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为 . 4．（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，是的角平分线，且是上的一点，过的直线分别交边于点，且的面积为． (1)求线段的长； (2)若，求的值． 5．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）如图所示，在中，为边上一点，且，若，，三点共线，且，. (1)用，表示； (2)求的最小值. 题型二：向量数量积（几何意义法） 1．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）如图，已知等腰中，，点是边上的动点，则的值（    ）    A．为定值 B．不为定值，有最大值 C．为定值 D．不为定值，有最小值 2．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·上海·期中）如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形的边长为4，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为 . 4．（23-24高一下·浙江台州·期末）已知是边长为2的正六边形内（含边界）一点，为边的中点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：向量数量积（建系法） 1．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知A，B，C是单位圆上不同的三点，，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 2．（24-25高三上·河北·期末）在边长为2的等边三角形中，点D为边的中点，点P在三角形所在的平面内，且满足，则的最大值为 ． 3．（2024高三·全国·专题练习）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 4．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）在边长为4的正方形ABCD中，M是BC的中点，E在线段AB上运动，则的取值范围 . 5．（24-25高三上·天津滨海新·期中）如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为 ．    题型四：向量数量积（极化恒等式法） 1．（多选）（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）如图所示，正六边形的中心与圆的圆心重合，正六边形的边长为4，圆的半径为1，是圆的一条动直径，为正六边形边上的动点，则的可能取值为（    ）    A．9 B．11 C．13 D．15 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在平面四边形中，O为的中点，且，.若，则 . 3．（24-25高三上·四川达州·开学考试）已知圆的半径为4，是圆的一条直径．两点均在圆上，，点为线段上一动点，则的取值范围是 ． 题型五：向量模 1．（23-24高一下·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，是线段上一点（不含端点），若，则（    ）    A． B． C．4 D． 2．（多选）（23-24高一下·陕西咸阳·期中）如图，在长方形中，，点满足，其中，则的取值可以是（    ）    A．8 B．9 C．10 D．11 3．（24-25高三上·天津北辰·期中）如图，平行四边形中，，为的中点，为线段上一点，且满足，则 ；若的面积为，则的最小值为 .    4．（2025高三·全国·专题练习）设为单位向量，非零向量，x，y为实数，若的夹角为，则的最大值是 . 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知、是空间中两个互相垂直的单位向量，向量满足，且，当取任意实数时，的最小值为 题型六：向量夹角 1．（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）已知向量，，，若则实数（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，E为BC中点，在线段AB上，且，和CF相交于点，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川内江·一模）在平行四边形中，已知，，，点在边上，，与相交于点，则的余弦值为 ． 4．（24-25高三上·云南玉溪·阶段练习）如图，在中，已知，边上的两条中线相交于点P，则的余弦值为 ． 5．（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在 中，已知 ， ， ， ，点 为 边的中点， ， 相交于点 ． (1)求； (2)求 ． 题型七：三角形周长（边） 1．（24-25高三上·重庆·期末）在锐角中，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北·期中）已知是锐角三角形，角、、 所对的边分别为、、，为的面积，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江西南昌·三模）如图，在扇形OAB中，半径，，C在半径OB上，D在半径OA上，E是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形BCDE的周长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）锐角中，，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·安徽滁州·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·湖北武汉·期中）在中，角所对的边分别为，且.若，则周长的最大值为 . 8．（23-24高一下·北京延庆·期末）在中，，. (1)求的大小； (2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件使不存在，第（2）问得0分. (3)若，求周长的取值范围. 9．（23-24高一下·湖北武汉·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，求的取值范围． 10．（23-24高一下·福建厦门·期中）在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角C的大小； (2)若D为AB中点，且，求面积的最大值； (3)若，求周长的取值范围． 题型八：三角形面积 1．（2024·陕西·模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知，则面积的最大值为（    ） A． B． C．12 D．15. 2．（23-24高二上·安徽亳州·期中）在中，设角，，所对的边长分别为，，，且，，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 3．（23-24高一下·四川内江·期中）在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，，且，则 ，面积的取值范围为 . 4．（23-24高二上·四川成都·期末）已知某平面内三角形为等腰三角形， ， 点为中点， 且， 则面积的最大值为 . 5．（23-24高一下·重庆万州·期中）在中，角所对的边分别是，若是边上的一点，且. (1)若时，求面积的最大值； (2)若 ①求角的大小； ②当取得最大值时，求的面积. 6．（甘肃省武威市2024-2025学年高三上学期期末联考数学试卷）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求B； (2)若，求面积的最大值. 题型九：三角形中线 1．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知中，，则AB中线CM长等于 . 2．（23-24高一下·广东广州·期中）在中，内角的对边分别是，，． (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 3．（24-25高三上·河北石家庄·期中）在中，角所对的边为且满足. (1)求； (2)当时，求边上中线的范围. 4．（23-24高一下·江苏连云港·期末）在中，AD是的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上． (1)用正弦定理证明； (2)若，求DE的长． 5．（23-24高一下·重庆·阶段练习）在中，内角所对的边分别是，且，. (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)求边上的中线的取值范围. 题型十：三角形角平分线 1．（23-24高三下·四川南充·阶段练习）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为，且，若D是的角平分线与BC的交点，则的取值范围是 . 2．（2024高二上·贵州·学业考试）的内角，，所对的边分别为，，，且，. (1)若，则________； (2)若，则的面积为________； (3)已知的角平分线交于，求的最大值. 3．（23-24高一下·福建福州·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求； (2)若的面积为，内角的角平分线交边于，，求的长； (3)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 4．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）的内角的对边分别为，满足. (1)求； (2)的角平分线与交于点，求的最小值. 5．（23-24高一下·浙江）的内角的对边分别为已知，为的角平分线． (1)求的值； (2)若，求的长． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平面向量及其应用（压轴题专练） 题型一：平面向量共线定理推论应用 1．（多选）（2024·山西晋中·模拟预测）在中，为边上一点且满足，若为边上一点，且满足，，为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为1 B．的最大值为 C．的最大值为12 D．的最小值为4 【答案】BD 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、条件等式求最值、平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据三点公式求得，结合基本不等式判断即可. 【详解】因为，所以， 又， 因为、、三点共线，所以， 又，为正实数，所以， 当且仅当，即，时取等号，故A错误，B正确； ， 当且仅当，即，时取等号，故C错误，D正确. 故选：BD 2．（24-25高三上·天津和平·期末）在平行四边形中，，，与交于点．设，，请用表示 ；若，则 ． 【答案】 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、用基底表示向量、平面向量共线定理的推论 【分析】根据向量的线性运算法则结合平面向量基本定理，将，用表示出来即可求解. 【详解】， 如图，三点共线， 设，则， 所以， 三点共线， 设，则， 所以， 所以，解得， 所以，又，即得. 故答案为：；. 3．（2025高三·全国·专题练习）在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为 . 【答案】/ 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、用基底表示向量、平面向量共线定理的推论 【分析】把用表示，然后由三点共线定理得出结论． 【详解】由题意 ， 因为，，三点共线，所以，解得. 故答案为：. 4．（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，是的角平分线，且是上的一点，过的直线分别交边于点，且的面积为． (1)求线段的长； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积、平面向量共线定理的推论 【分析】（1）利用向量线性运算得到，利用角平线的性质得，从而由余弦定理得，再利用，即可求出结果； （2）设， 由面积公式得到，再利用向量共线得到，再结合条件，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 即，得到， 因为是的角平分线，所以，所以．           又，由余弦定理得， 又，所以，         因为，所以，           解得. （2）设， ，解得， 因为，所以， 因为三点共线，所以，即，               所以，又， 所以， 得到，又，解得， 所以，得到，所以． 5．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）如图所示，在中，为边上一点，且，若，，三点共线，且，. (1)用，表示； (2)求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】用基底表示向量、平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得. （2）根据（1）的结论，转化用，表示，根据、、三点共线找出等量关系，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由，得， 所以. （2）由，，，， 得，又、、三点共线，因此， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以取最小值. 题型二：向量数量积（几何意义法） 1．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）如图，已知等腰中，，点是边上的动点，则的值（    ）    A．为定值 B．不为定值，有最大值 C．为定值 D．不为定值，有最小值 【答案】C 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积、向量加法的法则 【分析】先记的中点为，然后利用是等腰三角形，得到，再利用向量数量积的几何意义求解即可. 【详解】如图，记的中点为，由题可知，， ，，所以. 故选：C.    2．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量数量积的几何意义、向量与几何最值、用定义求向量的数量积 【分析】由投影向量的定义得到当在上时，取得最大值，进而得到答案. 【详解】由投影向量的定义可知，当在上时，取得最大值， 延长交的延长线于点， 的最大值为， 其中正八边形的外角为，故， 故，， 故， 所以最大值为. 故选：B 3．（23-24高一下·上海·期中）如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形的边长为4，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义、求投影向量 【分析】借助于正方形建系，利用平面向量数量积的几何意义，找到使在方向上的投影向量的数量最大和最小的点即得的取值范围. 【详解】 如图，以点为原点，分别以所在直线为轴建立坐标系. 因， 而表示在方向上的投影向量的数量， 由图不难发现，设过正方形的中心作与轴平行的直线与左右两个半圆分别交于点， 则当点与点重合时，投影向量的数量最大，当点与点重合时，投影向量的数量最小. 易得，则的最大值为6，最小值为， 故. 故答案为：. 4．（23-24高一下·浙江台州·期末）已知是边长为2的正六边形内（含边界）一点，为边的中点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量数量积的几何意义、数量积的坐标表示 【分析】通过数量积定义得出与重合时取得最大值，与重合时，取得最小值，然后建立如图所示的平面直角坐标系，用坐标法求数量积． 【详解】如图，过作于，则，当与同向时为正，当与反向时为负， 分别过作，，为垂足， 则得当与重合（即与重合）时，取得最大值，当与重合（即与重合）时，取得最小值， 是正六边形，因此以为轴，为建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，，是中点，则， ，，， ，， 所以的范围是， 故选：B． 题型三：向量数量积（建系法） 1．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知A，B，C是单位圆上不同的三点，，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平方关系求参数、数量积的坐标表示、解析法在向量中的应用 【分析】令，，进而有，应用向量数量积的坐标表示得，结合三角函数关系及二次函数的性质求最值. 【详解】不妨令，，又，则， 所以 ， 当时，的最小值为. 故选：C 2．（24-25高三上·河北·期末）在边长为2的等边三角形中，点D为边的中点，点P在三角形所在的平面内，且满足，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、数量积的坐标表示 【分析】建立直角坐标系，设点，可得，由，可得，设，，利用辅助角公式可得，即可求得的最大值． 【详解】      已知等边三角形的边长为2，点D为边的中点， 如图，建立直角坐标系，则，，， 设点，则，， 则， 又因为，所以， 设，， 则， 所以的最大值为． 故答案为：． 3．（2024高三·全国·专题练习）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】平面向量基本定理的应用、数量积的坐标表示、向量在几何中的其他应用 【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值； 解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 【详解】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 4．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）在边长为4的正方形ABCD中，M是BC的中点，E在线段AB上运动，则的取值范围 . 【答案】[8，24] 【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，设，表达出，求出取值范围. 【详解】以A为坐标原点，分别以AB，AD为x轴，y轴，建立直角坐标系， 则，设， 则， 因为，所以， . 故答案为：. 5．（24-25高三上·天津滨海新·期中）如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为 ．    【答案】 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】利用向量线性运算可将化为，由向量数量积的运算律和定义可构造方程求得，由此可得； 作，以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，利用向量数量积的坐标运算可将化为关于的二次函数的形式，由二次函数最小值的求法可求得结果. 【详解】，，，， ， ，又，； 作，垂足为， 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，    则，，，，， 设，，， 解得：，， ，，， ， 则当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：. 题型四：向量数量积（极化恒等式法） 1．（多选）（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）如图所示，正六边形的中心与圆的圆心重合，正六边形的边长为4，圆的半径为1，是圆的一条动直径，为正六边形边上的动点，则的可能取值为（    ）    A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】BCD 【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值、用定义求向量的数量积 【分析】根据数量积的运算律可得，结合正六边形的几何性质，即可求解. 【详解】如图，设圆心为，取的中点，连接，，，，    根据题意可知，是边长为的正三角形，易得， ， 根据图形可知，当点位于正六边形各点的中点时，有最小值， 此时，当点位于正六边形的顶点时，有最大值，此时 综上，. 故选：BCD 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在平面四边形中，O为的中点，且，.若，则 . 【答案】9 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】利用极化恒等式可求出，再利用极化恒等式可求的值. 【详解】如图，在中，D为的中点，下面证明结论：. 因为D为的中点， 所以，所以① 又，所以② ①-②得，所以 因为在平面四边形中，O为的中点，且，. 所以，解得， . 故答案为： 【点睛】结论点睛：极化恒等式 如图，在中，D为的中点，则有结论：. 3．（24-25高三上·四川达州·开学考试）已知圆的半径为4，是圆的一条直径．两点均在圆上，，点为线段上一动点，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、向量加法的法则 【分析】由平面向量的线性运算和数量积运算可得，结合的取值范围，计算即可． 【详解】如图，为圆心，连接，    则 ． 因为点在线段上且，则圆心到直线的距离，所以，所以， 则，即的取值范围是， 故答案为：． 题型五：向量模 1．（23-24高一下·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，是线段上一点（不含端点），若，则（    ）    A． B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】先求出直线的方程，根据在线段上，设出点坐标，列出方程，再根据列方程，解方程组，得到点坐标，可求的长度. 【详解】如图：    点A，C在一次函数的图象上. 设， 则，，，解得（舍去）， 所以，，. 故选：B 2．（多选）（23-24高一下·陕西咸阳·期中）如图，在长方形中，，点满足，其中，则的取值可以是（    ）    A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】ABC 【知识点】求二次函数的值域或最值、坐标计算向量的模、由向量线性运算解决最值和范围问题、解析法在向量中的应用 【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到，，从而求出，求出值域。 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，则，，，， 设，因为，所以，即，，故，， 则， ，因为，所以. 故选：ABC    3．（24-25高三上·天津北辰·期中）如图，平行四边形中，，为的中点，为线段上一点，且满足，则 ；若的面积为，则的最小值为 .    【答案】 【知识点】用基底表示向量、已知数量积求模 【分析】设，由平面向量线性运算表示即可求出，由结合基本不等式可得的最小值. 【详解】设， 则 ， ∴，故， ∴，即. 由的面积为得，，故， ∴ ，当且仅当时取等号, ∴的最小值为. 故答案为：；. 4．（2025高三·全国·专题练习）设为单位向量，非零向量，x，y为实数，若的夹角为，则的最大值是 . 【答案】2 【知识点】求二次函数的值域或最值、已知数量积求模 【分析】求出，进而求出，将转化为以为未知量的函数问题，求出最大值即可. 【详解】因为，的夹角为， 所以，则， 当时，， 当时，， 当时，取最大值，， 综上：的最大值是2. 故答案为：2 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知、是空间中两个互相垂直的单位向量，向量满足，且，当取任意实数时，的最小值为 【答案】 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】由向量的模长和数量积的运算结合二次函数求出最值即可. 【详解】因为，，，， 所以 ， 所以当时，的最小值为， 故答案为：. 题型六：向量夹角 1．（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）已知向量，，，若则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】由向量坐标的运算求出向量的坐标，再根据，利用向量夹角余弦公式列方程，求出实数的值． 【详解】由，，则， 又，则， 则，即， ，解得， 故选：C. 2．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，E为BC中点，在线段AB上，且，和CF相交于点，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用、向量夹角的坐标表示 【分析】由已知，由正弦定理、余弦定理可得，，可得是直角三角形，以为原点，建立直角坐标系，由又E为BC中点，在线段AB上，且，可得，的坐标，利用坐标运算可得的余弦值. 【详解】已知，由正弦定理得，又， 由余弦定理，所以， 则有，即是以为直角的直角三角形， 如图，以为原点，建立直角坐标系，设，则， 又E为BC中点，在线段AB上，且， 则，，，，， 解得． 故选：B. 3．（2024·四川内江·一模）在平行四边形中，已知，，，点在边上，，与相交于点，则的余弦值为 ． 【答案】 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可得出，即可得解. 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 在平行四边形中，已知，，，点在边上，， 则、、、，则，， 所以，. 故答案为：. 4．（24-25高三上·云南玉溪·阶段练习）如图，在中，已知，边上的两条中线相交于点P，则的余弦值为 ． 【答案】/ 【知识点】余弦定理解三角形、向量夹角的坐标表示 【分析】根据题意利用余弦定理可得，即为直角三角形，建立平面直角坐标系利用向量夹角的坐标表示即可得出结果. 【详解】在中，由余弦定理可得，即； 因此满足，可得是以的直角三角形； 以为坐标原点，分别为轴，轴，如下图所示; , 易知即为向量的夹角， 所以. 故答案为： 5．（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在 中，已知 ， ， ， ，点 为 边的中点， ， 相交于点 ． (1)求； (2)求 ． 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、向量夹角的坐标表示 【分析】（1）由为中点得，在中，通过余弦定理即可求； （2）建立平面直角坐标系，求，，由数量积夹角公式得，并计算即可. 【详解】（1）因为，且为中点， 所以. 由余弦定理得：， 即， 所以， 即． （2）如图，以为原点，直线为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系， 则，，，， 设点， 由可得：， 即 解得：， 所以，， 则， 所以． 题型七：三角形周长（边） 1．（24-25高三上·重庆·期末）在锐角中，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】由余弦定理可，结合为锐角三角形可得答案. 【详解】由余弦定理可知：， 在锐角三角形中又有， 即 故答案为：C． 2．（24-25高三上·河北·期中）已知是锐角三角形，角、、 所对的边分别为、、，为的面积，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求含tanx的函数的定义域、用和、差角的正弦公式化简、求值、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】利用三角形的面积公式结合余弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值，根据是锐角三角形求出角的取值范围，可求出的取值范围，再利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的取值范围. 【详解】因为，由三角形的面积公式和余弦定理可得， 整理可得， 因为，则，可得，所以，， 因为为锐角三角形，则，即，解得， 所以，，则， 所以，. 故选：B. 3．（2024·江西南昌·三模）如图，在扇形OAB中，半径，，C在半径OB上，D在半径OA上，E是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形BCDE的周长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】由于点E在弧上运动，引入恰当的变量，从而表达，再利用正弦定理来表示边，来求得周长关于角的函数，然后求出取值范围；也可以建立以圆心为原点的坐标系，同样设出动点坐标，用坐标法求出距离，然后同样把周长转化为关于角的函数，进而求出取值范围. 【详解】 （法一）如图，连接设，则，， 故．在中，由正弦定理可得， 则． 在中，由正弦定理可得，则． 平行四边形的周长为 ． 因为，所以，所以，所以， 所以，则， 即平行四边形BCDE的周长的取值范围是． （法二）以O为原点，所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系． 设，则，， 从而，，， ， 故平行四边形的周长为． 因为，所以，所以， 则，即平行四边形的周长的取值范围是． 故选：A. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】由二倍角的余弦公式、两角和与差的正弦公式化简已知式可得，又由三角形为锐角三角形求出，进而求出，由正弦定理化简，再令，由二次函数的性质即可得出答案. 【详解】因为，所以． 由正弦定理得，即， 所以，所以，即， 所以或（舍去）， 得．因为为锐角三角形，所以， ，得，所以． 所以 ． 令，则，， 结合二次函数的性质可得， 故选：D． 【点睛】关键点睛：本题的关键点在于先由二倍角的余弦公式、两角和与差的正弦公式化简已知式可得，再由三角形为锐角三角形求出，进而求出，由正弦定理化简，再令，由二次函数的性质即可得出答案. 5．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）锐角中，，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】由已知求得的取值范围是，由正弦定理把表示为的三角函数，由三角函数恒等变换结合正弦函数性质可得取值范围． 【详解】由正弦定理得：， ， 所以， ， 因为三角形为锐角三角形，所以，， 从而得， 所以，所以． 故选：C. 6．（23-24高一下·安徽滁州·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、利用不等式求值或取值范围 【分析】根据给定条件，可得，借助两边的和大于第三边得，再将所求消去a，借助不等式性质求出范围. 【详解】由，得，， 在中，由，得，于是，即， 因此， 所以的取值范围为. 故选：C 7．（23-24高一下·湖北武汉·期中）在中，角所对的边分别为，且.若，则周长的最大值为 . 【答案】21 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、基本（均值）不等式的应用 【分析】将已知等式利用正弦定理统一成角的形式，化简后求得，由余弦定理结合基本不等式，可求得，即可得出三角形周长最大值. 【详解】解：因为，所以由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 由余弦定理得，即， 因为，所以， 得，当且仅当时取等号， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以周长的最大值为21. 故答案为：21. 8．（23-24高一下·北京延庆·期末）在中，，. (1)求的大小； (2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件使不存在，第（2）问得0分. (3)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）由正弦定理将边转化为角即可求解； （2）选条件①：由同角三角函数的平方关系可求，由三角形内角和定理可得，由正弦定理可求边，根据面积公式求解即可；选条件②：由已知可求，结合正弦定理可求，由大边对大角即可判断；选条件③：由余弦定理可求边，根据面积公式求解即可； （3）由正弦定理可表示边，，结合三角函数即可求解取值范围. 【详解】（1）由，得， 在中，由正弦定理得， 因为，，所以， 又，所以； （2）选条件①：，所以， 由可得， 由，可得或， 由正弦定理解得或， 当时，的面积为， 当时，的面积为； 选条件②：，所以为钝角，且， 由正弦定理，得， 所以，又，故此三角形不存在； 选条件③：， 在中，由余弦定理得， 即， 整理得，解得或， 当时，的面积为， 当时，的面积为； （3）由正弦定理，可得，， 所以周长为 ， 因为，所以，，， 所以周长取值范围为. 9．（23-24高一下·湖北武汉·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）根据题意，结合正弦定理及诱导公式，即可求得，得角即可； （2）由正弦定理，将边全部化为角，利用三角函数来求值域即可． 【详解】（1）根据题意得，， 由正弦定理得，， 即， 即， 因为，则，则， 则，则． （2）由正弦定理得，，所以． 所以， 因为是锐角，则，即，解得． 则，故． 所以，则的取值范围为． 10．（23-24高一下·福建厦门·期中）在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角C的大小； (2)若D为AB中点，且，求面积的最大值； (3)若，求周长的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3)． 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出； （2）由已知可得，两边平方，可得，可得面积的最大值. （3）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性转化为三角函数求值域即可得出. 【详解】（1）由题意知， 即，由正弦定理得 由余弦定理得， 又，∴． （2）因为是的中点，所以，两边平方可得， ， 即，当且仅当时等号成立． 此时面积的最大值为 （3）∵，∴，， 则的周长 ∵，∴，∴， ∴， ∴周长的取值范围是． 题型八：三角形面积 1．（2024·陕西·模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知，则面积的最大值为（    ） A． B． C．12 D．15. 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围 【分析】先利用正弦定理化边为角，可得出的关系，再利用余弦定理求出，进而可得出，再根据三角形的面积公式结合二次函数的性质即可得解. 【详解】由，由正弦定理得，即， 所以， 由余弦定理得， 所以， 所以， 当，即时，取得最大值. 故选：C. 2．（23-24高二上·安徽亳州·期中）在中，设角，，所对的边长分别为，，，且，，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，从而求出，由重要不等式求出的最大值，最后由面积公式计算可得. 【详解】因为， 由正弦定理可得，即，即， 所以，又，则， 又因为，，即， 所以，当且仅当时取得等号， 所以， 即面积的最大值为，当且仅当时取得. 故选：A． 3．（23-24高一下·四川内江·期中）在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，，且，则 ，面积的取值范围为 . 【答案】 【知识点】求三角形面积的最值或范围、余弦定理解三角形 【分析】在锐角中，利用余弦定理求解；先由余弦定理用a表示c，再根据是锐角三角形得到a的范围，然后利用三角形的面积公式求解. 【详解】解：在锐角中， ，且， 由余弦定理得：，解得； 由余弦定理得， 因为是锐角三角形，所以 ， 即 ，解得 ， 所以， 故答案为：， 4．（23-24高二上·四川成都·期末）已知某平面内三角形为等腰三角形， ， 点为中点， 且， 则面积的最大值为 . 【答案】 【知识点】求三角形面积的最值或范围、三角形面积公式及其应用 【分析】根据向量的模长公式可得，即可利用面积公式得，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】设 由于,所以, 故, 故当时，此时取最大值36，故面积的最大值为6， 故答案为：6 5．（23-24高一下·重庆万州·期中）在中，角所对的边分别是，若是边上的一点，且. (1)若时，求面积的最大值； (2)若 ①求角的大小； ②当取得最大值时，求的面积. 【答案】(1)1 (2)①；②. 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据线段的比值关系与余弦定理求出，再求出面积表达式，求出最大值即可. （2）根据数量积表达式和正弦定理化简，得到，再由余弦定理即可求解；根据两次余弦定理得到，换元求最大值，从而求得，求得面积即可. 【详解】（1）由题意可得，， 根据余弦定理得， 所以， 所以的面积为， 当，即时，面积最大，最大值为1. （2）①由， ， 则， 由正弦定理得，化简得， 所以， 又因为，所以. ②因为，由，可得 ， 整理得， 又因为，所以， 令为锐角， 则，其中为锐角， 当，即时，取得最大值. 此时，， 解得， 的面积为. 【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形中的最值问题.关键点是求得之后，利用换元表示出，从而进行三角函数化简得到的最小值，并求得此时的值，代入面积公式即可求解. 6．（甘肃省武威市2024-2025学年高三上学期期末联考数学试卷）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求B； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理边角互化可得，结合三角形内角的范围可得结果. （2）根据题目条件结合余弦定理得，利用基本不等式得，根据三角形面积公式可得结果. 【详解】（1）∵，∴， ∴， ∴， ∵，∴， ∴，即， ∵，∴. （2）由余弦定理得，，即， ∵，∴，当目仅当时，等号成立， ∴， ∴面积的最大值为. 题型九：三角形中线 1．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知中，，则AB中线CM长等于 . 【答案】/ 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用两次余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得. 故答案为： 2．（23-24高一下·广东广州·期中）在中，内角的对边分别是，，． (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可； （2）根据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可； （3）利用向量加法运算及数量积以及模的运算得，利用正弦定理得，然后利用角的范围，结合正弦函数的性质求解范围即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理及， 得 ， 即，而，， 解得，又，所以. （2）由及，余弦定理得， 又，解得， 由得， 即，则，所以. （3）因为是的中点，所以， 则， 由正弦定理得， 即， 为锐角三角形， ，所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以，即边上的中线的取值范围为． 3．（24-25高三上·河北石家庄·期中）在中，角所对的边为且满足. (1)求； (2)当时，求边上中线的范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、数量积的运算律 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦公式化简求解. （2）利用余弦定理，结合基本不等式求出的范围，再利用向量数量积的运算律求出范围. 【详解】（1）在中，由及正弦定理， 得， 则，即， 于是，而，，则， 所以. （2）由（1）及余弦定理，得， 当且仅当时取等号， 因此，由为边上中线，得， 则， 所以边上中线的范围是. 4．（23-24高一下·江苏连云港·期末）在中，AD是的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上． (1)用正弦定理证明； (2)若，求DE的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、证明三角形中的恒等式或不等式、几何图形中的计算 【分析】（1）由正弦定理知，，，结合条件可得结论； （2）由余弦定理可求得，进而利用（1）的结论可求. 【详解】（1）由正弦定理知，在中，， 在中，， 由，， 所以， 所以； （2）在中，由余弦定理可得， 所以，由（1）可得，所以， 因为是边上的中线，所以， 所以. 5．（23-24高一下·重庆·阶段练习）在中，内角所对的边分别是，且，. (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)求边上的中线的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）根据三角形内角和定理结合两角和的正弦公式化简求值即可； （2）依据余弦定理及已知求出，然后利用面积分割法列方程求解即可； （3）利用向量的加法运算及数量积模的运算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函数的性质求解范围即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 又，所以， 又，所以； （2）由及余弦定理得， 即， 又因为，所以， 所以， 所以， 即； （3）因为E是AC的中点，所以， 则， 由正弦定理得， ， 即， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 即边上的中线的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 题型十：三角形角平分线 1．（23-24高三下·四川南充·阶段练习）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为，且，若D是的角平分线与BC的交点，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值、三角恒等变换的化简问题、余弦定理边角互化的应用、正余弦定理与三角函数性质的结合应用 【分析】根据题意利用余弦定理可得，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换可得，结合角的取值范围分析求解. 【详解】在中，由得， 由余弦定理得， 且，所以. 又因为AD是的平分线，则， 在中，由正弦定理得， 可得， 且是锐角三角形，所以，解得， 则，可得，所以， 故的取值范围是. 故答案为：. 2．（2024高二上·贵州·学业考试）的内角，，所对的边分别为，，，且，. (1)若，则________； (2)若，则的面积为________； (3)已知的角平分线交于，求的最大值. 【答案】(1)4 (2) (3)3 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）根据题意，由直角三角形求解即可； （2）结合面积公式求解即可； （3）由余弦定理得出的关系，再由角平分线的性质及三角形面积公式建立关于的方程，化简后再换元求最值即可. 【详解】（1）因为，所以， 即. （2）当时，，由（1）知， 所以， 所以. （3）由余弦定理可得, 即，可得，当且仅当时等号成立， 所以， 由面积公式可得， 即，所以， 所以， 令，则， 所以当时，有最小值，有最大值， 即三角形为正三角形时，有最大值3. 【点睛】关键点点睛：本题的第三问关键在于利用面积公式建立关于的表达式，再平方后运用余弦定理得到的条件，转化为二次函数求最值，难度较大. 3．（23-24高一下·福建福州·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求； (2)若的面积为，内角的角平分线交边于，，求的长； (3)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 【答案】(1) (2)2 (3) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、数量积的运算律 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再求出，即可得解； （2）根据，再结合基本不等式即可得解； （3）由题意，两边平方得，结合余弦定理可求出，再根据数量积得几何意义即可得解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理， 得， 而， 则， 由，因此，则， 由，得，解得， 又，所以. （2） 由得，，而，则， 又， 因为内角的角平分线交边于，所以， ∴， ∴. （3） 在中，由余弦定理，得， 由边上的中线，又因为， 两边平方得， 则，即， 解得， 令边的中点分别为，由点为的外接圆圆心， 得，， ， ， 所以. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 4．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）的内角的对边分别为，满足. (1)求； (2)的角平分线与交于点，求的最小值. 【答案】(1) (2)． 【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式计算可得； （2）由等面积法得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】（1）由得， 由正弦定理得，即， 由，所以，化简得， 所以，所以. （2）由， 得， 即，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 5．（23-24高一下·浙江）的内角的对边分别为已知，为的角平分线． (1)求的值； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）用正弦定理得到边长之间的关系，再将面积比转化为边长比求解即可. （2）利用余弦定理求出边长关系，解方程即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，得，由正弦定理得． 因为AD为∠BAC的角平分线，所以． 所以． （2）设△ABC的BC边上的高为h，由（Ⅰ）知，， 所以， 在△ABD中，由余弦定理，得， 在△ACD中，由余弦定理，得， 所以， 即， 解得． / 学科网（北京）股份有限公司 $$