18.2 勾股定理的逆定理-【木牍教育】2024-2025学年八年级数学下册同步教学优质课件（沪科版）

数 学 HK 八年级 下册 木牍教育-教学设计中心 制作 ※ 建议使用WPS2019打开。 18.2 勾股定理的逆定理 沪科版八年级下册 第十八章 课程讲授 课程导入 习题解析 课堂总结 前 言 学习目标及重难点 1.掌握勾股定理逆定理的相关概念能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.(重点） 2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.（重点、难点） 课时A计划 课程导入 据说，几千年前的古埃及人就已经知道，在一根绳子上连续打上等距离的13个结，然后，用钉子将第1个与第13个结钉在一起，拉紧绳子, 再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子，如图. 这样围成的三角形中，最长边所对的角就是直角. 课时A计划 用圆规、直尺作△ABC，使AB＝5，AC＝4，BC＝3，如图所示，量一量∠C，它是90°吗？ B A C 想一想： 为什么用上面三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？你能说明理由吗？ ∠C是90° 课程导入 课时A计划 课程导入 逆 命 题 它是真命题吗？你能证明吗？ 勾股定理（毕达哥拉斯定理）： 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 课时A计划 课程讲授 新课推进 探索1：勾股定理的逆定理 已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且 a2+b2=c2， 求证：△ABC是直角三角形 第一步：根据题意画出图形，并在图形上标出有关字母与符号; 第三步：分析因果关系，找出证明途径；最后有条理地写出证明过程. 第二步：再结合题意和所画图形，写出已知和求证； 证明文字命题的步骤： 课时A计划 C B A A' B' C' b a c b a 证明：作△A'B'C'，使 ∠C'=90°，B'C'=a，C'A'=b 则有A'B'2 =a2+b2 ∵ a2+b2=c2 ∴ A'B'2 =c2 ∵ 边长取正值 ∴ A'B'=c 在△ABC和△A'B'C'中， BC=B'C'=a CA=C'A'=b AB=A'B'=c ∵ ∴ △ABC ≌ △A'B'C' ∴ ∠ C= ∠ C’ ∴ ∠C= 90° （直角三角形的定义） （SSS） (全等三角形对应角相等） ∴ △ABC是直角三角形 c 课程讲授 新课推进 课时A计划 课程讲授 新课推进 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 即如果三角形的三边长a、b、c满足a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. C B A b c a 几何语言： ∴ △ABC是直角三角形，且∠C=90° ∵ 在△ABC中， a2+b2=c2 课时A计划 课程讲授 新课推进 根据下列三角形的三边a，b，c的值，判断△ABC是不是直角三角形. 如果是，指出哪条边所对的角是直角. (1) a＝7，b＝24，c＝25 解： ∴ a2+b2＝c2 ∴ △ABC是直角三角形，最大边c所对角是直角. (1)∵a2+b2＝72+242＝625，c2＝625 例1 ∴ a2+b2≠c2 ∴ △ABC不是直角三角形 (2)∵a2+b2＝72+82＝113，c2＝121 (2) a＝7，b＝8，c＝11 课时A计划 课程讲授 新课推进 像上面的 7、24、25 这三个数，我们称之为勾股数. 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数. 勾股数必能成为直角三角形的三条边长，但直角三角形的三边长不一定是勾股数. (1) 勾股数必须同时满足两个条件： 注意 ① 三个数都是正整数. ② 两个较小数的平方和等于最大数的平方. (2) 如果 a，b，c是一组勾股数，那么 na，nb，nc (n是正整数)也是一组勾股数. 课时A计划 课程讲授 新课推进 (1) a=25 b=20 c=15 (2) a=13 b=14 c=15 (4) a:b: c=3:4:5 是 是 不是 是 ∠A=90° ∠B=90° ∠C=90° (3) a=1 b=2 c= 下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？ 随堂小练习 规律 由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形， 只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方. 课时A计划 课程讲授 新课推进 例2 已知：在△ABC中，三条边长分别为 a=n2-1，b＝2n， c＝n2+1 (n＞1) . 求证：△ABC为直角三角形. ∴ △ABC是直角三角形(勾股定理的逆定理) 证明： ∵ a2+b2＝ (n2-1)2+(2n)2 ＝n4-2n2+1+4n2 ＝n4+2n2+1 ＝(n2+1)2 c2 ＝(n2+1)2 ∴ a2+b2＝c2 探索2：勾股定理的逆定理的应用 课时A计划 课程讲授 新课推进 随堂小练习 1、在△ABC中，a =15， b=17， c=8，求此三角形的面积. 解： ∴ a2+c2＝b2 a2+c2＝ b2＝289 ∵ 152+82 ＝289 ∴ △ABC是直角三角形，且a，c为直角边，b为斜边. ∴ S△ABC= =60 课时A计划 课程讲授 新课推进 A B C D 2、已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积? 解： 连接AC 3 4 12 13 5 又∵ CD＝12，AD＝13 AC2+CD2＝ ∴ AD2＝169 52+122 ＝169 ∴ AC2+CD2＝AD2 ∴ △ACD是直角三角形， 且∠ACD=90° ∵ ∠B＝90°，AB＝3，BC＝4 ∴ AC==5 课时A计划 课程讲授 新课推进 ∴ 四边形ABCD的面积是36. A B C D 3 4 12 13 5 ∴ S四边形ABCD = S△ABC +S△ACD = = =36 课时A计划 课程讲授 新课推进 解： △ABC是直角三角形.理由如下： ∵ a:b:c=9:15:12. ∴ 设 a=9x， b=15x， c=12x ∵ a2+c2= 225x2 , (9x)2+(12x)2= b2= 225x2 ∴ △ABC是直角三角形. ∴ a2+c2=b2 在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，若 a:b:c=9:15:12. 试判断△ABC是不是直角三角形. 例3 课时A计划 A B C D 解：(1)连接AC ∵ AD= AC= 5 ∴ AD2+CD2＝25，AC2＝25 ∴ AD2+CD2＝AC2 ∴ AD⊥CD ∵ CD= (2)S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC = = 如图是由边长为1的小正方形组成的网格. (1) 你能判断AD与CD的位置关系吗？说出你的理由 (2) 求四边形ABCD的面积. 例4 课程讲授 新课推进 课时A计划 已知：在△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC 边上的中线 AD=12cm，求证：AB=AC. A B C 13 12 10 5 5 D 13 证明：∵AD是BC边上的中线，且BC=10cm ∴ BD=CD=BC =5 (cm) 又∵ AB=13cm， AD=12cm BD2+AD2＝ ∴ AB2＝169 169， ∴ △ADB 是直角三角形， 且∠ADB=90° ∴ ∠ADC=90° ∴ ∴ AB=AC ∴ BD2+AD2＝AB2 AC==13(cm) 习题解析 习题1 课时A计划 已知：如图，△ABC中，AB＝2，AC＝2，高 AD＝ . 求证：∠BAC＝90°. C A D B 2 1 3 4 习题解析 AB＝2 ，AC＝2，AD＝ ∴ 解： ∴ BC= AC2+AB2＝ ∵ BC2＝16 16， ∴ AC2+AB2＝BC2 ∴ ∠BAC=90° CD+BD =4 由题意可知 ∠ADC=∠ADB=90°, CD===1 BD===3 习题2 课时A计划 课程讲授 新课推进 已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338= 10a+24b+26c，试判断△ABC的形状. 解： ∵ a2+b2+c2+338=10a+24b+26c ∴ （a2-10a+25)+(b2-24b+144)+(c2-26c+169）=0 ∴ （a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0 ∵ （a-5)2≥0， （b-12)2≥0， （c-13)2≥0 ∴ a-5=0， b-12=0， c-13=0 ∴ a=5， b=12， c=13 又∵ a2+b2＝ c2＝169 169， ∴ a2+b2＝c2 ∴ △ABC是直角三角形 习题3 课时A计划 习题解析 习题4 已知a，b，c为△ABC的三边，且满足 a2c2 – b2c2=a4 – b4， 试判断△ABC的形状. 解： ∵ a2c2 – b2c2=a4 – b4 ∴ c2(a2 – b2)=(a2+b2)(a2-b2) 即 (a2 – b2)(a2+b2-c2)=0 ∴ a2 – b2=0 或 a2+b2-c2=0 ∴ △ABC是等腰三角形或直角三角形 ∴ a = b 或 a2+b2=c2 课时A计划 习题解析 习题5 如图，△ABC中，CD是AB边上的高，且 CD2=AD·BD，求证：△ABC是直角三角形. A B C D 解： ∵ CD是AB边上的高 ∴ ∠ADC=∠BDC=90° ∴ AC2 =CD2+AD2 BC2 =CD2+BD2 ∴ AC2+BC2 =2CD2+AD2+BD2 ∵ CD2=AD·BD ∴ AC2+BC2 =2AD·BD+AD2+BD2=(AD+BD)2 即 AC2+BC2=AB2 ∴ △ABC是直角三角形. 课时A计划 课程讲授 新课推进 如图，AD为△ABC的高 . 求证：AB2-AC2=BD2-CD2 B C A D 解： ∵ AD为△ABC的高 ∴ ∠ADB=∠ADC=90° ∴ AD2= AB2-BD2 AD2= AC2-DC2 ∴ AB2-BD2= AC2-DC2 即 AB2-AC2=BD2-CD2 习题6 课时A计划 习题7 习题解析 某港口位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 东 北 P 16×1.5=24 12×1.5=18 30 R Q S 45° 港口 课时A计划 习题解析 解：根据题意画图 , 如图所示. ∵ 242+182=302 即 PQ2+PR2=QR2 ∴ ∠QPR=90° 由“远航”号沿东北方向航行可知 即“海天”号沿西北方向航行. PQ=16×1.5=24 PR=12×1.5=18 QR=30 ∠QPS=45°, ∴ ∠RPS=45°. 东 北 P 16×1.5=24 12×1.5=18 30 R Q S 45° 港口 45° 课时A计划 习题解析 拓展提升 A D B C F E 1、如图，E，F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE= BC，F为CD的中点，连接AF，AE，EF， 问：△AEF是什么三角形？说明理由. 4 1 3 2 2 4 5 课时A计划 习题解析 ∵ 即 EF2+AF2=AE2 ∴ △AEF是直角三角形. ∴ AF= = , AE= = EF= = ()2 + ()2 = ()2 解：△AEF是直角三角形.理由如下： ∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ AD=CD=AB=BC=4， ∠B=∠C=∠D=90° ∵ CE= BC，F为CD的中点 ∴ CE=1， BE= BC-CE =3， CF=DF=2 A D B C F E 4 1 3 2 2 4 5 课时A计划 习题解析 2、如图所示的一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m. 求这块地的面积. A B C D 3 4 13 12 5 课时A计划 习题解析 解： 连接AC ∵∠ADC=90°，AD＝4m，CD＝3m ∴ 由勾股定理，得 又∵ BC＝12m，AB＝13m AC2+BC2＝ ∴ AB2＝169 52+122 ＝169 ∴ AC2+BC2＝AB2 ∴ △ACB是直角三角形， 且∠ACB=90° ∴ 这块地的面积为 S△ABC - S△ACD AC= = = =×5 =24 A B C D 3 4 13 12 5 课时A计划 课程总结 小结 勾股定理 的逆定理 作用 从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形. 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 最长边不一定是c，∠C也不一定是直角. 勾股数一定是正整数 内容 注意 课时A计划 课后作业 课程总结 课时A计划对应章节. 课时A计划 $$