18.1 第2课时 勾股定理的实际应用-【木牍教育】2024-2025学年八年级数学下册同步教学优质课件（沪科版）

数 学 HK 八年级 下册 木牍教育-教学设计中心 制作 ※ 建议使用WPS2019打开。 18.1 勾股定理 沪科版八年级下册 第十八章 课程讲授 课程导入 习题解析 课堂总结 第二课时 勾股定理的实际应用 前 言 学习目标及重难点 1.应用勾股定理解决实际问题.(重点） 2.感受数学在实际生活中的广泛应用.（重点、难点） 课时A计划 课程导入 折竹抵地（源自《九章算术》） 今有竹高一丈, 风折抵地, 去本三尺.问折者高几何? 大意: 一根竹子, 原高一丈, 一阵风将竹子折断, 其竹梢恰好抵地, 抵地处距离原竹子底部3尺远. 问原来的竹子有多高? 古代趣题 课时A计划 勾股定理公式变形 a b c 灵活运用 注意： ② 运用勾股定理时，要分清斜边、直角边. ① 勾股定理内容描述的是直角三角形三边之间的数量关系所以已知其中任意两边可以求出第三边. 课程导入 c2=a2 +b2 b2= c2 - a2 a2= c2 - b2 (舍负值) (舍负值) (舍负值) 课时A计划 如图所示, 有一个圆柱, 它的高等于12 cm, 底面上圆的周长等于18 cm. 在圆柱下底面的点 A 有一只蚂蚁背着很多食物, 它想回到与点 A 相对的点 B 处的家里, 沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少? B A 蚂蚁怎么走最近? 课程讲授 新课推进 探索1：勾股定理的实际应用 课时A计划 蚂蚁A→B的路线 B A A’ d A B A’ A B B A O 课程讲授 新课推进 方案（1） 方案（2） 方案（3） 方案（4） 课时A计划 课程讲授 新课推进 A B A’ 怎样计算AB？ 在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得 侧面展开图 其中AA’是圆柱体的高, A’B是底面圆周长的一半(πr) B A A’ r O h 课时A计划 课程讲授 新课推进 若已知圆柱体高为12cm, 底面半径为3cm, π取3, 则 B A A’ 3 O 12 侧面展开图 12 3π A A’ B 课时A计划 现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图，已知云梯最多只能伸长到10m，消防车高3m，救人时云梯伸至最长，在完成从9m高处救人后，还要从12m高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米？ (精确到0.1m) 课程讲授 新课推进 例1 课时A计划 课程讲授 新课推进 分析：如图(2)，设A是云梯的下端点，AB是伸长后的云梯，B是第一次救人的地点，D是第二次救人的地点，过点A的水平线与楼房ED的交点为O .则OB=9-3 = 6(m) , OD =12-3 = 9(m). 根据勾股定理，得 AO2 = AB2 - OB2 = 102 -62 = 64. 解方程，得 AO = 8(m). 设AC =x，则OC = 8-x，于是根据勾股定理，得 OC2 + OD2 = CD2， 即(8 -x)2 +92 = 102， 从而可以解出x. 请根据上述分析写出解题过程. 课时A计划 课程讲授 新课推进 例2 已知：如图, 在Rt △ABC中，两直角边AC = 5, BC = 12. 求斜边上的高CD的长 ┐ A B C D ┐ 求直角三角形斜边上的高常用等积法． 解：在Rt△ABC中， AB2 =AC2 +BC2 = 52 + 122 = 169, AB = = 13． 又∵ Rt△ABC的面积 S△ABC = ·BC=·CD, ∴CD = =. 课时A计划 课程讲授 新课推进 1. 如果梯子的底端离一幢楼5米，那么13米长的梯子可以达到该楼的高度是(　　) A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 A 随堂小练习 2. 由于受台风的影响，一棵树在离地面6 m处折断(如图)，树顶落在离树干底部8 m处，则这棵树在折断前的高度是(　　) A．8 m B．10 m C．16 m D．18 m C 课时A计划 课程讲授 新课推进 8m 2m 8m A B C 3、如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 （ ） A.7m B.8m C.9m D.10m 6m D 8m 课时A计划 课程讲授 新课推进 古代笑话一则 有一人拿着一根杆子进屋门，横着拿，不能进，竖着拿，也不能进，干脆将其折断，才解决了问题.请问同学们这样是真正解决了问题了吗？让你做的话，你感觉怎么办合适？ 课时A计划 课程讲授 新课推进 A B C D 1m 2m AB=1m，BC=2m. 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m、宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？ 解：连接AC,∵ 在Rt△ABC中，∠B=90°， ∴ 由勾股定理，得 ∴ 长3m、宽2.2m的薄木板能从门框内通过. ∵ AC≈2.236 >2.2 AC= = =≈2.236 例3 课时A计划 课程讲授 新课推进 小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？ 例4 课时A计划 注意：在直角三角形中，如果知道一边的长度，另外两边只知道它们的关系时，可以运用勾股定理列方程来求另外两边. A B C 5米 (x+1)米 x米 解：设旗杆AC的高度为 x 米，则绳子AB的长为 (x+1) 米. 根据勾股定理，得 x2+52=(x+1)2 解得 x=12 答：旗杆的高度为12米. 课程讲授 新课推进 课时A计划 课程讲授 新课推进 应用勾股定理解决实际问题的一般思路： 方程思想是解决数学问题常用的重要思想 1、在解决实际问题时，首先要画出适当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题. 2、在直角三角形中，如果知道一边的长度，另外两边只知道它们的关系时，可以运用勾股定理列方程来求另外两边. 感悟与收获 课时A计划 习题1 习题解析 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ D A B C 5 x x+1 课时A计划 解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长AD 和AB 为 (x+1) 尺. 根据勾股定理，得 52 + x2 = (x+1)2 解得 x=12 ∴ x+1= 12+1 =13 答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺. 习题解析 课时A计划 习题解析 习题2 如图，一架梯子长25m，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7m. O (1) 这个梯子的顶端距地面有多高？ A B 解：(1)由勾股定理，得 梯子的顶端距地面的高度 AO= = =24(米) 课时A计划 习题解析 A' O (2) 如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向上滑动了几米？ A B B' 解：(2)根据题意，得 A'O= 由勾股定理，得 AO-4 =24-4 =20 (米) ∴ BB'= OB'-OB =15-7 =8(米) OB'= = =15(米) 课时A计划 习题解析 A' O (3) 当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动距离相等时，这时梯子的顶端距离地面有多高？ A B B' 解：(3)设梯子的顶端下滑的距离为 x m，则梯子的底端水平滑动距离也为 xm.根据题意，得 x (24-x)2 +(7+x)2 =252 x 解得 x1=17， x2=0 (舍去) ∴ 梯子的顶端下滑的距离为17米 ∴ 梯子顶端距离地面的高度为 24 -17 =7 (米) 课时A计划 习题解析 习题3 如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB＝8 cm，BC＝10 cm，求CE的长． 解：由题意，知BC＝AD＝AF＝10 cm，DE＝EF. 在Rt△ABF中，BF＝ (cm)， ∴CF＝BC－BF＝4 cm. 设CE＝x cm，则DE＝EF＝(8－x)cm. 在Rt△FEC中， 由勾股定理， 得CF2＋CE2＝EF2，即42＋x2＝(8－x)2， 解得x＝3，即CE＝3 cm. 课时A计划 习题解析 拓展提升 1、为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？ 课时A计划 习题解析 解：如右下图，在Rt△ABC中， ∵AC＝36cm，BC＝108÷4＝27(cm)． 由勾股定理，得 AB2＝AC2＋BC2＝362＋272＝2025＝452， ∴AB＝45cm， ∴整个油纸的长为45×4＝180(cm)． 课时A计划 习题解析 　 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示 的点吗？ 0 1 2 3 4 提示 2、探究用勾股定理在数轴上表示无理数 直角边长为整数2，3的直角三角形的斜边为 . 探究思路：把握题意——找关键字词——连接相关知识——建立数学模型（建模） 课时A计划 习题解析 0 1 2 3 4 解： L A B 2 C 课时A计划 “数学海螺” 利用勾股定理作出长为 的线段. 1 1 习题解析 类比迁移 ， ，… 用同样的方法，你能否在数轴上画出表示 课时A计划 0 2 1 3 5 4 1 习题解析 用同样的方法，你能否在数轴上画出表示 ， … 课时A计划 课程总结 小结 勾股定理的应用 用勾股定理解决点的距离及路径最短问题 折叠问题 用勾股定理解决实际问题 用勾股定理在数轴上表示无理数 课时A计划 课后作业 课程总结 课时A计划对应章节. 课时A计划 $$