18.1 第1课时 勾股定理-【木牍教育】2024-2025学年八年级数学下册同步教学优质课件（沪科版）

数 学 HK 八年级 下册 木牍教育-教学设计中心 制作 ※ 建议使用WPS2019打开。 18.1 勾股定理 沪科版八年级下册 第十八章 课程讲授 课程导入 习题解析 课堂总结 第一课时 勾股定理 前 言 学习目标及重难点 1.探索直角三角形三边关系，了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容.(重点） 2.会用勾股定理求直角三角形的边长.（重点、难点） 课时A计划 这是2002年在北京召开的世界数学家大会的会徽. 这个会徽是以我国古代数学家赵爽为证明勾股定理所作的“弦图”为原型设计的，被称为“赵爽弦图”． 课程导入 课时A计划 勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这关系，下面让我们一起来通过视频来了解吧. 课程导入 课时A计划 相传2500多年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来探索下图形中蕴含哪些关系？ 课程讲授 新课推进 探索1：勾股定理的认识 A B C 问题1 试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？ 课时A计划 A B C 问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？ 一直角边2 另一直角边2 斜边2 + = 课程讲授 新课推进 课时A计划 在行距、列距都是1的方格网中，任意作出几个以格点为顶点的直角三角形，分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形，如图.并以 S1， S2与S3分别表示几个正方形的面积. 课程讲授 新课推进 探究 课时A计划 ┐ b a c S1 S2 S3 (1) 观察图(1)，并填写: S1=_______个单位面积； S2=_______个单位面积； S3=_______个单位面积. 9 9 18 课程讲授 新课推进 怎样得到正方形S3的面积？ 4××3×3)=18 S3= 正方形面积间的关系： S1+S2=S3 课时A计划 ┐ b a c S1 S2 S3 (2) 观察图(2)，并填写: S1=_______个单位面积； S2=_______个单位面积； S3=_______个单位面积. 9 16 25 课程讲授 新课推进 怎样得到正方形S3的面积？ 4××4×3)+1=25 S3= 正方形面积间的关系： S1+S2=S3 课时A计划 图 (1)，(2)中三个正方形面积之间有怎样的关系， 用它们的边长表示，是____________. a2+b2=c2 课程讲授 新课推进 设：直角三角形的三边长分别是a、b、c SA+SB=SC a2+b2=c2 ┐ b a c S1 S2 S3 课时A计划 通过上面的探究，你能发现直角三角形三边的长之间有怎样的关系吗？ 课程讲授 新课推进 勾股定理 直角三角形的两条直角边的平方和，等于斜边的平方； 在Rt△ABC中， ∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a， 则a2＋b2＝c2. 符号语言 a b c A B C 课时A计划 课程讲授 新课推进 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此，我们称上述定理为勾股定理，国外称为毕达哥拉斯定理. 勾 股 勾2+股2=弦2 弦 古代人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”. 在中国为什么叫“勾股定理”？ 思考 课时A计划 课程讲授 新课推进 证法1 赵爽弦图法. a b c b-a ∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2, ∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， 证明： 探索2：勾股定理的证明 命题 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 课时A计划 证法2 毕达哥拉斯证法. ∴a2+b2+2ab=c2+2ab， ∴a2 +b2 =c2. 证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab, S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4× ab+c2 =c2+2ab， 课程讲授 新课推进 a a a a b b b b c c c c 课时A计划 课程讲授 新课推进 证法3 “总统证法” a b c c ∴a2 + b2 = c2. 有没有觉得“总统证法”与“毕达哥拉斯证法”相似呢？ b a 课时A计划 课程讲授 新课推进 探索3：利用勾股定理进行计算 例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°. （1）若a=b=5,求c; （2）若a=1,c=2,求b. 解： (1)据勾股定理得 (2)据勾股定理得 C A B c b a 课时A计划 课程讲授 新课推进 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的 对边分别是a，b，c. (1)已知a＝b＝6，求c； (2)已知c＝3，b＝2，求a； (3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b. 例2 C A B b a c 课时A计划 解：(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6， ∴由勾股定理，得 (2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2， ∴由勾股定理，得 (3)∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，∴a＝2b. 又c＝5，由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52， 解得b＝ 课程讲授 新课推进 课时A计划 课程讲授 新课推进 2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 . 36 cm² 8 cm 10 cm 1.下列说法中,正确的是 （ ） A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2 B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2 D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2 C 随堂小练习 课时A计划 课程讲授 新课推进 3、求下列图中未知数x、y的值：（x、y均表示直角边） 解：由勾股定理可得 81+ 144=x2， 解得x=15. 解：由勾股定理可得 y2+ 144=169， 解得 y=5 课时A计划 　　通过这种方法，可以把一个正方形的面积分成若干　 个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一　 棵美丽的勾股树． 课程讲授 新课推进 课时A计划 习题解析 习题1 如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为( ) A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米 C ３ ４ C B A 课时A计划 习题2 习题解析 A、a<c<b B.a<b<c C、c<a<b D.c<b<a 1、如图，每个小正方形的边长为1，△ABC的三边a，b，c的大小关系是（ ）. A B C b c C 2、一个正方形的对角线为 ，则这个正方形的面积为（ ） A、 B. 32 C、64 D. C a 课时A计划 习题解析 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b.(1)若a∶b＝5∶12，c＝26，求△ABC的周长．(2)若∠A＝30°，b＝2 , 求△ABC的面积． 解：(1)∵Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝26，a∶b＝5∶12，∴设a＝5x，则b＝12x，∴(5x)2＋(12x)2＝262，解得x＝2(负值已舍去)，∴a＝10，b＝24，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝60. 习题3 a b c B A C 课时A计划 习题解析 (2)∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴c＝2a. 设a＝y，则c＝2y， ∴ 解得y＝2(负值已舍去)， ∴a＝2， ∴△ABC的面积为 a b c B A C 课时A计划 习题解析 解：∵AE＝BE， ∴S△ABE＝ AE·BE＝ AE2. 又∵AE2＋BE2＝AB2， ∴2AE2＝AB2， ∴S△ABE＝ AB2＝ ； 同理可得S△AHC＋S△BCF＝ AC2＋ BC2. 又∵AC2＋BC2＝AB2， ∴阴影部分的面积为 AB2＝ . 如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，求△ABE及阴影部分的面积. 拓展提升 课时A计划 勾 股 史 话 商高 《周髀算经》 我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中. 商高定理 数学史话 课时A计划 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们也发现了勾股定理，在国外人们通常称勾股定理为“毕达哥拉斯定理”.为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊发行了一张邮票，邮票上印有关于勾股定理证明的图案.相传，毕氏在发现这一定理时，曾宰牛百头，广设盛筵，以示庆贺. 百牛定理 数学史话 课时A计划 公元3世纪，我国汉代的数学家赵爽在注《周髀算经》中就给出了它的一个简明证法.他把“弦图”中的三角形涂上朱色，它的面积叫做“朱实”.四个这样的三角形围成一个正方形，中间留出一个小正方形空格，涂上黄色，其面积叫做“中黄实”或叫做“差实”.由此推出“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实.加差实，亦成弦实”.此证法在课中已经证明. 中黄实 朱实 赵爽弦图 数学史话 课时A计划 数学史话 总统证法 　　　　一个周末的傍晚，伽菲尔德突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4， 那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．” 课时A计划 数学史话 总统证法 a a b b c c 小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味． 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题．他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一证法称 为“总统”证法. 课时A计划 课程总结 小结 勾股定理 内容 注意 已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论 看清哪个角是直角 在直角三角形中 在Rt△ABC中，∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2. 课时A计划 课后作业 课程总结 课时A计划对应章节. 课时A计划 Lavf54.6.100 $$