17.2 第4课时 因式分解法-【木牍教育】2024-2025学年八年级数学下册同步教学优质课件（沪科版）

数 学 HK 八年级 下册 木牍教育-教学设计中心 制作 ※ 建议使用WPS2019打开。 17.2 一元二次方程的解法 沪科版八年级下册 第十七章 课程讲授 课程导入 习题解析 课堂总结 第四课时 因式分解法 前 言 学习目标及重难点 1.理解用因式分解法解方程的依据. 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点） 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点） 课时A计划 课程导入 1、前面学过了几种解一元二次方程的方法？ ① 直接开平方法 ② 配方法 ③ 公式法 2、对于任何一个一元二次方程总可以用 来求解？ 公式法 3、还记得解一元二次方程的求根公式吗？ 对于一元二次方程 ax2+bx+c＝0 （a≠0） （b2－4ac≥0） 课时A计划 课程导入 1、什么叫因式分解 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 2、因式分解的方法有哪些? ① 提取公因式法 : ② 公式法 : 十字相乘法 am+bm+cm= a2-b2= x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b) a2+2ab+b2= a2-2ab+b2= (a+b)(a-b) (a+b)2 (a-b)2 平方差公式 完全平方公式公式 m(a+b+c) 课时A计划 一个一元二次方程用公式法总可以求解.对于一些特殊的一元二次方程，还可以有别的解法吗. 如解一元二次方程： x2＝9 问：除了用直接开平方法，你还能用其它方法解吗？ 解： 开平方，得 x=±3 ∴ 原方程的根是 x1=3， x2=-3 课程讲授 新课推进 探索1：因式分解法 课时A计划 课程讲授 新课推进 如解一元二次方程： x2＝9 除了用直接开平方法外，还可以把它变形为 x2-9＝0 再将方程左边因式分解，得 (x-3)(x+3)＝0 如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0 ;反过来，如果两个因式中有一个等于0，那么它们的积就等于0. 即 ab=0 a=0 或 b=0 课时A计划 课程讲授 新课推进 这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法，叫做因式分解法. 1、利用因式分解法解一元二次方程的条件是 方程左边易于分解，右边等于零； 2、理论依据 如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0 ; 即 ab=0 a=0 或 b=0 注意： 课时A计划 因式分解法的基本步骤 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解. 简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 课程讲授 新课推进 课时A计划 课程讲授 新课推进 例1 (1) x2+3x=0 x+3＝0 移项，得 x＝-3 把方程两边同 除以x，得 解： ∴ 方程的解为 x＝-3. × 因为不能确定x是否等于0，当x=0时，两边就不能同时除以x. 解下列方程. 注意： 方程两边不能同时除以含有未知数的整式，否则会漏掉一个根. x (x+3)＝0 把方程左边因式分解，得 解： ∴ x＝0 或 x+3=0 ∴ x1=0， x2=-3 课时A计划 课程讲授 新课推进 用因式分解法解下列方程. 例2 x2－5x+6＝0 ∴ 把方程左边因式分解，得 (x-2)(x-3)＝0 x-2=0 解： 或 x-3=0 ∴ x1=2， x2=3 课时A计划 (x+4)(x-1)=6 ∴ 把方程左边因式分解，得 (x-2)(x+5)＝0 x-2=0 解： 或 x+5=0 ∴ x1=2， x2=-5 将原方程化为标准形式，得 x2+3x-10＝0 课程讲授 新课推进 用因式分解法解下列方程. 例3 课时A计划 课程讲授 新课推进 (x-5)(x-6)=x-5 用因式分解法解下列方程. ∴ 把方程左边因式分解，得 (x-5)(x-7)＝0 x-5=0 解： 或 x-7=0 ∴ x1=5， x2=7 移项，得 (x-5)(x-6)-(x-5)=0 注意：用因式分解法解一元二次方程时，不要急于将方程转化成一般形式，要结合方程的特点适当的变形，发现并提取公因式或运用公式，将方程化成两个因式的积的形式. 例4 课时A计划 课程讲授 新课推进 探索2：灵活选用方法解方程 用适当的方法解方程. 分析：该式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快. 分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法. 解：开平方,得 5x + 1 = ±1. 解得, x 1= 0 , x2= 例5 解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0. 即 3x-5 = 0 或 x + 5 = 0. (1) 3x(x + 5)= 5(x + 5)； (2)(5x + 1)2= 1； 课时A计划 课程讲授 新课推进 （4）3x2 = 4x + 1； 分析：二次项的系数为1，可用配方法来解题较快. 解：配方,得 x2 -12x + 62 = 4 + 62, 即 (x - 6)2 = 40. 开平方,得 x1= , x2= 分析：二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法. 解：化为一般形式 3x2 - 4x-1 = 0. ∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0, （3）x2 - 12x = 4 ; 课时A计划 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 填一填：各种一元二次方程的解法及适用类型. x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） (x+m)2＝n（n ≥ 0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0) (x + m)（x + n）＝0 小结 课程讲授 课时A计划 1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法； 4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单. 解法选择基本思路 小结 课程讲授 课时A计划 习题解析 习题1 ① x2-3x+1=0 ； ② 3x2-1=0 ； ③ -3t2+t=0 ； ④ x2-4x=2 ； ⑤ 2x2-x=0； ⑥ 5(m+2)2=8； ⑦ 3y2-y-1=0； ⑧ 2x2+4x-1=0；⑨ (x-2)2=2(x-2). 适合运用直接开平方法 ； 适合运用因式分解法 ； 适合运用公式法 ； 适合运用配方法 . 填空 ⑥ ① ③ ④ ⑤ ⑦ ⑧ ⑨ ② 课时A计划 习题解析 习题2 下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来. 解方程 (x-5)(x+2)=18. 解: 原方程化为 (x-5)(x+2)=18 . ① 由x-5=3, 得x=8; ② 由x+2=6, 得x=4; ③ 所以原方程的解为x1=8或 x2=4. 解: 原方程化为 x2 -3x -28= 0， (x-7)(x+4)=0， x1=7，x2=-4. 课时A计划 解：化为一般式为 因式分解，得 x2-2x+1 = 0. ( x-1 )( x-1 ) = 0. 有 x -1 = 0 或 x -1 = 0， x1=x2=1. 解：因式分解，得 ( 2x + 11 )( 2x- 11 ) = 0. 解方程 习题3 习题解析 有 2x + 11 = 0 或 2x -11= 0， x1=－, x2= 课时A计划 习题解析 习题4 如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？  解：设道路的宽为xm, 根据题意得 (35-x)(26-x)=850， 整理得 x2-61x+60=0. 解得 x1=60（不合题意，舍去）, x2=1. 答：道路的宽为1m. 因式分解得 (x-60)(x-1)=0， 课时A计划 习题解析 拓展提升 把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径． 解：设小圆形场地的半径为r， 根据题意 ( r + 5 )2×π=2πr2. 答：小圆形场地的半径是 解得 （舍去） 因式分解，得 (r+5+r)(r+5-r)=0 于是得 r-r+5=0 或 r+r+5=0 课时A计划 课程总结 小结 概念 因式分解法 步骤 简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 将方程左边因式分解，右边=0. 因式分解的方法有 ma+mb+mc=m(a+b+c); a2 ±2ab+b2=(a ±b)2； a2 -b2=(a +b)(a -b). 原理 如果a ·b=0，那么a=0或b=0. 课时A计划 课后作业 课程总结 课时A计划对应章节. 课时A计划 $$