17.2 第1课时 直接开平方法-【木牍教育】2024-2025学年八年级数学下册同步教学优质课件（沪科版）

数 学 HK 八年级 下册 木牍教育-教学设计中心 制作 ※ 建议使用WPS2019打开。 17.2 一元二次方程的解法 沪科版八年级下册 第十七章 课程讲授 课程导入 习题解析 课堂总结 第一课时 直接开平方法 前 言 学习目标及重难点 1.运用直接开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程. 2.掌握用直接开平方法解一元二次方程及解决有关问题.(重点) 课时A计划 课程导入 一元二次方程的概念 只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，这样的方程叫做一元二次方程.一般形式为ax²+bx+c=0 (a、b、c是任意实数，且a≠0) 2. 什么叫做平方根？ 如x²=a，则x是a的平方根，其中a≥0 课时A计划 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. (1) x2=4 (2) x2=0 (3) x2+1=0 解:根据平方根的意义，得 x1=2, x2=-2. 解:根据平方根的意义，得 x1=x2=0. 解:根据平方根的意义，得 x2=-1, ∵负数没有平方根，∴原方程无解. 课程讲授 新课推进 探索1：直接开平方法 课时A计划 以前我们实际上已解过一些特殊的一元二次方程，比如x²=9中x的值.它的解法，就是开平方，即 x = ± ，x = ±3 所以直接开平方就可求得x²=9的两个根 x1 = 3，x2 = –3. 一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义,可解得 , 这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. x1=x 课程讲授 新课推进 课时A计划 课程讲授 新课推进 (3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根. 一般的，对于可化为方程 x2 = p（常数） (I) (1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等 的实数根 x1=-,x2=; (2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 x1=x2=0; 课时A计划 课程讲授 新课推进 用直接开平方法解下列方程. (1) 16x2 -25=0 解： 移项，得 16x2=25 两边都除以16，得 x2= 开平方，得 x=± ∴ 原方程的根是 x1= ，x2=- 例1 将方程化成 (p≥0）的形式,再求解 x2=p 课时A计划 课程讲授 新课推进 解： ∴ 原方程的根是 移项，得 两边都除以2，得 x2= 开平方，得 2x2=1 x= x1= , x2= 注意：结果要化为最简二次根式 课时A计划 课程讲授 新课推进 思考：类比上面解方程的过程，你认为应怎样解下面的方程. 例2 即 x+3= 或 x+3= 解： 移项，得 开平方，得 ∴ 原方程的根是 (x+3)2=2 x+3=± x1=-3 ，x2=-3 将方程化成 (p≥0）的形式,再求解 （mx+n)2=p 课时A计划 直接开平方法的基本思想 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想.” 课程讲授 新课推进 课时A计划 课程讲授 新课推进 (1) (x-1)2-4 = 0 解： 移项，得 (x-1)2=4 开平方，得 x-1=±2 即 x-1=2 ∴ 原方程的根是 或 x-1=-2 x1=3， x2=-1 用直接开平方法解下列方程. 例3 (2) 3(3-2x)2-12 = 0 解： 3(3-2x)2=12 (3-2x)2=4 3-2x=±2 即 3-2x=2 或 3-2x=-2 ∴ x1=，x2= 课时A计划 课程讲授 新课推进 (3) (2x-1)2=(x-2)2 解： 2x-1=±(x-2) 即 2x-1=x-2 或 2x-1=-(x-2) ∴ x1=-1， x2=1 开平方，得 课时A计划 1、用直接开平方法可解哪些类型的一元二次方程 直接开平方法 降次 把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程. 我们把这种思想称为“降次转化思想.” 2、直接开平方法的基本思想 小结 课程讲授 课时A计划 3、用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤. 第三步 解一元一次方程，求出方程的根. 第二步 开平方，把一元二次方程转化成两个一元一次方程，也就是把二次降为一次； 第一步 把原方程化成 或 这种形式； (p≥0） 小结 课程讲授 课时A计划 课程讲授 新课推进 随堂小练习 (1) (4x- ）(4x+ )=3 用直接开平方法解下列方程. 解： (4x)2-()2=3 16x2-5=3 16x2=8 x2= , x=± ∴ x1= , x2= 课时A计划 课程讲授 新课推进 (2) (2x-1)2=(3+x)2 解： 2x-1=±(3+x) 即 2x-1=3+x 或 2x-1=-(3+x) ∴ x1=4，x2= 开平方，得 课时A计划 习题解析 习题1 若(a2+b2-3)2=25，求 a2+b2 的值. ∵ (a2+b2-3)2=25 解： ∴ a2+b2-3=±5 即 a2+b2-3=5 或 a2+b2-3=-5 ∴ a2+b2=8 或 a2+b2=-2 又∵ a2+b2≥0 ∴ a2+b2=8 课时A计划 习题解析 习题2 若一元二次方程 ax2=b ( ab>0 ) 的两个根分别是m+1与2m-4，求 的值. 解： ∵ m+1 与 2m-4 分别是一元二次方程 ax2=b ( ab>0 ) 的两个根. ∴ m+1 与 2m-4互为相反数 即 m+1 + 2m-4=0, 解得 m=1 ∴ 方程的两个根分别为 和 2m-4=-2 m+1=2 把 x=2 或 x=-2 代入ax2=b中，得 4a=b ∴ = 4 课时A计划 习题解析 习题3 m是方程 x2+x-1=0 的根，求 m3+2m2+2021的值. ∵ m是方程 x2+x-1=0 的一个根 解： ∴ m2+m-1=0 ∴ m2+m=1 ∴ m3+2m2+2021 = m3+m2+m2+2021 = m(m2+m)+m2+2021 = m+m2+2021 = 2022 = 1+2021 课时A计划 习题解析 拓展提升 已知实数a是一元二次方程 x2-2022x+1=0的一个根，求代数式 的值. ∵ 实数a是方程 x2-2022x+1=0 的一个根 解： ∴ a2-2022a+1=0 ∴ a2+1=2022a， ∴ a2-2022a=-1 = a-1-a =-1 a2－2021a－ = a－1－ a2－2021a－ 课时A计划 课程总结 小结 概念 直接开平方法 主要形式 利用平方根的定义求方程的根的方法 基本思想 降次转化思想 课时A计划 课后作业 课程总结 课时A计划对应章节. 课时A计划 $$