专题7.7 相交线与平行线单元提升卷-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（人教版2024）

第7章 相交线与平行线单元提升卷 【人教版2024】 考试时间：60分钟；满分：100分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 1． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（23-24七年级·山东菏泽·期末）如图，直线，相交于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（3分）（2024·河北·二模）下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A． B． C． D． 3．（3分）（23-24七年级·江苏镇江·期末）如图所示，下列说法错误的是(   ) A．∠A与∠1是同位角 B．∠3与∠1是同位角 C．∠2与∠3是内错角 D．∠A与∠C是同旁内角 4．（3分）（23-24七年级·辽宁丹东·期末）如图，下列条件：①；②；③；④中，能判断直线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（3分）（23-24七年级·云南曲靖·期末）如图，已知，直线分别与直线、交于点，，平分，交于，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（3分）（23-24七年级·湖北武汉·期末）如图所示，下列说法不正确的是　　 A．线段BD是点B到AD的垂线段 B．线段AD是点D到BC的垂线段 C．点C到AB的垂线段是线段AC D．点B到AC的垂线段是线段AB 7．（3分）（23-24七年级·浙江宁波·期中）如图，点为长方形边上的一点，连接，，与分别交于点和点，四边形的面积为，的面积为，的面积为，图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）（23-24七年级·黑龙江双鸭山·期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（3分）（23-24七年级·山西大同·阶段练习）如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、．，与在直线异侧．若，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，当时间t的值为（   ）时，与平行．（   ） A．4秒 B．10秒 C．40秒 D．4或40秒 10．（3分）（23-24七年级·安徽铜陵·期末）如图， 平分，下列结论： ①；②；③；④；⑤若，则， 其中正确结论的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24七年级·重庆九龙坡·期末）如图，直线和交于O点，平分于点，则 ． 12．（3分）（23-24七年级·湖南永州·期末）在同一平面内有2023条直线，，…，，如果，，，，……，以此类推，那么与的位置关系是 ． 13．（3分）（23-24七年级·安徽安庆·期末）在同一平面内，若与的两边分别平行，且比的3倍少，则的度数为 ． 14．（3分）（23-24七年级·河北邢台·期末）小明用一副三角板自制对顶角的“小仪器”，第一步固定直角三角板，并将边延长至点，第二步将另一块三角板的直角顶点与三角板的直角顶点重合，摆放成如图所示，延长至点，与就是一组对顶角，若，则 ，若重叠所成的，则的度数 ．    15．（3分）（23-24七年级·辽宁铁岭·期末）如图，直线与相交于点，在的平分线上有一点，，当时，的度数是 ． 16．（3分）（23-24七年级·浙江·期中）如图，，BC平分，设为，点E是射线BC上的一个动点，若，则的度数为 ．（用含的代数式表示）． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）（23-24七年级·浙江宁波·期末）如图，直线，相交于点，平分，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 18．（6分）（23-24七年级·全国·课后作业）已知：如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上例如：从起始位置跳到终点位置有两种不同路径，路径1：；路径2：. 试一试：（1）写出从起始位置跳到终点位置的一种路径； （2）从起始位置依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点位置？ 19．（8分）（23-24七年级·广东广州·期末）完成下面的证明： 如图，平分，平分，且． 求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（    ）． 又∵平分（    ）， ∴______（    ）． （    ）． 又∵（已知）， （______）（    ）． ∴（    ）． 20．（8分）（23-24七年级·云南玉溪·期末）如图，点D，E分别是三角形的边，上的点，连接，，点F是线段上一点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 21．（8分）（23-24七年级·广东广州·期末）如图，点O为直线AB上一点，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC． (1)求∠AOD的度数； (2)作射线OE，使∠BOE＝∠COE，求∠COE的度数； (3)在（2）的条件下，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，且∠DOF＝3∠BOH，直接写出∠AOH的度数． 22．（8分）（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，点O为上方一点，E、F为上两点，连接、，分别交于M、N两点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点G为上一点，连接，作垂足为H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长到点P，连接，若，，求的度数． 23．（8分）（23-24七年级·河南商丘·期末）已知∶ 平分 (1)如图①，试判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图②，当时，求的度数； (3)如图②，请你直接写出之间满足什么关系时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7章 相交线与平行线单元提升卷 【人教版2024】 参考答案与试题解析 1． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（23-24七年级·山东菏泽·期末）如图，直线，相交于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质和邻补角的性质，根据对顶角相等求出的度数，根据，求出，再由邻补角的性质求出的度数即可，掌握对顶角相等，邻补角之和等于是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：． 2．（3分）（2024·河北·二模）下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短等知识．熟练掌握两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短是解题． 【详解】解：由题意知，A中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意； B中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意； C中能用垂线段最短进行解释，符合题意； D中能用两点之间，线段最短进行解释，不符合题意； 故选：C． 3．（3分）（23-24七年级·江苏镇江·期末）如图所示，下列说法错误的是(   ) A．∠A与∠1是同位角 B．∠3与∠1是同位角 C．∠2与∠3是内错角 D．∠A与∠C是同旁内角 【答案】B 【详解】分析：根据同位角、内错角、同旁内角的定义，可得答案． 【解答】解：A、∠A与∠1是同位角，故A正确； B、∠1与∠3是同旁内角，故B错误； C、∠2与∠3是内错角，故C正确； D、∠3与∠B是同旁内角，故D正确； 故选B． 点睛：本题考查了同位角、内错角、同旁内角，根据定义解题是解题关键． 4．（3分）（23-24七年级·辽宁丹东·期末）如图，下列条件：①；②；③；④中，能判断直线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理依次判断即可，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键 【详解】解：∵，∴根据内错角相等两直线平行可得，故①符合题意； 不能证得，故②不符合题意； ∵，∴根据同位角相等两直线平行可得，故③符合题意； ∵，∴根据同旁内角互补两直线平行可得，故④符合题意； 故选：C 5．（3分）（23-24七年级·云南曲靖·期末）如图，已知，直线分别与直线、交于点，，平分，交于，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂线的定义、与角平分线有关的计算、平行线的性质，由平行线的性质得出，由角平分线的定义得出，再由平行线的性质得出，由垂线的定义得出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．（3分）（23-24七年级·湖北武汉·期末）如图所示，下列说法不正确的是　　 A．线段BD是点B到AD的垂线段 B．线段AD是点D到BC的垂线段 C．点C到AB的垂线段是线段AC D．点B到AC的垂线段是线段AB 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离的意义对各个选项一一判断即可得出答案． 【详解】解：A、线段BD是点B到AD的垂线段，故A正确； B、线段AD是点A到BC的垂线段，故B错误； C、点C到AB的垂线段是线段AC，故C正确； D、点B到AC的垂线段是线段AB，故D正确； 故选B． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离的意义是解题关键． 7．（3分）（23-24七年级·浙江宁波·期中）如图，点为长方形边上的一点，连接，，与分别交于点和点，四边形的面积为，的面积为，的面积为，图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线间距问题，三角形的面积等，根据平行线间间距处处相等结合三角形面积公式证明是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：． 8．（3分）（23-24七年级·黑龙江双鸭山·期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据平行线的性质得到，，然后由折叠的性质得到，，然后根据得到，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵沿，折叠，使点和点都落在点处， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴． 故选：C． 9．（3分）（23-24七年级·山西大同·阶段练习）如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、．，与在直线异侧．若，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，当时间t的值为（   ）时，与平行．（   ） A．4秒 B．10秒 C．40秒 D．4或40秒 【答案】D 【分析】分情况讨论：①与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解． 【详解】解：分三种情况： 如图①，与在的两侧时， ∵，， ∴，， 要使，则， 即， 解得； 此时， ∴； ②旋转到与都在的右侧时， ∵，， 要使，则， 即， 解得， 此时， ∴； ③旋转到与都在的左侧时， ∴，， 要使，则， 即， 解得， 此时， 而， ∴此情况不存在． 综上所述，当时间t的值为4秒或40秒时，与平行． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论． 10．（3分）（23-24七年级·安徽铜陵·期末）如图， 平分，下列结论： ①；②；③；④；⑤若，则， 其中正确结论的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等． 由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴，即，故②正确； ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； ∵，，，， ∴ ， ∵， ∴， 即，故④正确； ∵ ， ∴为定值，故④正确． 综上所述，正确的选项①②④⑤共4个， 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24七年级·重庆九龙坡·期末）如图，直线和交于O点，平分于点，则 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查相交线对顶角性质，角平分线定义，垂直定义，掌握对顶角性质，角平分线定义，垂直定义是解题关键． 根据对顶角性质可得．根据平分，可得，根据，得出，利用两角和得出即可． 【详解】解：∵、相交于点， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（3分）（23-24七年级·湖南永州·期末）在同一平面内有2023条直线，，…，，如果，，，，……，以此类推，那么与的位置关系是 ． 【答案】（或垂直） 【分析】根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵，，，，……， ∴，，，，，，，，……， ∴可推导一般性规律，4条直线的位置关系为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：（或垂直）． 【点睛】本题考查了平行线的判定．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． 13．（3分）（23-24七年级·安徽安庆·期末）在同一平面内，若与的两边分别平行，且比的3倍少，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，解题时注意：如果 一个角的两边分别和另一个角的两边分别平行，那么 这两个角相等或互补． 根据平行线性质得出①，②，再根据，分两种情况分别求出两个角的度数即可． 【详解】解：与的两边分别平行，，． 分三种情况： （1）如图1，与的两边都不相交， 延长交于，， ， ， ， ； （2）如图2，与的一条边相交， ， ， ， ， ； （3）如图3，与的两条边都相交， ， ， ， ， ． 综上可得①或②， 比的3倍少， ③，把③代入①得：， 解得，； 把③代入②得：， 解得， 故答案为：或． 14．（3分）（23-24七年级·河北邢台·期末）小明用一副三角板自制对顶角的“小仪器”，第一步固定直角三角板，并将边延长至点，第二步将另一块三角板的直角顶点与三角板的直角顶点重合，摆放成如图所示，延长至点，与就是一组对顶角，若，则 ，若重叠所成的，则的度数 ．    【答案】 30° 180°－n° 【分析】（1）根据对顶角相等，可得答案； （2）根据角的和差，可得答案． 【详解】解：（1）若∠ACF=30°，则∠PCD=30°，理由是对顶角相等． （2）由角的和差，得∠ACD+∠BCE=∠ACB+∠BCD+∠BCE=∠ACB+∠DCE=180°， ∴∠ACD=180°-∠BCE=180°-n°． 故答案为：30°，180°－n°． 【点睛】本题考查了对顶角的性质、角的和差，由图形得到各角之间的数量关系是解答本题的关键． 15．（3分）（23-24七年级·辽宁铁岭·期末）如图，直线与相交于点，在的平分线上有一点，，当时，的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查平行线的性质，邻补角定义及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，先利用邻补角求得，进而根据角平分线定义得，进而根据平行线的性质即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16．（3分）（23-24七年级·浙江·期中）如图，，BC平分，设为，点E是射线BC上的一个动点，若，则的度数为 ．（用含的代数式表示）． 【答案】或 【分析】根据题意可分两种情况，①若点运动到上方，根据平行线的性质由可计算出的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出的度数，再由，，列出等量关系求解即可得出结论；②若点运动到下方，根据平行线的性质由可计算出的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出的度数，再由，列出等量关系求解即可得出结论． 【详解】解：如图，若点E运动到l1上方， ， ， 平分， ， ， 又， ， ， 解得； 如图，若点E运动到l1下方， ， ， 平分， ， ， 又， ， ， 解得． 综上的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质，两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等，合理应用平行线的性质是解决本题的关键． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）（23-24七年级·浙江宁波·期末）如图，直线，相交于点，平分，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，对顶角相等，角平分线的定义，采用数形结合的思想，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线定义得到，，即可得到答案； （2）由平角定义得到，由对顶角的性质得到，由角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】（1）解： 平分，平分， ，， ， ； （2）解： ，， ， ， 平分， ， ． 18．（6分）（23-24七年级·全国·课后作业）已知：如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上例如：从起始位置跳到终点位置有两种不同路径，路径1：；路径2：. 试一试：（1）写出从起始位置跳到终点位置的一种路径； （2）从起始位置依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点位置？ 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）能跳到终点位置.其路径为 （答案不唯一） 【分析】（1）根据同旁内角、内错角和同位角的定义进行选择路径即可； （2）先判断能够到达终点位置，在根据定义给出具体路径即可. 【详解】（1）可以是这样的路径：.（答案不唯一） （2）从起始位置依次按同位角内错角同旁内角的顺序跳，能跳到终点位置.其路径为 （答案不唯一）. 【点睛】本题考查的是同位角、内错角和同旁内角的定义，熟知这些角的特征是解题的关键. 19．（8分）（23-24七年级·广东广州·期末）完成下面的证明： 如图，平分，平分，且． 求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（    ）． 又∵平分（    ）， ∴______（    ）． （    ）． 又∵（已知）， （______）（    ）． ∴（    ）． 【答案】角平分线的定义；已知；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，角平分线定义，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两直线平行，进行作答即可． 【详解】证明：∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∴（等量代换）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 20．（8分）（23-24七年级·云南玉溪·期末）如图，点D，E分别是三角形的边，上的点，连接，，点F是线段上一点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，垂直的定义，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由得到，然后等量代换得到，然后根据平行线的判定定理求解即可； （2）首先根据垂直的定义得到，然后根据平行线的性质得到，然后求出，然后就平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 21．（8分）（23-24七年级·广东广州·期末）如图，点O为直线AB上一点，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC． (1)求∠AOD的度数； (2)作射线OE，使∠BOE＝∠COE，求∠COE的度数； (3)在（2）的条件下，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，且∠DOF＝3∠BOH，直接写出∠AOH的度数． 【答案】(1)70° (2)24°或120° (3)175°或170°或140° 【分析】（1）根据平角定义和角平分线定义即可得结果； （2）根据题意分两种情况画图：①如图1，当射线OE在AB上方时，②如图2，当射线OE在AB下方时，∠BOE＝∠COE，利用角的和差进行计算即可； （3）根据题意分四种情况画图：①如图3，当射线OE在AB上方，OF在AB上方时，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，∠DOF＝3∠BOH，②如图4，当射线OE在AB上方，OF在AB下方时，③如图5，当射线OE在AB下方，OF在AB上方时，④如图6，当射线OE在AB下方，OF在AB下方时，利用角的和差进行计算即可． 【详解】（1）解：∵∠BOC＝40°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝140°， ∵OD平分∠AOC， ∴∠AOD＝∠AOC＝70°； （2）解：①如图1，当射线OE在AB上方时，∠BOE＝∠COE， ∵∠BOE＋∠COE＝∠BOC， ∴∠COE＋∠COE＝40°， ∴∠COE＝24°； ②如图2，当射线OE在AB下方时，∠BOE＝∠COE， ∵∠COE﹣∠BOE＝∠BOC， ∴∠COE﹣∠COE＝40°， ∴∠COE＝120°； 综上所述：∠COE的度数为24°或120°； （3）解：①如图3，当射线OE在AB上方，OF在AB上方时， 作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，∠DOF＝3∠BOH， 设∠BOH＝x°，则∠DOF＝3x°，∠FOC＝∠COD﹣∠DOF＝70°﹣3x°， ∵∠AOH＝∠AOD＋∠DOF＋∠FOH＝70°＋3x°＋90°＝160°＋3x°， ∠EOH＝∠BOC﹣∠COE﹣∠BOH＝40°﹣24°﹣x°＝16°﹣x°， ∴∠FOH＝∠FOC＋∠COE＋∠EOH＝70°﹣3x°＋24°＋16°﹣x°＝90°， ∴x°＝5°， ∴∠AOH＝160°＋3x°＝175°； ②如图4，当射线OE在AB上方，OF在AB下方时， ∵∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝3x°﹣70°， ∠BOF＝∠FOH﹣∠BOH＝90°﹣x°， ∠AOF＋∠BOF＝180°， ∴3x°﹣70°＋90°﹣x°＝180°， 解得x°＝80°， ∵∠COB＝40°， ∵80°＞40°， ∴x°＝80°不符合题意舍去； ③如图5，当射线OE在AB下方，OF在AB上方时， ∵∠AOF＝∠DOF＋∠AOD＝3x°＋70°， ∠BOF＝∠FOH﹣∠BOH＝90°﹣x°， ∠AOF＋∠BOF＝180°， ∴3x°＋70°＋90°﹣x°＝180°， 解得x°＝10°， ∴∠AOH＝180°﹣∠BOH＝180°﹣x°＝170°； ④如图6，当射线OE在AB下方，OF在AB下方时， ∵∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝3x°﹣70°， ∠BOF＝∠FOH＋∠BOH＝90°＋x°， ∠AOF＋∠BOF＝180°， ∴3x°﹣70°＋90°＋x°＝180°， 解得x°＝40°， ∴∠AOH＝∠AOF＋∠FOH＝50°＋90°＝140°， 综上所述：∠AOH的度数为175°或170°或140°． 【点睛】本题考查了角的计算，解决本题的关键是分情况画图讨论． 22．（8分）（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，点O为上方一点，E、F为上两点，连接、，分别交于M、N两点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点G为上一点，连接，作垂足为H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长到点P，连接，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是： （1）过点O作，根据平行线的判定和性质，结合垂线的定义求证即可； （2）根据同位角相等证明，根据内错角相等证明即可； （3）作，根据平行线的判定和性质，结合角的比值求解即可． 【详解】（1）证明：过点O作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 作， ∴，， ∴． 23．（8分）（23-24七年级·河南商丘·期末）已知∶ 平分 (1)如图①，试判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图②，当时，求的度数； (3)如图②，请你直接写出之间满足什么关系时，． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据推出，进而得出，再根据角的和差关系、角平分线的定义推出，可证； （2）仿照（1）求出，再根据，推出，根据即可求解； （3）根据推出，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， 平分， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ， 平分， ， ， ，， ， ， ； （3）解：当时，，理由如下： ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 当时，， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线的综合问题，掌握平行线的性质以及判定定理、角平分线的定义、角的和差关系是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$