专题16.5 二次根式的加减（3大知识点5大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题16.5 二次根式的加减（3大知识点5大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】同类二次根式 1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 【要点提示】 　　（1）判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同； 　　（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 2.合并同类二次根式 　　合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.（合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似） 【要点提示】 　　（1）根号外面的因式就是这个根式的系数； 　　（2）二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式. 【知识点2】二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其 中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 【要点提示】 （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 　　（1）将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 　　（2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 　　（3）合并同类二次根式. 【知识点3】二次根式的混合运算 　　二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 【要点提示】 　　（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； 　　（2）在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； 　　（3）二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 第一部分【题型目录】 考点与题型目录 【考点一】概念理解 【题型1】同类二次根式.......................................................2 【题型2】分母有理化.........................................................3 【考点二】二次根式的加减运算 【题型3】二次根式的加减运算.................................................4 【题型4】二次根式的混合运算.................................................4 【考点三】二次根式的化简求值 【题型5】已知字母的值,化简求值..............................................4 【题型6】已知条件式,化简求值................................................4 【考点四】二次根式的大小比较与应用 【题型7】比较二次根式的大小.................................................5 【题型8】二次根式的应用.....................................................5 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型9】直通中考...........................................................6 【题型10】拓展延伸..........................................................6 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】同类二次根式 【例1】（23-24八年级下·陕西安康·期末）定义：若两个二次根式m、n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的和谐二次根式．已知最简二次根式与可以合并，请问的算术平方根与是关于4的和谐二次根式吗？并说明理由． 【变式1】（19-20八年级上·上海松江·期末）在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2】（24-25八年级上·四川甘孜·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【题型2】分母有理化 【例2】（24-25八年级上·四川·期中）阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的： 已知，求的值． 他是这样分析与解的：， ，， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）若，求值． （2）化简：. 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）若，则的值是（   ） A． B． C． D．或 【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）不等式的解集是 ． 【题型3】二次根式的加减运算 【例3】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）计算： （1） （2） 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）计算： （1） （2） 【变式2】（24-25八年级上·四川达州·期中）计算： （1） （2） 【题型4】二次根式的混合运算 【例4】（24-25八年级上·全国·期末）计算： （1） （2） 【变式1】（24-25八年级上·山东济南·期中）计算： （1） （2） 【变式2】（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）计算： （1） （2） 【题型5】已知字母的值,化简求值 【例5】（23-24八年级下·全国·期末）已知，求 的值 【变式1】（24-25九年级上·河南开封·期中）已知，则代数式的值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·期中）已知，则代数式的值是 ． 【题型6】已知条件式,化简求值 【例6】（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知：，，求：的值． 【变式1】（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·北京·期中）利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作：例如：时，移项得，两边平方得，所以，即得到整系数方程：． 仿照上述操作方法，完成下面的问题： 当时， ①得到的整系数方程为 ； ②计算： ． 【题型7】比较二次根式的大小 【例7】（23-24八年级下·河南省直辖县级单位·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方，，，则， 请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较，大小，　　　　（填写，或者） （2）猜想，之间的大小关系，并证明． 【变式1】（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）比较大小： 【题型8】二次根式的应用 【例8】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，张大伯家有一块大长方形空地，长方形空地的长为宽为现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为宽为 （1）求大长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） （2）张大伯种植的蔬菜每平方米产量为15千克，求张大伯种植蔬菜的总产量． 【变式1】（24-25八年级上·广东佛山·期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知a是正实数，则的最小值等于 ． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型9】直通中考 【例1】（2024·上海·中考真题）计算：． 【例2】（2023·江苏·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【题型10】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【例2】（23-24八年级下·北京·期中）读取表格信息，解决问题． … … … … （1）计算：_________；__________； （2）满足的可以取得的最小整数是_____． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16.5 二次根式的加减（3大知识点5大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】同类二次根式 1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 【要点提示】 　　（1）判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同； 　　（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 2.合并同类二次根式 　　合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.（合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似） 【要点提示】 　　（1）根号外面的因式就是这个根式的系数； 　　（2）二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式. 【知识点2】二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其 中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 【要点提示】 （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 　　（1）将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 　　（2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 　　（3）合并同类二次根式. 【知识点3】二次根式的混合运算 　　二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 【要点提示】 　　（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； 　　（2）在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； 　　（3）二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 第一部分【题型目录】 考点与题型目录 【考点一】概念理解 【题型1】同类二次根式.......................................................1 【题型2】分母有理化.........................................................4 【考点二】二次根式的加减运算 【题型3】二次根式的加减运算.................................................6 【题型4】二次根式的混合运算.................................................7 【考点三】二次根式的化简求值 【题型5】已知字母的值,化简求值..............................................9 【题型6】已知条件式,化简求值...............................................10 【考点四】二次根式的大小比较与应用 【题型7】比较二次根式的大小................................................12 【题型8】二次根式的应用....................................................14 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型9】直通中考..........................................................16 【题型10】拓展延伸.........................................................17 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】同类二次根式 【例1】（23-24八年级下·陕西安康·期末）定义：若两个二次根式m、n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的和谐二次根式．已知最简二次根式与可以合并，请问的算术平方根与是关于4的和谐二次根式吗？并说明理由． 【答案】的算术平方根与是关于4的和谐二次根式，理由见分析 【分析】本题主要考查了最简二次根式、算术平方根、二次根式的乘法运算等知识点，理解和谐二次根式的定义是解题的关键． 先根据最简二次根式的定义求得a的值，然后求得a的算术平方根，最后根据和谐二次根式的定义判断即可． 解：的算术平方根与是关于4的和谐二次根式，理由如下： ∵最简二次根式与可以合并， ∴，即， ∴的算术平方根为， ∵， ∴的算术平方根与是关于4的和谐二次根式． 【变式1】（19-20八年级上·上海松江·期末）在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的化简，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据二次根式的性质化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 解：、，故和不是同类二次根式，不符合题意； B、，故和是同类二次根式，符合题意；     C、，故和不是同类二次根式，不符合题意； D、和不是同类二次根式，不符合题意；     故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·四川甘孜·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，化简二次根式，根据同类二次根式的定义可得出，求解即可． 解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：． 【题型2】分母有理化 【例2】（24-25八年级上·四川·期中）阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的： 已知，求的值． 他是这样分析与解的：， ，， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）若，求值． （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查分母有理化及乘法公式，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给方法可进行求解； （2）先分母有理化，再根据相互抵消计算． 解：（1）解：∵； ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：原式 ． 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）若，则的值是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，代数式求值，解题的关键是根据题意得到．先求得，代入，再根据二次根式分母有理化，即可． 解：∵， ∴， ∴ ． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式以及分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． 不等式移项，然后合并同类项，系数化为1，利用分母有理化求解即可． 解：， 移项得：， 解得． 故答案为：． 【题型3】二次根式的加减运算 【例3】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算． （1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可； （2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，实数的混合运算，二次根式的加减运算； （1）先化简绝对值，二次根式，计算乘方，负整数指数幂，再合并即可； （2）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（24-25八年级上·四川达州·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2）7 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先去绝对值，化简二次根式及立方根，再合并同类二次根式即可． 解：（1）解： （2）解： 【题型4】二次根式的混合运算 【例4】（24-25八年级上·全国·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据完全平方公式，平方差公式，化简绝对值进行计算即可求解； （2）根据二次根式的除法以及二次根式的性质化简，进而即可求解． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25八年级上·山东济南·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算． （1）利用二次根式性质先化简，先计算二次根式的除法，再根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式先化简，再根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，乘法公式的应用； （1）先依次计算二次根式的除法与乘法，再合并同类二次根式即可； （2）利用平方差公式与完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可． 解：（1）解： ． （2）解：， ， ， ． 【题型5】已知字母的值,化简求值 【例5】（23-24八年级下·全国·期末）已知，求 的值 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用乘法公式进行整体代入是解题关键． 首先化简得到，，然后求出，，然后代入求解即可． 解：， ， ∴，， ． 【变式1】（24-25九年级上·河南开封·期中）已知，则代数式的值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键． 先把化成，再把代入计算即可． 解：， 当时，原式． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·期中）已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，完全平方公式的应用，代数式求值，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．将代数式变形为，再将代入求值即可． 解：， 将代入得， ． 故答案为：． 【题型6】已知条件式,化简求值 【例6】（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知：，，求：的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，先分母有理化得到，，再求出，，再根据进行求解即可． 解：∵，， ∴，， ∴，， ∴ ． 【变式1】（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据推出，再将化为，最后代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 解：∵， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴值为． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·北京·期中）利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作：例如：时，移项得，两边平方得，所以，即得到整系数方程：． 仿照上述操作方法，完成下面的问题： 当时， ①得到的整系数方程为 ； ②计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． ①根据已知可得，然后利用完全平方公式进行计算即可解答； ②利用①的结论可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 解：①， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴得到的整系数方程为：， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【题型7】比较二次根式的大小 【例7】（23-24八年级下·河南省直辖县级单位·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方，，，则， 请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较，大小，　　　　（填写，或者） （2）猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】（1）；（2），证明见分析 【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键： （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用平方法进行比较即可． 解：（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：猜想，理由如下： ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用二次根式性质比较大小，去绝对值运算，先由二次根式性质比较，再由绝对值的意义去绝对值即可得到答案，熟记利用二次根式性质比较大小，去绝对值运算是解决问题的关键． 解：，，且， ，则， ， ， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）比较大小： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的大小比较，利用二次根式的性质将根号外的系数转入根号内是解题的关键． 利用二次根式的性质将和变形，再比较大小． 解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型8】二次根式的应用 【例8】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，张大伯家有一块大长方形空地，长方形空地的长为宽为现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为宽为 （1）求大长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） （2）张大伯种植的蔬菜每平方米产量为15千克，求张大伯种植蔬菜的总产量． 【答案】（1）；（2）585千克 【分析】本题考查二次根式的应用，理解题意，正确列式是解答的关键． （1）根据长方形的周长公式，结合二次根式的性质化简求解即可； （2）先由大长方形的面积减去养鸡场的面积得到种植蔬菜的面积，进而乘以每平方米的产量即可求解． 解：（1）解：由题意，大长方形空地的周长为 ， 答：大长方形空地的周长为； （2）解：由题意，种植蔬菜的面积为 ， ∴（千克）， ∴张大伯种植蔬菜的总产量为585千克． 【变式1】（24-25八年级上·广东佛山·期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的应用．根据题目中的面积公式可以求得的三边长分别为，，的面积，从而可以解答本题． 解：∵，且的三边长分别为，，， ，，， ∴的面积为： ， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知a是正实数，则的最小值等于 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算的应用．把原式变形为，利用非负数的性质和不等式的性质进行分析即可． 解：∵a是正实数， ∴， ∵， ∴（当且仅当时取“”）． ∴． ∴的最小值等于． 故答案为：． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型9】直通中考 【例1】（2024·上海·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，二次根式，零指数幂等，掌握化简法则是解题的关键．先化简绝对值，二次根式，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算． 解： ． 【例2】（2023·江苏·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先将括号内式子通分，变分式除法为乘法，约分化简，再将代入求值． 解： ， 将代入，得： 原式． 【点拨】本题考查分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是掌握分式的运算法则． 【题型10】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）； （6） 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，再进行乘法运算，然后合并同类二次根式即可； （3）先分母有理化，再合并同类二次根式即可； （4）先计算括号内，再进行除法运算即可； （5）先计算括号内，再进行除法运算即可； （6）根据乘除运算法则进行计算即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 【例2】（23-24八年级下·北京·期中）读取表格信息，解决问题． … … … … （1）计算：_________；__________； （2）满足的可以取得的最小整数是_____． 【答案】（1）；；（2）6 【分析】本题主要考查数字的变化规律和实数的运算及解不等式的能力，二次根式的加法、乘法运算，根据表格数据发现的规律是关键． （1）根据表格中的数据确定出，的值即可； （2）根据表格中数据得出，代入不等式计算可得的取值范围． 解：（1）解：根据表格中的数据得：； ， ∴, 故答案为：；． （2）解：， ， ， 又， ∴ 解得：， 可以取得最小正整数是6, 故答案为：6． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$