专题9.3 图形的旋转（专项练习）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题9.3 图形的旋转（专项练习） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（2024七年级上·全国·专题练习）“飞流直下三千尺”、“坐地日行八万里（只考虑地球自转）”如果只从数学角度看，它们分别蕴含的图形变换是（    ） A．平移、对称 B．对称、旋转 C．平移、旋转 D．旋转、对称 2．（24-25九年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，将线段绕原点按顺时针方向旋转，得线段，若点，点，点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东临沂·一模）如图，在同一平面内，将绕点 A 旋转得到，使得，已知， 则（   ）    A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河北保定·期中）观察图中尺规作图的痕迹，可知要与 重合，需绕点A逆时针旋转（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·云南·期末）如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2025次旋转后，顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（2023·陕西西安·模拟预测）直线交轴于，交轴于，直线绕原点旋转180度后的直线解析式为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23九年级上·贵州黔东南·期中）如图，点是等边三角形内一点，若，，，则（　　） A． B． C． D． 8．（2024·四川广元·二模）如图，在等边三角形中，D是边上的中点，．将绕点C顺时针旋转，得到，连接，，当时，的大小是 （    ）                              A．60°或90° B．90°或120° C．60°或300° D．120°或150° 9．（23-24九年级上·河南新乡·期中）如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C． D． 10．（2024·山西运城·一模）如图，等边的边长为，动点D从点B出发，在线段上运动，以为边作，其中，，则在点D从点B开始移动至点C的过程中，点E移动的路径长为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）如图，一块含角的直角三角板绕点C顺时针旋转到，当B，C，在一条直线上时，三角板的旋转角度为 ． 12．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，绕点A按逆时针方向旋转后与重合，则 ． 13．（24-25九年级上·宁夏固原·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，将绕坐标原点O逆时针转至，则点的坐标是 ． 14．（24-25八年级上·上海·阶段练习）在等边中，，点O在上，且，点P是上一动点，连接，将线段绕点O逆时针旋转得到线段．要使点D恰好落在边上，则的长是 ． 15．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，将直线绕点顺时针旋转，则旋转后的直线函数表达式为 ． 16．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，则点到的距离是 ． 17．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图是由两块完全相同的三角板组成的等腰三角形，，，将其中一块三角板绕着点按顺时针方向旋转（）得到．若，则= ． 18．（22-23九年级上·河北衡水·期中）如图，中，，，O为中点，将绕着点O逆时针旋转至，（1）当时， ；（2）当恰为轴对称图形时，的值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，将逆时针旋转一定角度后得到，点D恰好为的中点． （1）若，指出旋转中心，并求出旋转角度； （2）若，求的长． 20．（本小题满分8分）（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，将绕点A逆时针旋转一个角度，得到， （1）求证：平分； （2）若，求旋转角的度数． 21．（本小题满分10分）（22-23八年级上·江苏无锡·期中）已知是等腰直角三角形，，点D是平面内任意一点，绕着点C逆时针旋转到． （1）如图①，若D为内一点，求证：； （2）如图②，若D为边上一点，，求的长． 22．（本小题满分10分）（21-22九年级上·吉林通化·期末）如图，中，，，点、在边上，，将绕点顺时针旋转得． （1）求证：； （2）连接，求证：； （3）若，，则______，四边形的面积＝______． 23．（本小题满分10分）（23-24九年级上·辽宁大连·期中）将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形． （1）如图，当点E在上时． ①若，则_____________°； ②求证：； （2） 探究：当为何值时，？请你画出图形，并说明理由 24．（本小题满分12分）（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点． （1）线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____； （2）如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； （3）将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D B A A C C B D 1．C 【分析】本题考查学生对平移和旋转的理解能力．要理解：“飞流直下三千尺”是指水的平移关系；“坐地日行八万里”是指人绕地心旋转．根据平移和旋转定义来判断． 解：根据平移和旋转定义可知：“飞流直下三千尺”是平移，“坐地日行八万里”是旋转． 故本题选：C． 2．C 【分析】本题考查作图旋转变换，根据旋转的性质作图，即可得出点的坐标． 解：如图，可得， 故选：C． 3．D 【分析】此题主要考查了旋转的性质以及平行线的性质，等腰三角形的性质，由，先证，然后由，得到，再进一步即可解决问题． 解：由题意得：， ； ∵， ， ； ， ， ∴， 故选：D． 4．B 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，由作图可知，，得到，均为等边三角形，进而得到，即可． 解：由作图可知：， ∴，均为等边三角形， ∴， ∵要与 重合， ∴旋转角度为； 故选B． 5．A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标内坐标的变化规律，旋转的性质；连接，先求出点D的坐标，根据变化特点可知6次一个循环，由，推导出经过2025次旋转后，顶点D的坐标与第三次旋转得到的的坐标相同，由此可解答． 解：连接， 在正六边形中，， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点． ∵将正六边形绕原点O顺时针旋转，每次旋转， ∴6次一个循环． ∵， ∴经过第2025次循环后，顶点D的坐标与第三次旋转得到的的坐标相同． ∵点D与关于原点对称， ∴， ∴经过2025次旋转后，顶点D的坐标是． 故选：A． 6．A 【分析】先求得，的坐标，再求得，绕原点旋转180度后的坐标，利用待定系数法求解即可． 解：直线交轴于，交轴于， 当时，，当时，， ，， ，绕原点旋转180度后的坐标为，， 设旋转后的直线解析式为，则， 解得：， 旋转后的直线解析式为， 故选：A． 【点拨】本题考查了一次函数的图象与几何变换，明确关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 7．C 【分析】将绕点逆时针旋转得，连接，根据旋转的性质得，，则为等边三角形，得到，根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得到的度数． 解：∵为等边三角形， ∴， 如下图，将绕点逆时针旋转得，连接，则， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．C 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理的逆定理等知识．利用勾股定理的逆定理证明，分两种情形分别求解即可． 解：设，则，，， ， ， ①如图中，当点在的中点时，满足条件，此时；    ②如图中，当点落在的中点时，满足条件，此时．    综上所述，满足条件的的值为或． 故选：C． 9．B 【分析】取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H，在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，的度数，再根据线段的中点定义可得，从而可得，然后利用旋转的性质可得：，，从而利用等式的性质可得，进而利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短，即可解答． 解：取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H， ∴， ∵，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 由旋转得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，即当点E和点H重合时，有最小值，且最小值为2.5， ∴长的最小值是2.5， 故选：B． 【点拨】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 10．D 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，将绕点旋转90度，得到，连接，证明，得到，进而得到点在射线上运动，进行求解即可． 解：将绕点旋转90度，得到，连接，则：，，    ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵等边边长为6， ∴，， ∴， ∴到点在射线上运动， 当点与点重合时，点与点重合， 当点与点重合时，如图，此时，    ∴点运动的路径为的长， ∵， ∴此时为等边三角形， ∴； 故选D． 11．/150度 【分析】此题主要考查了旋转的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，正确得出对应边是解题关键．直接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案． 解：∵将一块含角的直角三角板绕点C顺时针旋转到， ∴与是对应边， ∴旋转角． 故答案为：． 12．/62度 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟知旋转角的定义与旋转后对应边相等是解题的关键． 根据旋转的性质知，，然后利用三角形内角和定理进行求解． 解：∵绕点按逆时针方向旋转后与重合， ∴，， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，解题的关键在于利用辅助线构造全等三角形．过点作轴于点，过点作轴于点，证明，得到，，即可求出点的坐标． 解：过点作轴于点，过点作轴于点， 由题知，，， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ， ， ，， 点的坐标是． 故答案为：． 14．6 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定． 先利用旋转的性质得，再根据平角的定义得到，接着根据等边三角形的性质得，所以，于是得到，则可利用“”判断，所以． 解：如图， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，要使点恰好落在边上， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ， ， ， 在和中 ， ∴， ， 而， ， 故答案为：6． 15． 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，一次函数的性质等知识，先求出A、B的坐标，然后根据旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质求出A、B的对应点，的坐标，最后根据待定系数法求解即可． 解：如图，设直线绕点顺时针旋转后，A、B的对应点为，，连接，，，， 当时，，解得， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴，， ∵旋转， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，O，A三点在同一条直线上， ∵，， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴， 即旋转后的直线函数表达式为， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了图形的旋转、直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半．解决本题的关键是作辅助线构造一个含角的直角三角形，然后再利用直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半求解． 解：如下图所示 连接，过点作于点， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 在中，， 点到的距离是． 故答案为： ． 17．或 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，图形的旋转．根据题意得，推出再分两种情况讨论即可． 解：根据题意得，，，， ，， ∴， 解得：，负值舍去， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， 当在右侧时，， 当在左侧时，． 故答案为：或． 18． 40° 50°或65°或80° 【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边中线的性质得到，然后结合旋转的性质得到，然后根据外角的性质得到，进而求解即可； （2）如图1，连接，根据直角三角形的判定和性质得到，当时，得到，推出垂直平分，求得，于是得到，当时，如图2，连接并延长交于H，根据线段垂直平分线的性质得到垂直平分，求得，根据等腰三角形的性质得到，当时，如图3，连接并延长交于G，连接，推出垂直平分，得到，根据三角形的内角和得到． 解：（1）连接， ∵中，O为中点 ∴ ∵将绕着点O逆时针旋转至 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）∵恰为轴对称图形， ∴是等腰三角形， 如图1，连接， ∵O为斜边中点，， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴； 当时，如图2，连接并延长交于H， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图3， 连接并延长交于G，连接， ∵，O为斜边中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 综上所述：当恰为轴对称图形时，θ的值为50°或65°或80°， 故答案为：50°或65°或80°． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识的综合运用，熟练的运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决问题的关键． 19．（1）旋转中心为点C，旋转角度为；（2）3 【分析】本题主要考查了图形的旋转．熟练掌握旋转的定义和性质，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，可知旋转中心为点C，旋转角为，再由周角的定义，即可求解； （2）根据旋转的性质，可得，由中点性质得，即得． 解：（1）∵由逆时针旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ∴旋转中心为点C，旋转角度为； （2）由（1）知，， ∵点D为的中点， ∴， ∴． 20．（1）见分析；（2） 【分析】对于（1），根据旋转的性质可得，，然后利用等边对等角可得，从而可得，即可解答； 对于（2），设与交于点O，根据旋转的性质可得，，，再根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据三角形的外角性质可得，从而可得，最后进行计算即可解答． 解：（1）证明：如图： 由旋转得，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图，设与交于点O， 由旋转得，，， ∵， ∴， ∴ . ∵， ∴. ∵是的一个外角， ∴， ∴， 解得：， ∴旋转角的度数为． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等，弄清各角之间的数量关系是解题的关键． 21．（1）证明见分析；（2） 【分析】（1）根据已知条件和旋转的性质，证明，即可得证； （2）根据全等三角形的性质，以及勾股定理进行求解即可． 解：（1）证明：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵绕着点C逆时针旋转到， ∴． ∴， 即， 在和△中，， ∴（SAS）， ∴． （2）解：∵是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴ 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴． 【点拨】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 22．（1）证明见分析；（2）证明见分析；（3）； 【分析】（1）由旋转的性质得，从而得到，即可证明结论； （2）由旋转的性质得，，则，再利用即可证明； （3）如图，过点作于，由（1）得，，在中，由勾股定理得，则，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，再利用可得出答案． 解：（1）证明：∵将绕点顺时针旋转得， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵将绕点顺时针旋转得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （3）解：如图，过点作于， ∵将绕点顺时针旋转得，，， ∴， 由（1）得，， 在中，， 由（2）得，， ∴，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积： ． 故答案为：；． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形三线合一的性质等知识．证明是解题的关键． 23．（1）①；②见分析；（2）或，见分析 【分析】本题考查了矩形的判定及性质，线段垂直平分线的判定定理，等边三角形的判定及性质． （1）①由矩形的性质可证；②由矩形的性质及旋转的性质可证（），从而可得，即可求证； （2）由线段垂直平分线的判定定理可得点G在的垂直平分线上，①当点G在右侧时，取的中点H，连接交于M，可证是等边三角形，即可求解；②当点G在左侧时， 同理可得是等边三角形，即可求解； 掌握性质，并能根据G点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 解：（1）解：①四边形是矩形， ， 由旋转得：， ， ， ， 故答案：； ②由旋转可得： ， ， ， ， 又， ， ， 在和中 ， （）， ， 又， ． （2）解：如图，当时， 则点G在的垂直平分线上， ①当点G在右侧时，取的中点H，连接交于M，   ， ， 四边形是矩形， ， 垂直平分， ， 是等边三角形， ， 旋转角； ②如图，当点G在左侧时，    同理可得是等边三角形， ， 旋转角． 24．（1）＝，⊥；（2）线段与线段的关系不发生变化．证明见分析；（3）． 【分析】（1）由直角三角形斜边中线定理即可证明，进而可证； （2）如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，证明，推出，再利用三角形中位线定理即可解决问题； （3）分别求出的最大值、最小值即可解决问题． 解：（1）∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：＝，⊥； （2）线段与线段的关系不发生变化．理由如下： 如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，     ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 同理可证，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，； （3）如图2，连接．     ∵， ∴如图3时取得最大值时，点E落在上时，     ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最大值； 如图4中，当点E落在的延长线上时，的值最小，     ∵，， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最小值， 综上所述，． 【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形三边的关系，三角形中位线定理等知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 1 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