第12讲 正态分布（寒假预科讲义）-2025年高二数学举一反三系列寒假精品讲义（人教A版2019）

第12讲 正态分布 【人教A版2019】 模块一 正态分布 1．连续型随机变量 随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量. 2．正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)=，x∈R.其中∈R，>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正 态密度曲线，简称正态曲线. (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(,).特别地， 当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布. (3)正态分布的均值和方差 若XN(,)，则E(X)=，D(X)=. 3．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=对称； (3)曲线在x=处达到峰值； (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (5)对任意的>0，曲线与x轴围成的面积总为1； (6)在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示； (7)当取定值时，正态曲线的形状由确定，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分 布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示. 4．3原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(-X+)0.6827； P(-2X+2)0.9545； P(-3X+3)0.9973. (2)3原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(,)的随机变量X只取[-3，+3]中的值，这在统计学 中称为3原则. 【题型1 正态密度函数】 【例1.1】（24-25高二下·江苏·课后作业）已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 【例1.2】（23-24高二下·湖北武汉·期末）设随机变量，则X的密度函数为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二·全国·课后作业）已知随机变量的正态密度函数为，则其均值和标准差分别是（    ） A．0和8 B．0和4 C．0和2 D．0和1 【变式1.2】（24-25高二·全国·课后作业）下列是关于正态曲线性质的说法： ①曲线关于直线对称，且恒位于轴上方； ②曲线关于直线对称，且仅当时才位于轴上方； ③曲线对应的正态密度函数是一个偶函数，因此曲线关于轴对称； ④曲线在处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低； ⑤曲线的位置由确定，曲线的形状由确定. 其中说法正确的是（    ） A．①④⑤ B．②④⑤ C．③④⑤ D．①⑤ 【题型2 正态曲线的特点】 【例2.1】（24-25高二下·全国·课后作业）设，这两个正态分布密度曲线如图所示，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高二下·山东聊城·期末）设随机变量，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二·全国·课后作业）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【题型3 利用正态曲线的对称性求概率】 【例3.1】（23-24高二下·吉林松原·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高二下·山东滨州·期末）若随机变量，且，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【变式3.1】（23-24高二下·福建福州·期末）已知随机变量，随机变量，若 ，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（23-24高二下·新疆喀什·期中）已知随机变量X服从正态分布，若，则（    ） A．0.28 B．0.72 C．0.22 D．0.78 【题型4 利用3σ原则求概率】 【例4.1】（24-25高二下·全国·课前预习）“双十二”网购狂欢节是继“双十一”后的又一次网络促销日，在这一天，许多网商还会进行促销活动，但促销力度不及“双十一”．已知今年“双十二”期间，某小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布，则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为（若随机变量，则，，）（    ） A．16 B．18 C．20 D．25 【例4.2】（23-24高二下·广东江门·期末）某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩X服从正态分布，将考试成绩从高到低，按照16%，34%，34%，16%的比例分为A，B，C，D四个等级．若小明的数学成绩为105分，则属于等级（    ） （附：，，） A．A B．B C．C D．D 【变式4.1】（23-24高二下·四川眉山·期末）某种生态鱼在某个池塘一年的生长量X（单位：克）服从正态分布，则概率为（    ） 参考数据：①；②；③ A．0.8186 B．0.84 C．0.8785 D．0.9759 【变式4.2】（23-24高二下·重庆·期末）某次高二质量抽测中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的学生约有10000人，如果小明在这次考试中数学成绩为120分，则小明的数学成绩在本次抽测的名次大约是（　　） 附：若，则， A．第228名 B．第455名 C．第1587名 D．第3173名 【题型5 标准正态分布的应用】 【例5.1】（2024·四川成都·一模）设随机变量服从标准正态分布，已知，则（    ） A． B． C． D． 【例5.2】（23-24高二下·广东广州·期末）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4，假设坐公交车用时，骑自行车用时，则（    ） A． B． C．如果有38分钟可用，小明应选择坐公交车 D．如果有34分钟可用，小明应选择自行车 【变式5.1】（23-24高二下·山东青岛·期中）随机变量X服从正态分布，当，时，称随机变量X服从标准正态分布. 现已知随机变量Y服从正态分布. 若随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布，则 . 【变式5.2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为 分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 【题型6 正态分布的实际应用】 【例6.1】（23-24高二下·广东·期末）某校高二年级下学期期中考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格.阅卷结果显示，全年级800名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（平均分/150）为，标准差为，则该次数学考试及格的人数约为（    ） 附：若，记，则. A．127人 B．181人 C．254人 D．362人 【例6.2】（23-24高二下·安徽滁州·阶段练习）某大学新生中男生和女生人数相等，统计他们的身高数据（单位：），发现男生身高服从正态分布，女生身高服从正态分布，则身高超过的男生人数约等于（    ） A．身高低于的女生人数 B．身高低于的女生人数 C．身高超过的女生人数 D．身高超过的女生人数 【变式6.1】（24-25高三上·浙江·阶段练习）在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校的考生人数都为1000人，数学均分都为94，标准差都为12，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布. (1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取10人进行访问，学生小A考分为68分，求他被抽到的概率大约为多少； (2)根据统计发现学校乙得分不低于130分的学生有25人，得分不高于58分的有1人，试说明乙学校教学的特点； 参考数据：若，则，，. 【变式6.2】（2024·广东深圳·模拟预测）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 一、单选题 1．（23-24高二下·广东潮州·期末）随机变量服从正态分布，则标准差为（    ） A．2 B．4 C．10 D．14 2．（24-25高二下·江苏·课后作业）函数(其中)的图象可能为（   ） A．   B．   C．    D．   3．（23-24高二下·天津西青·期末）随机变量，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 4．（23-24高二下·广西·期中）若，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1050个的天数大约是 （   ）（若随机变量，则，，） A．205 B．246 C．270 D．275 6．（23-24高二下·辽宁·期末）已知随机变量，且，若，则实数（   ） A．0 B． C．1 D．2 7．（23-24高二下·上海崇明·期末）某校高中三年级1600名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（    ） A．200 B．150 C．250 D．100 8．（23-24高二下·重庆长寿·期末）李老师教高二甲班和乙班两个班的数学，这两个班的人数相等．某次联考中，这两个班的数学成绩均近似服从正态分布，其正态密度函数的图像如图所示，其中是正态分布的期望，是正态分布的标准差，且，，．关于这次数学考试成绩，下列结论正确的是（    ） A．甲班的平均分比乙班的平均分高 B．相对于乙班，甲班学生的数学成绩更分散 C．甲班108分以上的人数约占该班总人数的 D．乙班112分以上的人数与甲班108分以上的人数大致相等 二、多选题 9．（24-25高二下·全国·课后作业）若随机变量，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·湖南湘西·期末）已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来的包装食盐质量为，随机变量x的概率分布密度函数为，其中，则（    ） 附：随机变量，则，. A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于的概率为0.135% B．生产线乙的食盐质量 C．曲线的峰值为 D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于，于是判断出该生产线出现异常，该判断是合理的 三、填空题 12．（23-24高二下·河北·阶段练习）已知，且，则 . 13．（24-25高二上·辽宁·期末）某中学2400名学生参加一分钟跳绳测试.经统计，成绩近似服从正态分布，已知成绩小于76的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在108~140之间的人数约为 . 14．（24-25高二下·全国·课后作业）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献，目前超级稻计划亩产已经实现1100公斤．现有某试验田，超级稻亩产量（单位：公斤）均服从正态分布，且，则1000亩试验田超级稻的亩产量在1250公斤以上的大约为 亩（结果保留一位小数）． 四、解答题 15．（24-25高二下·全国·课堂例题）设，试求： (1)； (2)． 16．（24-25高二下·全国·单元测试）在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布. (1)试求考试成绩X位于区间内的概率； (2)若这次考试共有3000名考生，试估计考试成绩位于区间内的考生人数. （参考数据：，） 17．（23-24高二下·河南郑州·期末）已知随机变量，且正态密度函数在上单调递增，在上单调递减，. (1)求参数，的值； (2)求.（结果精确到0.0001） 附：若，则，，. 18．（2024高三上·全国·专题练习）零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的零件其精度要求也会越高.某企业为了提高零件产品质量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计整理，得到数据如下表： 零件直径（单位：厘米） 零件个数 10 25 30 25 10 已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）. 参考数据：；若随机变量，则，，. (1)分别求，的值； (2)试估计这批零件直径在的概率； (3)随机抽查2000个零件，估计在这2000个零件中，零件的直径在的个数. 19．（24-25高二下·河北石家庄·阶段练习）河北省高考从2018年秋季高中入学的新生开始新模式，即模式；2021年开始，高考总成绩由语数外＋物理、历史（选1门）＋化学、生物、政治、地理（选2门）等六门科目构成．现将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、、B、、C、、D、E共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩基本服从正态分布． (1)求化学原始成绩在区间的人数； (2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间的人数，求X的分布列和数学期望． （附：若随机变量，则，，） 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 正态分布 【人教A版2019】 模块一 正态分布 1．连续型随机变量 随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量. 2．正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)=，x∈R.其中∈R，>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正 态密度曲线，简称正态曲线. (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(,).特别地， 当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布. (3)正态分布的均值和方差 若XN(,)，则E(X)=，D(X)=. 3．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=对称； (3)曲线在x=处达到峰值； (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (5)对任意的>0，曲线与x轴围成的面积总为1； (6)在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示； (7)当取定值时，正态曲线的形状由确定，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分 布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示. 4．3原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(-X+)0.6827； P(-2X+2)0.9545； P(-3X+3)0.9973. (2)3原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(,)的随机变量X只取[-3，+3]中的值，这在统计学 中称为3原则. 【题型1 正态密度函数】 【例1.1】（24-25高二下·江苏·课后作业）已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 【解题思路】 将化为正态密度函数的定义形式，即可求出. 【解答过程】 ， . 故选：B. 【例1.2】（23-24高二下·湖北武汉·期末）设随机变量，则X的密度函数为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正态分布的定义可求得，从而可求X的密度函数. 【解答过程】因为，所以，即， 所以X的密度函数为A. 故选：A. 【变式1.1】（24-25高二·全国·课后作业）已知随机变量的正态密度函数为，则其均值和标准差分别是（    ） A．0和8 B．0和4 C．0和2 D．0和1 【解题思路】根据正态总体的概率密度函数的意义直接求解即可. 【解答过程】由的形式，知的均值和标准差分别为0和2. 正态总体的概率密度函数为, 根据，可得其均值为0，标准差为2， 故选：C. 【变式1.2】（24-25高二·全国·课后作业）下列是关于正态曲线性质的说法： ①曲线关于直线对称，且恒位于轴上方； ②曲线关于直线对称，且仅当时才位于轴上方； ③曲线对应的正态密度函数是一个偶函数，因此曲线关于轴对称； ④曲线在处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低； ⑤曲线的位置由确定，曲线的形状由确定. 其中说法正确的是（    ） A．①④⑤ B．②④⑤ C．③④⑤ D．①⑤ 【解题思路】根据正态密度曲线的特点和性质逐一判断①②③④⑤的正确性，即可得正确选项. 【解答过程】正态曲线关于直线对称，该曲线总是位于轴上方，故①正确；②不正确； 只有当时，正态密度函数是一个偶函数，曲线关于轴对称；此时为标准正态分布，当时，不是偶函数，故③不正确； 正态曲线是一条关于直线对称，在处位于最高点，且由该点向左、右两边延伸并逐渐降低的曲线，故④正确； 曲线的位置由对称轴确定，曲线的形状由确定，越大，图象越矮胖，越小，图象越瘦高，故⑤正确； 故①④⑤说法正确. 故选：A. 【题型2 正态曲线的特点】 【例2.1】（24-25高二下·全国·课后作业）设，这两个正态分布密度曲线如图所示，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】抓住平均数和标准差这两个关键量，结合正态曲线的图形特征分析即可． 【解答过程】由题可知两曲线分别关于对称，的分布曲线“高瘦”，的分布曲线“矮胖”， 所以由图可知，，A错误； ，故的曲线关于对称，且与的分布曲线一样“矮胖”，故，B错误； 因为，所以，C错误； ，D正确． 故选：D. 【例2.2】（23-24高二下·山东聊城·期末）设随机变量，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由密度曲线结合正态分布性质求解即可. 【解答过程】的密度曲线的对称轴在的密度曲线的对称轴的左边，即. 的密度曲线较为分散， 的密度曲线较为集中，即，故AB错误； 因为，所以C错误； 因为，所以D正确； 故选：D. 【变式2.1】（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解. 【解答过程】对于A中，随机变量服从正态分布，且， 可得随机变量的方差为，即，所以A错误； 对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量， 所以，所以B错误； 对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得时，随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积， 所以，所以C正确； 对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得，， 即，所以D错误. 故选：C. 【变式2.2】（24-25高二·全国·课后作业）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【解题思路】根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D，进而即得. 【解答过程】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称， 所以，，，故A正确，C错误； 因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，越小，表示总体的分布越集中）， 所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误； 因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误． 故选：A． 【题型3 利用正态曲线的对称性求概率】 【例3.1】（23-24高二下·吉林松原·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据分析可知，结合正态分布的对称性运算求解. 【解答过程】因为，则，可知， 又因为，所以. 故选：A. 【例3.2】（23-24高二下·山东滨州·期末）若随机变量，且，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【解题思路】由对称性先得出，进而得出. 【解答过程】因为，所以，所以. 故选：D. 【变式3.1】（23-24高二下·福建福州·期末）已知随机变量，随机变量，若 ，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由 结合对称性得出，再由对称性得出. 【解答过程】因为 ，所以， 因为，所以， 又 ，所以A正确； 故选：A. 【变式3.2】（23-24高二下·新疆喀什·期中）已知随机变量X服从正态分布，若，则（    ） A．0.28 B．0.72 C．0.22 D．0.78 【解题思路】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得． 【解答过程】∵随机变量服从正态分布，， ∴正态曲线的对称轴是， ∵， 故选：C. 【题型4 利用3σ原则求概率】 【例4.1】（24-25高二下·全国·课前预习）“双十二”网购狂欢节是继“双十一”后的又一次网络促销日，在这一天，许多网商还会进行促销活动，但促销力度不及“双十一”．已知今年“双十二”期间，某小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布，则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为（若随机变量，则，，）（    ） A．16 B．18 C．20 D．25 【解题思路】由题可得，即可求得. 【解答过程】小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布， ， 该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为， 故选：B. 【例4.2】（23-24高二下·广东江门·期末）某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩X服从正态分布，将考试成绩从高到低，按照16%，34%，34%，16%的比例分为A，B，C，D四个等级．若小明的数学成绩为105分，则属于等级（    ） （附：，，） A．A B．B C．C D．D 【解题思路】根据正态分布的性质即可求解. 【解答过程】数学测试成绩服从正态分布，则，， 由于等级的概率之和为， 所以 ，而即 故为A等级，为B等级，为C等级， 为D等级， 故105分为A等级． 故选：A. 【变式4.1】（23-24高二下·四川眉山·期末）某种生态鱼在某个池塘一年的生长量X（单位：克）服从正态分布，则概率为（    ） 参考数据：①；②；③ A．0.8186 B．0.84 C．0.8785 D．0.9759 【解题思路】分析可知：，根据原则结合对称性分析求解. 【解答过程】因为，则，， 所以. 故选：B. 【变式4.2】（23-24高二下·重庆·期末）某次高二质量抽测中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的学生约有10000人，如果小明在这次考试中数学成绩为120分，则小明的数学成绩在本次抽测的名次大约是（　　） 附：若，则， A．第228名 B．第455名 C．第1587名 D．第3173名 【解题思路】借助正态分布定义及正态曲线的性质计算可得，即可得解. 【解答过程】由，，， 则，故， ， 故小明的数学成绩在本次抽测的名次大约是第228名. 故选：A. 【题型5 标准正态分布的应用】 【例5.1】（2024·四川成都·一模）设随机变量服从标准正态分布，已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据变量符合正态分布，且对称轴为，得到应用所给条件即可求出结果. 【解答过程】服从标准正态分布， ∴ ， 故选：C. 【例5.2】（23-24高二下·广东广州·期末）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4，假设坐公交车用时，骑自行车用时，则（    ） A． B． C．如果有38分钟可用，小明应选择坐公交车 D．如果有34分钟可用，小明应选择自行车 【解题思路】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可． 【解答过程】因为，， 将化为标准正态分布，则， 因为，所以，故A错误； 又，，故B正确； 因为，所以如果有38分钟可用，小明应选择自行车，故C错误； 因为，所以如果有34分钟可用，小明应选择坐公交车，故D错误. 故选：B． 【变式5.1】（23-24高二下·山东青岛·期中）随机变量X服从正态分布，当，时，称随机变量X服从标准正态分布. 现已知随机变量Y服从正态分布. 若随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布，则 . 【解题思路】由标准正态分布的定义结合期望和方差的性质计算即可. 【解答过程】随机变量Y服从正态分布，所以， 因为随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布， 所以， 所以，. 即，解得，则. 故答案为：. 【变式5.2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为 71 分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 【解题思路】设A等级的原始分最低为，由原始成绩，令，则，即可求解. 【解答过程】由题意知：从高到低，即A等级人数所占比例为， 若A等级的原始分最低为，又原始成绩， ，令，则， 又，所以， 即，可得分, 则他的原始分数最低为71. 故答案为：71. 【题型6 正态分布的实际应用】 【例6.1】（23-24高二下·广东·期末）某校高二年级下学期期中考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格.阅卷结果显示，全年级800名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（平均分/150）为，标准差为，则该次数学考试及格的人数约为（    ） 附：若，记，则. A．127人 B．181人 C．254人 D．362人 【解题思路】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩，再根据所给条件求出，即可求出，即可估计人数. 【解答过程】依题意可知平均分为，又标准差为， 所以学生的数学成绩，即，，又， 所以， 所以， 又，所以该次数学考试及格的人数约为人. 故选：B. 【例6.2】（23-24高二下·安徽滁州·阶段练习）某大学新生中男生和女生人数相等，统计他们的身高数据（单位：），发现男生身高服从正态分布，女生身高服从正态分布，则身高超过的男生人数约等于（    ） A．身高低于的女生人数 B．身高低于的女生人数 C．身高超过的女生人数 D．身高超过的女生人数 【解题思路】根据正态分布对称性可知，，从而得解. 【解答过程】因为，根据正态分布对称性可知， 则， 而男生身高超过的概率为， 女生身高低于的概率为， 又男生和女生人数相等， 所以身高超过的男生人数约等于身高低于的女生人数. 故选：B. 【变式6.1】（24-25高三上·浙江·阶段练习）在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校的考生人数都为1000人，数学均分都为94，标准差都为12，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布. (1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取10人进行访问，学生小A考分为68分，求他被抽到的概率大约为多少； (2)根据统计发现学校乙得分不低于130分的学生有25人，得分不高于58分的有1人，试说明乙学校教学的特点； 参考数据：若，则，，. 【解题思路】（1）由正态分布确定70分及以下的学生人数，再由古典概率模型即可求解； （2）由正态分布确定甲校130以上及58分以下人数，对比乙校数据即可判断. 【解答过程】（1）由题意可知甲校学生数学得分， 由， 可得，则， 所以分数在70分及以下的学生有， 所以学生小A被抽到的概率 （2）由， 可得： 所以甲校不低于130分的概率为， 得分不高于58分的概率为， 所以甲校不低于130分有人，得分不高于58分有人， 故乙校教学高分人数更多，130分以上学生更多，低分人数更少. 【变式6.2】（2024·广东深圳·模拟预测）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 【解题思路】（1）依题意，令，得到，根据及所给条件求出； （2）由（1）可得，设最录取分数为，根据，求得，即可得到答案； （3）考生甲的成绩为 ，得到甲能被录取概率为，从而推导出分以上的人数，即可得解. 【解答过程】（1）依题意，令，则， 所以可得，， ， 又因为，则，解得； （2）由（1）可得， 设最录取分数为，则， ，，所以， 即最低录取分数线为分． （3）考生甲的成绩为分分， 所以甲能被录取概率为， 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的，约有， 即考生甲大约排在第名，排在名之前，所以甲能获得高薪. 一、单选题 1．（23-24高二下·广东潮州·期末）随机变量服从正态分布，则标准差为（    ） A．2 B．4 C．10 D．14 【解题思路】根据正态分布中的参数意义可知当差为4，进而可得标准差. 【解答过程】因为服从正态分布可知:方差为4，故标准差为2， 故选：A. 2．（24-25高二下·江苏·课后作业）函数(其中)的图象可能为（   ） A．   B．   C．    D．   【解题思路】函数图象的对称轴为直线，由判断各选项.. 【解答过程】函数图象的对称轴为直线，因为，所以排除B，D； 又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确. 故选：A. 3．（23-24高二下·天津西青·期末）随机变量，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【解题思路】由正态分布的图象性质求解． 【解答过程】由正态分布知，， 故选：B. 4．（23-24高二下·广西·期中）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正态分布性质计算即可. 【解答过程】因为, 所以，σ的值不确定． 故选：A. 5．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1050个的天数大约是 （   ）（若随机变量，则，，） A．205 B．246 C．270 D．275 【解题思路】由正态曲线的性质求出，即可求解． 【解答过程】依题意，得， 则， 则估计天内小笼包的销售量约在到个的天数大约是：， 故选：A. 6．（23-24高二下·辽宁·期末）已知随机变量，且，若，则实数（   ） A．0 B． C．1 D．2 【解题思路】根据正态分布的期望和二项分布的方差可得，进而结合正态分布的对称性运算求解. 【解答过程】因为，则， 且，即，可得， 若， 则，即，解得. 故选：C. 7．（23-24高二下·上海崇明·期末）某校高中三年级1600名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（    ） A．200 B．150 C．250 D．100 【解题思路】根据题意，由正态分布的性质可得，即可得到结果. 【解答过程】因为数学考试成绩服从正态分布，又， 所以， 则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为. 故选：A. 8．（23-24高二下·重庆长寿·期末）李老师教高二甲班和乙班两个班的数学，这两个班的人数相等．某次联考中，这两个班的数学成绩均近似服从正态分布，其正态密度函数的图像如图所示，其中是正态分布的期望，是正态分布的标准差，且，，．关于这次数学考试成绩，下列结论正确的是（    ） A．甲班的平均分比乙班的平均分高 B．相对于乙班，甲班学生的数学成绩更分散 C．甲班108分以上的人数约占该班总人数的 D．乙班112分以上的人数与甲班108分以上的人数大致相等 【解题思路】根据两个班数学成绩的正态曲线图，易于判断A,B两项；对于C和D，需要根据图中两个班数学成绩的期望和最大值分别求出和，再结合曲线图的对称性和三段区间的概率值计算对应的概率值，比较后研判即得. 【解答过程】对于A，由图知，即甲班的平均分比乙班的平均分低，故A错误； 对于B，因甲班的曲线比乙班的曲线更“瘦高”，即，表示甲班的数学成绩更集中，故B错误； 对于C，甲班的最大值为，则，则,故C错误； 对于D，乙班的最大值为，则，则， 又这两个班的人数相等，则乙班112分以上的人数与甲班108分以上的人数大致相等，故D正确. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高二下·全国·课后作业）若随机变量，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由正态分布的性质逐项判断. 【解答过程】，A正确； 因为，所以，B错误； ，故C正确； ，， ，D错误． 故选：AC. 10．（23-24高二下·湖南湘西·期末）已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正态分布曲线的对称性即可求解. 【解答过程】随机变量X服从正态分布， 所以正态分布的对称轴为 ， 根据对称性可知：，得，A正确，B错误； 则，C错误，D正确. 故选：AD. 11．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来的包装食盐质量为，随机变量x的概率分布密度函数为，其中，则（    ） 附：随机变量，则，. A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于的概率为0.135% B．生产线乙的食盐质量 C．曲线的峰值为 D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于，于是判断出该生产线出现异常，该判断是合理的 【解题思路】根据正态分布的性质结合给定区间上的概率值可判断A；根据随机变量x的概率分布密度函数可判断B，C；根据正态分布的“”原则可判断D. 【解答过程】对于A，设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为X，则， 其中，则，A正确； 对于B，随机变量x的概率分布密度函数，有，，因此生产线乙的食盐质量，B错误； 对于C，因为，当且仅当时取等号， 因此当时，，C正确； 对于D，， 说明生产线甲上抽到质量大于食盐的可能性很低， 则随机抽取两包其质量均大于，说明判断出该生产线出现异常是合理的，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（23-24高二下·河北·阶段练习）已知，且，则 0.6 . 【解题思路】根据分析可知，结合正态分布密度曲线的对称性运算求解即可. 【解答过程】因为，所以， 则. 因为，所以. 故答案为：0.6. 13．（24-25高二上·辽宁·期末）某中学2400名学生参加一分钟跳绳测试.经统计，成绩近似服从正态分布，已知成绩小于76的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在108~140之间的人数约为 900 . 【解题思路】利用正态曲线的对称性可求得答案. 【解答过程】由题意可知，, 因为成绩服从正态分布， 所以 所以跳绳成绩在108~140之间的人数约为. 故答案为：900. 14．（24-25高二下·全国·课后作业）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献，目前超级稻计划亩产已经实现1100公斤．现有某试验田，超级稻亩产量（单位：公斤）均服从正态分布，且，则1000亩试验田超级稻的亩产量在1250公斤以上的大约为 亩（结果保留一位小数）． 【解题思路】根据正态曲线的对称性及原则，把问题转化求即可． 【解答过程】由题可知， ， 又， 则1000亩试验田超级稻的亩产量在1250公斤以上的大约为亩， 故答案为：． 四、解答题 15．（24-25高二下·全国·课堂例题）设，试求： (1)； (2)． 【解题思路】（1）（2）根据正态分布的对称性即可求解. 【解答过程】（1）， ，， ． （2） ， ． 16．（24-25高二下·全国·单元测试）在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布. (1)试求考试成绩X位于区间内的概率； (2)若这次考试共有3000名考生，试估计考试成绩位于区间内的考生人数. （参考数据：，） 【解题思路】（1）由题意可知，进而根据参考数据求事件的概率； （2）根据正态分布性质求事件的概率，结合频数频率关系求结论. 【解答过程】（1）∵， ∴. ∵， . 且， ∴. （2）∵， ， 且， ∴， ∴考试成绩位于区间内的考生人数为（人）. 17．（23-24高二下·河南郑州·期末）已知随机变量，且正态密度函数在上单调递增，在上单调递减，. (1)求参数，的值； (2)求.（结果精确到0.0001） 附：若，则，，. 【解题思路】（1）由题设及特殊区间的概率值得到，即可确定参数； （2）利用正态分布的对称性求、，进而求目标概率值. 【解答过程】（1）依题设，，而，则，解得， 所以，. （2）由（1）知：， 正态曲线关于对称 ，即， 则，， 由，则， 因此， 所以. 18．（2024高三上·全国·专题练习）零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的零件其精度要求也会越高.某企业为了提高零件产品质量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计整理，得到数据如下表： 零件直径（单位：厘米） 零件个数 10 25 30 25 10 已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）. 参考数据：；若随机变量，则，，. (1)分别求，的值； (2)试估计这批零件直径在的概率； (3)随机抽查2000个零件，估计在这2000个零件中，零件的直径在的个数. 【解题思路】（1）根据平均数与方差的公式即可求解. （2）根据正态分布的性质，结合正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解. （3）根据区间上的概率计算即可. 【解答过程】（1）由平均数与方差的计算公式分别得： 故，. （2）设表示零件直径，则，即. ， 由对称性得， ，即. 同理，， ，即. . 故这批零件直径在的概率为0.8186. （3）由（2）知，， 所以在这2000个零件中，零件的直径在的有个. 19．（24-25高二下·河北石家庄·阶段练习）河北省高考从2018年秋季高中入学的新生开始新模式，即模式；2021年开始，高考总成绩由语数外＋物理、历史（选1门）＋化学、生物、政治、地理（选2门）等六门科目构成．现将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、、B、、C、、D、E共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩基本服从正态分布． (1)求化学原始成绩在区间的人数； (2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间的人数，求X的分布列和数学期望． （附：若随机变量，则，，） 【解题思路】（1）根据物理原始成绩，结合正态分布的对称性求解即可； （2）由题意，再列出分布列，结合二项分布的数学期望求解即可. 【解答过程】（1）因为物理原始成绩， 所以 ． 所以化学原始成绩在的人数为（人）． （2）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间内的概率为． 所以随机抽取三人，则X的所有可能取值为0，1，2，3，且， 所以，， ，． 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以数学期望． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$