第11讲 二项分布与超几何分布（寒假预科讲义）-2025年高二数学举一反三系列寒假精品讲义（人教A版2019）

第11讲 二项分布与超几何分布 【人教A版2019】 模块一 二项分布 1．伯努利试验 (1)伯努利试验的概念 把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. (2)n重伯努利试验的两个特征 ①同一个伯努利试验重复做n次； ②各次试验的结果相互独立. 2．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的 次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p). 3．二项分布的期望与方差 一般地，如果XB(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p). 4．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. 【题型1 二项分布的概率计算】 【例1.1】（24-25高二下·全国·单元测试）已知某射击运动员每次击中目标的概率是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（    ） A．0.4096 B．0.8192 C．0.8464 D．0.9728 【例1.2】（23-24高二下·山东青岛·期中）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高二下·甘肃临夏·期末）甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为（不考虑平局），则甲以3比1获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高二下·湖北荆州·阶段练习）足球点球大战中，每队派出5人进行点球，假设甲队每人点球破门的概率都是，乙队每人点球破门的概率都是，若甲队进4球的概率为，乙队队进3球的概率为，则（    ） A． B． C． D．，大小关系无法确定 【题型2 二项分布的期望与方差】 【例2.1】（24-25高二下·全国·课后作业）设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人三次上班途中遇红灯的次数的数学期望为（    ） A．0.4 B．1.2 C． D．0.6 【例2.2】（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）设随机变量，若，则的最大值为（   ） A．4 B．3 C． D． 【变式2.1】（23-24高二下·河北邢台·期末）已知随机变量服从二项分布，且，，则（    ） A．7 B．3 C．6 D．2 【变式2.2】（23-24高二下·北京海淀·期末）小明投篮3次，每次投中的概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 二项分布中的概率最大问题】 【例3.1】（23-24高三上·湖北荆州·阶段练习）已知随机变量，则概率最大时，的取值为（    ） A． B． C．或 D．或 【例3.2】（24-25高二下·湖北·阶段练习）某人在19次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则（    ） A．14或15 B．15 C．15或16 D．16 【变式3.1】（23-24高二下·山东枣庄·期末）某人在11次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则k＝（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式3.2】（23-24高二下·河南周口·期中）某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示： 用时/秒 男性人数 17 21 13 9 女性人数 8 10 16 6 以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型4 二项分布的实际应用】 【例4.1】（23-24高二下·山东东营·期末）已知一批产品的次品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取50次，假设抽出的产品需要专门检测，检测费用Y元与抽到的次品数X有关，且，则（    ） A．97 B．98 C．99 D．100 【例4.2】（23-24高二下·广东清远·期末）在数学试卷的单项选择题中，共有8道题，每道题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率是0.25.某同学8道单选题都不会做，只能在每道单选题的选项中随机选择一个作为答案，设他的总得分为，则的方差（    ） A．1.5 B．7.5 C．20.5 D．37.5 【变式4.1】（23-24高二下·安徽·期末）某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为：乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为. (1)混合零件中甲厂零件和乙厂零件的比例是多少？ (2)从混合放在一起的零件中随机抽取4个，用频率估计概率，记这4个零件中来自甲工厂的个数为，求的分布列和数学期望. 【变式4.2】（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）近期重庆市育才中学校举行了“探‘乐’计划”校园歌手大赛和“想玩就‘趣’FUN肆到底”育才达人甲、乙、丙三人均依次参加两个比赛，三人进入校园歌手大赛决赛的概率均是，进入达人秀决赛的概率均是，且每个人是否进入歌手大赛决赛和达人秀决赛互不影响． (1)求甲两个比赛都进入决赛的概率； (2)记三人中两个比赛均进入决赛的人数为．求随机变量的概率分布和数学期望 模块二 超几何分布 1．超几何分布 (1)定义 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽 取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m={0，n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np. (2)求超几何分布的分布列 ①判断随机变量是不是服从超几何分布； ②套用超几何分布中的概率公式,注意理解公式中各量的意义. 2．超几何分布与二项分布的关系 (1)超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求解有 截然不同的表达式，但看它们的概率分布列，会发现其相似点.超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解.在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的. (2)事实上，在次品件数为确定数M的足够多的产品中，任意抽取n件(由于产品件数N无限多，无放回与有放回无区别，故可看作n重伯努利试验)，其中含有次品的件数服从二项分布. 【题型5 超几何分布的判断】 【例5.1】（24-25高二下·江西抚州·阶段练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（    ） A．将一枚硬币连抛次，记正面向上的次数为 B．某射手的射击命中率为，现对目标射击次，记命中的次数为 C．从男女共名学生干部中选出名学生干部，记选出女生的人数为 D．盒中有个白球和个黑球，每次从中摸出个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 【例5.2】（24-25高二·全国·课后作业）下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是（ ） A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为 B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为 C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为 D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 【变式5.1】（23-24高二下·广东广州·期末）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（    ） A． B．随机变量服从二项分布 C．随机变量服从超几何分布 D． 【变式5.2】（24-25高二上·全国·课后作业）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量： ①X表示取出的最大号码； ②X表示取出的最小号码； ③X表示取出的白球个数； ④取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分减去4的差. 这四种变量中服从超几何分布的是（　　） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【题型6 求超几何分布的概率】 【例6.1】（23-24高二下·浙江·期中）一批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为，则（    ） A． B． C． D． 【例6.2】（23-24高二下·江苏宿迁·期中）有20个零件，其中16个一等品，其余都是二等品，若从20个零件中任取3个，那么至多有一个是二等品的概率是（   ） A． B． C． D．以上均不对 【变式6.1】（23-24高二下·山东青岛·期中）数学老师从6道题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能正确求解其中的4道题，则该同学能及格的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量，男生的人数为变量，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型7 超几何分布的均值】 【例7.1】（23-24高二下·河南信阳·期末）2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为，则（    ） A． B． C．1 D． 【例7.2】（23-24高二下·江西吉安·期末）已知随机变量，则（    ） A． B． C．2 D． 【变式7.1】（24-25高二下·湖北·阶段练习）现从3名女生和2名男生中随机选出2名志愿者，用表示所选2名志愿者中男生的人数，则为（    ） A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 【变式7.2】（23-24高二下·山东青岛·期中）从装有个白球，个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出个红球得分，每取出个白球得分. 按照规则从容器中任意抽取个球，所得分数的期望为（    ） A． B． C． D． 【题型8 超几何分布的方差】 【例8.1】（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例8.2】（2024·浙江金华·二模）口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（　　） A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η） B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η） C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η） D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η） 【变式8.1】（23-24高二下·广东东莞·期中）学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用X表示抽取的志愿者中女生的人数， (1)求抽取的2人恰有1个女生的概率； (2)请写出随机变量的分布列、数学期望与方差. 【变式8.2】（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）某大学的武术协会有10名同学，成员构成如下表所示.表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为. 性别 中文 数学 英语 体育 男 1 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加该市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相等）. (1)求、的值； (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； (3)设为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量的分布列、均值及方差. 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 2．（24-25高二下·全国·随堂练习）若随机变量，则的值为（    ） A．0.8 B．4 C．5 D．3 3．（23-24高二下·江苏南京·期末）一批零件共有10个，其中有3个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·全国·课后作业）设随机变量满足：，且，则（    ） A．3 B． C．2 D． 5．（23-24高二下·吉林白山·期末）已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．（24-25高二下·全国·课后作业）一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次停止，设停止时共取了次球，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·广东广州·期末）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．五位二进制数与出现的概率相同 8．（23-24高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·全国·课后作业）一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为，若该射手射击四次命中次数为，每次命中的概率为，则（    ） A． B． C．或 D． 10．（24-25高二下·全国·课后作业）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列说法中正确的是（    ） A．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的总得分，则服从超几何分布 B．若表示取出的黑球的个数，则服从超几何分布 C．若表示取出白球的个数，则 D．若表示取出黑球的个数，则 11．（23-24高二下·山东聊城·期末）如图，我国传统珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任选3颗，记上珠的个数为，下珠的个数比上珠的个数多，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高二下·全国·课后作业）腿型连续跳跃机器人属于一种关节式跳跃机器人，在电机及蓄能元件的耦合驱动下实现跳跃运动．已知某款跳跃机器人依据指针显示的颜色种类来执行跳动，假设其指针共有两种颜色，指针显示红色时，机器人只能向前跳动一个单位；显示黄色时，机器人只能向右跳动一个单位，若将该机器人初始位置记为坐标原点，向右为x轴正方向，向前为y轴正方向，机器人跳动五次停止，则机器人向右跳动的次数不超过3次的概率为 ． 13．（24-25高二下·全国·课后作业）某公司为新产品做宣传，给1000位客户邮寄此产品，经过审核，该产品的正品率为0.95，对于邮寄到次品的客户，公司会重新补发2件，则补发产品数的数学期望为 ． 14．（24-25高二下·全国·课后作业）盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X表示取到白球的个数，η表示取到黑球的个数．给出下列各项：①；②；③;④．其中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号） 四、解答题 15．（24-25高二下·全国·课前预习）某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数的分布列. 16．（2025高三·全国·专题练习）写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？ (1)表示次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数. (2)有一批产品共有件，其中次品有件（ ，采用有放回抽取方法抽取次 ，抽出的次品件数为. (3)有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法抽件，出现次品的件数为. 17．（24-25高二下·全国·课后作业）一个袋子中装有A品种种子10颗，B品种种子2颗，A，B品种种子外形、大小一样．现从袋中连续取3次种子，每次取1颗． (1)有放回抽取时，求抽取B品种种子数的均值与方差； (2)不放回抽取时，求抽取B品种种子数的分布列及其均值． 18．（24-25高二下·全国·课后作业）随着生活水平的提高，家用小轿车进入千家万户，在给出行带来方便的同时也给交通造成拥堵．交通部门为了解决某十字路口的拥堵问题，安装了红绿灯．通过测试后发现，私家车在此路口遇到红灯的概率为． (1)若遇到红灯的概率为，求不同时刻的5辆私家车在该路口有3辆车遇到红灯的概率； (2)当私家车遇到红灯的方差达到最大时，求5辆私家车遇到红灯的车辆数的分布列与期望． 19．（23-24高二下·北京延庆·期中）袋中有6个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为． (1)求的分布列； (2)求； (3)若摸出一个黑球得10分，摸出一个白球得5分，总分为分，求的值． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 二项分布与超几何分布 【人教A版2019】 模块一 二项分布 1．伯努利试验 (1)伯努利试验的概念 把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. (2)n重伯努利试验的两个特征 ①同一个伯努利试验重复做n次； ②各次试验的结果相互独立. 2．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的 次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p). 3．二项分布的期望与方差 一般地，如果XB(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p). 4．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. 【题型1 二项分布的概率计算】 【例1.1】（24-25高二下·全国·单元测试）已知某射击运动员每次击中目标的概率是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（    ） A．0.4096 B．0.8192 C．0.8464 D．0.9728 【解题思路】利用二项分布概率公式计算易得. 【解答过程】设运动员射击4次，击中目标的次数为，则, 于是，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为： ． 故选：B. 【例1.2】（23-24高二下·山东青岛·期中）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用二项分布的概率公式计算即可. 【解答过程】由题意可知：. 故选：C. 【变式1.1】（23-24高二下·甘肃临夏·期末）甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为（不考虑平局），则甲以3比1获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意分析前4局甲的胜负情况，再根据二项分布计算即可. 【解答过程】若甲以3比1获胜，则甲、乙两人共比赛4局，其中前3局中甲胜2局，第4局甲必胜， 故所求概率为. 故选：. 【变式1.2】（24-25高二下·湖北荆州·阶段练习）足球点球大战中，每队派出5人进行点球，假设甲队每人点球破门的概率都是，乙队每人点球破门的概率都是，若甲队进4球的概率为，乙队队进3球的概率为，则（    ） A． B． C． D．，大小关系无法确定 【解题思路】根据二项分布概率模型求解. 【解答过程】甲队进4球的概率为， 乙队队进3球的概率为， 则． 故选：A． 【题型2 二项分布的期望与方差】 【例2.1】（24-25高二下·全国·课后作业）设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人三次上班途中遇红灯的次数的数学期望为（    ） A．0.4 B．1.2 C． D．0.6 【解题思路】直接由二项分布的期望公式即可求解. 【解答过程】由题意可知此人三次上班途中遇红灯的次数服从二项分布, 故所求为. 故选：B. 【例2.2】（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）设随机变量，若，则的最大值为（   ） A．4 B．3 C． D． 【解题思路】根据二项分布的期望得的范围，再根据二项分布方差运算公式结合二次函数的性质求得的最大值. 【解答过程】随机变量，由，得，解得， ，则当时，取得最大值， 所以的最大值为. 故选：C. 【变式2.1】（23-24高二下·河北邢台·期末）已知随机变量服从二项分布，且，，则（    ） A．7 B．3 C．6 D．2 【解题思路】根据方差的性质求出，再由二项分布的方差公式得到方程，求出，再检验，即可求出，再由期望的性质计算可得. 【解答过程】由题意得，所以， 又，则，解得或． 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． 所以，所以，所以． 故选：B. 【变式2.2】（23-24高二下·北京海淀·期末）小明投篮3次，每次投中的概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意随机变量投中次数服从二项分布，再由变量间的函数关系与二项分布的期望、方差公式可求. 【解答过程】设小明投中次数为，则由题意可知， 则，， 因为投中一次得2分，没投中得0分，所以， 则，. 故选：B. 【题型3 二项分布中的概率最大问题】 【例3.1】（23-24高三上·湖北荆州·阶段练习）已知随机变量，则概率最大时，的取值为（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】根据二项分布的随机变量取值的概率公式建立不等关系，可得最大值时的． 【解答过程】依题意， 由， 即，解得或. 故选：C. 【例3.2】（24-25高二下·湖北·阶段练习）某人在19次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则（    ） A．14或15 B．15 C．15或16 D．16 【解题思路】由二项分布的概率计算公式及计算即可. 【解答过程】因为在19次射击中击中目标的次数为X，， 所以，且. 若最大，则. ，即 解得：， 因为且，所以当或时，最大. 故选：C. 【变式3.1】（23-24高二下·山东枣庄·期末）某人在11次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则k＝（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【解题思路】若最大，则，解出的范围，代入数值. 【解答过程】因为 ，若最大，则 ，化简得： ， . 代入已知数值得： ，所以 时最大. 故选：C. 【变式3.2】（23-24高二下·河南周口·期中）某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示： 用时/秒 男性人数 17 21 13 9 女性人数 8 10 16 6 以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】求出1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，确定，即可表示出，列不等式组求最大时k的值，即可得答案. 【解答过程】根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为， 设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为， 则，其中， 时，； 显然，即不可能为最大值， 当时，由得， 化简得，解得， 又这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是5， 故选：C． 【题型4 二项分布的实际应用】 【例4.1】（23-24高二下·山东东营·期末）已知一批产品的次品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取50次，假设抽出的产品需要专门检测，检测费用Y元与抽到的次品数X有关，且，则（    ） A．97 B．98 C．99 D．100 【解题思路】先由二项分布的方差公式求出，再根据方差的性质即可求出. 【解答过程】由题意抽到的次品数X服从二项分布，方差， 而， 所以. 故选：B. 【例4.2】（23-24高二下·广东清远·期末）在数学试卷的单项选择题中，共有8道题，每道题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率是0.25.某同学8道单选题都不会做，只能在每道单选题的选项中随机选择一个作为答案，设他的总得分为，则的方差（    ） A．1.5 B．7.5 C．20.5 D．37.5 【解题思路】由二项分布的方差公式结合方差的性质即可求解. 【解答过程】设答对题目个数为Y，根据题目可知， 从而由方差公式， 又. 故选：D. 【变式4.1】（23-24高二下·安徽·期末）某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为：乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为. (1)混合零件中甲厂零件和乙厂零件的比例是多少？ (2)从混合放在一起的零件中随机抽取4个，用频率估计概率，记这4个零件中来自甲工厂的个数为，求的分布列和数学期望. 【解题思路】（1）设甲工厂有件，乙工厂有件，得到，，根据题意，列出方程，求得，即可求解； （2）由（1）知所以，且的可能取值为，取得相应的概率，列出分布列，利用二项分布的期望公式，即可求解. 【解答过程】（1）解：设甲工厂试生产的这批零件有件，乙工厂试生产的这批零件有件， 事件“混合放在一起零件来自甲工厂”，事件“混合放在一起零件来自乙工厂”，事件“混合放在一起的某一零件是合格品”， 则，，，解得，即. （2）解：由（1）知所以， 随机变量的可能取值为，且， 可得，， ，， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 所以期望为. 【变式4.2】（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）近期重庆市育才中学校举行了“探‘乐’计划”校园歌手大赛和“想玩就‘趣’FUN肆到底”育才达人甲、乙、丙三人均依次参加两个比赛，三人进入校园歌手大赛决赛的概率均是，进入达人秀决赛的概率均是，且每个人是否进入歌手大赛决赛和达人秀决赛互不影响． (1)求甲两个比赛都进入决赛的概率； (2)记三人中两个比赛均进入决赛的人数为．求随机变量的概率分布和数学期望 【解题思路】（1）根据题意分别求出甲进入校园歌手大赛决赛和进入达人秀决赛的概率，再由独立事件的乘法公式求解即可. （2）根据题意先求出的所有的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，列出分布列并计算出期望即可求解. 【解答过程】（1）设“甲进入校园歌手大赛决赛”为事件，“甲进入达人秀决赛”为事件， 则， 因为每个人是否进入歌手大赛决赛和达人秀决赛互不影响， 所以事件和事件相互独立， 所以甲两个比赛都进入决赛的概率为. 故甲两个比赛都进入决赛的概率为. （2）的可能取值为，所以 ， ， ， ， 故随机变量的分布列为： 所以. 模块二 超几何分布 1．超几何分布 (1)定义 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽 取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m={0，n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np. (2)求超几何分布的分布列 ①判断随机变量是不是服从超几何分布； ②套用超几何分布中的概率公式,注意理解公式中各量的意义. 2．超几何分布与二项分布的关系 (1)超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求解有 截然不同的表达式，但看它们的概率分布列，会发现其相似点.超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解.在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的. (2)事实上，在次品件数为确定数M的足够多的产品中，任意抽取n件(由于产品件数N无限多，无放回与有放回无区别，故可看作n重伯努利试验)，其中含有次品的件数服从二项分布. 【题型5 超几何分布的判断】 【例5.1】（24-25高二下·江西抚州·阶段练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（    ） A．将一枚硬币连抛次，记正面向上的次数为 B．某射手的射击命中率为，现对目标射击次，记命中的次数为 C．从男女共名学生干部中选出名学生干部，记选出女生的人数为 D．盒中有个白球和个黑球，每次从中摸出个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 【解题思路】根据超几何分布的定义逐项判断可得出合适的选项. 【解答过程】对于A选项，将一枚硬币连抛次，记正面向上的次数为， 则服从二项分布，A不满足； 对于B选项，某射手的射击命中率为，现对目标射击次，记命中的次数为，则服从两点分布，B不满足； 对于C选项，从男女共名学生干部中选出名学生干部，记选出女生的人数为， 则服从超几何分布，C满足； 对于D选项，盒中有个白球和个黑球，每次从中摸出个球且不放回， 记第一次摸出黑球时摸取的次数为，则不服从超几何分布，D不满足. 故选：C. 【例5.2】（24-25高二·全国·课后作业）下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是（ ） A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为 B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为 C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为 D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 【解题思路】根据超几何分布的定义可判断得选项. 【解答过程】解：由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量服从超几何分布. 故选：B. 【变式5.1】（23-24高二下·广东广州·期末）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（    ） A． B．随机变量服从二项分布 C．随机变量服从超几何分布 D． 【解题思路】由题意知随机变量服从超几何分布，利用超几何分布的性质直接判断各选项即可． 【解答过程】解：由题意知随机变量服从超几何分布，故B错误，C正确； 的取值分别为0，1，2，3，4，则，， ，，， ， 故A，D错误． 故选：C． 【变式5.2】（24-25高二上·全国·课后作业）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量： ①X表示取出的最大号码； ②X表示取出的最小号码； ③X表示取出的白球个数； ④取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分减去4的差. 这四种变量中服从超几何分布的是（　　） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【解题思路】根据超几何分布的定义，判断四个选项，即可得到答案． 【解答过程】超几何分布定义：设有总数为N件的甲乙两类物品，其中甲类有M件，从所有物品中任取n件，则中所含甲类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值m时的概率为，我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布. ①②中的变量不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故①②错误； ③中的变量符合超几何分布的定义选项，将白球视作甲类物品，黑球视作乙类物品，则可以用超几何分布的数学模型计算概率，故③正确； ④中的变量可以对应取出的白球个数，符合超几何分布的定义选项，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故④正确. 故选：B． 【题型6 求超几何分布的概率】 【例6.1】（23-24高二下·浙江·期中）一批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用组合数分别求出恰好取出一件不合格产品的基本事件数和从7件产品中取出3件产品的基本事件数，再利用古典概型概率计算公式即可求解. 【解答过程】恰好取出一件不合格产品的基本事件数为：， 从7件产品中取出3件产品的基本事件数为：， 故选：B. 【例6.2】（23-24高二下·江苏宿迁·期中）有20个零件，其中16个一等品，其余都是二等品，若从20个零件中任取3个，那么至多有一个是二等品的概率是（   ） A． B． C． D．以上均不对 【解题思路】利用超几何分布求概率即可. 【解答过程】至多有一个是二等品即没有二等品或者只有一个二等品， 故概率为：. 故选：C. 【变式6.1】（23-24高二下·山东青岛·期中）数学老师从6道题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能正确求解其中的4道题，则该同学能及格的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用超几何分布的概率公式计算即可. 【解答过程】由题意知抽取3道题该同学不及格的情况只有：只对一道题一种情况， 则只答对一道题的概率为，所以该同学及格的概率为. 故选：A. 【变式6.2】（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量，男生的人数为变量，则等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意结合超几何分布运算求解即可. 【解答过程】因为， 所以. 故选：C. 【题型7 超几何分布的均值】 【例7.1】（23-24高二下·河南信阳·期末）2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为，则（    ） A． B． C．1 D． 【解题思路】利用超几何分布概率公式，分别求出，再求. 【解答过程】依题意，的可能取值有0，1，2. 则，，， 则. 故选：A. 【例7.2】（23-24高二下·江西吉安·期末）已知随机变量，则（    ） A． B． C．2 D． 【解题思路】根据超几何分布的均值公式计算可得答案. 【解答过程】由题意知，故. 故选：A. 【变式7.1】（24-25高二下·湖北·阶段练习）现从3名女生和2名男生中随机选出2名志愿者，用表示所选2名志愿者中男生的人数，则为（    ） A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 【解题思路】根据超几何分布概率公式求出各取值的概率，然后由期望公式可得；也可根据超几何分布的期望公式直接可得. 【解答过程】的所有可能取值为，则. 所以， 所以. 另解：因为X服从超几何分布，所以. 故选：B. 【变式7.2】（23-24高二下·山东青岛·期中）从装有个白球，个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出个红球得分，每取出个白球得分. 按照规则从容器中任意抽取个球，所得分数的期望为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据取出小球的所有情况写出得分的所有可能，根据超几何公式求得各个取值对应的概率，进而得到其分布列，求出期望. 【解答过程】解：设得分为，根据题意可以取，，. 则，， ， 则分布列为： 4 3 2 所以得分期望为. 故选：A. 【题型8 超几何分布的方差】 【例8.1】（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布，求出对应的概率，根据数学期望，方差的公式及性质计算即可． 【解答过程】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布， 故 所以 ， ， 故选：D． 【例8.2】（2024·浙江金华·二模）口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（　　） A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η） B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η） C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η） D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η） 【解题思路】当时，的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出， ；当时，η可取1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出， ，即可得解． 【解答过程】当时，ξ的可能取值为1，2，3， ，，， ∴，； 当时，η可取1，2，3，4， ，， ，， ∴， ； ∴，． 故选：A． 【变式8.1】（23-24高二下·广东东莞·期中）学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用X表示抽取的志愿者中女生的人数， (1)求抽取的2人恰有1个女生的概率； (2)请写出随机变量的分布列、数学期望与方差. 【解题思路】（1）由古典概型的概率公式计算可得； （2）由题意可知的取值为，，，然后由超几何分布求出对应的概率，即可得到分布列，从而求出期望与方差． 【解答过程】（1）依题意，抽取的人恰有个女生的概率； （2）由题意可知的可能取值为，，， 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 故， ． 【变式8.2】（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）某大学的武术协会有10名同学，成员构成如下表所示.表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为. 性别 中文 数学 英语 体育 男 1 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加该市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相等）. (1)求、的值； (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； (3)设为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量的分布列、均值及方差. 【解题思路】（1）先根据已知列方程算出，进一步可得； （2）根据古典概型概率计算公式即可求解； （3）由超几何分步的概率公式，可得分布列，进一步得均值、方差公式. 【解答过程】（1）由题意得  解得. 由，得解得. （2）所求的概率为 . （3）由已知，这10名同学中是女生或者专业为数学的人数为7，Y的可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 均值为， 方差为. 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 【解题思路】由超几何分布的定义分别判断各个选项即可． 【解答过程】对于A:将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X,是二项分布，A选项错误； 对于B:从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X,是超几何分布，B选项正确； 对于C:某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X,是两点分布，C选项错误； 对于D:盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数,不是超几何分布，D选项错误. 故选：B. 2．（24-25高二下·全国·随堂练习）若随机变量，则的值为（    ） A．0.8 B．4 C．5 D．3 【解题思路】根据二项分布的期望公式运算求解. 【解答过程】因为，所以. 故选：B. 3．（23-24高二下·江苏南京·期末）一批零件共有10个，其中有3个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意结合超几何分布分析求解即可. 【解答过程】由题意可知：恰有1个不合格品的概率为. 故选：C. 4．（24-25高二下·全国·课后作业）设随机变量满足：，且，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【解题思路】由二项分布的概率公式计算可得，再由二项分布的方差公式可得，根据方差性质可得结果. 【解答过程】由题可得，解得， 即． 又随机变量满足，故． 故选：C. 5．（23-24高二下·吉林白山·期末）已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【解题思路】由二项分布的概念，根据二项式系数的对称性即可求解. 【解答过程】由题得， 由题知在中，最大值只有， 即在中，最大值只有，由二项式系数的对称性可知. 故选：. 6．（24-25高二下·全国·课后作业）一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次停止，设停止时共取了次球，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据二项分布的定义即可得到答案. 【解答过程】由题意知第12次取到红球，前11次中恰有9次取到红球，2次取到白球，由于每次取到红球的概率为． 由二项分布知识可知， 故选：D． 7．（23-24高二下·广东广州·期末）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．五位二进制数与出现的概率相同 【解题思路】依题意可得，根据二项分布的概率公式及期望、方差公式判断即可. 【解答过程】由二进制数的特点知，每一个数位上的数字只能为或，且每个数位上的数字互不影响， 故的可能取值有0，1，2，3，4，5， 且的取值表示出现的次数，由二项分布的定义，可得， 故，故A错误； 因为，所以，故B错误； ，故C错误， 五位二进制数与出现的概率均为，故D正确． 故选：D． 8．（23-24高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用超几何分布和二项分布知识分别计算从中随机地无放回摸出3个球、从中随机地有放回摸出3个球的期望、方差，再做比较可得答案． 【解答过程】试验一：从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为， 则的可能取值是0，1，2，3， 则， ，， 故随机变量的概率分布列为： 0 1 2 3 则数学期望为：， 方差为：； 试验二：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为， 则， 故，， 故，． 故选：A． 二、多选题 9．（24-25高二下·全国·课后作业）一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为，若该射手射击四次命中次数为，每次命中的概率为，则（    ） A． B． C．或 D． 【解题思路】先根据已知条件结合二项分布定义判断A，根据条件直接判断B，根据二项分布概率公式列方程求判断C，D. 【解答过程】设此射手射击四次命中次数为，每次命中的概率为，， 则的可能取值有，且， 依题意可知，， 所以 ， 所以，所以或（舍去）. 故选：ABD. 10．（24-25高二下·全国·课后作业）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列说法中正确的是（    ） A．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的总得分，则服从超几何分布 B．若表示取出的黑球的个数，则服从超几何分布 C．若表示取出白球的个数，则 D．若表示取出黑球的个数，则 【解题思路】AB选项，根据超几何分布的定义判断；CD选项，根据超几何分布的概率公式计算. 【解答过程】A，B均根据超几何分布的定义可得，故A错，B正确； C中， ，故C错误； D中，，故D正确． 故选：ABD. 11．（23-24高二下·山东聊城·期末）如图，我国传统珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任选3颗，记上珠的个数为，下珠的个数比上珠的个数多，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由超几何分布的概率以及期望、方差即可. 【解答过程】由题意知，. ， 则，故A错误，B正确； 由题意知，. ， ， 故CD正确； 故选：BCD. 三、填空题 12．（24-25高二下·全国·课后作业）腿型连续跳跃机器人属于一种关节式跳跃机器人，在电机及蓄能元件的耦合驱动下实现跳跃运动．已知某款跳跃机器人依据指针显示的颜色种类来执行跳动，假设其指针共有两种颜色，指针显示红色时，机器人只能向前跳动一个单位；显示黄色时，机器人只能向右跳动一个单位，若将该机器人初始位置记为坐标原点，向右为x轴正方向，向前为y轴正方向，机器人跳动五次停止，则机器人向右跳动的次数不超过3次的概率为 ． 【解题思路】根据二项分布的概率公式计算，注意不超过3次含有0次，1次，2次，3次共4种情形． 【解答过程】依题意，记机器人向右跳动的次数为，则易知，所以机器人向右跳动的次数不超过3次的概率为 ． 故答案为：． 13．（24-25高二下·全国·课后作业）某公司为新产品做宣传，给1000位客户邮寄此产品，经过审核，该产品的正品率为0.95，对于邮寄到次品的客户，公司会重新补发2件，则补发产品数的数学期望为 100 ． 【解题思路】根据题意，得到次品数，求得，再由补发的产品数，结合，即可求解. 【解答过程】由题题意，可得次品率为，且次品数服从二项分布，即， 所以． 邮寄到次品的客户，公司会重新补发2件，补发的产品数记为，即， 所以，即补发产品数的数学期望为. 故答案为：. 14．（24-25高二下·全国·课后作业）盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X表示取到白球的个数，η表示取到黑球的个数．给出下列各项：①；②；③;④．其中正确的是 ①②④ ．（填上所有正确结论的序号） 【解题思路】应用超几何分布求出数学期望,再结合方差性质求解变形随机变量的方差. 【解答过程】由题意可知X服从超几何分布，也服从超几何分布， ． 又X的分布列为 X 0 1 2 P ， ． 的分布列为 1 2 3 P ， ． ， ∴①②④正确. 故答案为：①②④. 四、解答题 15．（24-25高二下·全国·课前预习）某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数的分布列. 【解题思路】由条件确定的可能取值，再结合二项分布分布列结论求的分布列. 【解答过程】由题意可知的可能取值有，且， ，， 则， ， ， . 的分布列为 0 1 2 3 16．（2025高三·全国·专题练习）写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？ (1)表示次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数. (2)有一批产品共有件，其中次品有件（ ，采用有放回抽取方法抽取次 ，抽出的次品件数为. (3)有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法抽件，出现次品的件数为. 【解题思路】（1）判断，写出二项分布列即可； （2）判断，写出二项分布列即可； （3）判断服从超几何分布，写出分布列即可. 【解答过程】（1）的分布列为 0 1 2 .. .. 服从二项分布，即. （2）的分布列为 0 1 2 .. .. 服从二项分布，即. （3）的分布列为 0 1 .. .. .. .. 服从超几何分布. 17．（24-25高二下·全国·课后作业）一个袋子中装有A品种种子10颗，B品种种子2颗，A，B品种种子外形、大小一样．现从袋中连续取3次种子，每次取1颗． (1)有放回抽取时，求抽取B品种种子数的均值与方差； (2)不放回抽取时，求抽取B品种种子数的分布列及其均值． 【解题思路】（1）有放回时，每次抽到B品种种子的概率为定值，所以抽到B品种种子数服从二项分布，利用二项分布的期望与方差公式直接求值. （2）无放回时，抽取B品种种子数服从超几何分布，列出分布列，求出期望. 【解答过程】（1）由题得每抽取一次拿到品种种子的概率为．所以随机变量服从二项分布． ，. （2）由题可知，服从超几何分布，所有可能取值为 且；，. 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 ． 18．（24-25高二下·全国·课后作业）随着生活水平的提高，家用小轿车进入千家万户，在给出行带来方便的同时也给交通造成拥堵．交通部门为了解决某十字路口的拥堵问题，安装了红绿灯．通过测试后发现，私家车在此路口遇到红灯的概率为． (1)若遇到红灯的概率为，求不同时刻的5辆私家车在该路口有3辆车遇到红灯的概率； (2)当私家车遇到红灯的方差达到最大时，求5辆私家车遇到红灯的车辆数的分布列与期望． 【解题思路】（1）由独立重复事假概率计算公式即可求解； （2）由题意确定私家车遇到红灯的概率是，由二项分布即可求解. 【解答过程】（1）由题设，路口遇到红灯私家车数量，则． （2）由题设，路口遇到红灯私家车数量， 一辆私家车遇到红灯的方差为， 当且仅当时方差达到最大，此时私家车遇到红灯的概率是． 由题可得，的可能取值为，则 ， ， ． 所以其分布列为： 0 1 2 3 4 5 ． 19．（23-24高二下·北京延庆·期中）袋中有6个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为． (1)求的分布列； (2)求； (3)若摸出一个黑球得10分，摸出一个白球得5分，总分为分，求的值． 【解题思路】（1）由的可能取值为0，1，2，结合超几何分布即可求解； （2）由超几何分布期望公式求解即可； （3）由数学期望的性质即可求解． 【解答过程】（1）由题意得，的可能取值为0，1，2，且， ， ， ， 所以的分布列如下． 0 1 2 （2）因为，所以． （3）由已知得， 因为， 所以，所以． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$