专题1.8 角平分线（专项练习）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.8 角平分线（专项练习） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，且有，则点在（   ） A．第一、三象限角平分线上 B．第二、四象限角平分线上 C．坐标轴上 D．坐标原点 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，两把直尺的长分别为，，宽分别为，，纸上画有，将两把直尺的一边缘沿的边摆放，两直尺的另一边的边缘的交点在的平分线上，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁锦州·二模）已知，用圆规和没有刻度的直尺，按如图所示的步骤作出，观察图中的作图痕迹，可以得出的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知平分，是上一点，于，若，则点与射线上某一点连线的长度可以是（     ） A．4 B．8 C．5 D．6 5．（23-24八年级上·河南周口·期中）青山村计划在一块周长为的三角形闲置土地上挖一口水井，使得水井到土地边沿的距离相等，已知这块土地的面积是，那么这口水井到土地边沿的距离是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测）以的顶点为圆心，大于二分之一为半径画弧与分别交于两点，分别以这两点为圆心，以大于二分之一两点间距离为半径（半径不变）画弧，，，，那么的长是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·天津西青·期末）如图，已知的两条角平分线，相交于点，是外角的平分线，的延长线与交于点，连接交于点，若，有下列结论： ①； ②； ③点到直线，直线，直线的距离相等； ④． 其中正确的结论个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（22-23八年级下·福建宁德·期中）如图，在中，点M，N为AC边上的两点，，于点D，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 9．（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，已知，为的角平分线上一点，连接、；如图，已知，、为的角平分线上两点，连接、、、；如图，已知，、、为的角平分线上三点，连接、、、、、；…，依次规律，第个图形中全等三角形的对数是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，平分交于点D，以为一条直角边作，其中交于点F，交于点G，线段上有一动点P，于点Q，连接，则下列结论中： ①； ②为等腰三角形； ③； ④， ⑤的最小值是； 正确的个数是（        ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，垂直于的平分线交于点D，交于点E，，若的面积为6， 则的面积为 ． 12．（22-23八年级下·辽宁本溪·期末）如图，是内一点，且点到三边，，的距离，，相等，若，则 ． 13．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，，点D在的外部，且平分，过点D作，交的延长线于点E，，交于点F，连接．若，，则的度数为 ． 14．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，已知是线段的垂直平分线，直线经过点，过点作，垂足是，点是线段上一点，连接、，，平分，则线段、、之间的等量关系是 ． 15．（2024·河北邯郸·二模）如图，已知，根据几何作图的痕迹，解决下列问题：    （1） ； （2）若，则 °． 16．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，三个顶点坐标分别为是线段上的一点，连接并延长交于点．若平分，则点的坐标是 ．    17．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在Rt中，，点到轴的距离，点到轴的距离为6，平分，若轴上存在一动点使得的值最小，则点的坐标为 ． 18．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，，，（），与交于点，与交于点，连接．当为等腰三角形时，的度数为 ．    三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级上·江苏常州·期中）已知：如图，，，点在上，，垂足为，，垂足为，求证： （1）是的平分线； （2）． 20．（本小题满分8分）（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）【动手操作】如图①，已知． ①用量角器画的平分线． ②在上任取一点M，画，垂足分别为． ③度量点M到的距离，你发现了什么？在上再取几点试一试． （2）【实验发现】角的平分线上的点到角的两边的距离_______． （3）【结论应用】如图②，点P是的平分线上一点，，垂足为D，且是射线上一动点，则的最小值是_______． 21．（本小题满分10分）（23-24八年级上·北京顺义·期末）已知：如图，在中，点D是中点，平分．求证：． 下面是这道题的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明过程． 方法一 证明：如图，过点D作于点E，于点F． 方法二 证明：如图，延长至点E，使得，连接． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·辽宁大连·期末）（1）期末复习期间，王老师对教材页题进行变式训练，提出下面问题，请你解答． 如图，在中，是它的角平分线，求证：； （2）爱思考的小昀同学对这道题添加了一个条件，也提出了一个问题，请你解解答． 如图，在中，是它的角平分线，且，求证：． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为，．点D在x轴的负半轴上，，点C在线段上且，在射线上有一点E，连接交y轴于点F，且． （1）求证：； （2）求的面积是多少． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，已知，，且满足，连接，    （1）直接写出，两点的坐标：________，________； （2）如图1，点为线段上一点，且点的横坐标为1，点为第四象限一点，满足且，求点的坐标； （3）如图2，为的角平分线，点为上一点，以为直角边作等腰，其中，且点在第四象限，，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C B C C D D D C 1．A 【分析】本题考查了角平分线的判定，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，根据题意可得点的横坐标和纵坐标同号，且点到x轴和y轴的距离相等，进而可得答案． 解：∵点的坐标为，且， ∴点的横坐标和纵坐标同号，且点到x轴和y轴的距离相等， ∴点在第一、三象限角平分线上， 故选：A． 2．A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，平行线间距离；点分别作的垂线，垂足分别为，由角平分线的性质得到，由平行线间距离相等可知，，则，而和的长度未知，故二者不一定相等，据此可得答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵点在的平分线上， ∴， 由平行线间间距相等可知，，， ∴， 由于和的长度未知，故二者不一定相等， 故选：． 3．C 【分析】本题考查了复杂作图掌握三角形的内角和定理、角平分线的性质、及三角形的外角定理，先根据作图得出，平分，再根据三角形的内角和定理、角平分线的性质、及三角形的外角定理求解，熟练掌握相关性质是解题的关键． 解：由作图得：，平分， ， ， ， ， ， 故选：Ｃ． 4．B 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短．熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等，是解题的关键． 过点P作于点G，设点Q为上某一点，连接，根据角平分线的性质可得，根据，取即可． 解：过点P作于点G，设点Q为上某一点，连接， ∵平分，于，， ∴， ∵， ∴， ∴取． 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形面积计算，画出图形，设出水井到土地边沿的距离，根据三角形的面积列出方程，解方程即可． 解：三角形闲置土地如图所示，    由题意，设点P到，，的距离为h， ∵， ∴， 又∵的周长为，即， ∴， ∴， 即这口水井到土地边沿的距离是， 故选：C． 6．C 【分析】本题考查的是角平分线的作图，勾股定理的应用，二次根式的化简，根据角平分线的作图可得，利用勾股定理和角的直角三角形的性质求出的长，再根据含30度角的直角三角形的性质可得答案． 解：在中， ∴ ∴ ∴在中， ∴ ∴ ∴， ∴； 故选：C． 7．D 【分析】由角平分线的定义得到，再由平角的定义可得，即，由此即可判断①；根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到，则，由此即可判断②；根据角平分线的性质即可判断③；由平行线和角平分线的定义证明，得到，同理可得，由此即可判断④． 解：∵分别平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴，故①正确； ∵的两条角平分线，相交于点 ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵分别平分， ∴点G到直线的距离等于点G到直线，点G到直线的距离等于点G到直线的距离， ∴点到直线，直线，直线的距离相等，故③正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴，故④正确； 故选D． 【点拨】本题主要考查了角平分线的定义和性质，等角对等边，三角形内角和定理，平行线的性质等等，熟知角平分线的性质和定义是解题的关键． 8．D 【分析】根据看垂直平分线的性质可得，和可得平分，进而得到，最后由三角形内角和求出即可． 解：∵，，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点拨】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 9．D 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解体的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后找规律．根据图证出有对三角形全等，根据图证出有对三角形全等，根据图证出有对三角形全等，根据数据可分析出第个图形中全等三角形的对数． 解：是的平分线， ， 在和中， ， ， 图中有对三角形全等； 同理图中， ， 又， ， 又， ， 图中有对三角形全等； 同理图中有对三角形全等； 由此发现：第个图形中有全等三角形的对数是． 故选：D． 10．C 【分析】利用的性质证明，可得①符合题意；证明，可得，，再证明，可判断②符合题意；由，，可判断③符合题意；由，可得，可判断④符合题意；如图，过作于，过作于，而，平分，可得，则当，，关系，且时，最短，即最短，即图中的，再求解的长度可判断⑤，从而可得答案. 解：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即，故①符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，，而， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故②符合题意； ∵，， ∴，故③符合题意； ∵，，， ∴，故④符合题意； 如图，过作于，过作于，而，平分， ∴， ∴当，，关系，且时，最短，即最短，即图中的，    ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴的最小值为1；故⑤不符合题意； 故选C 【点拨】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，角平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，作出合适的辅助线是解本题的关键. 11．1 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定，掌握等高的两个三角形的面积比等于底边长度之比是解题的关键．先证明，从而可得到，然后先求得的面积，可得到的面积． 解：解∶平分， ． ， ． 在和中， ． ，的面积为6，， ． 又， 故答案为：1． 12．/115度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质．根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出点是三角形三条角平分线的交点，再根据三角形的内角和定理求出，然后求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 解：到三边、、的距离， 点是三角形三条角平分线的交点， ， ， ， 在中，． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的外角性质．连接，过点D作，交的延长线于点G，证明平分，平分，利用三角形的外角性质求得，进一步计算即可求解． 解：连接，过点D作，交的延长线于点G， ∵，，， ∴平分， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】连接，过点作交于点，根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，根据角平分线的概念和性质得出，，根据可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，结合三角形的外角性质得出，，推得，根据可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，即可求解． 解：连接，过点作交于点，如图： ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故， 故答案为：． 【点拨】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，角平分线的概念，三角形的外角性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 15． 44 【分析】（1）由作图痕迹可知是线段的垂直平分线，由此可得； （2）由作图痕迹可知是的角平分线，由此得，根据三角形内角和定理求出的度数，即可得的度数． 本题考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，以及三角形内角和定理．熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的尺规作图法是解题的关键． 解：（1）由作图痕迹可知是线段的垂直平分线， ， 故答案为：． （2）由作图痕迹可知是的角平分线， ， 中，，， ， ， 故答案为：44． 16． 【分析】过点M作于点P，由角平分线的性质可得，再证，推出，设点M的坐标为，则，用勾股定理解求出m，再将直线和直线的解析式联立，即可求出点N的坐标． 解：， ，，， ． 如图，过点M作于点P，     平分，，， ， 在和中， ， ， ， ， 设点M的坐标为，则， ，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 点M的坐标为， 设直线的解析式为， 将和代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得， 点的坐标是． 故答案为：． 【点拨】本题考查坐标与图形，角平分线的性质，勾股定理，求两条直线的交点坐标，全等三角形的判定和性质等，通过作辅助线构造直角三角形，从而求出点M的坐标是解题的关键． 17． 【分析】先求得点A、C的坐标，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时的值最小，求直线的表达式，进而求出直线与x轴交点坐标即可． 解：过A作轴于E， ∵平分，轴，， ∴， ∵点到轴的距离为6， ∴，则， ∵，，， ∴， ∴， ∵点到轴的距离， ∴， ∴， 作点C关于x轴对称的点，则，连接交x轴于点P，连接， 此时的值最小， 设直线的表达式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的表达式为， 令，由得， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 【点拨】本题考查求一次函数的解析式、坐标与图形、角平分线的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、最短路径问题等知识，根据对称性质得到点P的位置是解答的关键． 18．或 【分析】根据，分两种情况讨论：当时，当时，设，过点作，垂足分别为，得出在的角平分线线上，进而根据三角形内角和定理，三角形的外角的性质，即可求解． 解：如图所示，当时，是等腰三角形，    设，过点作，垂足分别为， ∵， ∴对应边上的高相等，即， ∴在的角平分线线上， ∵是的外角， ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： 如图所示，当时，是等腰三角形，    设 同理可得, ∴ ∵ ∴ 解得： ， 由于，不存在的情形， 综上所述，的度数为，或． 故答案为：或． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 19．（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的定义及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键， （1）证明，即可得证； （2）根据角平分线的性质定理即可得证． 解：（1）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线； （2）解：由（）得是的平分线， ∵，， ∴． 20．（1）见详解；（2）相等；（3）3 【分析】（1）根据要求画出图形；利用测量法解决问题． （2）由（1）的结论，即可作答． （3）根据垂线段最短，作图，再结合角平分线的性质，即可作答． 本题考查作图基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 解：（1）如图所示；    发现了；又在上再取点和点,同样发现； （2）由（1）得：角的平分线上的点到角的两边的距离相等； 故答案为：相等． （3）如图所示：过点作，    则的最小值为线段的长度， ∵点P是的平分线上一点，，垂足为D，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 21．证明见分析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义和性质，全等三角形的性质与判定等等： 方法一：先由角平分线的性质得到，进而分别证明，得到，，则可得到，即可利用三线合一定理证明结论； 方法二：证明，得到，再由角平分线的定义推出，得到，则，即可利用三线合一定理证明结论． 解：证明：方法一：如图，过点D作于点E，于点F， ∵平分，，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵点D是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵点D是中点， ∴； 方法二：如图，延长至点E，使得，连接， ∵点D是中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点D是中点， ∴． 22．（）证明见分析；（）证明见分析 【分析】（）作，，垂足为，设点到的距离为，由角平分线的性质得，最后利用等面积法即可求证； （）在上截取，连接 ，证明，则， ，，根据三角形外角性质和等腰三角形的性质可得，，则，最后利用线段和差即可求证． 解：证明：（）如图，作，，垂足为，设点到的距离为， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （）如图，在上截取，连接 ， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形计算面积的方法等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 23．（1）见详解；（2）25 【分析】（1）由点B的坐标为，得出．， ，用勾股定理求出，进而可求，根据勾股定理及逆定理即可证明结论； （2）作于，于，连接，证明，进而得出，利用角直角三角形的性质即可求出高进而求面积． 解：（1）证明：， ， ，， ， ， 中，， 和中， ， ， ， ， ， ，， 中，， ， ， 为直角三角形， ； （2）解：作于，于，连接， ， ，， ， ， ， ， 平分， 于，于， ，， ，， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 【点拨】本题考查了坐标与图形、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理及勾股定理、勾股定理的逆定理等，综合性强，正确作出辅助线是解题的关键． 24．（1），；（2）；（3）证明见分析 【分析】（1）非负性求出的值，即可； （2）过点作于点，过点作轴于点，易得是等腰直角三角形，得到，进而得到，证明，得到，，即可得出结果； （3）在上截取一点，使得，连接、，过点作于点，过点作于点，证明，推出是等腰直角三角形，进而推出是等腰直角三角形，证明，推出，即可得出结论． 解：（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴，； （2）过点作于点，过点作轴于点 由（1）知，，， ∴， ∴， ∵的横坐标为1， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴   ∴ ∵， ∴ ∴ 在和中    ∴ ∴， ∴； （3）在上截取一点，使得，连接、，过点作于点，过点作于点， 在和中    ∴ ∴， ∴， 即是等腰直角三角形， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴  ， ∴， ∴． 【点拨】本题考查坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，非负性，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$