专题6.8 解三角形的综合应用大题专项训练【七大题型】-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题6.8 解三角形的综合应用大题专项训练【七大题型】 【人教A版（2019）】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 1．（23-24高一下·北京通州·期末）在△中，角所对的边为，△的面积为S，且． (1)求角； (2)若，试判断△的形状，并说明理由． 2．（2025高一·全国·专题练习）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．判断的形状. 3．（23-24高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，试判断的形状. 4．（24-25高一·上海·假期作业）（1）在中，若,判断的形状； （2）在中，若，判断的形状； （3）在中，若，判断的形状. 5．（24-25高一下·北京·阶段练习）在中，． (1)求的大小； (2)若，求证：为直角三角形． 题型二 几何图形中的计算 用向量证明线段垂直 用向量证明线段垂直 6．（24-25高一下·重庆·阶段练习）如图，已知在平面四边形中，，，． (1)若该四边形存在外接圆，且，求； (2)若，求． 7．（2024·全国·模拟预测）如图，四边形为梯形，，，，． (1)求的值； (2)求的长． 8．（2024高一下·山东临沂·期中）如图，在平面四边形中，，，，，．    (1)求的值； (2)求的长． 9．（23-24高一下·河南开封·期中）已知四边形是由与拼接而成，如图所示，，.    (1)求证：； (2)若，，求的长. 10．（23-24高一下·河北衡水·期末）如图所示，在平面四边形ABCD中，，，，，． (1)求BD的长； (2)若AC与BD交于点O，求的面积． 题型三   11．（23-24高二下·湖北咸宁·期末）在中，角，，的对边为，，，已知，且. (1)若，求； (2)证明：; 12．（23-24高一下·安徽·期中）已知锐角分别为角的对边，若. (1)求证：； (2)求的取值范围. 13．（23-24高一下·江苏连云港·期末）在中，AD是的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上． (1)用正弦定理证明； (2)若，求DE的长． 14．（2024·全国·模拟预测）在中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之间，． (1)求证：． (2)若，求证：． 15．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在中，内角，都是锐角. (1)若，，求周长的取值范围； (2)若，求证：. 题型四 16．（23-24高一下·浙江·阶段练习）在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)求角； (2)若点M在边上BC满足，且，求面积的最大值. 17．（23-24高一下·甘肃·期中）已知，，分别为三个内角A，，的对边，． (1)求证：； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 18．（23-24高一下·天津·期中）的内角的对边分别为已知. (1)若的周长等于3，求； (2)若为锐角三角形，且； ①求； ②求面积的取值范围. 19．（24-25高三上·湖南·阶段练习）如图，在平面四边形中，. (1)若，求的大小； (2)若，求四边形面积的最大值. 20．（24-25高二下·辽宁本溪·开学考试）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S为的面积）. 问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______. (1)求角B的大小； (2)AC边上的中线，求的面积的最大值. 题型五 求三角形中的边长或周长的最值或范围 21．（23-24高一下·广东惠州·期中）已知的内角所对的边分别是. (1)求角； (2)若外接圆的直径为，求周长的取值范围. 22．（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为，向量，，且. (1)求角C的值； (2)若，求的取值范围. 23．（23-24高一下·广东惠州·期中）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________. (1)求角B； (2)若，求周长的最小值. 24．（23-24高一下·辽宁·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，. (1)求角B的大小； (2)若，求的取值范围. 25．（23-24高一下·北京大兴·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若． （i）再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． （ii）求周长的取值范围． 题型六 距离、高度、角度测量问题 26．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，，，，都在同一个铅垂面内（与水平面垂直的平面），，为海岛上两座灯塔的塔顶．测量船于处测得点和点的仰角分别为，，于处测得点和点的仰角均为，，求点，间的距离（提示：）． 27．（24-25高一下·全国·课后作业）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影．如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站，已知基站高，该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站底部的仰角为，测得基站顶端的仰角为，求出山高（结果保留整数）．（参考数据：，，，，） 28．（24-25高一下·全国·单元测试）已知，是两个小区的所在地，，到一条公路的垂直距离分别为，，，两地之间的距离为．如图所示，某移动公司将在，之间找一点，在处建造一个信号塔，使得对，的张角与对，的张角相等，试确定点到点的距离． 29．（23-24高一下·河北唐山·期中）如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 30．（23-24高一下·吉林·期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，并在点C处测得塔顶A的仰角.    (1)求B与D两点间的距离； (2)求塔高. 题型七 解三角形与三角函数性质的综合应用 31．（2024·湖南·模拟预测）已知函数. (1)求函数的定义域和值域； (2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值. 32．（23-24高一下·广东清远·期中）已知函数. (1)当时，求函数的最小正周期以及它的图象相邻两条对称轴的距离； (2)设，在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求面积的最大值. 33．（23-24高二下·浙江温州·期末）已知函数. （Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围. 34．（23-24高一下·四川巴中·期末）已知函数的部分图象如图所示．    （1）求函数的解析式； （2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求． 35．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知函数的最大值是4，函数图象的一条对称轴是，一个对称中心是． (1)求的解析式； (2)已知中，是锐角，且，边长为3，求的面积的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.8 解三角形的综合应用大题专项训练【七大题型】 【人教A版（2019）】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 1．（23-24高一下·北京通州·期末）在△中，角所对的边为，△的面积为S，且． (1)求角； (2)若，试判断△的形状，并说明理由． 【解题思路】（1）应用面积公式及余弦定理得出正切进而得出角； （2）先应用正弦定理及两角和差的正弦公式化简得出，结合判断三角形形状即可. 【解答过程】（1）在中，因为，则， 整理得，且，所以. （2）由正弦定理得, , , , 于是, 又，故，所以或，因此（舍去）或，所以. 是等腰直角三角形. 2．（2025高一·全国·专题练习）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．判断的形状. 【解题思路】 先根据题目条件和正弦定理边化角得出；再利用及两角和的正弦公式得出，进而可判断的形状. 【解答过程】为等腰三角形或直角三角形. 证明如下： 由及正弦定理得: ， 即， 即， 整理得:， 所以， 故或， 又因为A、B、C为的内角， 所以或， 因此为等腰三角形或直角三角形． 3．（23-24高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，试判断的形状. 【解题思路】（1）利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用余弦定理结合已知条件可得出，利用（1）中的结果可判断出的形状. 【解答过程】（1）因为，则，整理可得， 由余弦定理可得， 又因为，故. （2）因为，则， 由余弦定可得， 即，整理可得，则， 又，故为等边三角形. 4．（24-25高一·上海·假期作业）（1）在中，若,判断的形状； （2）在中，若，判断的形状； （3）在中，若，判断的形状. 【解题思路】（1）利用正弦定理及余弦定理化角为边，即可判断形状； （2）利用余弦定理进行判断即可； （3）利用正弦定理及余弦定理化角为边，即可判断形状. 【解答过程】（1）结合正弦定理及余弦定理知，原等式可化为， 整理，得，所以或， 当时，，为直角三角形； 当时，，为直角三角形； 故三角形为等腰三角形或直角三角形. （2）因为，由余弦定理， 得，即，所以. 又，所以为等边三角形； （3）由条件得,即, 由正、余弦定理，得，所以. 故为等腰三角形. 5．（24-25高一下·北京·阶段练习）在中，． (1)求的大小； (2)若，求证：为直角三角形． 【解题思路】（1）在中，，结合降幂公式，化简即可得到答案； （2）利用余弦定理，结合，化简即可求证. 【解答过程】（1）由于在中，，则， 所以，可化简为：，即， 因为，所以. （2）由（1）知，根据余弦定理得：， 由于，则，所以，则是以为直角的直角三角形. 题型二 几何图形中的计算 用向量证明线段垂直 用向量证明线段垂直 6．（24-25高一下·重庆·阶段练习）如图，已知在平面四边形中，，，． (1)若该四边形存在外接圆，且，求； (2)若，求． 【解题思路】（1）根据外接圆得到，在中，有余弦定理得，在中，利用余弦定理求出； （2）设，则，由正弦定理得到方程组，求出，由正弦定理求出答案. 【解答过程】（1）因为四边形存在外接圆，则， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 解得； （2）设，则， 分别在、中用正弦定理可得 ，则， ，则， ，则或（舍）， 故. 7．（2024·全国·模拟预测）如图，四边形为梯形，，，，． (1)求的值； (2)求的长． 【解题思路】（1）计算出，利用两角和的余弦公式可求得的值； （2）在中，利用正弦定理可求出BD的长，再在中利用余弦定理可求得BC的长. 【解答过程】（1）因为，且，解得，． 而，所以， 所以 因为，所以，所以． （2）在中，由正弦定理得， 因为，所以． 在中，由余弦定理得 ， 所以． 8．（2024高一下·山东临沂·期中）如图，在平面四边形中，，，，，．    (1)求的值； (2)求的长． 【解题思路】（1）利用余弦定理可得出关于的方程，解出的长，判断出为等腰三角形，即可求得的值； （2）计算出的值，以及，利用两角和的正弦公式求出的值，再利用正弦定理可求得的长. 【解答过程】（1）解：在中，，，， 由余弦定理可得， 整理可得，，解得，则， 故为等腰三角形，故. （2）解：由（1）知，，又因为，则， 因为，则为锐角， 且， 所以， ， 在中，由正弦定理， 可得. 9．（23-24高一下·河南开封·期中）已知四边形是由与拼接而成，如图所示，，.    (1)求证：； (2)若，，求的长. 【解题思路】（1）求出的范围，利用正弦定理即可证明结论； （2）写出与的关系，进而求出的正弦值和余弦值，求出的长，利用余弦定理即可求出的长. 【解答过程】（1）由题意证明如下， 在中，， ∴. ∵， ∴. 在中，由正弦定理得， ， 即，， ∴， ∴. （2）由题意及（1）得 设，， ，，，，， 则在中，由正弦定理得，，即， 可得，① 在中，由正弦定理得，， 可得， 可得，② 联立①②，可得， 可得，可得，. 在中，由正弦定理得，，可得. 在中，由余弦定理得，， 可得， 可得，解得或（舍）， ∴的长为. 10．（23-24高一下·河北衡水·期末）如图所示，在平面四边形ABCD中，，，，，． (1)求BD的长； (2)若AC与BD交于点O，求的面积． 【解题思路】（1）根据余弦定理在中求解，进而根据和差角公式可得，即可由余弦定理求解， （2）根据三角形边角关系，结合余弦定理和和差角公式即可求解，利用面积公式即可求解. 【解答过程】（1）由题意，在中，，，， 由余弦定理得，， 所以， 在中，， 所以， 所以， 在中，由余弦定理可知， 所以． （2）由（1）可知，又因为，所以为等边三角形， 所以，， 在中，，所以， 在中，， 故， 所以， 所以， 在中，由正弦定理可知，即，解得， 所以． 题型三   11．（23-24高二下·湖北咸宁·期末）在中，角，，的对边为，，，已知，且. (1)若，求； (2)证明：; 【解题思路】（1）根据，，然后结合正弦定理以及二倍角公式解得. （2）根据（1），然后结合余弦定理证明即可； 【解答过程】（1）依题意，，所以，即， 由正弦定理可知，，即， 从而， A为三角形内角，故. （2）由（1）可知，，由余弦定理可得：， 即， 则，又， 故， 从而. 12．（23-24高一下·安徽·期中）已知锐角分别为角的对边，若. (1)求证：； (2)求的取值范围. 【解题思路】（1）根据题干，利用余弦定理化简可得，再由正弦定理可得即，再根据是锐角三角形，所以即可得解； （2）由是锐角三角形，所以，由正弦定理可得结合角的范围即可得解. 【解答过程】（1） 根据正弦定理，由 ， 即. 是锐角三角形， ，， 因此有 （2）是锐角三角形，，而， 由正弦定理，得， 则， 而 所以， 因此的取值范围为. 13．（23-24高一下·江苏连云港·期末）在中，AD是的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上． (1)用正弦定理证明； (2)若，求DE的长． 【解题思路】（1）由正弦定理知，，，结合条件可得结论； （2）由余弦定理可求得，进而利用（1）的结论可求. 【解答过程】（1）由正弦定理知，在中，， 在中，， 由，， 所以， 所以； （2）在中，由余弦定理可得， 所以，由（1）可得，所以， 因为是边上的中线，所以， 所以. 14．（2024·全国·模拟预测）在中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之间，． (1)求证：． (2)若，求证：． 【解题思路】（1）分别在，，中，利用正弦定理即可得证； （2）设，则，，在，中，利用正弦定理即可得证. 【解答过程】（1）如图．在中，由正弦定理，得． 在中，由正弦定理，得． 在中，由正弦定理，得． 所以， 所以． （2）因为， 所，所以． 由可知，均为锐角． 由（1）知，． 设，则，． 由，得． 在中，由正弦定理，得． 在中，由正弦定理，得． 所以． 15．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在中，内角，都是锐角. (1)若，，求周长的取值范围； (2)若，求证：. 【解题思路】（1）根据正弦定理可得，然后可得 ，然后结合的范围求出的范围可得答案； （2）由条件可得为锐角，然后由可得，即可证明. 【解答过程】（1）因为，，所以， 所以， 因为 所以 ， 因为内角，都是锐角，， 所以，即，所以， 所以，所以周长的取值范围为， （2）若，则，所以为锐角， 所以，所以， 因为内角，都是锐角，所以， 所以， 所以. 题型四 16．（23-24高一下·浙江·阶段练习）在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)求角； (2)若点M在边上BC满足，且，求面积的最大值. 【解题思路】（1）先利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解； （2）法一：先量化结合基本不等式求出的最大值，再根据三角形的面积公式即可得解.法二：利用双余弦定理结合基本不等式求出的最大值，再根据三角形的面积公式即可得解. 【解答过程】（1）由， 由正弦定理得， 即，所以， 又，所以； （2）法一：由M在边BC上满足，可得， 两边平方可得， 所以，所以， 当且仅当时取“”， 所以，所以， 即面积的最大值为. 法二：由，则， 由余弦定理可得， 即， 可得， 又因为， 所以， 当且仅当时取“＝”， 所以，所以， 即面积的最大值为. 17．（23-24高一下·甘肃·期中）已知，，分别为三个内角A，，的对边，． (1)求证：； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【解题思路】（1）根据题意利用正弦定理可得，利用三角恒等变换分析可得，即可得结果； （2）根据题意利用余弦定理可得，，利用正弦定理边化角，结合正弦函数可得，即可得结果. 【解答过程】（1）因为， 由正弦定理可得， 又因为， 代入整理得， 且，则， 可得，整理得， 由可知，则，解得， 可知，所以． （2）因为，即， 由余弦定理可得，即， 所以， 由正弦定理可得， 则，， 则， 可得 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，可得， 则，可知， 所以． 18．（23-24高一下·天津·期中）的内角的对边分别为已知. (1)若的周长等于3，求； (2)若为锐角三角形，且； ①求； ②求面积的取值范围. 【解题思路】（1）利用余弦定理求出的关系，再结合三角形的周长即可得解； （2）①根据三角形内角和定理结合二倍角的正弦公式即可得解；②先求出角的范围，再利用正弦定理求出边，再根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得解. 【解答过程】（1）由余弦定理及已知条件得，， 又因为的周长等于3， 所以，得。 联立方程组， 解得； （2）①根据题意， 得， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以； ②因为是锐角三角形， 由①知得到， 故，解得， 由正弦定理，得， 又，所以， 所以 ， 又因， 故， 所以， 故的取值范围是. 19．（24-25高三上·湖南·阶段练习）如图，在平面四边形中，. (1)若，求的大小； (2)若，求四边形面积的最大值. 【解题思路】（1）在中，先求出，再在利用正弦定理求出，利用大角对大边进行取舍； （2）把四边形的面积用题干中给出的变量进行表示，求解最值即可. 【解答过程】（1）解：由已知，得， 所以，所以. 在中，因为，所以，又， 由正弦定理得，得， 因为，所以，所以，所以. （2）在中，由已知， 所以， 由余弦定理 ， 在中，因为， 又，所以 所以 ， 所以四边形的面积， 因为，所以，当，即时，， 故四边形面积的最大值为. 20．（24-25高二下·辽宁本溪·开学考试）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S为的面积）. 问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______. (1)求角B的大小； (2)AC边上的中线，求的面积的最大值. 【解题思路】（1）若选①：根据正弦定理，化简得到，再由余弦定理得到，即可求解； 若选②：由三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，化简得到，得到，即可求解； 若选③：由正弦定理化简可得到，求得，即可求解. （2）根据向量的运算法则和基本不等式，化简得到，结合面积公式，即可求解. 【解答过程】（1）解：若选①：在中，因为， 由， 可得， 由正弦定理得，即， 则， 又因为，故. 若选②：由，可得，所以， 因为，所以. 若选③：因为， 正弦定理得， 又因为，所以， 即， 因为，，所以， 又因为，可得； 综上所述：选择①②③，都有. （2）解：由，可得， 所以，可得，当且仅当时取等号，   则，当且仅当时取等号， 则的面积的最大值为. 题型五 求三角形中的边长或周长的最值或范围 21．（23-24高一下·广东惠州·期中）已知的内角所对的边分别是. (1)求角； (2)若外接圆的直径为，求周长的取值范围. 【解题思路】（1）根据题意，利用正弦定理化简得到，再由余弦定理，即可求解； （2）方法一：由正弦定理求得，利用余弦定理和基本不等式，求得，进而求得周长的取值范围； 方法二：根据题意，利用正弦定理求得，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【解答过程】（1）因为， 由正弦定理可得，即， 又由余弦定理得，又因为，所以. （2）方法一：因为外接圆的直径为， 由正弦定理得，则， 由余弦定理得， 因为，所以，即， 由三角形性质知，当且仅当时，等号成立， 所以，故周长的取值范围为. 方法二：因为外接圆的直径为， 由正弦定理得，则， 因为，可得，所以， 所以，故周长的取值范围为. 22．（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为，向量，，且. (1)求角C的值； (2)若，求的取值范围. 【解题思路】（1）根据数量积的坐标表示，方法一：利用正弦定理和余弦定理角化边可得；方法二：利用和差公式化简即可得解. （2）方法一：利用正弦定理将表示为关于角的函数，根据二倍角公式化简，由正切函数的性质可得；方法二：利用正弦定理将b表示为关于角的函数，利用正切函数性质求出b的范围，由余弦定理用b表示c，然后表示出，根据函数单调性可解. 【解答过程】（1）因为， 所以 ， 方法一：利用正弦定理角化边得， 又， ，则， 又为锐角三角形，故. 方法二：由和差公式可得， 又因为，所以， 又为锐角三角形，故. （2）由正弦定理得， ， 由于为锐角三角形，则， 又，解得， 方法一：所以 ， 而，即， ，故的取值范围为. 方法二：所以，所以， 又，所以， 由余弦定理得， 记， 易知在上单调递增， 所以，即， 所以的取值范围为. 23．（23-24高一下·广东惠州·期中）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________. (1)求角B； (2)若，求周长的最小值. 【解题思路】（1）分别选三个条件，结合三角恒等变换，以及边角互化，化简后即可求解； （2）由余弦定理可得，利用基本不等式可求出的最小值，即可求出周长最小值，再利用面积公式求出面积 【解答过程】（1）选①， 由正弦定理可得，即得， 即有，由于，可得，即. 选②， 由正弦定理可得， 因为，，所以，即. 由于，可得. 选③， 由正弦定理和诱导公式可得，即为， 由余弦定理可得. 由于，可得. （2）由（1）知，由余弦定理可得， 即为，而，即. 若，则，可得（当且仅当时取得等号）， 则，所以周长的最小值为6. 24．（23-24高一下·辽宁·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，. (1)求角B的大小； (2)若，求的取值范围. 【解题思路】（1）根据正弦定理得到，由余弦定理得到； （2）由正弦定理得到，，故，由得到，进而得到，求出答案. 【解答过程】（1）因为，， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 因为，所以； （2）由正弦定理得， 所以， 由（1）得， 故 因为，所以，故， 所以，， 故， 则. 25．（23-24高一下·北京大兴·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若． （i）再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． （ii）求周长的取值范围． 【解题思路】（1）利用正弦定理边化角化简得，计算即得． （2）（i）选择条件①利用正弦定理计算判断三角形不唯一；，选择条件②，利用余弦定理及三角形面积公式计算求解；选择条件③，利用正弦定理计算判断，再求出三角形面积；（ii）利用余弦定理及基本不等式计算即可. 【解答过程】（1）由可得, 因为在中，所以， 即，因为，所以. （2）（i）若选条件①，结合（1）及， 由正弦定理,可得， 则满足条件的三角形不存在，故不能选条件①， 若选条件②：，结合（1）及， 由余弦定理，可得，解得， 易知，故此时满足条件的三角形唯一. 所以. 若选条件③：，结合（1）及， 因为,所以为锐角, 由,可得， 因为在中 所以. 易知满足条件的三角形唯一. 由正弦定理,可得, 所以. （ii）由余弦定理， 可得， 结合基本不等式，可得， 解得：,当且仅当，原式取等. 又在中易得. 所以周长. 周长的取值范围为. 题型六 距离、高度、角度测量问题 26．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，，，，都在同一个铅垂面内（与水平面垂直的平面），，为海岛上两座灯塔的塔顶．测量船于处测得点和点的仰角分别为，，于处测得点和点的仰角均为，，求点，间的距离（提示：）． 【解题思路】方法一：通过仰角以及三角形外角定理，用正弦求出AD，以及AB，再在 中用余弦定理求解即可； 方法二：通过说明△AMC≌△DMC，先求AB，再利用正弦定理求BD. 【解答过程】方法一   在中，，， 由正弦定理，得． 在中，，， 由正弦定理，得． 在中，， 由余弦定理，得 ． 即点，间的距离为． 方法二   如图，过点作垂直水平线于点，过点作垂直水平线于点，记与的交点为． 由外角定理，得， 所以． 又易知， 所以，所以为的中点，所以， 又， 所以． 所以点，间的距离为． 27．（24-25高一下·全国·课后作业）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影．如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站，已知基站高，该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站底部的仰角为，测得基站顶端的仰角为，求出山高（结果保留整数）．（参考数据：，，，，） 【解题思路】在中利用正弦定理求出，再在中利用锐角三角函数求出，即可得解. 【解答过程】依题意可得，， 在中，由正弦定理得，即， 所以， 在中，，即， 所以， 所以山高． 28．（24-25高一下·全国·单元测试）已知，是两个小区的所在地，，到一条公路的垂直距离分别为，，，两地之间的距离为．如图所示，某移动公司将在，之间找一点，在处建造一个信号塔，使得对，的张角与对，的张角相等，试确定点到点的距离． 【解题思路】设，，则，，，依题意用表示出，由二倍角的正切公式求得，即可求解． 【解答过程】设，， 则，，． 依题意得，， 由得，，解得， 故点到点的距离为． 29．（23-24高一下·河北唐山·期中）如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 【解题思路】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕，可知，利用余弦定理运算求解； （2）根据（1）中结果，利用正弦定理可得，进而可得结果. 【解答过程】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕， 由题意可知：， 由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得， 所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕. （2）由（1）可知：， 由正弦定理可得， 且为锐角，则，可得， 所以缉毒船的行驶方向为北偏东. 30．（23-24高一下·吉林·期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，并在点C处测得塔顶A的仰角.    (1)求B与D两点间的距离； (2)求塔高. 【解题思路】（1）根据正弦定理即可得到答案； （2）首先根据正弦定理求出，再根据三角函数定义即可得到答案. 【解答过程】（1）在中，. 由正弦定理得， ， （2）. 在中，由正弦定理得 ， ， 在中，. 题型七 解三角形与三角函数性质的综合应用 31．（2024·湖南·模拟预测）已知函数. (1)求函数的定义域和值域； (2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值. 【解题思路】（1）先化简，然后利用真数大于0可得，即可求出定义域，继而求出值域； （2）先利用（1）可得，结合锐角三角形可得，然后利用正弦定理进行边变角即可求出答案 【解答过程】（1） ， 所以要使有意义， 只需，即， 所以，解得 所以函数的定义域为， 由于，所以， 所以函数的值域为； （2）由于，所以， 因为，所以，所以即， 由锐角可得，所以， 由正弦定理可得 ， 因为，所以所以， 所以的最大值为2. 32．（23-24高一下·广东清远·期中）已知函数. (1)当时，求函数的最小正周期以及它的图象相邻两条对称轴的距离； (2)设，在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求面积的最大值. 【解题思路】（1）利用求出最小正周期，并求出图象相邻两条对称轴距离； （2）由正弦二倍角公式得到，由余弦定理求出，由基本不等式求出，从而得到面积最大值. 【解答过程】（1）的最小正周期为， 它的图象相邻两条对称轴的距离为； （2）由题意得，即， 因为，所以，故， 由余弦定理得，即， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 故，解得， 其中， 故面积， 故面积的最大值为. 33．（23-24高二下·浙江温州·期末）已知函数. （Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围. 【解题思路】（Ⅰ）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （Ⅱ）由（1）及，求得，根据正弦定理得到，，得到，结合，即可求解. 【解答过程】（Ⅰ）由题意，函数， 所以函数的最小正周期为， 令，解得， 所以函数的单调递增区间是，. （Ⅱ）由（1）可得，因为，可得， 由正弦定理可知，所以，， 由及为锐角三角形，解得， 则 . 因为，可得，所以， 所以. 34．（23-24高一下·四川巴中·期末）已知函数的部分图象如图所示．    （1）求函数的解析式； （2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求． 【解题思路】（1）根据图形求出最小正周期可求得，代入点可求得； （2）根据求得，根据面积求出，即可由余弦定理求得. 【解答过程】解：（1）据图象可得，故， 由得：． 由得：． 由知，， ，解得， ； （2），， ，， ，， 由题意得的面积为，解得， 由余弦定理得，解得：. 35．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知函数的最大值是4，函数图象的一条对称轴是，一个对称中心是． (1)求的解析式； (2)已知中，是锐角，且，边长为3，求的面积的最大值． 【解题思路】（1）根据三角函数性质可确定解析式； （2）根据余弦定理，基本不等式可得面积最大值． 【解答过程】（1）设的最小正周期为， ∵图象的一条对称轴是，一个对称中心是， ∴， ∴，解得， ∵，则， ∵图象的一条对称轴为， ∴， ∵，∴， 又∵的最大值是4， ∴，则． （2）∵，∴， 又，∴，即， 在中，， 当且仅当时取等号，则， 则的面积为， 所以的面积的最大值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$