7.1.2 两条直线垂直 课时1 垂线 课件 2024—2025学年人教版七年级数学下册

第七章 相交线与平行线 7.1 相交线 7.1.2 两条直线垂直 课时1 垂线 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 垂线的概念 6. 课堂小结 7. 当堂小练 CONTENTS 3. 新课导入 5. 知识点2 垂线的画法及性质 9. 拓展与延伸 2. 知识回顾 8. 对接中考 1. 理解垂线的概念. 2. 会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线. 3. 体会作已知直线的垂线的存在性和唯一性，归纳出垂线的基本事实. 学习目标 知识回顾 邻补角互补 对顶角相等 对顶角 邻补角 两条直线相交 定义 性质 定义 性质 有一条公共边且另一边互为反向延长线 一个公共顶点且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线 新课导入 观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？ 新课导入 ） α a b b b b b ） α 取两根木条 a、b，将它们钉在一起，固定木条 a ，转动木条 b． （1）在木条 b 的转动过程中，什么量也随之发生改变？ a 与 b 所成的角也随之发生改变 （2）木条 b 与 a 成 90°的位置有几个？此时，木条 b 与 a 所在的直线有什么位置关系？ a 与 b 垂直 新课讲解 知识点1 垂线的概念 在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b. 当b的位置变化时，a，b所成的角∠α也会发生变化. 当∠α=90°时，我们说a与b互相垂直，记作a⊥b. 新课讲解 当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直. 其中一条直线叫作另一条直线的垂线；它们的交点叫作垂足. 如右图，直线AB与直线CD垂直， 记作：AB⊥CD，垂足是O；   “⊥”是“垂直”的记号，读作“垂直于”； 而“┐”是图形中“垂直”(直角)的标记. C D A O B 8 新课讲解 如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，若∠BOC = 90°，则AB，CD 互相垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB 垂直于 CD”，直线 AB 叫做直线 CD 的垂线(或直线 CD 叫做直线 AB 的垂线)，交点 O 叫做垂足. 垂直的表示方法： 如果用 l，m 表示这两条直线，那么直线 l 与直线 m 垂直，可记作：l⊥m (或 m⊥l ). A B C D O l m 新课讲解 C D A O B 可以写成下面的形式： 因为∠AOD=90°，(已知) 所以AB⊥CD. (垂直的定义) 反过来，如果AB⊥ CD，那么∠AOD是多少度？写出这个推理过程 如果AB⊥CD，(已知) 那么∠AOD=90°. (垂直的定义) 注意：两条直线互相垂直是它们相交的一种特殊情况. 新课讲解 垂直的定义具有双重作用： ①知线垂直得直角； ②知直角得线垂直. 如图，①若 AB⊥CD，则∠BOC =∠AOC =∠AOD =∠BOD =90°； ②若∠BOC =90°，则 AB⊥CD. A B C D O 新课讲解 【问题】1. 两条直线垂直和相交是什么关系？ 2. 能否认为在同一平面内，两条直线的位置关系有 3 种：相交，平行，垂直？ 垂直是相交的特殊情况 不能，因为垂直是相交的特殊情况 3. 如何判定两条射线垂直？两条线段呢？ 两条线段垂直、两条射线垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直、射线与直线垂直，都是指它们所在的直线垂直． 新课讲解 例 1. 如图，AO⊥CO，直线 BD 经过点 O，且∠1 =20°，则∠COD 的度数为( ) A.70° B.110° C.140° D.160° B ∠AOC =90° ∠COB =90°-20°=70° ∠COD =180°- 70°= 110° 新课讲解 当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系？为什么？ 解：当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线的位置关系是互相垂直. 这是因为当两条直线相交时，它们所形成的四个角总和为360°. 如果每个角都相等，那么每个角的度数即为90°，也就是直角. 因此，这两条直线是垂直的‌. 练一练 新课讲解 知识点2 垂线的画法及性质 A .B l . 1. 画已知直线l的垂线能画几条？ 2. 过直线 l 上的一点A画l的垂线，这样的垂线能画几条？ 3. 过直线 l 外的一点B画l的垂线，这样的垂线能画几条？ 新课讲解 【问题】这样画 l 的垂线可以画几条？ “一放” l O 【探究】用三角尺或量角器画已知直线l的垂线. （1）如图，已知直线 l，画 l 的垂线. A 无数条 “二靠” “三画” … 新课讲解 【探究】用三角尺或量角器画已知直线l的垂线. （2）经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？ l A “一落” “二移” “三画” 让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合 沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点· 沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线， 1条 新课讲解 【探究】用三角尺或量角器画已知直线l的垂线. (3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？ l B “一落” “二移” “三画” 1条 新课讲解 可以发现，经过一点（在已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线. 垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 归纳 1. 不能忽略“在同一平面内”这个条件，因为如果不在同一平面内，那么过一点有无数条直线与已知直线垂直. 2.“有且只有”指“存在且唯一”. 注意 新课讲解 例 2. 如图，过点P画出射线AB或线段AB的垂线. A B P A B P A B P O O 解：如图所示. 画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，垂足可能在这条线段或射线上，也可能在线段的延长线上或射线的反向延长线上. 总结 新课讲解 练一练 1. 如图，分别过点P作线段MN的垂线. O O O O 新课讲解 练一练 2. 下列说法正确的有（ ）： ①两条直线相交，交点叫做垂足； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③在同一平面内，一条直线有且只有一条垂线； ④在同一平面内，一条线段有无数条垂线； ⑤过一点不可能向一条射线或线段作垂线； ⑥若l1⊥l2，则l1是 l2的垂线，l2不是 l1的垂线. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 A 课堂小结 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 画法 定义 垂线 当两条直线相交所成的四个角中有一个角为 90°时，这两条直线互相垂直， 其中一条直线叫做另一条直线的垂线. 利用三角尺或量角器画：一靠、二过、三画 基本事实 当堂小练 1. 如图所示，若 AB ⊥ CD 于点 O ，则∠AOD = _____；若∠BOD = 90°，则 AB _____ CD. 90° ⊥ 当堂小练 2. 如图，在三角形ABC中，过点B画边AC的垂线，下列画法正确的是 ( ) D A C B D 垂足有时在线段的延长线或射线的反向延长线上，所画的垂线是实线.若需延长线段或反向延长射线，则用虚线。 当堂小练 3. 在下列条件中： ①两直线相交所成的四个角都是直角； ②两直线相交，对顶角互补； ③两直线相交所成的四个角都相等， 可以判定两条直线互相垂直的是（ ） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ D 当堂小练 4. 在直线AB 上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD 于点O.当∠AOC=30°时，∠BOD的度数为( ) A.60° B.120° C.60°或90° D.60°或120° 解：分两种情况讨论： ①如图①，因为OC⊥OD， 所以∠COD=90°, 所以∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=60°; ②如图②，因为OC⊥OD， 所以∠COD=90°, 所以∠AOD=∠COD-∠AOC=60°, 所以∠BOD=180°-∠AOD=120°. 综上所述，∠BOD的度数为60°或120°. ① ② D 当堂小练 5. 如图，直线 AB 和 CD 交于点 O，OD 平分∠BOF，OE⊥CD，垂足为 O，若∠AOC = 40°，则 ∠EOF =_______. 分析： ∠EOF = 90°+∠DOF OD 平分∠BOF ∠AOC = ∠DOB ∠EOF = 90°+40° = 130° 130° 当堂小练 6. 如图，AB ⊥ l ，BC ⊥ l ，B 为垂足，那么 A、B、C 三点在同一直线上吗？为什么？ 解：A、B、C 三点在同一直线上. ∵AB ⊥ l ，BC ⊥ l . 且交点都为 B . ∴A、B、C 三点在同一直线上（在同一平面内， 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）. 当堂小练 7. 如图，已知O为直线AB上一 点，OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，则OE与OD有什么位置关系?为什么? 解：OE⊥OD.理由如下： 因为OE平分∠BOC，OD 平分∠AOC， 所以∠COE= ∠BOC，∠COD= ∠AOC. 因为∠AOC+∠BOC=180°, 所以∠COD+∠COE= (∠AOC+∠BOC)= ×180°=90°，即∠DOE=90°， 所以OE⊥OD. 当堂小练 8. 如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OM⊥AB. (1) 若 ∠1 = ∠2，求∠NOD 的度数； (2) 若 ∠1=∠AOC，求 ∠BOC 和 ∠MOD 的度数. 分析：(1) ∠1 = ∠2 OM⊥AB ∠2+∠AOC = 90° ∠NOD = 90° 90° (2) ∠BOC = ∠1+90° ∠MOD = 180°-∠1 需求出 ∠1 的度数 已知∠1 = ∠AOC OM⊥AB 设∠1 = x°，列方程 x+2x=90求∠1 ∠MOD = 150° ∠BOC = 120° 未知角度 逆向思考 与已知角度建立联系 (可设未知数列方程） 对接中考 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥ CD，垂足为O，若∠ 1=54°，则∠ 2 的度数为( ) A. 26° B. 36° C. 44° D.54° B 拓展与延伸 1. 如图，直线 AB，CD 相交于 O 点，OM⊥AB 于 O . （1）若∠1 =∠2，求∠NOD； （2）若∠BOC = 4∠1，求∠AOC 与∠MOD. 解：（1）∵ OM ⊥ AB ， ∴∠1 + ∠AOC = 90°. 又∵∠1 = ∠2， ∴∠2 + ∠AOC = 90°， ∴∠NOD = 180°-（∠2 + ∠AOC） = 180°- 90°= 90°. （2）由已知条件∠BOC = 4∠1， 即 90°+∠1 = 4∠1，可得∠1 = 30°， ∴∠AOC = 90°- 30° = 60°， ∴由对顶角相等可得∠BOD = 60°， ∴∠MOD = 90°+∠BOD = 150°. 拓展与延伸 2. 如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD，OE平分∠BOC. (1)若∠BOE=60°，求∠AOF的度数； (2)若∠BOD:∠BOE=4:3，求∠AOF的度数. 解：(1)因为OE平分∠BOC，∠BOE=60°， 所以∠BOC=2∠BOE=120°, 所以∠AOC=180°-∠BOC=60°. 因为OF丄CD，所以∠COF=90°, 所以∠AOF=∠COF-∠AOC=90°- 60°=30°. (2)因为OE平分∠BOC， 所以∠BOE=∠COE. 因为∠BOD:∠BOE=4:3， 所以设∠BOD=4x°，则∠BOE=3x°, 所以∠COE=3x°, 因为∠BOD+∠BOE+∠COE=180°, 所以10x=180，解得x=18， 所以∠BOD=4×18°=72°， 所以∠AOC=∠BOD=72°. 因为OF丄CD，所以∠COF =90°， 所以∠AOF =∠COF -∠AOC=90°-72°=18°. Lavf58.46.101 $$