预习专题03 一元一次不等式的应用（2知识点+9考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（沪教版2024）

专题03 一元一次不等式的应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 一、知识与技能目标 1. 学生能够从实际问题中抽象出一元一次不等式模型。 2. 熟练运用解一元一次不等式的方法求出不等式的解集。 二、过程与方法目标 1. 通过分析实际问题中的数量关系，提高学生的逻辑推理能力。从问题的已知条件到不等关系的建立，再到求解和结论的得出，每一步都需要严谨的逻辑思维。 2. 经历将实际问题转化为数学模型（一元一次不等式）的过程，让学生学会如何从复杂的现实情境中提取关键信息，构建数学模型来解决实际问题，增强学生的数学应用意识。 三、情感态度与价值观目标 让学生感受到数学在解决生活中的实际问题时的实用性，从而提高学生学习数学的兴趣。 一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 销售与采购问题 例1．某批电子产品进价为200元/件，售价为350元/件，为提高销量，商店准备将这批电子产品降价出售，若要保证单件利润率不低于，则该批电子产品最多可降价多少元？若设该批电子产品可降价x元，则可列不等式为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】为了活跃学生们的课余生活，学校新建棋室，现欲购买一批象棋和围棋，已知购买3副象棋和2副围棋共需160元，购买2副象棋和3副围棋共需165元， (1)求每副象棋和围棋的价格． (2)如果学校准备购买象棋和围棋共100副，且总费用不超过3225元．那么最多能购买多少副围棋． 【变式1-2】少年强则中国强！随着双减政策的落地实施，某校结合实际，开设了多门特色课程．为了更好地开展 三大球类活动，学校计划再次采购足球、篮球和排球共100个，其中篮球的个数是足球2倍，价格如表所示．设足球的个数为x． (1)完成表格： 管小共 足球 篮球 排球 单价（元） 90 120 60 个数（个） x 总价（元） (2)若要求排球的个数不少于足球的2倍，求最多可以购买多少个足球？ (3)若要求采购的总资金不超过7500元，求最多可以购买多少个足球？ 【变式1-3】振兴乡村，打造特色农产品，沙坪坝区中梁镇政府组织销售“诗意田园，中梁好物”特色农产品A，B两种礼盒，端午节前预售A礼盒400盒和B礼盒100盒，且预售中B礼盒的售价是A礼盒售价的2倍． (1)若预售总额不少于21000元，则每盒A礼盒的预售价最少是多少元？ (2)沙坪坝区中梁镇政府在端午节三天假期间计划推出A礼盒3200盒，B礼盒800盒．由于预售的火爆，决定将A礼盒的价格在（1）中最低价格的基础上增加，而B礼盒在（1）中的售价上增加了a元，结果A礼盒的销售量比计划少，B礼盒的销售量与计划保持一致，最终实际销售额与计划销售额相等，求a的值． 【变式1-4】某校为开设智能机器人编程的校本课程，购买了两种型号的机器人模型．已知型机器人模型的单价比型机器人模型的单价多200元，购买5台型机器人模型的费用比购买7台型机器人模型的费用多400元． (1)求型、型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)若学校需购进两种机器人共40台，总费用不超过18000元，那么至多可以购进型机器人多少台？（列不等式解决问题） 【变式1-5】某商场用22000元同时购进两种型号背包各400个，购进型号背包30个所用钱数比购进型号背包15个所用钱数多300元． (1)求两种型号背包的进货单价各为多少元？ (2)若商场把两种型号背包均按每个50元定价进行零售，同时为了扩大销售，拿出一部分背包按零售价的7折进行批发销售．若全部售完后，总获利不低于10500元，则商场用于批发的背包数量最多为多少个？ 【解题技巧反思】 一元一次不等式销售问题核心步骤 第一步：理解题意，首先要仔细阅读题目，理解题目中的背景信息和具体要求。识别题目中提到的商品数量、价格、利润率等关键信息。 第二步：识别不等关系，在销售问题中，常见的不等关系包括利润、折扣、销售数量等。例如，题目中可能会提到“利润率不低于20%”或“最多可以打几折出售此商品”等，这些都需要转化为数学不等式。 第三步：设未知数，根据题目中的信息，合理设定未知数。例如，设商品的进价为x元，售价为y元，销售数量为n等。 第四步：列出不等式，根据题目中的不等关系，列出一元一次不等式。例如，利润不低于20%可以表示为(y−x)≥0.2x。 第五步：求解不等式，解出所列的不等式，得到未知数的取值范围。 第六步：检验解的合理性，确保解出的值符合题目的实际意义，例如销售数量不能为负数等。 行程问题 例2．甲、乙两地相距44千米，小王原打算上午6点从甲地出发，参加上午10点在乙地召开的会议．由于有事，出发推迟了20分钟，小王每小时至少行驶 千米才不会迟到． 【变式2-1】北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口．则小车当前行驶速度 的取值范围是 　 　． 【变式2-2】一艘轮船从某江上游的地匀速驶到下游的地用了5小时，从地匀速返回地用了不到6小时．已知这段时间内，江水的流速为，轮船在静水里的往返速度不变．那么在上述情况下，轮船的速度应满足的条件为 　 　． 【变式2-3】“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人”，每年6，7月份是荔枝销售旺季，为了保持荔枝的新鲜度，种植大户李大爷需要合理安排荔枝的采摘整理，装卸搬运和车辆运送事宜．已知从李大爷的种植基地到水果集散中心要走两段道路，一段是三级路，一段是二级路．其中三级路比二级路短，两段路总长为． （1）从种植基地到水果集散中心的路程中，三级路和二级路的路程各是多少？ （2）荔枝采摘整理后要及时送往水果集散中心冷库保鲜，因此装卸搬运和运送时间不能超过6小时．运送过程中，车辆在三级路的行驶速度为，在二级路的行驶速度为，那么装卸搬运最多能用多少小时？ 【变式2-4】如图，点、是数轴上的两个点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，且． (1)直接写出：__________，_________，线段的中点对应的数为_________； (2)点、分别从点、出发同时向左匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，点、在运动过程中，当为何值时，有最小值，最小值为多少？ 【解题技巧反思】 一元一次不等式行程问题解题方法 1.审题：识别题目中提到的速度、路程、时间等关键信息。 2.转化：在行程问题中，常见的不等关系包括速度和、速度差、时间等。例如，题目中可能会提到“速度之和”、“速度之差”等，这些都需要转化为数学不等式。 3. 设元：根据题目中的信息，合理设定未知数。例如，设速度为x，时间为y等。 4. 列式：根据题目中的不等关系，列出一元一次不等式。 5. 求解：解出所列的不等式，得到未知数的取值范围。 6. 检验：确保解出的值符合题目的实际意义，例如速度不能为负数等。 工程问题 例3．某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？ (2)学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，求乙工程队工作的总天数． 【变式3-2】一个工程队原定在10天内至少要挖土，在前两天一共完成了，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务．以后6天内平均每天至少要挖土多少？ 【变式3-3】某工程队计划在10天内修路8千米，施工前2天修完1.4千米后，计划发生改变，准备至少提前2天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少？ 【变式3-4】现有甲乙两个工程队参加一条道路的施工改造，受条件限制，每天只能由一个工程队施工．若甲工程队先单独施工3天，再由乙工程队单独施工5天，则可以完成340米施工任务；若甲工程队先单独施工2天，再由乙工程对单独施工4天，则可以完成260米的施工任务． （1）求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施工任务？ （2）要改造的道路全长1300米，工期不能超过30天，那么乙工程队至少施工多少天？ 【解题方法总结】 工程问题解题步骤 1. 审题：理解题目中的已知条件和未知量，明确工作量、工作效率和工作时间的关系。 2. 设未知数：根据题目中的信息，合理设定未知数，通常设工作效率或工作时间为未知数。 3. 列不等式：根据题目中的不等关系，列出一元一次不等式。 4. 解不等式。 5. 检验解的合理性：确保解出的值符合题目的实际意义，例如工作效率不能为负数等。 分配问题 例4．为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，现有甲、乙两种客车，原计划租用甲种45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的乙种60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满． (1)求参加此次研学活动的师生共有多少人？ (2)若同时租用两种客车，要使每位师生都有座位，甲种客车数量比乙种客车的5倍多1辆，则至少租用多少台乙种客车？ 【变式4-1】为了防控新冠病毒，学校积极对校园环境进行消毒，购买了A、B两种消毒液共100升，其中A消毒液每升6元，B消毒液每升9元． (1)如果购买这两种消毒液共用780元，那么A、B两种消毒液各买多少升？ (2)学校在使用消毒液的时候发现，如果将A消毒液与B消毒液以的比例混合使用效果最佳，所以这次购买的消毒液按此法使用后，还会剩_______种消毒液_____升． (3)如果学校再次去购买这两种消毒液，预算不超过1500元，依旧按混合使用，则最多再购买多少升A种消毒液能把之前的剩余消毒液一起用完不剩余？ 【变式4-2】学校现有若干个房间分配给初三（1）班的男生住宿，已知该班男生不足50人，若每间住4人，则余15人无住处；若每间住6人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是　　人． 【变式4-3】一水果经销商购进了，两种水果各10箱，分配给他的甲、乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售（整箱配货），预计每箱水果的盈利情况如下表： 种水果箱 种水果箱 甲店 11元 17元 乙店 9元 13元 （1）如果按照“甲、乙两店各配货10箱，其中种水果两店各5箱，种水果两店各5箱”的方案配货，请你计算出经销商能盈利多少元？ （2）如果按照“甲、乙两店盈利相同配货”的方案配货，请写出一种配货方案：种水果甲店　2　箱，乙店　　箱；种水果甲店　　箱，乙店　　箱，并根据你填写的方案计算出经销商能盈利多少元？ （3）在甲、乙两店各配货10箱，且保证乙店盈利不小于115元的条件下，请你设计出使水果经销商盈利最大的配货方案，并求出最大盈利为多少元？ 比较方案问题 例5．江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完，如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完，如果要在10分钟抽完水，那么至少需要抽水机 台． 【变式5-1】一家电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元、B型每台4000元、C型每台2500元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑． (1)若该中学只购买A型电脑和B型电脑，且购买A型电脑的数量比购买B型电脑的数量的一半还少1台，要求购买的总价不超过90000元，则最多可以购买多少台A型电脑？ (2)若该中学现有专项资金100500元，计划从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑，且这笔资金恰好全用完．请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由． (3)这家电脑公司为提高B型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台B型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买B型电脑，拿出的旧电脑和购买的B型电脑数量一共是30台．若要使购买B型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，且购买B型电脑的实际总费用不少于100000元，则要在计划的基础上再多买a台B型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？ 【变式5-2】上海东平国家森林公园和明珠湖公园的联票的普通成人票是每张120元，30人以上（含30人）的团体票可享受八折优惠．现有28名大学生相约去这些景点旅游，景点售票点同意他们享受团体优惠，但必须按30人购买团体票． (1)他们购买团体票比购买普通票便宜吗？请说明理由． (2)若买团体票的人数不足30人时，则至少有多少人才可买30人的团体票比买普通票便宜？ 【变式5-3】小明分三次和家人、朋友一起参观某科技馆，只有一次恰逢科技馆成人票和学生票都打折，其余两次均按标准票价购买门票（无任何优惠）．三次参观科技馆时，购买成人票和学生票的数量和费用如表所示： 购买门票的数量（张 购买总费用（元 成人票 学生票 第一次购物 5 2 380 第二次购物 3 4 340 第三次购物 7 5 310 (1)小明以折扣价购买门票是第　　次参观； (2)求出每张成人票和每张学生票的标准票价； (3)如果成人票和学生票的折扣相同，问：当购买成人票和学生票共15张，并且享受同样的折扣，购票总费用不超过320元时，有几种购票方案？（要求必需购买成人票） 几何问题 例6．建设一个长、宽分别是5米和4米的长方体的蓄水池，计划这个蓄水池至少能蓄水50立方米，如果设这个蓄水池的深度为米，那么列出的不等式为 ． 【变式6-1】一个长方形纸片，若长为，周长不超过，则宽的取值范围是 【变式6-2】长方形的一边长为2米，另一边长为米，它的周长不大于48米，求的取值范围． 【变式6-3】十五世纪杰出的法国数学家尼古拉斯·丘凯（Nicolas chuquet）在他的名著《数学三章》中提到了“平均数的规则”即：已知a、b、c、d都是正整数，如果，那么，并给出了证明． (1)根据我们所学习过的不等式的性质，我们不难证明这个结论． 由，在不等式的两边同时乘以________________________，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上______________，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以______________，可以得到； 同理可证，所以成立． (2)丘凯在《数学三章》中对于“平均数的规则”给出了两种证明，其中一种是用图形几何的方式直观地说明了“平均数的规则”成立．    长度1是_______；长度2是_______．（用含有字母的式子表示） 积分问题 例7．为积极倡导“阳光体育”运动，某班派6名同学参加“一分钟跳绳”比赛，负责记录成绩的嘉嘉以160次为标准，超出的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中5名同学的成绩记录（单位：次）为：． (1)求这5名同学的最好成绩与最差成绩相差多少次？ (2)若这6名同学的平均成绩超过了160次，求剩下的那名同学的成绩最少为多少． 【变式7-1】一次生活常识知识竞赛一共有10道题，答对一题得5分，不答得0分，小滨有1道题没答，竞赛成绩超过30分，则小滨至多答错了 题． 【变式7-2】一张试卷有50道选择题，答对一题得2分，不答或答错一题倒扣1分，若小明这张试卷得分超过75分，则他至少答对多少道题？ 【变式7-3】足球是世界第一运动． (1)在上海市高中足球联赛中，某足球队共进行了8场比赛，得了12分，根据比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，求：该队获胜的场数几种可能； (2)在2022卡塔尔世界杯期间，以吉祥物拉伊卜为主题元素的纪念品手办、毛绒公仔、徽章套组深得广大球迷喜爱．某官方授权网店销售的手办、毛绒公仔、徽章套组售价之比为，三种纪念品售价均为整数，售价之和大于300元且小于360元，每种纪念品每人购买不超过6件．甲乙二人分别在该网店购买纪念品，结算时，两人购物车中均有三种纪念品若干，已知两人购买的毛绒公仔数相同，徽章套组数不同，乙购买的手办数量大于甲购买的手办数量，甲选购的纪念品合计1200元，乙选购的纪念品合计1440元，则两人购买手办的费用之和最多为多少元？ 分段收费问题 例8．某地光纤上网有两种收费方式，用户可以任选其一． A：计时制：元/分，B：包月制：50元/月，每一种上网时间都要再收取通信费元/分 (1)某用户某月上网时间为x小时，请写出两种收费方式下该用户应该支付的费用． (2)用户选哪一种收费方式更合算？ 【变式8-1】为实现可持续发展，资源循环利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计算方案，具体如下表所示： 档次 月用电量（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 1档 0.49 2档 0.54 3档 0.79 例：若某住户8月的用电量为300千瓦时，则需缴电费（元）． (1)若圆圆家某月用电量为千瓦时，请用含的代数式表示，当时，应缴电费为__________元，当时，应缴电费为__________元； (2)若圆圆家9月共缴电费元，求该月圆圆家的用电量． (3)圆圆家10月用电的平均费用最高为0.50元/千瓦时，请根据题意列方程并求10月最大用电量． 【变式8-2】某市出租车的收费标准如下： 里程 收费标准元 3千米以下（含3千米） 9.00 3千米以上的部分，每增加1千米 2.4 此外，每辆出租车均加收1元燃油附加费． 今天下大雨，小华想从学校打车回家，他身上只带了22元钱，经过计算，够打车到家．请问小华家到学校最多多远？ 【变式8-3】2023年，北京市燃油出租车的具体收费标准继续沿用2022年的收费标准，如下： ①出租车收费标准3公里以内收起步价13元，再加1元燃油附加费，超过3公里，超出部分按每公里2.30元收费，（不足1公里按1公里收费） ②预约叫车服务费，提前4小时以上预约每次6元，4小时以内预约每次5元； ③单程载客行驶超过15公里的部分，按原价时段基本单价元）加收的费用． ④出租车收费结算以元为位，精确到1元元以下四舍五入）， （注：如果车费不足起步价，要按起步价收费． 阅读下面材料： 2023年3月24日，三帆中学初一年级要去体检中心体检．早上小高同学起床后，准备预约中午的出超车从三帆中学去体检中心，导航显示预估打年费用为43元；出发前1小时，他发现胡同比较堵，不利于出租车通行，于是他决定顺路先步行去前方600米的路口，重新预约出租车前往体检中心，再次预约时小高同学发现预估费用是42元（两次行驶路线不变，且均一路畅通）因为体检结束时间没法确定，返程时，小高没打预约出租车，而是选择（临时叫车，小高同学乘坐出租车从体检中心返回三帆中学的过程中，在距离学校2公里时发现衣物落在了体检中心，他立刻让出租车司机掉头原路返回，并到体检中心下车． 结合以上信息，回答下列问题： （1）已知三帆中学到体检中心的距离为公里，则的范围是 　 　； （2）小高同学返回体检中心后，应付给司机多少钱？ 【变式8-4】如表中有两种手机通话计费方式： 月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元分钟） 被叫 方式一 50 150 0.20 免费 方式二 80 350 0.25 免费 （月使用费固定收：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费） （1）若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需 　 　元，按方式二计费需 　　元；王华某月按方式二计费需100元，则王华该月主叫通话时间为 　　分钟； （2）是否存在某个主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． （3）直接写出当月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式一比选择方式二省钱． 其他生活实际问题 例9．小高同学计划去文具店购买3支笔和x本笔记本，笔的单价为2元，笔记本单价为8元，若购买的总金额少于30元，依题意可列不等式： ． 【变式9-1】某校六年级三个班给某受灾地区捐款，其中（1）班捐款420元，（2）班捐款468元．如果三个班的平均捐款超过了450元，那么（3）班的捐款总数超过 元． 【变式9-2】一根弹簧长，在弹性限度（总长不超过）内，每挂质量为的物体，弹簧伸长． (1)代数式表示的实际意义是________ (2)这根弹簧最多可挂质量为多少的物体？ 【变式9-3】如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 ． 1.一工厂以90元每箱的价格购进100箱原材料，准备由甲、乙两个车间全部用于生产某种产品，甲车间用每箱原材料可生产出该产品12千克，乙车间用每箱原材料可生产出的该产品比甲车间少2千克，已知该产品的售价为40元千克，生产的产品全部售出，那么原材料最少分配给甲车间多少箱，才能使去除成本后所获得的总利润不少于35000元？ 2.甲、乙两车分别从相距210千米的、两地相向而行，甲乙两车均保持匀速行驶．若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇；若乙车比甲车提前1小时出发，则乙车出发后3小时两车相遇． （1）求甲乙两车的速度分别是多少（单位：千米小时）？ （2）若甲乙两车同时出发，甲车行驶了1小时后发生故障，甲车原地检修用了30分钟后继续原速度行驶，此时，乙车提高速度，为了保证乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，那么乙车要比原来的行驶速度至少提高多少千米小时？ 3．“双十一”活动期间，某商场销售一款商品，每件的成本是50元，销售期间发现：销售单价是100元时，每天销售量是50 件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，设每件商品的销售单价降低x元． (1)每天的销售量为________件（用含 x的代数式表示）； (2)若每天的销售量不得低于 150件，要使每天的销售利润为 4000元，该商品的销售单价应为多少元？ 4.【阅读理解】 （1）图形的平移是我们本学期学习的内容，利用图形平移变换的基本性质可以解决生活中的许多问题．数学老师布置了一个任务：在一块长为，宽为的长方形空地上．设计一条宽为的小路，剩余部分作为草坪，要求草坪的面积为：，画出设计图并求出小路的宽． 如图1，是小明同学的设计图及计算过程：（将下列过程补充完整） 小明：我利用平移的性质，将左边的草坪向右平移和右边的草坪拼成了一个如图2所示的长方形．这个长方形的面积就是草坪的面积，所以可列方程为 ，解得 ． 【类比应用】 （2）某小区物业准备在一块长为，宽为的长方形空地上铺设一条如图3所示的宽度处处相等的小路，剩余部分栽种花草，要求栽种花草的面积不少于，求小路的宽不能超过多少米？ 【拓展延伸】 （3）如图4是一个长为，宽为街心花园的设计图，空白部分为花坛，阴影部分是宽为的小路，则花坛的总面积可以表示为 ．（用含a，b的式子表示） 5.清明假期小刚与好友一同前往上海迪士尼乐园游玩，他们一早到达乐园入口等待8：30开园，已知入口处有若干条安检通道让游客通过安检入园（每天开放的安检通道数量当天不会改变），游客每分钟按相同的人数源源不断到达这里等待入园，8：42小刚通过安检进入乐园．回家后小刚通过新闻了解到，平均一个人通过安检通道入园耗时15秒，当天直到9：45安检处才没有排队人群，游客可以随到随检 (1)根据小刚当天的排队记录，他8：30到达入口处时排在第1200位，则当天开放的安检通道有多少条？ (2)根据以往数据分析，若开园时等待在入口处的游客人数与清明假期假时一致，但安检通道增加至清明假期时的1.1倍且每分钟到达入口处的游客人数与清明假期时一致时，从9：20开始游客可以随到随检．当每分钟到达入口处的游客人数增加10人时，若不增加安检通道数量，游客何时才能随到随检？ (3)迪士尼乐园管理方估计五一假期开园时等待在入口处的游客人数与清明假期假时一致时，但每分钟到达入口处的游客人数将增加50%，若希望最晚10：00开始游客可以随到随检，那至少需要增加多少条安检通道？ 6.为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每月每户用水量（吨 单价（元吨） 单价（元吨） 17吨及以下部分 2.8 超过17吨且不超过30吨的部分 超过30吨的部分 6.6 （说明：①每户的生活污水量等于该户的用水量； ②水费自来水费污水处理费）已知小明家2018年4月份用水20吨，交水费86元；5月份用水27吨，交水费128元． （1）求、的值； （2）随着夏天的到来用水量将大幅增加，小明家计划把6月份水费控制在185元，则按计划小明家6月份最多可用水多少吨？ 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元一次不等式的应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 一、知识与技能目标 1. 学生能够从实际问题中抽象出一元一次不等式模型。 2. 熟练运用解一元一次不等式的方法求出不等式的解集。 二、过程与方法目标 1. 通过分析实际问题中的数量关系，提高学生的逻辑推理能力。从问题的已知条件到不等关系的建立，再到求解和结论的得出，每一步都需要严谨的逻辑思维。 2. 经历将实际问题转化为数学模型（一元一次不等式）的过程，让学生学会如何从复杂的现实情境中提取关键信息，构建数学模型来解决实际问题，增强学生的数学应用意识。 三、情感态度与价值观目标 让学生感受到数学在解决生活中的实际问题时的实用性，从而提高学生学习数学的兴趣。 一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 销售与采购问题 例1．某批电子产品进价为200元/件，售价为350元/件，为提高销量，商店准备将这批电子产品降价出售，若要保证单件利润率不低于，则该批电子产品最多可降价多少元？若设该批电子产品可降价x元，则可列不等式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．根据利润率不低于列出不等式即可． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 【变式1-1】为了活跃学生们的课余生活，学校新建棋室，现欲购买一批象棋和围棋，已知购买3副象棋和2副围棋共需160元，购买2副象棋和3副围棋共需165元， (1)求每副象棋和围棋的价格． (2)如果学校准备购买象棋和围棋共100副，且总费用不超过3225元．那么最多能购买多少副围棋． 【答案】(1)每副象棋30元，每副围棋35元 (2)最多能购买45副围棋 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用： （1）设每副象棋元，每副围棋元，根据购买3副象棋和2副围棋共需160元，购买2副象棋和3副围棋共需165元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买了副围棋，根据总费用不超过3225元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设每副象棋元，每副围棋元，由题意，得： ，解得： 答：每副象棋30元，每副围棋35元； （2）设购买了副围棋，由题意，得：， 解得：； 答：最多能购买45副围棋． 【变式1-2】少年强则中国强！随着双减政策的落地实施，某校结合实际，开设了多门特色课程．为了更好地开展 三大球类活动，学校计划再次采购足球、篮球和排球共100个，其中篮球的个数是足球2倍，价格如表所示．设足球的个数为x． (1)完成表格： 管小共 足球 篮球 排球 单价（元） 90 120 60 个数（个） x 总价（元） (2)若要求排球的个数不少于足球的2倍，求最多可以购买多少个足球？ (3)若要求采购的总资金不超过7500元，求最多可以购买多少个足球？ 【答案】(1)，，， (2)20个 (3)10个 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；（2）（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）根据采购足球、篮球和排球数量间的关系，可用含x的代数式表示出采购篮球、排球的数量，再利用总价＝单价×数量，可用含x的代数式表示出采购篮球、排球的总价； （2）根据采购排球的个数不少于足球的2倍，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论； （3）根据采购的总资金不超过7500元，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵学校计划再次采购足球、篮球和排球共100个，其中篮球的个数是足球2倍，且足球的个数为x（个）， ∴篮球的个数为2x（个），排球的个数为（个）， ∴购买篮球的总价为（元），排球的总价为（元）． 故答案为：，，，； （2）根据题意得：， 解得：， ∴x的最大值为20． 答：最多可以购买20个足球； （3）根据题意得：， 解得：， ∴x的最大值为10． 答：最多可以购买10个足球． 【变式1-3】振兴乡村，打造特色农产品，沙坪坝区中梁镇政府组织销售“诗意田园，中梁好物”特色农产品A，B两种礼盒，端午节前预售A礼盒400盒和B礼盒100盒，且预售中B礼盒的售价是A礼盒售价的2倍． (1)若预售总额不少于21000元，则每盒A礼盒的预售价最少是多少元？ (2)沙坪坝区中梁镇政府在端午节三天假期间计划推出A礼盒3200盒，B礼盒800盒．由于预售的火爆，决定将A礼盒的价格在（1）中最低价格的基础上增加，而B礼盒在（1）中的售价上增加了a元，结果A礼盒的销售量比计划少，B礼盒的销售量与计划保持一致，最终实际销售额与计划销售额相等，求a的值． 【答案】(1)35元 (2)20 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用， （1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式即可解决； （2）找准等量关系，正确列出一元一次方程即可解决． 【详解】（1）解：设A礼盒每盒的预售价为元，则礼盒每盒的预售价为元． ， ， ∴A礼盒每盒的预售价最少为35元． （2）解：． 解得：． 答：的值为20． 【变式1-4】某校为开设智能机器人编程的校本课程，购买了两种型号的机器人模型．已知型机器人模型的单价比型机器人模型的单价多200元，购买5台型机器人模型的费用比购买7台型机器人模型的费用多400元． (1)求型、型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)若学校需购进两种机器人共40台，总费用不超过18000元，那么至多可以购进型机器人多少台？（列不等式解决问题） 【答案】(1)A型机器人模型的单价为500元，B型机器人模型的单价为300元； (2)至多可以购进型机器人台． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设A型机器人模型的单价为x元，B型机器人模型的单价为y元，根据A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，购买5台A型机器人模型的费用比购买7台B型机器人模型的费用多400元列出方程组求解即可； （2）设购进A型机器人模型台，则购进B型机器人模型台．根据总费用不超过18000元，构建一元一次不等式，然后求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设A型机器人模型的单价为x元，B型机器人模型的单价为y元． 由题意得，， 解得：， 答：A型机器人模型的单价为500元，B型机器人模型的单价为300元； （2）解：设购进A型机器人模型台，则购进B型机器人模型台． 依题意得， 解得， 答：至多可以购进型机器人台． 【变式1-5】某商场用22000元同时购进两种型号背包各400个，购进型号背包30个所用钱数比购进型号背包15个所用钱数多300元． (1)求两种型号背包的进货单价各为多少元？ (2)若商场把两种型号背包均按每个50元定价进行零售，同时为了扩大销售，拿出一部分背包按零售价的7折进行批发销售．若全部售完后，总获利不低于10500元，则商场用于批发的背包数量最多为多少个？ 【答案】(1)25元、30元 (2)500个 【分析】（1）设A、B两种型号背包的进货单价各为x元、y元，根据用22000元同时购进A、B两种型号背包各400个，购进A型背包30个比购进B型背包15个多用300元，列方程组求解； （2）设商场用于批发的背包数量为a个，根据总获利不低于10500元，列不等式，求出最大整数解． 【详解】（1）设两种型号背包的进货单价各为元、元， 由题意得：， 解得：， 答：两种型号背包的进货单价各为25元、30元． （2）设商场用于批发的背包数量为个， 由题意得，，解得： 答：商场用于批发的背包数量为500个． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解． 【解题技巧反思】 一元一次不等式销售问题核心步骤 第一步：理解题意，首先要仔细阅读题目，理解题目中的背景信息和具体要求。识别题目中提到的商品数量、价格、利润率等关键信息。 第二步：识别不等关系，在销售问题中，常见的不等关系包括利润、折扣、销售数量等。例如，题目中可能会提到“利润率不低于20%”或“最多可以打几折出售此商品”等，这些都需要转化为数学不等式。 第三步：设未知数，根据题目中的信息，合理设定未知数。例如，设商品的进价为x元，售价为y元，销售数量为n等。 第四步：列出不等式，根据题目中的不等关系，列出一元一次不等式。例如，利润不低于20%可以表示为(y−x)≥0.2x。 第五步：求解不等式，解出所列的不等式，得到未知数的取值范围。 第六步：检验解的合理性，确保解出的值符合题目的实际意义，例如销售数量不能为负数等。 行程问题 例2．甲、乙两地相距44千米，小王原打算上午6点从甲地出发，参加上午10点在乙地召开的会议．由于有事，出发推迟了20分钟，小王每小时至少行驶 千米才不会迟到． 【答案】12 【分析】设小王每小时行驶x千米，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】设小王每小时行驶x千米， 由题意可得， 解得 ∴小王每小时至少行驶12千米才不会迟到． 故答案为：12． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是正确分析题目中的不等关系． 【变式2-1】北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口．则小车当前行驶速度 的取值范围是 　　． 【答案】． 【分析】分别将和换算成以和为单位的数值，根据“时间路程速度”列关于的一元一次不等式并求解即可． 【解答】解：，， 根据题意，得， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查不等式的定义，掌握距离与时间的单位换算方法、根据题意列一元一次不等式并求解是解题的关键． 【变式2-2】一艘轮船从某江上游的地匀速驶到下游的地用了5小时，从地匀速返回地用了不到6小时．已知这段时间内，江水的流速为，轮船在静水里的往返速度不变．那么在上述情况下，轮船的速度应满足的条件为 　 　． 【答案】． 【分析】根据从地匀速返回地用了不到6小时得：，即可解得答案． 【解答】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元一次不等式解决问题． 【变式2-3】“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人”，每年6，7月份是荔枝销售旺季，为了保持荔枝的新鲜度，种植大户李大爷需要合理安排荔枝的采摘整理，装卸搬运和车辆运送事宜．已知从李大爷的种植基地到水果集散中心要走两段道路，一段是三级路，一段是二级路．其中三级路比二级路短，两段路总长为． （1）从种植基地到水果集散中心的路程中，三级路和二级路的路程各是多少？ （2）荔枝采摘整理后要及时送往水果集散中心冷库保鲜，因此装卸搬运和运送时间不能超过6小时．运送过程中，车辆在三级路的行驶速度为，在二级路的行驶速度为，那么装卸搬运最多能用多少小时？ 【答案】（1）从种植基地到水果集散中心的路程中，三级路的路程是，二级路的路程是； （2）装卸搬运最多能用5.4小时． 【分析】（1）设从种植基地到水果集散中心的路程中，三级路的路程是 ，则二级路的路程是，根据两段路总长为，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的长（即三级路的路程），再将其代入中，即可求出二级路的路程； （2）设装卸搬运的时间是小时，利用时间路程速度，结合装卸搬运和运送时间不能超过6小时，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设从种植基地到水果集散中心的路程中，三级路的路程是 ，则二级路的路程是， 根据题意得：， 解得：， ． 答：从种植基地到水果集散中心的路程中，三级路的路程是，二级路的路程是； （2）设装卸搬运的时间是小时， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为5.4． 答：装卸搬运最多能用5.4小时． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【变式2-4】如图，点、是数轴上的两个点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，且． (1)直接写出：__________，_________，线段的中点对应的数为_________； (2)点、分别从点、出发同时向左匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，点、在运动过程中，当为何值时，有最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)，， (2)当或，时， (3)当为何值时，有最小值，最小值为 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负数，求出，，再根据中点的性质，即可； （2）根据题意，得到，，，分类讨论：当点在点的左侧时，当点在点的左侧时，解出，即可； （3）综上所述，当为何值时，有最小值，最小值为． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴线段的中点对应的数为：， 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴， ∵点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒， ∴，，， 当点在点的左侧时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点在点的左侧时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，当或，时，． （3）解：由（2）得，点表示数是，点表示数是，点表示的数为，点表示数为； ∵为线段的中点，为线段的中点 ∴点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， ∴ 当点在点的右侧时，， ∴， ∴； ∴； 当点不在点的右侧，且点在点的右侧时， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当点不在点的右侧，且点不在点的右侧时 ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当为何值时，有最小值，最小值为． 【点睛】本题考查一元一次方程，一元一次不等式，数轴，绝对值等知识，解题的关键是掌握一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，绝对值的非负性的应用，根据题意，列出方程，进行解答，即可． 【解题技巧反思】 一元一次不等式行程问题解题方法 1.审题：识别题目中提到的速度、路程、时间等关键信息。 2.转化：在行程问题中，常见的不等关系包括速度和、速度差、时间等。例如，题目中可能会提到“速度之和”、“速度之差”等，这些都需要转化为数学不等式。 3. 设元：根据题目中的信息，合理设定未知数。例如，设速度为x，时间为y等。 4. 列式：根据题目中的不等关系，列出一元一次不等式。 5. 求解：解出所列的不等式，得到未知数的取值范围。 6. 检验：确保解出的值符合题目的实际意义，例如速度不能为负数等。 工程问题 例3．某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？ (2)学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，求乙工程队工作的总天数． 【答案】(1)天 (2)天 【分析】（）由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需天，设甲乙两队合作完成这项工程需要天，由题意列出一元一次不等式解答即可求解； （）设乙工程队工作的总天数为天，由题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需天， 设甲乙两队合作完成这项工程需要天， 由题意得，， 解得， 答：甲乙两队合作完成这项工程最少需要天； （2）解：设乙工程队工作的总天数为天， 由题意得，， 解得， 答：乙工程队工作的总天数为天． 【变式3-2】一个工程队原定在10天内至少要挖土，在前两天一共完成了，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务．以后6天内平均每天至少要挖土多少？ 【分析】设以后6内，平均每天要挖掘土方，根据题意可知原定在10天，已经干了两天，还要求提前2天，即为要6天至少挖掘的土方，根据题意可得不等式，解不等式即可． 【解答】解：设平均每天挖土， 由题意得：， 解得：． 答：平均每天至少挖土． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，关键是弄清题意，清楚的土方到底要用几天干完． 【变式3-3】某工程队计划在10天内修路8千米，施工前2天修完1.4千米后，计划发生改变，准备至少提前2天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少？ 【答案】以后几天内平均每天至少要修路1.1千米． 【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题． 【解答】解：设以后几天内平均每天要修路千米， 由题意可得：， 解得：， 答：以后几天内平均每天至少要修路1.1千米． 【点评】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【变式3-4】现有甲乙两个工程队参加一条道路的施工改造，受条件限制，每天只能由一个工程队施工．若甲工程队先单独施工3天，再由乙工程队单独施工5天，则可以完成340米施工任务；若甲工程队先单独施工2天，再由乙工程对单独施工4天，则可以完成260米的施工任务． （1）求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施工任务？ （2）要改造的道路全长1300米，工期不能超过30天，那么乙工程队至少施工多少天？ 【答案】（1）甲、乙工程队每天分别施工30米、50米； （2）乙工程队至少施工20天． 【分析】（1）直接利用“甲工程队先单独施工3天，再由乙工程队单独施工5天，则可以完成340米施工任务；若甲工程队先单独施工2天，再由乙工程对单独施工4天，则可以完成260米的施工任务”，分别得出等式求出答案； （2）根据两队施工的总天数不超过30天得出等式，进而得出答案． 【解答】解：（1）设甲、乙工程队每天分别施工米、米，由题意得： ， 解得：， 答：甲、乙工程队每天分别施工30米、50米； （2）设乙工程队施工天，由题意得： ， 解得：， 答：乙工程队至少施工20天． 【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键． 【解题方法总结】 工程问题解题步骤 1. 审题：理解题目中的已知条件和未知量，明确工作量、工作效率和工作时间的关系。 2. 设未知数：根据题目中的信息，合理设定未知数，通常设工作效率或工作时间为未知数。 3. 列不等式：根据题目中的不等关系，列出一元一次不等式。 4. 解不等式。 5. 检验解的合理性：确保解出的值符合题目的实际意义，例如工作效率不能为负数等。 分配问题 例4．为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，现有甲、乙两种客车，原计划租用甲种45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的乙种60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满． (1)求参加此次研学活动的师生共有多少人？ (2)若同时租用两种客车，要使每位师生都有座位，甲种客车数量比乙种客车的5倍多1辆，则至少租用多少台乙种客车？ 【答案】(1)参加此次研学活动的师生共有600人 (2)至少租用2台乙种客车 【详解】（1）解：设参加此次研学活动的师生共有x人， 则：， 解得：， 答：加此次研学活动的师生共有600人． （2）设租用m台乙种客车， 由题意得：， 解得：，∵m为整数， ∴m最小为2，∴至少租用2台乙种客车． 答：至少租用2台乙种客车． 【变式4-1】为了防控新冠病毒，学校积极对校园环境进行消毒，购买了A、B两种消毒液共100升，其中A消毒液每升6元，B消毒液每升9元． (1)如果购买这两种消毒液共用780元，那么A、B两种消毒液各买多少升？ (2)学校在使用消毒液的时候发现，如果将A消毒液与B消毒液以的比例混合使用效果最佳，所以这次购买的消毒液按此法使用后，还会剩_______种消毒液_____升． (3)如果学校再次去购买这两种消毒液，预算不超过1500元，依旧按混合使用，则最多再购买多少升A种消毒液能把之前的剩余消毒液一起用完不剩余？ 【答案】(1)、两种消毒液各买40升和60升 (2)，10 (3)55升 【分析】（1）设种消毒液买升，则种消毒液买升，由题意得：，即可求出答案； （2）根据消毒液与消毒液以的比例混合，即可计算出答案； （3）设再购买升种消毒液，则需购买升种消毒液，由题意得：，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：设种消毒液买升，则种消毒液买升， 由题意得：， 解得， ， 答：、两种消毒液各买40升和60升； （2）， （升）， 会剩种消毒液10升； 故答案为：，10； （3）设再购买升种消毒液，则需购买升种消毒液， 由题意得：， 解得， 答：最多再购买55升种消毒液能把之前的剩余消毒液一起用完不剩余． 【点睛】此题考查一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用，找出题目蕴含的等量关系与不等关系是解决问题的关键． 【变式4-2】学校现有若干个房间分配给初三（1）班的男生住宿，已知该班男生不足50人，若每间住4人，则余15人无住处；若每间住6人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是　47　人． 【分析】若每间住4人，则余15人无住处，即说明男生人数与房间数的关系，若设有间宿舍，则有男生人；若每间住6人，则恰有一间不空也不满，说明人数应在1和5之间．即男生人数与间宿舍住的人数的差，应该大于或等于1，并且小于或等于5．根据这个不等关系就可以列出不等式组． 【解答】解：设有间宿舍．则 解得 当时，人数为 当时，人数为 当时，人数为 该班男生不足50人 该班的男生人数是47人． 故答案为：47． 【点评】解决本题的关键是读懂题意，理解每间住6人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）的含义．把这句话转化为不等关系是解决本题的关键． 【变式4-3】一水果经销商购进了，两种水果各10箱，分配给他的甲、乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售（整箱配货），预计每箱水果的盈利情况如下表： 种水果箱 种水果箱 甲店 11元 17元 乙店 9元 13元 （1）如果按照“甲、乙两店各配货10箱，其中种水果两店各5箱，种水果两店各5箱”的方案配货，请你计算出经销商能盈利多少元？ （2）如果按照“甲、乙两店盈利相同配货”的方案配货，请写出一种配货方案：种水果甲店　2　箱，乙店　　箱；种水果甲店　　箱，乙店　　箱，并根据你填写的方案计算出经销商能盈利多少元？ （3）在甲、乙两店各配货10箱，且保证乙店盈利不小于115元的条件下，请你设计出使水果经销商盈利最大的配货方案，并求出最大盈利为多少元？ 【分析】（1）根据题意计算出盈利即可； （2）设种水果给甲箱，种水果给甲箱，列出关系式，找出和的非负整数解，填写一种情况即可； （3）设甲店配种水果箱，分别表示出配给乙店的水果，水果的箱数，根据盈利不小于115元，列不等式求解． 【解答】解：（1）经销商盈利为：（元； （2）设种水果给甲箱，种水果给甲箱，则给乙店分别是箱，箱，根据题意得：， 即， 则非负整数解是：，，． 则第一种情况：2，8，6，4；第二种情况：5，5，4，6；第三种情况：8，2，2，8． 按第一种情况计算：（元； 按第二种情况计算：（元； 按第三种情况计算：（元； 故答案为：2；8；6；4； （3）设甲店配种水果箱，则甲店配种水果箱， 乙店配种水果箱，乙店配种水果箱， ， 解得；， 又且为整数， ，8，9，10， 经计算可知当时盈利最大，盈利为：246元． 此时方案为：甲店配种水果7箱，种水果3箱，乙店配种水果3箱，种水果7箱，最大盈利为246元． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，弄清题意，根据题目的不同要求，由易到难解答题目的问题，学会由一次函数表达式及自变量取值范围，求最大值． 比较方案问题 例5．江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完，如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完，如果要在10分钟抽完水，那么至少需要抽水机 台． 【答案】 【分析】本题考查方程和不等式的应用； 根据题意设抽水前已涌出水为，每分钟涌出水为，每台抽水机每分钟抽水为，根据题意可列出两个方程，可以得到与、与之间的关系，最后即可得时间为分钟时需要的抽水机台数． 由题意可以得到一个不等式进而得出答案 【详解】解：设抽水前已涌出水为，每分钟涌出水为，每台抽水机每分钟抽水为， 根据题意得： 解得：，． 如果要在分钟内抽完水，至少需要抽水机台， 即，代入、的值， 解得：． 故答案为： 【变式5-1】一家电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元、B型每台4000元、C型每台2500元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑． (1)若该中学只购买A型电脑和B型电脑，且购买A型电脑的数量比购买B型电脑的数量的一半还少1台，要求购买的总价不超过90000元，则最多可以购买多少台A型电脑？ (2)若该中学现有专项资金100500元，计划从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑，且这笔资金恰好全用完．请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由． (3)这家电脑公司为提高B型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台B型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买B型电脑，拿出的旧电脑和购买的B型电脑数量一共是30台．若要使购买B型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，且购买B型电脑的实际总费用不少于100000元，则要在计划的基础上再多买a台B型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？ 【答案】(1)最多可以购买5台A型电脑 (2)有两种方案供这个学校选择：第一种方案是购进A型电脑3台、C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台、C型电脑29台 (3)该中学至少需要再拿出4台旧电脑进行抵值 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设购买台型电脑，则购买台型电脑，利用总价单价数量，结合总价不超过90000元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可找出的最大值； （2）利用平均价格总价单价，可求出平均价格，结合，，三种型号电脑的单价，可得出可能有两种情况，①购买型电脑和型电脑，设购买台型电脑，台型电脑，利用总价单价数量，结合用100500元购买36台两种型号的电脑，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出结论；②购买型电脑和型电脑，设购买台型电脑，台型电脑，利用总价单价数量，结合用100500元购买36台两种型号的电脑，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出结论； （3）设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑，根据购买型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，可列出关于，的二元一次方程，变形后可得出，利用总价单价数量，结合购买型电脑的实际总费用不少于100000元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可找出的最小值为6． 【详解】（1）解：设购买台型电脑，则购买台型电脑， 根据题意得：， 解得：， ，均为正整数， 的最大值为12，的最大值为5． 答：最多可以购买5台型电脑； （2）解：共有2种购买方案， 方案1：购买3台型电脑，33台型电脑； 方案2：购买7台型电脑，29台型电脑，理由如下： （元，， 可能有两种情况． ①购买型电脑和型电脑，设购买台型电脑，台型电脑， 根据题意得：， 解得：， 购买3台型电脑，33台型电脑； ②购买型电脑和型电脑，设购买台型电脑，台型电脑， 根据题意得：， 解得：， 购买7台型电脑，29台型电脑． 共有2种购买方案， 方案1：购买3台型电脑，33台型电脑； 方案2：购买7台型电脑，29台型电脑； （3）解：设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑， 根据题意得：， ． 购买型电脑的实际总费用不少于100000元， ， 即， 解得：， ． 答：该中学至少需要再拿出4台旧电脑进行抵值． 【变式5-2】上海东平国家森林公园和明珠湖公园的联票的普通成人票是每张120元，30人以上（含30人）的团体票可享受八折优惠．现有28名大学生相约去这些景点旅游，景点售票点同意他们享受团体优惠，但必须按30人购买团体票． (1)他们购买团体票比购买普通票便宜吗？请说明理由． (2)若买团体票的人数不足30人时，则至少有多少人才可买30人的团体票比买普通票便宜？ 【答案】(1)他们购买团体票比购买普通票便宜，理由见解析 (2)25人 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，解题的关键是弄清题意找出题中的等量关系从而解决问题． （1）依题意算出不购买团体票的花费及购买团体票的花费，比较一下即可； （2）先由题意找出不等关系列出方程为，解出即可解决问题． 【详解】（1）解：他们购买团体票比购买普通票便宜． 理由如下： 不购买团体票需花费（元， 购买团体票需花费（元， 2880元元， 他们购买团体票比购买普通票便宜； （2）解：设去这些景点旅游的人数为人，则，解得， 结合题意可知最小值为25， 若买团体票的人数不足30人时，则至少有25人才可买30人的团体票比买普通票便宜． 【变式5-3】小明分三次和家人、朋友一起参观某科技馆，只有一次恰逢科技馆成人票和学生票都打折，其余两次均按标准票价购买门票（无任何优惠）．三次参观科技馆时，购买成人票和学生票的数量和费用如表所示： 购买门票的数量（张 购买总费用（元 成人票 学生票 第一次购物 5 2 380 第二次购物 3 4 340 第三次购物 7 5 310 (1)小明以折扣价购买门票是第　　次参观； (2)求出每张成人票和每张学生票的标准票价； (3)如果成人票和学生票的折扣相同，问：当购买成人票和学生票共15张，并且享受同样的折扣，购票总费用不超过320元时，有几种购票方案？（要求必需购买成人票） 【答案】(1)三 (2)每张成人票的标准票价为60元，每张学生票的标准票价为40元 (3)有2种购票方案：①购买成人票1张，购买学生票14张；②购买成人票2张，则购买学生票13张 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）由表中数据即可得出结论； （2）设每张成人票的标准票价为元，每张学生票的标准票价为元，由表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （3）设每张成人票和学生票都打折，由购买成人票和学生票共15张，结合表中数据列出一元一次方程，解得，再设购买成人票张，则购买学生票张，由题意：购票总费用不超过320元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意得：小明以折扣价购买门票是第三次参观， 故答案为：三； （2）解：设每张成人票的标准票价为元，每张学生票的标准票价为元， 由题意得：， 解得：， 答：每张成人票的标准票价为60元，每张学生票的标准票价为40元； （3）解：设每张成人票和学生票都打折， 由题意得：， 解得：， 即每张成人票和学生票都打5折， 设购买成人票张，则购买学生票张， 由题意得：， 解得：， 必需购买成人票， 或2， 有2种购票方案：①购买成人票1张，购买学生票14张；②购买成人票2张，则购买学生票13张． 几何问题 例6．建设一个长、宽分别是5米和4米的长方体的蓄水池，计划这个蓄水池至少能蓄水50立方米，如果设这个蓄水池的深度为米，那么列出的不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据蓄水池的体积至少为50立方米，可列一元一次不等式即可． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 【变式6-1】一个长方形纸片，若长为，周长不超过，则宽的取值范围是 【答案】 【分析】根据长方形对边相等，结合周长不超过列不等式求解即可得到答案； 【详解】解：∵长为，周长不超过， ∴，且， 解得：， 故答案为：； 【点睛】本题考查不等式的应用，解题的关键是根据题意列不等式． 【变式6-2】长方形的一边长为2米，另一边长为米，它的周长不大于48米，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据的取值范围必须满足两个条件：一个是这个长方形的周长不大于48米，另一个是长方形的边长大于0，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：根据题意可得：， 解不等式组得：， 答：x的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了列不等式组，并求不等式组的解，注意不要漏掉长方形的长要大于0这个隐含条件． 【变式6-3】十五世纪杰出的法国数学家尼古拉斯·丘凯（Nicolas chuquet）在他的名著《数学三章》中提到了“平均数的规则”即：已知a、b、c、d都是正整数，如果，那么，并给出了证明． (1)根据我们所学习过的不等式的性质，我们不难证明这个结论． 由，在不等式的两边同时乘以________________________，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上______________，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以______________，可以得到； 同理可证，所以成立． (2)丘凯在《数学三章》中对于“平均数的规则”给出了两种证明，其中一种是用图形几何的方式直观地说明了“平均数的规则”成立．    长度1是_______；长度2是_______．（用含有字母的式子表示） 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（1）根据不等式的性质求解即可； （2）设长度1为，则长度2为，则，去分母求出即可得结果． 【详解】（1）由，在不等式的两边同时乘以，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以，可以得到； （2）设长度1为，则长度2为， 则， 两边同乘以得， ， ， ， ， ， 长度1是；长度2是． 【点睛】本题考查了不等式的性质以及用几何图形证明不等式的成立，数形结合是解题的关键． 积分问题 例7．为积极倡导“阳光体育”运动，某班派6名同学参加“一分钟跳绳”比赛，负责记录成绩的嘉嘉以160次为标准，超出的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中5名同学的成绩记录（单位：次）为：． (1)求这5名同学的最好成绩与最差成绩相差多少次？ (2)若这6名同学的平均成绩超过了160次，求剩下的那名同学的成绩最少为多少． 【答案】(1)21次 (2)164次 【分析】本题考查有理数加减运算、不等式解实际应用题，读懂同意，准确列出式子求解是解决问题的关键． （1）找出这5名同学的最好成绩与最差成绩，然后作差即可； （2）剩下的那名同学的成绩可记为，根据题意列出关于的不等式，进而得出答案． 【详解】（1）解： （次）， 答：这5名同学的最好成绩与最差成绩相差21次； （2）解：设剩下的那名同学的成绩可记为， 由题意可得：，解得， ∴剩下的那名同学的成绩最少为（次）， 答：剩下的那名同学的成绩最少为164次． 【变式7-1】一次生活常识知识竞赛一共有10道题，答对一题得5分，不答得0分，小滨有1道题没答，竞赛成绩超过30分，则小滨至多答错了 题． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设小滨答错了道题，则答对道题， 根据题意得：， 解得：， 又为自然数， 的最大值为2， 小滨至多答错了2道题． 故答案为：2． 【变式7-2】一张试卷有50道选择题，答对一题得2分，不答或答错一题倒扣1分，若小明这张试卷得分超过75分，则他至少答对多少道题？ 【答案】他至少答对了42题 【分析】本题考查了由实际问题列出不等式，就是把实际问题转化为数学问题，通过不等式求解可使实际问题变得较为简单．设他答对了x道题，则由题意得：，求出不等式的解即可． 【详解】解：设他答对了x道题， ， ， ∵取整数 ∴他至少答对了42题． 【变式7-3】足球是世界第一运动． (1)在上海市高中足球联赛中，某足球队共进行了8场比赛，得了12分，根据比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，求：该队获胜的场数几种可能； (2)在2022卡塔尔世界杯期间，以吉祥物拉伊卜为主题元素的纪念品手办、毛绒公仔、徽章套组深得广大球迷喜爱．某官方授权网店销售的手办、毛绒公仔、徽章套组售价之比为，三种纪念品售价均为整数，售价之和大于300元且小于360元，每种纪念品每人购买不超过6件．甲乙二人分别在该网店购买纪念品，结算时，两人购物车中均有三种纪念品若干，已知两人购买的毛绒公仔数相同，徽章套组数不同，乙购买的手办数量大于甲购买的手办数量，甲选购的纪念品合计1200元，乙选购的纪念品合计1440元，则两人购买手办的费用之和最多为多少元？ 【答案】(1)3 (2)2000 【分析】本题考查了二元一次方程，三元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程组和不等式解答． （1）设胜x场，平y场，则，，分别写出x和y的值即可解答． （2）设手办、毛绒公仔、徽章套组的售价分别为，列出不等式，求出x的取值范围为，设甲够买手办、毛绒公仔、徽章套组的数量分别为a、b、c；乙够买手办、毛绒公仔、徽章套组的数量分别为m，b，n，根据题意列出方程组，得出，则，进而推出，根据题意得出，则，，，，即可解答． 【详解】（1）解：设胜x场，平y场， ∵共进行了8场比赛， ∴， ， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上：该队获胜的场数有3种可能； （2）解：设手办、毛绒公仔、徽章套组的售价分别为， ， 解得：， ∵三种纪念品售价均为整数， ∴， 设甲够买手办、毛绒公仔、徽章套组的数量分别为a、b、c；乙够买手办、毛绒公仔、徽章套组的数量分别为m，b，n； ， 整理得：， ∵a、b、c、m、n均为整数，且1200和1440在x的取值范围内只有一个公因数40， ∴， ∴， 整理得：， ∵每种纪念品每人购买不超过6件， ∴，，， ∴，或， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； ∴，； ∴，，，， ∴两人购买手办的费用之和最多是（元）， 分段收费问题 例8．某地光纤上网有两种收费方式，用户可以任选其一． A：计时制：元/分，B：包月制：50元/月，每一种上网时间都要再收取通信费元/分 (1)某用户某月上网时间为x小时，请写出两种收费方式下该用户应该支付的费用． (2)用户选哪一种收费方式更合算？ 【答案】(1)A种收费方式的费用为元；B种收费方式的费用为元； (2)当上网时间低于小时时，选择甲种收费方式合算；当上网时间等于小时时，选择两种收费方式一样合算；当上网时间高于小时时，选择乙种收费方式合算 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次不等式的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）A种收费等于上网费用加上通信费，B种收费等于包月费用加上通信费，据此求解即可； （2）根据（1）所求分别求出时，时，时的x的值或取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，A种收费方式的费用为元； B种收费方式的费用为元； （2）解：当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； ∴当上网时间低于小时时，选择甲种收费方式合算；当上网时间等于小时时，选择两种收费方式一样合算；当上网时间高于小时时，选择乙种收费方式合算． 【变式8-1】为实现可持续发展，资源循环利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计算方案，具体如下表所示： 档次 月用电量（千瓦时） 电价（元/千瓦时） 1档 0.49 2档 0.54 3档 0.79 例：若某住户8月的用电量为300千瓦时，则需缴电费（元）． (1)若圆圆家某月用电量为千瓦时，请用含的代数式表示，当时，应缴电费为__________元，当时，应缴电费为__________元； (2)若圆圆家9月共缴电费元，求该月圆圆家的用电量． (3)圆圆家10月用电的平均费用最高为0.50元/千瓦时，请根据题意列方程并求10月最大用电量． 【答案】(1)， (2)该月圆圆家的用电量为千瓦时 (3)10月最大用电量为250千瓦 【分析】（1）本题考查了代数式的列法，解题的关键是当时，应缴电费的计算； （2）本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确列出方程式； （3）本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是正确列出不等式并求解． 【详解】（1）根据题意，当时，应缴电费（元）； 当时，应缴电费（元）， 故答案为：，； （2）根据（1）的结论，当时，应缴电费（元）， 当时，应缴电费（元）， ∵， ∴圆圆家9月用电量的范围为， ∴， ∴， ∴该月圆圆家的用电量为千瓦时； （3）根据（2）的结论，当时，平均电价（元/千瓦时）， ∵， ∴圆圆家10月用电量的范围为， ∴，即， ∴， ∴10月最大用电量为250千瓦． 【点睛】本题考查了代数式、一元一次方程、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程、一元一次不等式的性质，从而完成求解． 【变式8-2】某市出租车的收费标准如下： 里程 收费标准元 3千米以下（含3千米） 9.00 3千米以上的部分，每增加1千米 2.4 此外，每辆出租车均加收1元燃油附加费． 今天下大雨，小华想从学校打车回家，他身上只带了22元钱，经过计算，够打车到家．请问小华家到学校最多多远？ 【分析】直接利用表格设小华家到学校，表示出所需费用进而得出不等式求出答案． 【解答】解：设小华家到学校，根据题意可得： ， 解得：， 答：小华家到学校最多． 【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题关键． 【变式8-3】2023年，北京市燃油出租车的具体收费标准继续沿用2022年的收费标准，如下： ①出租车收费标准3公里以内收起步价13元，再加1元燃油附加费，超过3公里，超出部分按每公里2.30元收费，（不足1公里按1公里收费） ②预约叫车服务费，提前4小时以上预约每次6元，4小时以内预约每次5元； ③单程载客行驶超过15公里的部分，按原价时段基本单价元）加收的费用． ④出租车收费结算以元为位，精确到1元元以下四舍五入）， （注：如果车费不足起步价，要按起步价收费． 阅读下面材料： 2023年3月24日，三帆中学初一年级要去体检中心体检．早上小高同学起床后，准备预约中午的出超车从三帆中学去体检中心，导航显示预估打年费用为43元；出发前1小时，他发现胡同比较堵，不利于出租车通行，于是他决定顺路先步行去前方600米的路口，重新预约出租车前往体检中心，再次预约时小高同学发现预估费用是42元（两次行驶路线不变，且均一路畅通）因为体检结束时间没法确定，返程时，小高没打预约出租车，而是选择（临时叫车，小高同学乘坐出租车从体检中心返回三帆中学的过程中，在距离学校2公里时发现衣物落在了体检中心，他立刻让出租车司机掉头原路返回，并到体检中心下车． 结合以上信息，回答下列问题： （1）已知三帆中学到体检中心的距离为公里，则的范围是 　 　； （2）小高同学返回体检中心后，应付给司机多少钱？ 【答案】（1）； （2）应付给司机66元． 【分析】（1）设计费公里数为为正整数），分情况讨论：3公里以内、超过3公里且小于或等于15公里、超过15公里，据此分析并解得的取值范围； （2）出租来回行驶的总里程为公里，可得，故计费里程为22公里，据此解得应付给司机的钱数． 【解答】解：（1）设计费公里数为为正整数），由题意知，3公里以内出租车收费为14元；超过3公里且小于或等于15公里，收费元； 当时，收费（元 第一次预约，扣除预约费用后收费（元，第二预约，扣除预约费用后收费（元， 乘车里程在15公里以内； ， 解得， 且， ． 故答案为：； （2）出租来回行驶的总里程为公里， ， ， 故计费里程为22公里，收费（元， 答：应付给司机66元． 【点评】本题考查一元一次不等式的运用，一次函数的运用，结合具体情境，构建不等式是解题的关键． 【变式8-4】如表中有两种手机通话计费方式： 月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元分钟） 被叫 方式一 50 150 0.20 免费 方式二 80 350 0.25 免费 （月使用费固定收：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费） （1）若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需 　 　元，按方式二计费需 　　元；王华某月按方式二计费需100元，则王华该月主叫通话时间为 　　分钟； （2）是否存在某个主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． （3）直接写出当月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式一比选择方式二省钱． 【答案】（1）60，80；430； （2）存在，或550分钟，按方式一和方式二的计费相等； （3）每月通话时间小于300分钟或大于550分钟时，选择方式一比选择方式二省钱． 【分析】（1）根据“方式一”和“方式二”的计费方式，可分别求得通话时间200分钟时的计费；设主叫通话时间为分钟，根据按方式二计费需100元列出方程，解方程即可； （2）根据题中所给出的条件，分三种情况进行讨论：①；②；③； （3）根据（2）所求即可得出结论． 【解答】解：（1）若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需：（元，按方式二计费需80元； 设王华某月按方式二计费需100元，王华该月主叫通话时间为分钟， 根据题意得：， 解得：， 即王华该月主叫通话时间为430分钟， 故答案为：60，80；430； （2）存在某个主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相等，理由如下： ①当时，不存在； ②当时， 由题意得：， 解得：，符合题意； ③当时， 由题意得：， 解得：，符合题意； 综上所述，存在某主叫通话时间或550分钟，按方式一和方式二的计费相等； （3）结合（2）知，当通话时间或550分钟，按方式一和方式二的计费相等； 当每月通话时间少于300分钟时，，选择方式一省钱； 当每月通话时间大于550分钟时，，选择方式一省钱； 当每月通话时间多于300分钟且小于550分钟时，，选择方式二省钱； 综上所述：当每月通话时间少于300分钟或大于550分钟时，选择方式一比选择方式二省钱． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出一元一次方程以及根据不等关系列出一元一次不等式． 其他生活实际问题 例9．小高同学计划去文具店购买3支笔和x本笔记本，笔的单价为2元，笔记本单价为8元，若购买的总金额少于30元，依题意可列不等式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式的应用，理解题意是解题关键．根据费用少于30元钱即可列出不等式即可． 【详解】解：小高同学计划去文具店购买3支笔和x本笔记本， 根据题意得：， 故答案为：． 【变式9-1】某校六年级三个班给某受灾地区捐款，其中（1）班捐款420元，（2）班捐款468元．如果三个班的平均捐款超过了450元，那么（3）班的捐款总数超过 元． 【答案】462 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设（3）班的捐款总数为元，根据三个班的平均捐款超过了450元，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，进而可得出（3）班的捐款总数超过462元，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】设（3）班的捐款总数为元， 根据题意得：， 解得：， ∴（3）班的捐款总数超过462元， 故答案为：462． 【变式9-2】一根弹簧长，在弹性限度（总长不超过）内，每挂质量为的物体，弹簧伸长． (1)代数式表示的实际意义是________ (2)这根弹簧最多可挂质量为多少的物体？ 【答案】(1)挂质量为的物体时弹簧的长度． (2) 【分析】此题主要考查了代数式的实际意义和一元一次方程的解法，理解题意并根据题意列出相应的关系式是解题的关键． （1）根据题意得出代数式表示的实际意义是挂上质量的物体后，弹簧的总长度； （2）设这根弹簧最多可挂质量为的物体，根据题意列出方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵这根弹簧长，在弹性限度（总长不超过）内，每挂质量为的物体，弹簧伸长． ∴表示的实际意义是挂质量为的物体时弹簧的长度． （2）解：设这根弹簧最多可挂质量为x千克的物体． 根据题意得：，解得． 答：这根弹簧最多可挂质量为的物体． 【变式9-3】如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意，则，解出，即可． 【详解】解：一颗玻璃球的体积为， ∵将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， ∴， 解得：； ∵五颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ∴， 解得：； ∴一颗玻璃球的体积的取值范围为：， 故答案为：． 1.一工厂以90元每箱的价格购进100箱原材料，准备由甲、乙两个车间全部用于生产某种产品，甲车间用每箱原材料可生产出该产品12千克，乙车间用每箱原材料可生产出的该产品比甲车间少2千克，已知该产品的售价为40元千克，生产的产品全部售出，那么原材料最少分配给甲车间多少箱，才能使去除成本后所获得的总利润不少于35000元？ 【分析】设甲车间用箱原材料，则乙车间用箱原材料，根据题意列出不等式， 【解答】解：设甲车间用箱原材料，则乙车间用箱原材料， 根据题意，得． 解得． 答：原材料最少分配给甲车间50箱，才能使去除成本后所获得的总利润不少于35000元． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系． 2.甲、乙两车分别从相距210千米的、两地相向而行，甲乙两车均保持匀速行驶．若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇；若乙车比甲车提前1小时出发，则乙车出发后3小时两车相遇． （1）求甲乙两车的速度分别是多少（单位：千米小时）？ （2）若甲乙两车同时出发，甲车行驶了1小时后发生故障，甲车原地检修用了30分钟后继续原速度行驶，此时，乙车提高速度，为了保证乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，那么乙车要比原来的行驶速度至少提高多少千米小时？ 【答案】（1）甲车的速度是60千米小时，乙车的速度是30千米小时； （2）乙车要比原来的行驶速度至少提高15千米小时． 【分析】（1）设甲车的速度是千米小时，乙车的速度是千米小时，利用路程速度时间，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设乙车比原来的行驶速度提高千米小时，利用路程速度时间，结合乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设甲车的速度是千米小时，乙车的速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：． 答：甲车的速度是60千米小时，乙车的速度是30千米小时； （2）设乙车比原来的行驶速度提高千米小时， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为15． 答：乙车要比原来的行驶速度至少提高15千米小时． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 3．“双十一”活动期间，某商场销售一款商品，每件的成本是50元，销售期间发现：销售单价是100元时，每天销售量是50 件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，设每件商品的销售单价降低x元． (1)每天的销售量为________件（用含 x的代数式表示）； (2)若每天的销售量不得低于 150件，要使每天的销售利润为 4000元，该商品的销售单价应为多少元？ 【答案】(1)； (2)每件商品的销售单价为70元． 【分析】（1）每件商品单价降低x元，则每天可多售出件，故每天的销售量为． （2）先用x的代数式表示出每天销售的利润，再乘以每天的销售量，等于每天的销售利润，然后求解一元二次方程，再依据每天的销售量不低于150件可确定x的合适取值，最后用100减去x即可求出该商品的销售单价应为多少元． 【详解】（1）依据题意可知，销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，故每拿商品的销售单价降低x元，每天就可多售出件，所以每天的销售量为件． （2）因为售价减去成本价等于利润，所以每价商品的利润为：元． 又因为每天的销售量为件，故要使每天的利润为4000元，可列方程： 即 解得 ∵ ∴ ∴ ∴（元） 答：每件商品的销售单价为 70 元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是正确列出方程或不等式． 4.【阅读理解】 （1）图形的平移是我们本学期学习的内容，利用图形平移变换的基本性质可以解决生活中的许多问题．数学老师布置了一个任务：在一块长为，宽为的长方形空地上．设计一条宽为的小路，剩余部分作为草坪，要求草坪的面积为：，画出设计图并求出小路的宽． 如图1，是小明同学的设计图及计算过程：（将下列过程补充完整） 小明：我利用平移的性质，将左边的草坪向右平移和右边的草坪拼成了一个如图2所示的长方形．这个长方形的面积就是草坪的面积，所以可列方程为 ，解得 ． 【类比应用】 （2）某小区物业准备在一块长为，宽为的长方形空地上铺设一条如图3所示的宽度处处相等的小路，剩余部分栽种花草，要求栽种花草的面积不少于，求小路的宽不能超过多少米？ 【拓展延伸】 （3）如图4是一个长为，宽为街心花园的设计图，空白部分为花坛，阴影部分是宽为的小路，则花坛的总面积可以表示为 ．（用含a，b的式子表示） 【答案】（1）；2 （2）2米 （3） 【分析】本题主要考查了用代数式表示式，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）根据长方形的面积列出关于x的一元一次方程，求解即可． （2）设小路宽为，根据题意列出关于x的一元一次不等式求解即可． （3）根据花坛的总面积等于长方形的面积减去阴影部分的小路面积列出代数式化简即可． 【详解】解：（1）根据题意可列方程为 解得：， 故答案为：，2 （2）设小路宽为 根据题意得 解得： 则小路的宽不能超过2米； （3）则花坛的总面积为： ， 故答案为： 5.清明假期小刚与好友一同前往上海迪士尼乐园游玩，他们一早到达乐园入口等待8：30开园，已知入口处有若干条安检通道让游客通过安检入园（每天开放的安检通道数量当天不会改变），游客每分钟按相同的人数源源不断到达这里等待入园，8：42小刚通过安检进入乐园．回家后小刚通过新闻了解到，平均一个人通过安检通道入园耗时15秒，当天直到9：45安检处才没有排队人群，游客可以随到随检 (1)根据小刚当天的排队记录，他8：30到达入口处时排在第1200位，则当天开放的安检通道有多少条？ (2)根据以往数据分析，若开园时等待在入口处的游客人数与清明假期假时一致，但安检通道增加至清明假期时的1.1倍且每分钟到达入口处的游客人数与清明假期时一致时，从9：20开始游客可以随到随检．当每分钟到达入口处的游客人数增加10人时，若不增加安检通道数量，游客何时才能随到随检？ (3)迪士尼乐园管理方估计五一假期开园时等待在入口处的游客人数与清明假期假时一致时，但每分钟到达入口处的游客人数将增加50%，若希望最晚10：00开始游客可以随到随检，那至少需要增加多少条安检通道？ 【答案】(1)当天开放的安检通道有25条． (2)游客11：00才能随到随检． (3)至少需要增加10条安检通道． 【分析】（1）设当天开放的安检通道有条，再建立方程，解方程即可； （2）设8：30开园时，排队的人数为人，每分钟到达的人数为人，游客的随检时间为时，再根据提示的三个时间段分别建立方程，可得方程组，从而可得答案； （3）设至少需要增加条安检通道，再根据检测人数不小于原来人数加上增加的人数列不等式即可． 【详解】（1）解：∵（分钟），1分钟通过的人数为（人）， 设当天开放的安检通道有条， ∴， 解得：， 答：当天开放的安检通道有25条． （2）设8：30开园时，排队的人数为人，每分钟到达的人数为人，游客的随检时间为时，则 ， 解得：， ∴当每分钟到达入口处的游客人数增加10人时，若不增加安检通道数量，游客11：00才能随到随检． （3）设至少需要增加条安检通道，则， ，而， 解得：， ∴m的最小整数值为10． ∴至少需要增加10条安检通道． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，三元一次方程组的应用，不等式的应用，熟练的设未知数，确定相等或不等关系是解本题的关键． 6.为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每月每户用水量（吨 单价（元吨） 单价（元吨） 17吨及以下部分 2.8 超过17吨且不超过30吨的部分 超过30吨的部分 6.6 （说明：①每户的生活污水量等于该户的用水量； ②水费自来水费污水处理费）已知小明家2018年4月份用水20吨，交水费86元；5月份用水27吨，交水费128元． （1）求、的值； （2）随着夏天的到来用水量将大幅增加，小明家计划把6月份水费控制在185元，则按计划小明家6月份最多可用水多少吨？ 【答案】（1），； （2）35吨． 【分析】（1）根据“小明家2018年4月份用水20吨，交水费86元；5月份用水27吨，交水费128元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设小明家6月份可用水吨，先求出用水30吨所需水费，由该值小于185可得出，根据小明家6月份水费不超过185元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【解答】解：（1）依题意得：， 解得：． 答：的值为4.8，的值为1.2； （2）设小明家6月份可用水吨， 用水量为30吨时，应付水费（元，， ． 依题意得：， 解得：． 答：按计划小明家6月份最多可用水35吨． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$