预习专题02 一元一次不等式（6知识点+10考点+2易错+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（沪教版2024）

专题02 一元一次不等式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 理解概念：使学生正确理解一元一次不等式的概念，包括不等式、不等式的解、不等式的解集等基本概念. 教学重点：掌握一元一次不等式的解法，并能在数轴上正确表示解集. 教学难点：正确运用不等式的性质进行变形，特别是当不等式两边同时乘（或除）同一个负数时，不等号方向需要改变的问题. 不等式的解的定义 在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。 若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【详解】解：A、中不包含，不符合题意； B、中不包含，不符合题意； C、中包含，符合题意； D、中不包含，不符合题意； 故选：C． 若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键． 根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则说明n不能小于2．即． 【详解】根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是． 故答案为：． 总结： 本题考查的是不等式的解的概念,只要能使不等式成立的未知数的值，都是不等式的解,反之,则不是这个不等式的解. 一元一次不等式的定义 只含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式叫作一元一次不等式 若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义可得且，分别进行求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 不等式的解集的定义 一个不等式的解的全体叫作该不等式的解集.如x-1>2 的解集为x>3. 【特别注意】 不等式的解集是一个集合,是一个范围,而不是具体的某几个数. 【核心笔记】 项目 不等式的解 不等式的解集 区别 满足不等式的未知数的某个值 满足不等式的未知数的所有值 可以有“无数个” 不等式确定,它的解集也就确定 联系 不等式的所有解组成了不等式的解集,不等式的解集中包含了不等式的每一个解 不等式解集的表示方法 不等式的解集可以在数轴上表示出来,如表: 不等式的解集 图示 画法 在表示的点上画空心圆表示不包含在解集中 在表示的点上画实心圆表示包含在解集中 【特别提醒】 (1)数轴是表示不等式解集的重要工具，是数形结合的基础. (2)在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，因此，在数轴上表示不等式时，要牢记:①大于向右画，小于向左画;②有等号的端点画实心圆点，无等号的端点画空心圆圈. 不等式的解集在数轴上表示为（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据一元一次不等式的性质解出未知数的取值范围，在数轴上表示即可求出答案． 【详解】解：， ． 在数轴上表示如图所示：   ． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法即在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于熟练掌握一元一次不等式的性质． 解不等式 求不等式的解集的过程叫作解不等式,解不等式的主要依据是不等式的性质,在运用不等式的性质进行解题时,应特别注意:不等式两边同乘(或除以)一个负数,不等号方向改变;不等式两边不能同乘0,否则不等式就变为等式了. 利用不等式的性质求出下列不等式的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)－2x≥3 (2)－4x+12＜0 【答案】 (1)x≤－  (2)x＞3 【详解】整体分析： 根据不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号改变方向求解. 解：(1)－2x≥3 两边同时除以-2得，x≤－； 不等式的解集在数轴上表示为： (2)－4x+12＜0 两边同时减去12得，-4x＜-12， 两边同时除以-4得，x＞3. 不等式的解集在数轴上表示为： 解一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤 (1)化简不等式(去分母、去括号、移项、合并同类项)成 的形式. ①去分母:在不等式两边乘分母的最小公倍数 ②去括号:把所有因式去括号展开; ③移项：把含有未知数的项移到不等号左边,常数项移到不等号右边; ④合并同类项:化为形式 (2)两边同除以未知数的系数,得到不等式的解集. 提醒 不等式两边同除以未知数的系数时,同学们一定要注意系数 的正负, 时,不等号的方向保持不变;时,不等号的方向改变. 判断一元一次不等式 例1．下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；中是一元一次不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．0个 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：（1），是一元一次不等式； （2），含有两个未知数，不是一元一次不等式； （3），是一元一次不等式； （4），未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式； 一元一次不等式共2个， 故选：A． 【点睛】本题考查一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键． 【变式1-1】下列不等式中，是一元一次不等式的为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的定义解答即可． 【详解】解：A、该不等式符合一元一次不等式的定义，故此选项不符合题意； B、该不等式中含有2个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； C、未知数的次数是2，不是一元一次不等式，故此选项符合题意； D、该不等式中含有2个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是掌握一元一次不等式的定义．一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【变式1-2】下列各式中，是一元一次不等式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】只含有一个未知数，不等号的左右两边都是整式，并且未知数的次数都是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．根据定义逐项分析即可． 【解答】解：、，未知数的次数是2，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； 、，不是不等式，故此选项不符合题意； 、，是一元一次不等式，故此选项符合题意； 、，不等式左边不是整式，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了一元一次不等式的定义，熟知其定义是解题的关键． 【变式1-3】列式子中是一元一次不等式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据含有一个未知数，且未知数的最高次数为1次，两边都为整式的不等式为一元一次不等式，判断即可． 【解答】解：、是一元一次不等式，符合题意； 、变形得：，不符合题意； 、是一元一次方程，不符合题意； 、是一元二次不等式，不符合题意． 故选：． 【点评】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 利用一元一次不等式的概念求字母的值 例2．若是关于的一元一次不等式，则 ． 审题关键:熟练掌握一元一次不等式的三个条件,建立关于待定字母的方程是解答本题的关键. 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义可得且，据此求解即可，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， 故答案为：． 【变式2-1】若是关于x的一元一次不等式，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义得出，解一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式2-2】若是关于x的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义可知，，从而可求得m的值． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴． 解得：． 故答案为：． 【变式2-3】已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此列式计算即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴， 故答案为：3． 【解题技巧反思】 紧抓三条件,巧求字母值利用一元一次不等式的概念 同学们，我们在解此类题时，一定要时刻紧扣一元一次不等式的三个条件:(1)含有一个未知数，(2)未知数的次数是1,(3)不等号两边都是整式,列方程求解.可以简记：“非0双1整”. 一元一次不等式的解和解集 例3．下列说法中正确的是（　　） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．是不等式的唯一解 D．不是不等式的解 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的解和解集，熟练掌握定义是解题的关键； 根据解集和解得定义去判定即可． 【详解】， ， A、符合条件，是不等式的一个解，故选项符合题意； B、解集是一个范围，而是一个固定值，故选项不符合题意； C、解集是一个范围，所以不是不等式的唯一解，故选项不符合题意； D、符合条件，是不等式的一个解，故选项不符合题意； 故选：A． 【变式3-1】下列说法中，错误的是(　　) A．不等式x＜5的整数解有无数多个 B．不等式x＞－5的负整数解集有有限个 C．不等式－2x＜8的解集是x＜－4 D．－40是不等式2x＜－8的一个解 【答案】C 【分析】对于A、B选项，可分别写出满足题意的不等式的解，从而判断A、B的正误； 对于C、D，首先分别求出不等式的解集，再与给出的解集或解进行比较，从而判断C、D的正误. 【详解】A. 由x＜5，可知该不等式的整数解有4，3，2，1，-1，-2，-3，-4等，有无数个，所以A选项正确，不符合题意； B. 不等式x>−5的负整数解集有−4，−3，−2，−1.故正确,不符合题意； C. 不等式−2x<8的解集是x>−4,故错误. D. 不等式2x<−8的解集是x<−4包括−40，故正确,不符合题意； 故选:C. 【点睛】本题是一道关于不等式的题目，需结合不等式的解集的知识求解； 【变式3-2】若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质3，两边都除以m-1后得到x＞1，可知m-1＜0，解之可得． 【详解】∵不等式（m-1）x＜m-1的解集为x＞1， ∴m-1＜0，即m＜1， 故选：B． 【点睛】此题考查不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【变式3-3】下列说法错误的是（  ） A．不等式的解是3 B．3是不等式的解 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 【答案】A 【分析】使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解，能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，结合各选项进行判断即可． 【详解】解∶A、3是不等式的解，但是不等式的解集不是3，故本选项错误，符合题意； B、3是不等式的解，说法正确，故本选项不符合题意； C、不等式的解集是，说法正确，故本选项不符合题意； D、是不等式的解集，说法正确，故本选项不符合题意． 故选∶ A． 【点睛】本题考查了不等式的解及解集，注意区分不等式的解与解集是解题的关键． 【解题方法总结】 判断不等式的解(解集)的方法 判断一个数是否为不等式的解，只需把这个数代入不等式中，看能否使不等式成立。如果成立,那么该数是不等式的解;否则不是. 不等式的解集一般是一个范围，如果这个范围不包括所有使不等式成立的未知数的值，或者这个范围内存在使不等式不成立的值，那么它就不是不等式的解集。 用数轴表示不等式的解集 例4．如图，是一个不等式的解集在数轴上的表示，则这个不等式可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式，用数轴表示不等式的解集． 由数轴可得不等式的解集为，分别求出各个不等式的解集，逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可得解集为， A、解不等式得，与数轴表示的解集不一致，不合题意； B、解不等式得，与数轴表示的解集不一致，不合题意； C、解不等式得，与数轴表示的解集不一致，不合题意； D、解不等式得，与数轴表示的解集一致，符合题意． 故选：D 【变式4-1】不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，先解不等式可得解集为，再在数轴上表示解集即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在数轴上表示为： ． 故选：D． 【变式4-2】不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用数轴表示不等式的解集，求出不等式的解集，定边界，定方向在数轴上表示出解集，判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 在数轴上表示出解集，如图： ； 故选C． 【变式4-3】解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来.    【答案】，数轴见详解 【分析】根据解一元一次不等式的步骤解答即可． 【详解】 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1：． 在数轴上可表示为： ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，能求出不等式的解集是解此题的关键，难度适中． 【解后反思】 在数轴上表示不等式的解集或根据不等式的解集在数轴上的表示来写不等式时，要特别注意两点: (1)准确确定方向和边界点; (2)准确使用不等号. 解一元一次不等式 例5．解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 审题关键:先解不等式,再把解集表示在数轴上. 破题思路:先按照解不等式的步骤(去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1)解出不等式的解集,再把解集表示在数轴上. 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把的系数化为1，并把不等式的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 的系数化为1得，， 在数轴上表示为： 【变式5-1】解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，详见解析 【分析】先去括号、移项、合并同类项，然后把x的系数化为1得到不等式的解集，再用数轴表示解集． 【详解】， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 用数轴表示为：    【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【变式5-2】解不等式：，并将不等式的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下： 【变式5-3】解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法步骤并正确求解是解答的关键． 先求得不等式的解集，再将解集表示在数轴上，注意端点是实心． 【详解】解： ． 在数轴上表示为： 【变式5-4】解不等式： 【答案】 【分析】按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解不等式即可． 【详解】解： 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得， 【点睛】此题考查了解不等式，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键． 求不等式的特殊解 例6．不等式的正整数解为 ． 审题关键:先求出不等式的解集,再根据题目要求在解集中确定相应的特殊解. 【答案】1，2 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，解不等式求出x的范围，再取符合条件的正整数即可． 【详解】解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得：， 系数化为1，得：， 所以，不等式的正整数解为1，2． 【变式6-1】不等式的负整数解有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解题的关键，注意不等式两边同除以一个负数，不等号方向发生改变．先求出不等式的解集，然后得出负整数解，即可得出答案． 【详解】解： 不等式的负整数有，，，，共四个， 故选：C． 【变式6-2】不等式的最大整数解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式的最大整数解，按照移项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其最大整数解即可． 【详解】解： 移项得：， 系数化为1得：， ∴原不等式的最大整数解是， 故答案为：． 【变式6-3】满足不等式的最小整数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求解不等式的整数解，解不等式即可找到最小整数解． 【详解】解：∵ 移项：， 整理得：， 解得： 所以不等式的最小整数解为． 故答案为： 【变式6-4】不等式的非负整数解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了求不等式的非负整数解．先解不等式求出不等式的解集，再找出非负整数解即可． 【详解】解： 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴不等式的非负整数解是． 故答案为：． 【变式6-5】设，若为完全平方数，则整数的个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方数的概念，掌握题目要求是解答本题的关键．设，通过找到的取值，根据题目要求即可求解． 【详解】解：设（其中为正整数）， 则． ， ， ， ， ． 即，此时共有26个值， 是奇数， 整数的个数为个． 故答案为：． 【解题技巧总结】 求不等式的特殊解的两种方法 方法1:先求出不等式的解集,再在解集中确定符合要求的特殊解. 方法2:运用数形结合思想，把不等式的解集在数轴上表示出来,这样更易于确定不等式的特殊解. 根据不等式的解集求字母的取值(范围)（重要、填空压轴题高频考点） 例7．关于x的不等式有2个正整数解，则a的取值范围是 ． 审题关键:先求出不等式的解集,再结合数轴进行分析. 【答案】 【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算可得，然后再根据题意可得：，从而进行计算即可解答． 本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∵不等式有2个正整数解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式7-1】若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的含参问题，掌握求一元一次不等式的方法，取值方法是解题的关键． 首先解不等式，然后根据不等式只有3个正整数解即可得到一个关于m的不等式，求得m的范围． 【详解】解： 移项，得： ， 合并同类项，得： ， 系数化为1，得： ， ∵不等式只有3个正整数解， ∴， 故答案为： ． 【变式7-2】已知关于的不等式至少有3个负整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，所以．因为关于的不等式至少有3个负整数解，所以该不等式至少有的三个负整数解是，， 所以， 解得 【变式7-3】如果关于x的不等式2(x－1)<a＋5与2x<4的解集相同，则a的值为 . 【答案】-3 【详解】试题解析：由得 解得： 根据题意可得： 解得： 故答案为 【解题技巧总结】 数形结合求解“已知不等式解集求字母参数”问题 已知一个不等式的解集满足特定要求，求字母的取值范围时，我们可先解出这个含字母参数的不等式的解集，再利用数轴确定大致范围，验证“临界点”是否满足条件，然后列出一个关于字母参数的不等式，最后求出字母参数的取值范围 方程组与一元一次不等式综合问题 例8．已知方程组的解、满足，求的取值范围． 审题关键:解答本题应先从解方程组入手,再根据x,间的不等关系解题 破题思路:思路①:将m看作已知数,通过解方程组求出x,y,再利用x＋y＞0,列出关于m的不等式求解. 思路②:可直接将方程组中的两个方程相加，得到x＋y的表达式，然后列不等式进行求解. 【答案】 【分析】根据消元法，得出x、y的值，再根据x+y＞0，可得答案． 【详解】解：， 得，，即， ， ，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，先求出二元一次方程组的解，再求出m的取值范围，能用含m的式子表示x+y是解题的关键． 【变式8-1】已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据不等式的解集求参数，根据题意得出，进而可得，解不等式，即可求解． 【详解】解： ①+②得， ∴ ∵ ∴ 解得： ∴的最小整数值为， 故选：A． 【变式8-2】在方程组中，若未知数、满足，则的取值范围应为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把方程组中的两个方程相加即可得到x+y，再利用x+y>0得到不等式即可求解． 【详解】解：， 得，， 即， 可得， ∵， ∴， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的综合运用，解题的关键是根据方程组的特点得到x+y的值． 【变式8-3】已知、满足和，求的最小值． 【答案】3 【分析】解方程组得出，再根据知，解之即可． 【详解】解方程组，得， ∵， ∴，即， 解得：， ∴的最小值为3． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，正确解方程组和不等式是解题的关键． 【解题技巧总结】 解决不等式与方程组的综合问题的方法 解决此类问题的常规方法是先将所求字母看作已知数，用含有字母参数的代数式表示出方程组的解,再列出关于所求字母的不等式，依据不等式的性质求出解集，确定所求字母的取值范围如果所给的方程组的系数比较特殊，那么可以考虑将两个方程相加或相减，得到需要的代数式，利用整体思想求解，而不必解方程组. 求一元一次不等式解的最值 例9．已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程及一元一次不等式，列出关于k的不等式求出k的取值范围是解题关键． 把k看作已知数表示出方程的解，根据解为非负数，确定出k的范围，即可得出答案． 【详解】解： 解得：， 由题意得：， 解得：， ∴k的最小值为． 故答案为：． 【变式9-1】已知关于的方程的解是非负数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】把当作已知数表示出方程的解，根据方程的解为非负数列出不等式，确定出的范围即可． 【详解】解：方程， 解得：， ∵关于的方程的解是非负数， ∴， 解得：， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式．根据题意得出不等式是解题的关键． 【变式9-2】已知实数，，．若，则的最大值为 ． 【答案】6 【分析】由得，与相加得，由及，可得a的最大值为3，从而得出的最大值． 【详解】解：由得， 由得， 及， 解得：， 的最大值为3， 的最大值． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了不等式的性质运用．关键是由已知等式得出的表达式，再求最大值． 【变式9-3】已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值． 【答案】0 【分析】首先解方程求得x的值，把x的值代入不等式中，得关于a的不等式，解不等式即可求得满足条件的整数a的最小值． 【详解】原方程可化为：， 即7x=7， 解得：x=1， 把x=1代入2x－3a<5中，得2－3a<5， 解不等式得：， 所以整数a的最小值为0． 【点睛】本题是一元一次方程与一元一次不等式的综合，考查了解一元一次方程及解一元一次不等式、求一元一次不等式的整数解，正确解一元一次方程及一元一次不等式是解题的关键． 解|x|≥a型的不等式 例10．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据绝对值性质分、，去绝对值符号后解相应不等式可得x的范围． 【详解】 解：①当，即时，原式可化为：， 解得：， ； ②当，即时，原式可化为：， 解得：， ， 综上，该不等式的解集是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的能力，根据绝对值性质分类讨论是解题的关键． 【变式10-1】阅读求绝对值不等式子解集的过程：因为，从如图所示的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值是小于3的，所以的解集是，解答下面的问题： (1)不等式的解集为______； (2)求的解集实质上是求不等式组______的解集，求的解集． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）根据题中所给出的例子进行解答即可； （2）根据题中所给的实例列出关于的不等式组，求出其解集即可． 【详解】（1）解：的解集是， 不等式的解集为：． 故答案为：； （2）解：的解集是， 求的解集是， 可化为， 求的解集实质上是求不等式组， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意利用数形结合求一元一次不等式的解集是解答此题的关键． 【变式10-2】（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则： ①“”可理解为 ； ②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ． 我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． （2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式． 由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或， 绝对值不等式的解集是．则： ①不等式的解集是 ． ②不等式的解集是 ． （3）【拓展应用】解不等式，并画图说明． 【答案】（1）①数在数轴上对应的点到原点的距离小于；②；3； （2）①或；②；（3）或，见解析． 【分析】（1）①类比题目所给的信息即可解答；②写出符合题意的两个整数即可（答案不唯一）； （2）①类比题目中的解题方法即可解答；②类比题目中的解题方法即可解答； （3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集，就是数轴上表示数的点到表示与的点的距离之大于的所有的值，由此即可确定不等式的解集． 【详解】（1）①由题意可得，“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于． 故答案为：数在数轴上对应的点到原点的距离小于； ② 令， 使不等式“”成立的整数为，， 故答案为：，． （2）①由题意可知， 不等式的解集是或， 故答案为：或； ②由题意可知，不等式的解集为： ， 即， 故答案为：； （3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集就是数轴上表示数的点，到表示与的点的距离之和大于的所有的值， 如下图所示， 可知不等式的解集是或． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 解不等式： 【错误解答】 【纠错解答】 解：两边同时乘以6得，， 去括号得，， 移项得，， 整理得， 左右两边同除以-2，得，． 解关于的不等式：． 【错误解答】 解： ． 【纠错解答】 解：可化为 ． 当，即时，不成立，所以无解； 当，即时，依据不等式的性质，可得； 当，即时，依据不等式的性质，可得． 【防错警示】 本题易错误地认为，而直接得出． 因为的值未知，的符号不明确，所以当不等式的两边都除以时应分类讨论的取值，的取值不同，的取值范围也不同． 1.解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】按去分母、去括号、移项、合并同类项，未知数系数化为的步骤求出解集，再把解集在数轴上表示出来，注意包含端点值用实心圆点，不包含端点值用空心圆点，即可求解． 【详解】解： ， 解集在数轴上表示为 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法及解集在数轴上的表示方法，掌握解法及表示方法是解题的关键． 2.不等式的正整数解为 ． 【答案】1，2 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，解不等式求出x的范围，再取符合条件的正整数即可． 【详解】解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得：， 系数化为1，得：， 所以，不等式的正整数解为1，2． 3．不等式的最大整数解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式的最大整数解，按照移项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其最大整数解即可． 【详解】解： 移项得：， 系数化为1得：， ∴原不等式的最大整数解是， 故答案为：． 4.已知关于x的不等式至少有三个负整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．根据关于x的一元一次不等式至少有3个负整数解只能是、、，得出，求出a的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的不等式至少有三个负整数解， ∴关于x的一元一次不等式至少有的三个负整数解是：、、， ∴ ∴解得：． 故答案为： 5.解不等式：，并将解集表示在数轴上 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及数轴表示不等式，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 根据不等式的运算法则进行运算后，即可画出数轴． 【详解】 解： ， ∴可作出数轴为： 6.解不等式：． 【答案】 【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 7.已知方程组的解、满足，求m的取值范围． 【答案】m的取值范围为m＜． 【分析】根据消元法，得出x、y的值，再根据x+y＜1，可得答案． 【详解】解：， ①+②，得：3x+3y=2+2m， ∴x+y=， ∵x+y＜1，即＜1， 解得，m＜． ∴m的取值范围为m＜． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，先求出二元一次方程组的解，再求出m的取值范围． 8.我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．   ⑴. 发现问题：代数式的最小值是多少？ ⑵. 探究问题：如图，点分别表示的是 ，． ∵的几何意义是线段与的长度之和 ∴当点在线段上时，;当点点在点的左侧或点的右侧时 ∴的最小值是3． ⑶.解决问题： ①.的最小值是 ； ②.利用上述思想方法解不等式： ③.当为何值时，代数式的最小值是2． 【答案】①6；②或；③或 【分析】(3)①根据绝对值的几何意义可知，变成数轴上的点到-2的距离和到4的距离之和的最小值； ②根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可； ③根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可． 【详解】解：(3)①设A表示的数为4，B表示的数为-2，P表示的数为x， ∴表示数轴上的点P到4的距离，用线段PA表示， 表示数轴上的点P到-2的距离，用线段PB表示， ∴的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时取得最小值为AB， 且线段AB的长度为6， ∴的最小值为6. 故答案为：6. ②设A表示-3，B表示1，P表示x， ∴线段AB的长度为4，则， 的几何意义表示为PA+PB， ∴不等式的几何意义是PA+PB＞AB， ∴P不能在线段AB上，应该在A的左侧或者B的右侧， 即不等式的解集为或． 故答案为：或． ③设A表示-a，B表示3，P表示x， 则线段AB的长度为， 的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时PA+PB取得最小值， ∴ ∴或， 即或； 故答案为：或. 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，数轴，绝对值，以及数学常识，掌握绝对值的几何意义，学会分类讨论是解决本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元一次不等式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 理解概念：使学生正确理解一元一次不等式的概念，包括不等式、不等式的解、不等式的解集等基本概念. 教学重点：掌握一元一次不等式的解法，并能在数轴上正确表示解集. 教学难点：正确运用不等式的性质进行变形，特别是当不等式两边同时乘（或除）同一个负数时，不等号方向需要改变的问题. 不等式的解的定义 在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。 若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 总结： 本题考查的是不等式的解的概念,只要能使不等式成立的未知数的值，都是不等式的解,反之,则不是这个不等式的解. 一元一次不等式的定义 只含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式叫作一元一次不等式 若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 不等式的解集的定义 一个不等式的解的全体叫作该不等式的解集.如x-1>2 的解集为x>3. 【特别注意】 不等式的解集是一个集合,是一个范围,而不是具体的某几个数. 【核心笔记】 项目 不等式的解 不等式的解集 区别 满足不等式的未知数的某个值 满足不等式的未知数的所有值 可以有“无数个” 不等式确定,它的解集也就确定 联系 不等式的所有解组成了不等式的解集,不等式的解集中包含了不等式的每一个解 不等式解集的表示方法 不等式的解集可以在数轴上表示出来,如表: 不等式的解集 图示 画法 在表示的点上画空心圆表示不包含在解集中 在表示的点上画实心圆表示包含在解集中 【特别提醒】 (1)数轴是表示不等式解集的重要工具，是数形结合的基础. (2)在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，因此，在数轴上表示不等式时，要牢记:①大于向右画，小于向左画;②有等号的端点画实心圆点，无等号的端点画空心圆圈. 不等式的解集在数轴上表示为（    ）． A．   B．   C．   D．   解不等式 求不等式的解集的过程叫作解不等式,解不等式的主要依据是不等式的性质,在运用不等式的性质进行解题时,应特别注意:不等式两边同乘(或除以)一个负数,不等号方向改变;不等式两边不能同乘0,否则不等式就变为等式了. 利用不等式的性质求出下列不等式的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)－2x≥3 (2)－4x+12＜0 解一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤 (1)化简不等式(去分母、去括号、移项、合并同类项)成 的形式. ①去分母:在不等式两边乘分母的最小公倍数 ②去括号:把所有因式去括号展开; ③移项：把含有未知数的项移到不等号左边,常数项移到不等号右边; ④合并同类项:化为形式 (2)两边同除以未知数的系数,得到不等式的解集. 提醒 不等式两边同除以未知数的系数时,同学们一定要注意系数 的正负, 时,不等号的方向保持不变;时,不等号的方向改变. 判断一元一次不等式 例1．下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；中是一元一次不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．0个 【变式1-1】下列不等式中，是一元一次不等式的为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】下列各式中，是一元一次不等式的是　　 A． B． C． D． 【变式1-3】列式子中是一元一次不等式的是　　 A． B． C． D． 利用一元一次不等式的概念求字母的值 例2．若是关于的一元一次不等式，则 ． 审题关键:熟练掌握一元一次不等式的三个条件,建立关于待定字母的方程是解答本题的关键. 【变式2-1】若是关于x的一元一次不等式，则m的值是 ． 【变式2-2】若是关于x的一元一次不等式，则 ． 【变式2-3】已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【解题技巧反思】 紧抓三条件,巧求字母值利用一元一次不等式的概念 同学们，我们在解此类题时，一定要时刻紧扣一元一次不等式的三个条件:(1)含有一个未知数，(2)未知数的次数是1,(3)不等号两边都是整式,列方程求解.可以简记：“非0双1整”. 一元一次不等式的解和解集 例3．下列说法中正确的是（　　） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．是不等式的唯一解 D．不是不等式的解 【变式3-1】下列说法中，错误的是(　　) A．不等式x＜5的整数解有无数多个 B．不等式x＞－5的负整数解集有有限个 C．不等式－2x＜8的解集是x＜－4 D．－40是不等式2x＜－8的一个解 【变式3-2】若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】下列说法错误的是（  ） A．不等式的解是3 B．3是不等式的解 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 【解题方法总结】 判断不等式的解(解集)的方法 判断一个数是否为不等式的解，只需把这个数代入不等式中，看能否使不等式成立。如果成立,那么该数是不等式的解;否则不是. 不等式的解集一般是一个范围，如果这个范围不包括所有使不等式成立的未知数的值，或者这个范围内存在使不等式不成立的值，那么它就不是不等式的解集。 用数轴表示不等式的解集 例4．如图，是一个不等式的解集在数轴上的表示，则这个不等式可能是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． ． 【变式4-2】不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来. 【解后反思】 在数轴上表示不等式的解集或根据不等式的解集在数轴上的表示来写不等式时，要特别注意两点: (1)准确确定方向和边界点; (2)准确使用不等号. 解一元一次不等式 例5．解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 审题关键:先解不等式,再把解集表示在数轴上. 破题思路:先按照解不等式的步骤(去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1)解出不等式的解集,再把解集表示在数轴上. 【变式5-1】解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【变式5-2】解不等式：，并将不等式的解集表示在数轴上． 【变式5-3】解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【变式5-4】解不等式： 求不等式的特殊解 例6．不等式的正整数解为 ． 审题关键:先求出不等式的解集,再根据题目要求在解集中确定相应的特殊解. 【变式6-1】不等式的负整数解有（   ）个． A． B． C． D． 【变式6-2】不等式的最大整数解是 ． 【变式6-3】满足不等式的最小整数是 ． 【变式6-4】不等式的非负整数解是 ． 【变式6-5】设，若为完全平方数，则整数的个数为 ． 【解题技巧总结】 求不等式的特殊解的两种方法 方法1:先求出不等式的解集,再在解集中确定符合要求的特殊解. 方法2:运用数形结合思想，把不等式的解集在数轴上表示出来,这样更易于确定不等式的特殊解. 根据不等式的解集求字母的取值(范围)（重要、填空压轴题高频考点） 例7．关于x的不等式有2个正整数解，则a的取值范围是 ． 审题关键:先求出不等式的解集,再结合数轴进行分析. 【变式7-1】若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 【变式7-2】已知关于的不等式至少有3个负整数解，则的取值范围是 ． 【变式7-3】如果关于x的不等式2(x－1)<a＋5与2x<4的解集相同，则a的值为 . 【解题技巧总结】 数形结合求解“已知不等式解集求字母参数”问题 已知一个不等式的解集满足特定要求，求字母的取值范围时，我们可先解出这个含字母参数的不等式的解集，再利用数轴确定大致范围，验证“临界点”是否满足条件，然后列出一个关于字母参数的不等式，最后求出字母参数的取值范围 方程组与一元一次不等式综合问题 例8．已知方程组的解、满足，求的取值范围． 审题关键:解答本题应先从解方程组入手,再根据x,间的不等关系解题 破题思路:思路①:将m看作已知数,通过解方程组求出x,y,再利用x＋y＞0,列出关于m的不等式求解. 思路②:可直接将方程组中的两个方程相加，得到x＋y的表达式，然后列不等式进行求解. 【变式8-1】已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 【变式8-2】在方程组中，若未知数、满足，则的取值范围应为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知、满足和，求的最小值． 【解题技巧总结】 解决不等式与方程组的综合问题的方法 解决此类问题的常规方法是先将所求字母看作已知数，用含有字母参数的代数式表示出方程组的解,再列出关于所求字母的不等式，依据不等式的性质求出解集，确定所求字母的取值范围如果所给的方程组的系数比较特殊，那么可以考虑将两个方程相加或相减，得到需要的代数式，利用整体思想求解，而不必解方程组. 求一元一次不等式解的最值 例9．已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为 ． 【变式9-1】已知关于的方程的解是非负数，则的最小值为 ． 【变式9-2】已知实数，，．若，则的最大值为 ． 【变式9-3】已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值． 解|x|≥a型的不等式 例10．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【变式10-1】阅读求绝对值不等式子解集的过程：因为，从如图所示的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值是小于3的，所以的解集是，解答下面的问题： (1)不等式的解集为______； (2)求的解集实质上是求不等式组______的解集，求的解集． 【变式10-2】（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则： ①“”可理解为 ； ②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ． 我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． （2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式． 由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或， 绝对值不等式的解集是．则： ①不等式的解集是 ． ②不等式的解集是 ． （3） 【拓展应用】解不等式，并画图说明． 解不等式： 【错误解答】 【纠错解答】 解：两边同时乘以6得，， 去括号得，， 移项得，， 整理得， 左右两边同除以-2，得，． 解关于的不等式：． 【错误解答】 解： ． 【纠错解答】 解：可化为 ． 当，即时，不成立，所以无解； 当，即时，依据不等式的性质，可得； 当，即时，依据不等式的性质，可得． 【防错警示】 本题易错误地认为，而直接得出． 因为的值未知，的符号不明确，所以当不等式的两边都除以时应分类讨论的取值，的取值不同，的取值范围也不同． 1.解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是（    ）． A．   B．   C．   D．   2.不等式的正整数解为 ． 3．不等式的最大整数解是 ． 4.已知关于x的不等式至少有三个负整数解，则的取值范围是 ． 5.解不等式：，并将解集表示在数轴上 6.解不等式：． 7.已知方程组的解、满足，求m的取值范围． 8.我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．   ⑴. 发现问题：代数式的最小值是多少？ ⑵. 探究问题：如图，点分别表示的是 ，． ∵的几何意义是线段与的长度之和 ∴当点在线段上时，;当点点在点的左侧或点的右侧时 ∴的最小值是3． ⑶.解决问题： ①.的最小值是 ； ②.利用上述思想方法解不等式： ③.当为何值时，代数式的最小值是2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$