1.2 整式的乘法（12大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（北师大版2024）

（北师大版）七年级下册数学《第1章 整式的乘除》 1.2 整式的乘法 知识点一 单项式乘单项式 ◆1、单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式. 【注意】①系数：积的系数等于系数的积； ②相同字母：相同字母的幂相乘； ③单独字母：连同它的指数作为积的一个因式． 知识点二 单项式乘多项式 ◆1、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加. ◆2、用式子表示：p(a + b + c)=pa + p b + p c． ◆3、法则逆用：幂的乘方性质可以逆用，即am n ＝ (am )n ＝ (an )m（m，n是正整数）． 【注意】（1）依据是乘法分配律； （2）积的项数与多项式的项数相同. 知识点三 多项式乘多项式 ◆1、多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. ◆2、用式子表示：(a+b)(m+n)=am+an+b m+bn． ◆3、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 【注意】多项式与多项式相乘的结果仍为多项式，若有同类项一定要及时合并同类项，在合并同类项之前，积的项数应该是两个多项式的项数之积． 题型一 单项式与单项式相乘 解题技巧提炼 (1)单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式. (2)不要漏掉只在一个单项式里含有的字母因式； (3) 此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 1．（2024春•西安期中）计算：（　　） A．﹣3x3y5 B．﹣3xy C．﹣3x3y D．﹣3x2y6 【分析】根据单项式乘单项式法则：系数与系数相乘，同底数幂与同底数幂相乘，进行计算即可． 【解答】解：原式 ＝﹣3x3y5， 故选：A． 【点评】本题主要考查了整式的乘法运算，解题关键是熟练掌握单项式乘单项式法则和同底数幂相乘法则． 2．（2024•碑林区校级二模）计算：3x2y•（﹣2xy）2的结果是（　　） A．﹣6x3y3 B．6x3y3 C．﹣12x4y3 D．12x4y3 【分析】先计算乘方，再根据单项式乘单项式的运算法则计算即可． 【解答】解：3x2y•（﹣2xy）2 ＝3x2y•4x2y2 ＝12x4y3， 故选：D． 【点评】本题了单项式乘单项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 3．（2024秋•通许县期中）下列计算正确的是（　　） A．6x2•3xy＝9x3y3 B．（2ab2）•（﹣3ab）＝﹣6a2b3 C．m2n•（﹣m2n）＝﹣m3n3 D．（﹣3x3y）•（﹣3xy）＝9x3y2 【分析】根据单项式乘单项式的运算法则逐项判断即可． 【解答】解：A、6x2•3xy＝18x3y，原计算错误，不符合题意； B、（2ab2）•（﹣3ab）＝﹣6a2b3，原计算正确，符合题意； C、m2n•（﹣m2n）＝﹣m4n2，原计算错误，不符合题意； D、（﹣3x3y）•（﹣3xy）＝9x4y2，原计算错误，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了单项式乘单项式，解题的关键是熟练掌握单项式乘单项式的运算法则． 4．（2023秋•浦东新区期末）（4×105）×（25×103）的计算结果是（　　） A．100×108 B．1×1017 C．1×1010 D．100×1015 【分析】运用单项式乘单项式和科学记数法知识进行求解、辨别． 【解答】解：（4×105）×（25×103） ＝（4×25）×（105×103） ＝100×108 ＝1×1010， 故选：C． 【点评】此题考查了科学记数法的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识． 5．（2023秋•商水县月考）若单项式﹣4xay和x2yb的积为﹣2x7y6，则ab的算术平方根为（　　） A． B． C．5 D．10 【分析】直接利用单项式乘单项式得出a，b的值，进而利用算术平方根的定义得出答案． 【解答】解：∵单项式﹣4xay和x2yb的积为﹣2x7y6， ∴a+2＝7，1+b＝6， 解得：a＝5，b＝5， 则ab＝25的算术平方根为5． 故选：C． 【点评】此题主要考查了单项式乘单项式、算术平方根，正确掌握相关运算法则是解题关键． 6．（2024秋•龙海区期中）单项式3x2y3与﹣5x2y2的积为 　 　． 【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，进而计算得出答案． 【解答】解：单项式3x2y3与﹣5x2y2的积为：3×（﹣5）x2y3•x2y2＝﹣15x4y5． 故答案为：﹣15x4y5． 【点评】此题主要考查了单项式乘单项式，正确掌握单项式与单项式相乘运算法则是解题关键． 7．（2024秋•北碚区校级月考）若单项式与﹣xb+6y2a是同类项，则这两个单项式的积是 　 　． 【分析】先根据同类项的定义求出a、b的值，再根据单项式乘单项式的法则计算即可． 【解答】解：根据题意得，3a﹣1＝b+6，2a＝﹣b+3， 解得a＝2，b＝﹣1， 所以这两个单项式是和﹣x5y4， 所以， 故答案为：． 【点评】本题考查了单项式乘单项式，同类项，熟练掌握同类项的定义以及单项式乘单项式的法则是解题的关键． 8．（2023春•阜宁县校级月考）计算： （1）（﹣2ab）2•（a3c2）•2a2b； （2）（a﹣b）3[﹣3（a﹣b）]2[（a﹣b）]； （3）（﹣3a2b3）2×（﹣a3b2）； （4）（﹣4xy3）（xy）3﹣（x2y3）2． （5）9（xy）3•（）2+（﹣x2y）2+（﹣x2y）3•xy2． 【分析】（1）利用幂的乘方与积的乘方的法则，单项式乘单项式法则进行计算，即可得出结果； （2）利用幂的乘方与积的乘方的法则，单项式乘单项式法则进行计算，即可得出结果； （3）利用幂的乘方与积的乘方的法则，单项式乘单项式法则进行计算，即可得出结果； （4）利用幂的乘方与积的乘方的法则，单项式乘单项式法则，合并同类项法则进行计算，即可得出结果． （5）直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘单项式运算法则计算，再合并得出答案． 【解答】解：（1）（﹣2ab）2•（a3c2）•2a2b ＝（4a2b2）•（a3c2）•2a2b ＝（﹣a5b2c2）•2a2b ＝﹣2a7b3c2； （2）（a﹣b）3[﹣3（a﹣b）]2[（a﹣b）] ＝（a﹣b）3•9（a﹣b）2[（a﹣b）] ＝9（a﹣b）5[（a﹣b）] ＝﹣6（a﹣b）6； （3）（﹣3a2b3）2×（﹣a3b2） ＝9a4b6×（﹣a3b2） ＝﹣9a7b8； （4）（﹣4xy3）（xy）3﹣（x2y3）2 ＝（﹣4xy3）（x3y3）x4y6 x4y6x4y6 x4y6． （5）原式＝9x3y3•x4y2+x4y2+（﹣x6y3）•xy2 ＝x7y5+x4y2﹣x7y5 ＝x4y2． 【点评】此题主要考查了单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 题型二 单项式与多项式相乘 解题技巧提炼 1、单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 2、在做乘法运算时，一定要注意单项式和多项式中每一项的符号，不要乘错． 1．（2024秋•武都区期末）计算﹣2x（x2﹣y）正确的是（　　） A．﹣2x3﹣y B．﹣2x3﹣2xy C．2x3﹣2xy D．﹣2x3+2xy 【分析】根据单项式乘多项式的运算法则计算即可． 【解答】解：﹣2x（x2﹣y）＝﹣2x3+2xy， 故选：D． 【点评】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．（2023秋•西青区期末）计算的结果是（　　） A．﹣6x3﹣2x2+12x B．6x3﹣2x2+12 C．6x3+2x2﹣12x D．6x3﹣2x2+12x 【分析】根据单项式乘多项式的法则计算即可． 【解答】解： ＝6x3﹣2x2+12x， 故选：D． 【点评】本题考查了单项式乘多项式的，熟练掌握单项式乘多项式的法则是解题的关键． 3．（2023秋•朝阳区校级月考）计算（x2﹣2）•（﹣2x）2的结果是（　　） A． B．﹣x4+4x2 C．x4﹣8x2 D．x4+4x2 【分析】根据单项式乘多项式，积的乘方运算求解即可． 【解答】解：（x2﹣2）•（﹣2x）2 ＝（x2﹣2）•4x2 ＝x4﹣8x2， 故选：C． 【点评】本题考查了单项式乘多项式，积的乘方，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． 4．（2024•河南模拟）下列式子运算正确的是（　　） A．（﹣a）2＝﹣a2 B．2a（a﹣2b）＝2a2﹣2ab C．a2•a5＝a7 D．2a2+3ab3＝5a3b3 【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，单项式乘多项式的计算方法，逐项计算即可． 【解答】解：A、（﹣a）2＝a2，故本选项不符合题意； B、2a（a﹣2b）＝2a2﹣4ab，故本选项不符合题意； C、a2⋅a5＝a7，故本选项符合题意； D、2a2与3ab3不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，单项式乘多项式，熟练掌握以上的知识点是解题的关键． 5．（2024秋•天河区校级期中）李老师做了个长方形教具，其中一边长为a+2b，另一边长为b，则该长方形的面积为（　　） A．a+3b B．2a+6b C．ab+2b D．ab+2b2 【分析】根据单项式乘多项式法则求解即可． 【解答】解：长方形的面积为＝b（a+2b）＝ab+2b2． 故选：D． 【点评】本题考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的运算法则是关键． 6．（2023秋•渝中区校级期中）若x（x2﹣a）+3x﹣2b＝x3+5x﹣6对任意x都成立，则a+b＝　 　． 【分析】利用单项式乘多项式的法则对等式左边进行整理，再结合等式的性质进行求解即可． 【解答】解：x（x2﹣a）+3x﹣2b＝x3+5x﹣6， x3﹣ax+3x﹣2b＝x3+5x﹣6， x3+（﹣a+3）x﹣2b＝x3+5x﹣6， ∵原式子对任意x都成立， ∴﹣a+3＝5，﹣2b＝﹣6， 解得：a＝﹣2，b＝3， ∴a+b＝﹣2+3＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 7．（2023秋•晋江市校级月考）计算： （1）（4a﹣b2）（﹣2b）； （2）2x2（x）； （3）5ab（2a﹣b+0.2）﹣（b+2a）ab； （4）（a）（﹣9a）﹣a（﹣6a+4）． 【分析】（1）根据单项式乘多项式法则计算便可； （2）根据单项式乘多项式法则计算便可； （3）根据单项式乘多项式法则计算，再合并同类项； （4）根据单项式乘多项式法则计算，再合并同类项． 【解答】解：（1）（4a﹣b2）（﹣2b）＝﹣8ab+2b3 （2）2x2（x）＝2x3﹣x2； （3）5ab（2a﹣b+0.2）﹣（b+2a）ab ＝10a2b﹣5ab2+ab﹣ab2﹣2a2b ＝ab+8a3b﹣6ab2； （4）（a）（﹣9a）﹣a（﹣6a+4） ＝﹣6a2+4a+6a2﹣4a ＝0． 【点评】本题考查了整式的混合运算，熟记单项式与多项式以及整式混合运算的法则是解题的关键． 题型三 多项式与多项式相乘 解题技巧提炼 1、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 2、注意：(1) 不要漏乘；(2) 符号问题；(3) 最后结果应化成最简形式 (是同类项的要合并). 1．（2023秋•海口期末）下列多项式相乘的结果为x2﹣4x﹣12的是（　　） A．（x+3）（x﹣4） B．（x+2）（x﹣6） C．（x﹣3）（x+4） D．（x+6）（x﹣2） 【分析】将选项分别进行计算，然后与结果比较可得出正确答案． 【解答】解：A、（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣12，不符合题意； B、（x+2）（x﹣6）＝x2﹣4x﹣12，符合题意； C、（x﹣3）（x+4）＝x2+x﹣12，不符合题意； D、（x+6）（x﹣2）＝x2+4x﹣12，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查多项式乘多项式的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键，要注意符号的运算是同学们容易出错的地方． 2．（2024秋•南阳期末）在展开多项式（x2+x﹣3）（x2﹣2x+2a）中，常数项为﹣30，则a等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据多项式乘以多项式法则，式子中的常数项为每个多项中常数项相乘的结果，即为﹣3×2a＝﹣6a，由此简便运算． 【解答】解：观察式子（x2+x﹣3）（x2﹣2x+2a）中常数项为﹣3×2a＝﹣6a， ∵常数项为﹣30， ∴﹣6a＝﹣30， ∴a＝5； 故选：C． 【点评】本题考查多项式乘以多项式法则；能够理解法则的意义，结合已知，求每个多项中常数项相乘的结果是解题的关键． 3．（2024秋•东山县期中）利用多项式相乘的知识我们易得公式（ax+b）（cx+d）＝acx2+（bc+ad）x+bd，我们直接套用公式可求得（3x﹣2）（5x+3）＝15x2+（﹣10+9）x﹣6＝15x2﹣x﹣6，我们可以逆向运用这个公式，如果2x2﹣13x+6＝（x﹣6）（　　），那么括号里应该填（　　） A．x+1 B．2x﹣1 C．2x+1 D．x﹣1 【分析】设2x2﹣13x+6＝（x﹣6）（cx+d），则c＝2，﹣6c+d＝﹣13，﹣6d＝6，解出c＝2，d＝﹣1，即可作答． 【解答】解：根据题意可知，acx2+（bc+ad）x+bd＝（ax+b）（cx+d）， 设2x2﹣13x+6＝（x﹣6）（cx+d）， ∵cx2+（﹣6c+d）x﹣6d＝（x﹣6）（cx+d）， ∴2x2﹣13x+6＝cx2+（﹣6c+d）x﹣6d， 即c＝2，﹣6c+d＝﹣13，﹣6d＝6， 解得：c＝2，d＝﹣1， ∴2x2﹣13x+6＝（x﹣6）（2x﹣1）． 故选：B． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，掌握相应的运算法则是关键． 4．（2023秋•翠屏区期末）若M＝x（2x﹣7），N＝（x+1）（x﹣8），则M与N的大小关系是（　　） A．M＜N B．M＝N C．M＞N D．M与N的大小由x的取值而定 【分析】先计算M与N的差，再说明M、N的大小关系． 【解答】解：M﹣N＝x（2x﹣7）﹣（x+1）（x﹣8） ＝2x2﹣7x﹣（x2﹣7x﹣8） ＝2x2﹣7x﹣x2+7x+8 ＝x2+8， ∵x2≥0， ∴x2+8＞0． ∴M＞N． 故选：C． 【点评】本题考查了整式大小的比较，掌握单项式乘多项式、多项式乘多项式法则是解决本题的关键． 5．（2023秋•台州期末）若（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣5对任意x恒成立，其中a，b，m均为整数，则m的值为 　 　． 【分析】先根据多项式乘多项式法则进行计算得a+b＝m，ab＝﹣5，然后根据a，b，m均为整数，分类讨论，求出m的值即可． 【解答】解：（x+a）（x+b） ＝x2+bx+ax+ab ＝x2+（a+b）x+ab， ∵（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣5， ∴a+b＝m，ab＝﹣5， ∵a，b均为整数， ∴a＝1，b＝﹣5或a＝﹣1，b＝5， ∴a+b＝±4， ∵a+b＝m， ∴m＝±4， 故答案为：±4． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则，并能够分情况进行讨论． 6．计算： （1）（3x﹣1）（x+5）； （2）（3x+4）（4x﹣9）； （3）（5a﹣6b）（3a﹣2b）； （4）（x﹣4）（2y）． 【分析】利用多项式乘多项式的法则计算即可． 【解答】解：（1）（3x﹣1）（x+5）＝3x2+15x﹣x﹣5＝3x2+14x﹣5； （2）（3x+4）（4x﹣9）＝12x2﹣27x+16x﹣36＝12x2﹣11x﹣36； （3）（5a﹣6b）（3a﹣2b）＝15a2﹣10ab﹣18ab+12b2＝15a2﹣28ab+12b2； （4）（x﹣4）（2y）＝xyx﹣8y+1． 【点评】考查了多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 题型四 整式乘法与求字母的值 解题技巧提炼 先根据整式乘法的运算法则计算，然后观察等式左右两边，得到关于含代求字母的方程，解方程求解即可解决问题. 1．（2024春•龙子湖区期中）要使x（x+2a）+2x﹣2b＝x2+6x+8成立，则a，b的值分别为（　　） A．a＝﹣2，b＝﹣4 B．a＝2，b＝4 C．a＝2，b＝﹣4 D．a＝﹣2，b＝4 【分析】已知等式左边利用单项式乘多项式法则化简，合并后根据多项式相等的条件求出a与b的值即可． 【解答】解：已知等式整理得：x2+2ax+2x﹣2b＝x2+6x+8， 即x2+（2a+2）x﹣2b＝x2+6x+8， ∴2a+2＝6，﹣2b＝8， 解得：a＝2，b＝﹣4． 故选：C． 【点评】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．（2024秋•儋州期中）若（x﹣1）（x+6）＝x2+px+q，则p+q的值为（　　） A．11 B．﹣11 C．﹣1 D．1 【分析】先利用多项式乘多项式法则计算（x﹣1）（x+6），再根据整式的值相等确定p，q的值，最后计算p+q． 【解答】解：根据乘法公式计算可知（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6＝x2+px+q ∴p＝5，q＝﹣6， ∴p+q＝﹣1， 故选：C． 【点评】本题考查了整式的乘法，代数式求值，掌握多项式乘多项式法则是解决问题的关键． 3．（2023秋•秦皇岛期末）若（x+3）（x+n）＝x2+mx+6，（m，n均为实数），则（　　） A．m＝1，n＝2 B．m＝1，n＝﹣2 C．m＝5，n＝﹣2 D．m＝5，n＝2 【分析】根据多项式乘以多项式法则即可求出答案． 【解答】解：∵（x+3）（x+n）＝x2+（3+n）x+3n， ∴x2+（3+n）x+3n＝x2+mx+6， ∴3+n＝m，3n＝6， ∴n＝2，m＝5， 故选：D． 【点评】本题考查整式运算，解题的关键是熟练运用多项式乘以多项式的法则，本题属于基础题型． 4．（2023秋•郯城县期末）若（x﹣3）（2x2+mx﹣5）的计算结果中x2项的系数为﹣3，则m为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣9 D． 【分析】根据多项式乘以多项式的法则，计算含x2项的系数之和，得到方程并求解，即得答案． 【解答】解：在（x﹣3）（2x2+mx﹣5）的计算过程中含x2项有mx2和﹣6x2， 所以m﹣6＝﹣3， 解得m＝3． 故选：B． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解答本题的关键． 5．（2024秋•船山区校级期末）设（xm﹣1yn+2）•（x5my2）＝x5y7，则（m）n的值为（　　） A． B． C．1 D． 【分析】直接利用单项式乘单项式进而得出关于m，n的等式，进而利用幂的乘方运算求出答案． 【解答】解：∵（xm﹣1yn+2）•（x5my2）＝x5y7， ∴xm﹣1+5myn+2+2＝x5y7， ∴m﹣1+5m＝5，n+2+2＝7， 解得：m＝1，n＝3， 则（m）n＝（1）3． 故选：A． 【点评】此题主要考查了单项式乘单项式以及幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 6．（2023•铜仁市模拟）若﹣2x2m﹣1与yn﹣4与7x1﹣nym﹣1的积与x7y3是同类项，求m、n的值． 【分析】依据单项式乘单项式的法则和同类项的定义解答即可． 【解答】解：﹣2x2m﹣1•yn﹣4•7x1﹣nym﹣1＝﹣14x2m﹣nym+n﹣5， ∴﹣14x2m﹣nym+n﹣5与x7y3是同类项． ∴2m﹣n＝7，m+n﹣5＝3． 解得：m＝5，n＝3． 【点评】本题主要考查的是单项式乘单项式、同类项的定义、二元一次方程组的解法，根据题意得到2m﹣n＝7，m+n﹣5＝3是解题的关键． 题型五 整式乘法与化简求值 解题技巧提炼 整式乘法的化简求值的题型，注意一般应先化简，再求值． 1．（2023春•富川县期中）已知a（a﹣2）＝8，则代数式a2﹣2a﹣6的值为（　　） A．8 B．14 C．﹣2 D．2 【分析】将a（a﹣2）＝8转化为a2﹣2a＝8，代入所求代数式即可． 【解答】解：∵a（a﹣2）＝8， ∴a2﹣2a＝8， ∴a2﹣2a﹣6＝8﹣6＝2． 故选：D． 【点评】本题考查了单项式乘多项式法则的应用，单项式乘多项式就是把单项式与多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 2．（2023秋•义乌市期中）已知x（x﹣3）＝2，那么多项式﹣2x2+6x+9的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】把所求的多项式进行整理，再代入相应的值运算即可． 【解答】解：∵x（x﹣3）＝2， ∴﹣2x2+6x+9 ＝﹣2x（x﹣3）+9 ＝﹣2×2+9 ＝﹣4+9 ＝5． 故选：B． 【点评】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 3．（2024春•玄武区校级月考）若a+b＝4，b﹣c＝﹣3，则代数式ac+b（c﹣a﹣b）的值为 　 ． 【分析】将原式展开并变形后代入数值计算即可． 【解答】解：∵a+b＝4，b﹣c＝﹣3， ∴ac+b（c﹣a﹣b） ＝ac+bc﹣ab﹣b2 ＝（ac+bc）﹣（ab+b2） ＝c（a+b）﹣b（a+b） ＝（a+b）（c﹣b） ＝﹣（a+b）（b﹣c） ＝﹣4×（﹣3） ＝12， 故答案为：12． 【点评】本题考查单项式乘多项式，整式的加减，将原式进行正确的变形是解题的关键． 4．先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2． 【分析】（1）直接利用完全平方公式化简进而得出答案； （2）直接去括号合并同类项，再把已知代入求出答案． 【解答】解：（1）∵（a+b）2＝3，（a﹣b）2＝27， ∴a2+2ab+b2＝3①，a2﹣2ab+b2＝27②， ∴①+②得： 2a2+2b2＝30， ∴a2+b2＝15； （2）3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4） ＝6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2 ＝﹣20a2+9a， 当a＝﹣2时，原式＝﹣98． 【点评】此题主要考查了整式的加减运算，正确合并同类项是解题关键． 5．先化简，再求值：若（a﹣2）2+|b+1|＝0，求的值． 【分析】原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出值． 【解答】解：∵（a﹣2）2+|b+1|＝0， ∴a﹣2＝0，b+1＝0， 解得：a＝2，b＝﹣1， 原式＝9a2+2ab﹣3b2﹣8a2﹣2ab+4b2 ＝a2+b2， 当a＝2，b＝﹣1时，原式＝4+1＝5． 【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．阅读：已知x2y＝3，求2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y＝3整体代入． 解：2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）＝2x6y3﹣6x4y2﹣8x2y ＝2（x2y）3﹣6（x2y）2﹣8x2y ＝2×33﹣6×32﹣8×3＝﹣24． 你能用上述方法解决以下问题吗？试一试! （1）已知ab＝3，求（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）的值； （2）已知a2+a﹣1＝0，求代数式a3+2a2+2018的值． 【分析】（1）首先利用单项式乘以多项式进行计算，再代入ab的值即可； （2）首先把已知变形可得a2+a＝1，然后再变形代入a2+a的值计算即可． 【解答】解：（1）（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b） ＝﹣4a3b3+6a2b2﹣8ab ＝﹣4（ab）3+6（ab）2﹣8ab ＝﹣4×33+6×32﹣8×3 ＝﹣108+54﹣24 ＝﹣78； （2）∵a2+a﹣1＝0， ∴a2+a＝1， a3+2a2+2018 ＝a3+a2+a2+2018 ＝a（a2+a）+a2+2018 ＝a+a2+2018 ＝1+2018 ＝2019． 【点评】此题主要考查了单项式乘以多项式，关键是掌握计算法则． 题型六 整式乘法与看错问题 解题技巧提炼 先根据多项式乘多项式展开，合并同类项，得出两个二元一次方程，组成方程组，求出方程组的解. 1．（2024秋•商水县月考）小轩计算一道整式乘法的题：（3x+2m）（5x﹣6），由于小轩将第一个多项式中的“+2m”抄成“﹣2m”，得到的结果为15x2﹣78x+72，则m的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据多项式乘多项式即可求出答案． 【解答】解：（3x﹣2m）（5x﹣6） ＝15x2﹣18x﹣10mx+12m ＝15x2﹣（18+10m）x+12m， ∴15x2﹣（18+10m）x+12m＝15x2﹣78x+72， ∴12m＝72，18+10m＝78， ∴m＝6， 故选：C． 【点评】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘多项式的运算法则． 2．（2024春•青山区期中）某同学在计算﹣3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2﹣x+1，由此可以推断正确的计算结果是 ． 【分析】根据整式的减法法则求出多项式，根据单项式与多项式相乘的运算法则计算，得到答案． 【解答】解：x2﹣x+1﹣（﹣3x2）＝x2﹣x+1+3x2＝4x2﹣x+1， ﹣3x2•（4x2﹣x+1）＝﹣12x4+3x3﹣3x2， 故答案为：﹣12x4+3x3﹣3x2． 【点评】本题考查的是单项式乘多项式、整式的加减混合运算，单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 3．（2024春•神木市期末）小奇计算一道整式的混合运算的题：（x﹣a）（4x+3）﹣2x，由于小奇将第一个多项式中的“﹣a”抄成“+a”，得到的结果为4x2+13x+9． （1）求a的值． （2）请计算出这道题的正确结果． 【分析】（1）根据题意列出关系式，根据多项式相等的条件即可求出a的值； （2）列出正确的算式，计算即可得到结果． 【解答】解：（1）根据题意得：（x+a）（4x+3）﹣2x＝4x2+（3+4a﹣2）x+3a＝4x2+13x+9； ∴1+4a＝13， 解得：a＝3； （2）正确的算式为（x﹣3）（4x+3）﹣2x＝4x2﹣9x﹣9﹣2x＝4x2﹣11x﹣9． 【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．（2024春•任丘市期末）欢欢与乐乐两人共同计算（2x+a）（3x+b），欢欢抄错为（2x﹣a）（3x+b），得到的结果为6x2﹣13x+6；乐乐抄错为（2x+a）（x+b），得到的结果为2x2﹣x﹣6． （1）式子中的a、b的值各是多少？ （2）请计算出原题的正确答案． 【分析】（1）根据由于欢欢抄错了第一个多项式中的a符号，得出的结果为6x2﹣13x+6，可知（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab＝6x2﹣13x+6，于是2b﹣3a＝﹣13①；再根据乐乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣x﹣6，可知常数项是﹣6，可知（2x+a）（x+b）＝2x2﹣x﹣6，可得到2b+a＝﹣1②，解关于①②的方程组即可求出a、b的值； （2）把a、b的值代入原式求出整式乘法的正确结果． 【解答】解：（1）根据题意可知，由于欢欢抄错了第一个多项式中的a的符号，得到的结果为6x2﹣13x+6， 那么（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab＝6x2﹣13x+6， 可得2b﹣3a＝﹣13 ① 乐乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣x﹣6， 可知（2x+a）（x+b）＝2x2﹣x﹣6 即2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣x﹣6， 可得2b+a＝﹣1 ②， 解关于①②的方程组，可得a＝3，b＝﹣2； （2）正确的式子： （2x+3）（3x﹣2）＝6x2+5x﹣6 【点评】本题主要是考查多项式的乘法，正确利用法则是正确解决问题的关键． 5．（2024秋•梁平区期中）芳芳计算一道整式乘法的题：（2x+m）（5x﹣4），由于芳芳抄错了第一个多项式中m前面的符号，把“+”写成“﹣”，得到的结果为10x2﹣33x+20． （1）求m的值； （2）计算这道整式乘法的正确结果． 【分析】（1）根据芳芳的做法，展开多项式乘以多项式，根据结果，列出方程，求出m的值； （2）将m的值代入，计算即可． 【解答】解：（1）根据题意得：（2x﹣m）（5x﹣4） ＝10x2﹣8x﹣5mx+4m ＝10x2+（﹣8﹣5m）x+4m ＝10x2﹣33x+20， ∴4m＝20， ∴m＝5； （2）当m＝5时， 原式＝（2x+5）（5x﹣4） ＝10x2﹣8x+25x﹣20 ＝10x2+17x﹣20． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式，根据芳芳的做法，列出方程是解题的关键． 6．（2023秋•简阳市期末）【阅读理解】 在计算机上可以设置程序，将二次多项式处理成一次多项式，设置程序为：将二次多项式A的二次项系数乘以2作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的一次项系数作为一次多项式B的常数项． 例如：A＝5x2﹣7x+2，A经过程序设置得到B＝2×5x﹣7＝10x﹣7． 【知识应用】 关于x的二次多项式A经过程序设置得到一次多项式B，已知A＝x2﹣x﹣m，根据上方阅读材料，解决下列问题： （1）若B＝3nx﹣m，求m，n的值； （2）若A﹣mB的结果中不含一次项，求关于x的方程B＝m的解； （3）某同学在计算A﹣2B时，把A﹣2B看成了2A﹣B，得到的结果是2x2﹣4x﹣3，求出A﹣2B的正确值． 【分析】（1）根据已知条件中的定义求出B，列出关于m和n的方程，解答即可； （2）先求出A﹣mB，根据A﹣mB的结果中不含一次项，列出关于m的方程，解方程求出答案； （3）先求出2A﹣B的值，根据已知结果，列出关于m的方程，求出m，然后把m的值代入A﹣2B进行计算即可． 【解答】解：（1）∵A＝x2﹣x+m， ∴B＝2x﹣1． ∵B＝3nx﹣m， ∴3n＝2，﹣m＝﹣1， ∴m＝1，； （2）∵A﹣mB＝（x2﹣x﹣m）﹣m（2x﹣1） ＝x2﹣x﹣m﹣2mx+m ＝x2﹣x﹣2mx ＝x2﹣（1+2m）x， ∵A﹣mB的结果中不含一次项， ∴1+2m＝0， 解得， ∵B＝m， ∴， ， ； （3）∵2A﹣B＝2（x2﹣x﹣m）﹣（2x﹣1） ＝2x2﹣2x﹣2m﹣2x+1 ＝2x2﹣4x﹣2m+1， ∴﹣2m+1＝﹣3， 2m＝4， ∴m＝2， ∵A﹣2B＝（x2﹣x﹣2）﹣2（2x﹣1） ＝x2﹣x﹣2﹣4x+2 ＝x2﹣x﹣4x+2﹣2 ＝x2﹣5x． 【点评】本题主要考查了解一元一次方程、单项式乘多项式，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． 题型七 整式乘法与遮挡问题 解题技巧提炼 整式乘法与遮挡问题主要是利用整式的运算求多项式中的未知项． 1．（2024秋•邓州市期中）数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣3xy（7y﹣5x﹣1）＝﹣21xy2+15x2y■，■的地方被钢笔水弄污了，你认为■内应填写（　　） A．3xy B．﹣3xy C．﹣1 D．1 【分析】根据单项式乘多项式运算法则进行运算判断即可． 【解答】解：﹣3xy（7y﹣5x﹣1）＝﹣21xy2+15x2y+3xy， 故■内应填写3xy． 故选：A． 【点评】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式运算法则是关键． 2．（2023秋•河南月考）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（　　） A．+21xy B．﹣21xy C．﹣3 D．﹣10xy 【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论． 【解答】解：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y+21xy． 故选：A． 【点评】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加是解答此题的关键． 3．（2023秋•曾都区期末）在“单项式乘多项式”的课堂上，有这样一道题的计算过程：（x﹣3y）•（﹣6x）＝x•（﹣6x）□（﹣3y）•（﹣6x），你认为“□”内应填的符号为（　　） A．+ B．﹣ C．• D．÷ 【分析】运用单项式城单项式的计算方法进行求解． 【解答】解：∵（x﹣3y）•（﹣6x）＝x•（﹣6x）+（﹣3y）•（﹣6x）， ∴“□”内应填的符号是“+”， 故选：A． 【点评】此题考查了多项式乘单项式的计算能力，关键是能准确理解并运用该知识． 4．（2023春•冷水滩区期末）某人计算（x﹣2）（x+■）时，已正确得出结果中的一次项系数为﹣1，不小心将第二个括号中的常数染黑了，则被染黑的常数为 　 　． 【分析】根据多项式乘多项式的法则进行运算，再结合所给的条件进行求解即可． 【解答】解：（x﹣2）（x+■）＝x2+（■﹣2）x﹣2■， ∵一次项系数为﹣1， ∴■﹣2＝﹣1， 解得：■＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是运算时注意符号的变化． 5．（2023春•龙子湖区期中）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记本复习，发现一道题：﹣3xy（4y﹣2x﹣1）＝﹣12xy2+6x2y+□，□的地方被墨水弄污了，你认为□处应填写　 ． 【分析】根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果． 【解答】解：根据题意得： ﹣3xy（4y﹣2x﹣1）+12xy2﹣6x2y ＝﹣12xy2+6x2y+3xy+12xy2﹣6x2y ＝3xy． 故答案为：3xy． 【点评】此题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．（2024秋•青浦区校级月考）小红准备完成题目：计算（x2x﹣1）（x2﹣2x+1）时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：（x2+2x﹣1）（x2﹣2x+1）； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【分析】（1）根据多项式乘多项式的运算法则计算即可； （2）设被遮住的一次项系数为a，根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，再根据正确答案是不含一次项的，得到关于a的方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）（x2+2x﹣1）（x2﹣2x+1） ＝x4﹣2x3+x2+2x3﹣4x2+2x﹣x2+2x﹣1 ＝x4﹣4x2+4x﹣1； （2）设被遮住的一次项系数为a， 即（x2+ax﹣1）（x2﹣2x+1） ＝x4﹣2x3+x2+ax3﹣2ax2+ax﹣x2+2x﹣1 ＝x4+（a﹣2）x3+（﹣2a）x2+（a+2）x﹣1， ∵这个题目的正确答案不含一次项的， ∴a+2＝0， 解得：a＝﹣2， ∴被遮住的一次项系数为﹣2． 【点评】本题考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 题型八 整式乘法与不含某项问题 解题技巧提炼 在整式乘法的混合运算中，要注意运算顺序. 注意当多项式中不含有哪一项时，则表示这一项的系数为 0. 1．（2023秋•阜平县期末）要使﹣x3（x2+ax+1）+2x4中不含有x的四次项，则a等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先利用多项式乘以单项式法则及合并同类项法则进行运算，再根据不含x的四次项，确定a的值． 【解答】解：原式＝﹣x5﹣ax4﹣x3+2x4 ＝﹣x5+（2﹣a）x4﹣x3 ∵﹣x3（x2+ax+1）+2x4中不含有x的四次项， ∴2﹣a＝0， 解得，a＝2． 故选：B． 【点评】本题考查了单项式乘以多项式法则及合并同类项法则．掌握不含哪项，哪项的系数为0是解决本题的关键． 2．（2023秋•海淀区校级期中）要使多项式（x﹣m）（x﹣n）不含x的一次项，则（　　） A．m＝n B．m+n＝0 C．mn＝1 D．m﹣n＝0 【分析】先利用多项式乘多项式法则计算，再根据积中不含x的一次项得结论． 【解答】解：（x﹣m）（x﹣n） ＝x2﹣mx﹣nx+mn ＝x2﹣（m+n）x+mn． ∵多项式（x﹣m）（x﹣n）不含x的一次项， ∴﹣（m+n）＝0． ∴m+n＝0． 故选：B． 【点评】本题主要考查了整式的运算，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键． 3．（2024秋•沙坪坝区校级期中）要使（x﹣1）（x2+mx﹣2）的展开式中不含x项，则m的值为 　 ． 【分析】先把多项式展开后合并，然后令x项系数等于0，再解方程即可． 【解答】解：∵多项式（x﹣1）（x2+mx﹣2）＝x3+（m﹣1）x2+（﹣m﹣2）x+2不含x项， ∴﹣m﹣2＝0， 解得m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力． 4．（2024秋•浦东新区校级月考）已知关于x的多项式x2+mx+n与x2﹣2x+3的积不含二次项和三次项，则m+n＝　 　． 【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则计算，再根据积不含二次项和三次项，即可求出m、n的值． 【解答】解：（x2+mx+n）（x2﹣2x+3） ＝x4﹣2x3+3x2+mx3﹣2mx2+3mx+nx2﹣2nx+3n ＝x4+（m﹣2）x3+（3﹣2m+n）x2+（3m﹣2n）x+3n， ∵关于x的多项式x2+mx+n与x2﹣2x+3的积不含二次项和三次项， ∴m﹣2＝0，3﹣2m+n＝0， 解得m＝2，n＝1， ∴m+n＝2+1＝3， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，注意当要求多项式中不含有某一项，应让这一项的系数为0． 5．（2023秋•微山县期末）已知关于x的代数式的中不含x项与x2项． （1）求m，n的值； （2）求代数式m2023n2024的值． 【分析】（1）利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后根据题意得出2m﹣1＝0，，即可得出m，n的值； （2）将m，n的值代入进行计算即可． 【解答】解：（1） ， ∵不含x项与x2项， ∴， 解得：； （2）． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 6．（2024春•新津区校级月考）已知（2x2+mx﹣n）（x﹣1）展开的结果中，不含x2和x项．（m，n为常数） （1）求m，n的值； （2）在（1）的条件下，求（m﹣n）（m2+mn+n2）的值． 【分析】（1）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，然后根据题意得出关于m、n的方程，解之即可求解； （2）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，再代入m、n值计算即可． 【解答】解：（1）原式＝2x3﹣2x2+mx2﹣mx﹣nx+n， ＝2x3+（m﹣2）x2﹣（m+n）x+n， ∵（2x2+mx﹣n）（x﹣1）展开的结果中，不含x2和x项， ∴m﹣2＝0，m+n＝0， ∴m＝2，n＝﹣2； （2）（m﹣n）（m2+mn+n2） ＝m3+m2n+mn2﹣m2n﹣mn2﹣n3， ＝m3﹣n3， 把m＝2，n＝﹣2代入得， 原式＝23﹣（﹣2）3， ＝8﹣（﹣8）， ＝16． 【点评】本题考查了多项式乘多项式不含某项问题、多项式乘多项式化简求值，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 题型九 整式乘法与新定义运算问题 解题技巧提炼 先根据新定义运算，列出算式，利用整式乘法运算的法则进行计算即可解决问题. 1．（2024春•正定县期中）定义三角表示3abc，方框表示xz+wy，则×的结果为（　　） A．72m2n﹣45mn2 B．72m2n+45mn2 C．24m2n﹣15mn2 D．24m2n+15mn2 【分析】根据题意理解三角和方框表示的意义，然后即可求出要求的结果． 【解答】解：根据题意得：原式＝9mn×（8m+5n）＝72m2n+45mn2． 故选：B． 【点评】本题考查了单项式乘多项式，解答本题的关键在于理解题中所给的新定义． 2．（2023秋•乐至县校级期中）对于任何数，我们规定：ad﹣bc．例如：1×4﹣2×3＝4﹣6＝﹣2． （1）按照这个规定，请你化简：； （2）按照这个规定，当a2﹣4a+2＝0时，求的值． 【分析】（1）根据定义的新运算可得5×4﹣8×2，然后进行计算即可解答； （2）根据定义的新运算可得（a+2）（a﹣3）﹣3（a﹣1），然后进行计算，最后把a2﹣4a＝﹣2代入化简后的式子进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由题意得： 5×4﹣8×2 ＝﹣20﹣16 ＝﹣36； （2）由题意得： ＝（a+2）（a﹣3）﹣3（a﹣1） ＝a2﹣a﹣6﹣3a+3 ＝a2﹣4a﹣3， ∵a2﹣4a+2＝0， ∴a2﹣4a＝﹣2， ∴当a2﹣4a＝﹣2，原式＝﹣2﹣3＝﹣5． 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，理解定义的新运算是解题的关键． 3．（2024春•玄武区校级月考）定义：L（A）是多项式A化简后的项数，例如多项式A＝x2+2x﹣3，则L（A）＝3．一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即C＝A×B），如果L（A）≤L（C）≤L（A）+1，则称B是A的“好多项式”，如果L（A）＝L（C），则称B是A的“极好多项式”． （1）若A＝x﹣2，B＝x+3均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项式”？请判断并说明理由； （2）若A＝x﹣2，B＝x2+ax+4均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则a＝　 　； （3）若A＝x2﹣x+3m，B＝x2+x+m均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，求m的值． 【分析】（1）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“好多项式”的定义判断； （2）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“极好多项式”，得到关于a的方程，解方程即可求解； （3）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“极好多项式”，得到关于m的方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）B是A的“好多项式”， 理由如下： （x﹣2）（x+3）＝x2﹣2x+3x﹣6＝x2+x﹣6， ∵x2+x﹣6的项数比A的项数多1项， ∴B是A的“好多项式”； （2）（x﹣2）（x2+ax+4）＝x3+ax2+4x﹣2x2﹣2ax﹣8＝x3+（a﹣2）x2+（4﹣2a）x﹣8， ∵B是A的“极好多项式”， ∴a﹣2＝0且4﹣2a＝0， 解得a＝2． 故答案为：2； （3）（x2﹣x+3m）（x2+x+m）＝x4+x3+mx2﹣x3﹣x2﹣mx+3mx2+3mx+3m2＝x4+（4m﹣1）x2+2mx+3m2， ∵B是A的“极好多项式”， ∴4m﹣1＝0或m＝0， 解得m或0． ∴m的值是或0． 【点评】本题考查的是多项式 乘多项式，掌握“好多项式”和“极好多项式”的定义，多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 4．（2023秋•海淀区校级期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n＝0或px+q＝0时，多项式A＝（mx+n）（px+q）＝mpx2+（mq+np）x+nq的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． （1）已知多项式（3x+1）（x﹣2），则此多项式的零点为 　 　； （2）已知多项式B＝（x﹣1）（bx+c）＝ax2﹣（a﹣1）x有一个零点为1，求多项式B的另一个零点； （3）小聪继续研究（x﹣3）（x﹣1），x（x﹣4）及（x）（x）等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x＝2对称，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式M＝（2ax+b）（cx﹣5c）＝bx2﹣4cx﹣2a﹣4是“2系多项式”，求a与c的值． 【分析】（1）依据题意，令（3x+1）（x﹣2）＝0，则x或x＝2，从而可得多项式的零点； （2）依据题意，一个零点为1，代入右边得a﹣（a﹣1）a＝0，从而求得a＝2；再由B＝ax2﹣（a﹣1）xa＝2x2﹣x﹣1＝0，从而可求出另一零点； （3）依据题意，由“2系多项式”的定义，从而x或x＝5 【解答】解：（1）依据题意，令（3x+1）（x﹣2）＝0，得多项式的零点为x或x＝2， 故答案为：或2． （2）依据题意，将x＝1代入多项式B，得B＝a﹣（a﹣1）a＝0，解得a＝2； 将a＝2代入，得B＝2x2﹣x﹣1＝（x﹣1）（2x+1）； 令2x+1＝0，得多项式B的另一个零点为：． （3）∵M＝（2ax+b）（cx﹣5c）， ∴M的两个零点分别是或5； 根据“2系多项式”的定义，有5＝4，化简得b＝2a； 将b＝2a代入多项式M进行化简，得M＝（2ax+b）（cx﹣5c）＝2ac（x+1）（x﹣5）＝2ac（x2﹣4x﹣5）＝2acx2﹣8acx﹣10ac， ∵M＝bx2﹣4cx﹣2a﹣4＝2ax2﹣4cx﹣2a﹣4， ∴2ac＝2a，﹣8ac＝﹣4c， 整理得a，c＝1． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意一个多项式的不同表达式中，同次项的系数应是相等的． 5．（2024秋•海淀区校级期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n＝0或px+q＝0时，多项式A＝（mx+n）（px+q）＝mpx2+（mq+np）x+nq的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． （1）已知多项式（3x+2）（x﹣3），则此多项式的零点为　 　． （2）已知多项式B＝（x﹣2）（x+m）＝x2+（a﹣1）x﹣3a有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； （3）订正：小聪继续研究（x﹣4）（x﹣2），x（x﹣6）及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x＝3对称，他把这些多项式称为“3﹣系多项式”．若多项式M＝（2x﹣b）（cx﹣7c）＝ax2﹣（8a﹣4c）x+5b﹣4是“3﹣系多项式”，则a＝　　，b＝　 　，c＝　 　． 【分析】（1）根据题意，令（3x+2）（x﹣3）＝0，解方程得出x的值，即可得出答案； （2）根据题意，把x＝2代入多项式B，得B＝4+2（a﹣1）﹣3a＝0，然后解关于a的方程即可得出a的值，再把a的值代入B，进而得出答案； （3）根据题意，由“3﹣系多项式”定义，进而得出答案． 【解答】解：（1）根据题意，令（3x+2）（x﹣3）＝0， ∴3x+2＝0或x﹣3＝0， 解得：x或x＝3， 故答案为：或3； （2）根据题意，把x＝2代入B，得B＝4+2（a﹣1）﹣3a＝0， 解得：a＝2， 把a＝2代入B，得B＝x2+x﹣6＝（x﹣2）（x+3）， 令x+3＝0， 解得：x＝﹣3， ∴多项式B的另一个零点是﹣3； （3）∵M＝（2x﹣b）（cx﹣7）， ∴M的两个零点分别是或， 根据“3﹣系多项式”的定义，有， ∴bc+14＝12c， ∴， 把代入M， 得M＝（2x﹣b）（cx﹣7） ， ∵M＝ax2﹣（8a﹣4c）x+5b﹣4， ∴，5b﹣4＝7b， 解得：b＝﹣2， 把b＝﹣2代入， ∴． 故答案为：2，﹣2，1． 【点评】本题考查了多项式乘多项式的运算，新定义，掌握多项式乘多项式的运算法则，理解新定义，一个多项式不同表达式中，掌握同次项的系数应是相等的是解题的关键． 题型十 整式乘法与规律探究问题 解题技巧提炼 整式乘法中的规律探索问题主要是根据题中的等式探究出规律，然后再由规律解决问题. 1．（2024秋•门头沟区校级期中）计算： （x﹣1）（x+1）＝　 　． （x﹣1）（x2+x+1）＝　 　． （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝　 　． （x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝　 　． 从上面的计算中你发现的规律（用含n的一般形式表示）　 　． 【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则求出前面4个式子的结果，进而总结规律求解即可． 【解答】解：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣x2+x2﹣x+x﹣1＝x3﹣1； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4+x3+x2+x﹣x3﹣x2﹣x﹣1＝x4﹣1； （x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5+x4+x3+x2+x﹣x4﹣x3﹣x2﹣x﹣1＝x5﹣1； ……， 以此类推可知，（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x2+x+1）＝xn+1﹣1． 故答案为：x2﹣1；x3﹣1；x4﹣1；x5﹣1；（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x2+x+1）＝xn+1﹣1． 【点评】本题考查了多项式乘法中的规律探索，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 2．观察以下等式： （x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1 （x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27 （x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216 … 按以上等式的规律，填空：（a+b）（ 　）＝a3+b3． 【分析】根据已知得出运算法则的规律，进而得出运算公式． 【解答】解：∵（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1； （x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27＝x3+33； （x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216＝x3+63； … ∴（a+b）（ a2﹣ab+b2）＝a3+b3． 故答案为：a2﹣ab+b2． 【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，根据已知得出运算规律是解题关键． 3．计算下列各式，然后回答问题． （a+4）（a+3）＝　　 ；（a+4）（a﹣3）＝　　 ； （a﹣4）（a+3）＝　　 ；（a﹣4）（a﹣3）＝　　 ． （1）从上面的计算中总结规律，写出下式结果． （x+a）（x+b）＝　 ． （2）运用上述结果，写出下列各题结果． ①（x+2008）（x﹣1000）＝　　 ； ②（x﹣2005）（x﹣2000）＝　 　． 【分析】利用单项式与多项式相乘计算各个式子后，发现展开式的一次项系数是原来每个因式的第二项的和，常数项是它们的积．即（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab．然后再计算所给的式子的结果． 【解答】解：（a+4）（a+3）＝a2+7a+12； （a+4）（a﹣3）＝a2+a﹣12； （a﹣4）（a+3）＝a2﹣a﹣12； （a﹣4）（a﹣3）＝a2﹣7a+12． （1）（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab． （2）①（x+2008）（x﹣1000）＝x2+1008x﹣2 008 000； ②（x﹣2005）（x﹣2000）＝x2﹣4 005x+4 010 000． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键，对计算结果分析找出规律，再利用规律简便计算． 4．（2023春•渠县校级期末）探究应用： （1）计算：（a﹣2）（a2+2a+4）＝　 　．（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝　 　． （2）上面的乘法计算结果很简洁，聪明的你又可以发现一个新的乘法公式，可以用含a，b的字母表示为　 　． （3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是　 　 A、（a﹣3）（a2﹣3a+9）B、（2m﹣n）（2m2+2mn+n2） C、（4﹣x）（16+4x+x2） D、（m﹣n）（m2+2mn+n2） （4）直接用公式计算：（3x﹣2y）（9x2+6xy+4y2）＝　 　． 【分析】（1）根据多项式与多项式相乘的法则计算以后，合并同类项即可； （2）根据上面两题得出公式即可； （3）根据归纳的公式的特点进行判断即可； （4）利用公式直接计算即可． 【解答】解：（1）（a﹣2）（a2+2a+4）＝a3+2a2+4a﹣2a2﹣4a﹣8＝a3﹣8； （2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝8x3+4x2y+2xy2﹣4x2y﹣2xy2﹣y3＝8x3﹣y3； （2）（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3； （3）能用我发现的乘法公式计算的是C； （4）（3x﹣2y）（9x2+6xy+4y2）＝（3x）3﹣（2y）3＝27x3﹣8y3． 故答案为a3﹣8；8x3﹣y3；（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；C；27x3﹣8y3． 【点评】本题考查了多项式与多项式相乘以及学生的理解、归纳、应用能力，难度适中，运用多项式乘多项式的法则正确求出（1）中的两个式子是解题的关键． 5．（2024春•江都区校级期中）阅读： 在计算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察]①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； ②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； …… （1）[归纳]由此可得： （x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+．．．+x+1）＝　 　； （2）[应用]请运用上面的结论，解决下列问题： 计算：22024+22023+22022+22021+…+2+1＝　 ； （3）计算：220﹣219+218﹣217+…﹣23+22﹣2+1 【分析】（1）根据题意得到规律即可； （2）由（2﹣1）（22024+22023+22022+22021+…+2+1）＝22025﹣1即可得到答案； （3）设S＝220﹣219+218﹣217+…﹣23+22﹣2+1①，则2S＝221﹣220+219﹣218+…﹣24+23﹣22+2②，①+②后即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意可得，（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+．．．+x+1）＝xn+1﹣1 故答案为：xn+1﹣1； （2）由题意可得，（2﹣1）（22024+22023+22022+22021+…+2+1）＝22025﹣1， ∴22024+22023+22022+22021+…+2+1＝22025﹣1 故答案为：22025﹣1； （3）设S＝220﹣219+218﹣217+…﹣23+22﹣2+1① 则2S＝221﹣220+219﹣218+…﹣24+23﹣22+2② ①+②得，3S＝221+1 ∴． 【点评】此题考查了多项式乘法的规律，根据题意找到规律是解题的关键． 题型十一 整式乘法与几何表示问题 解题技巧提炼 验证等式是否成立时，若是一个图形，则可以考虑用不同的方法表示图形的面积；若是两个图形，则分别表示图形的面积，再整理验证. 1．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，右图可表示的代数恒等式是（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．2a（a+b）＝2a2+2ab C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 【分析】由题意知，长方形的面积等于长2a乘以宽（a+b），面积也等于四个小图形的面积之和，从而建立两种算法的等量关系． 【解答】解：长方形的面积等于：2a（a+b）， 也等于四个小图形的面积之和：a2+a2+ab+ab＝2a2+2ab， 即2a（a+b）＝2a2+2ab． 故选：B． 【点评】本题考查了单项式乘多项式的几何解释，列出面积的两种不同表示方法是解题的关键． 2．（2024春•桥西区期末）小羽制作了如图所示的卡片A类，B类，C类各50张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，现要拼一个长为（5a+7b），宽为（7a+b）的大长方形，那么所准备的C类卡片的张数（　　） A．够用，剩余4张 B．够用，剩余5张 C．不够用，还缺4张 D．不够用，还缺5张 【分析】根据大长方形的面积公式求出拼成大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可求解． 【解答】解：大长方形的面积为（5a+7b）（7a+b）＝35a2+54ab+7b2，C类卡片的面积是ab， ∴需要C类卡片的张数是54， ∴不够用，还缺4张， 故选：C． 【点评】本题主要考查多项式与多项式的乘法与图形的面积，掌握多项式乘以多项式的计算方法是解题的关键． 3．（2023春•焦作期末）通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（　　） A．a（b﹣x）＝ab﹣ax B．b（a﹣x）＝ab﹣bx C．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx D．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx+x2 【分析】要求阴影部分面积，若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解． 【解答】解：图1中，阴影部分＝长（a﹣x）宽（a﹣2b）长方形面积， ∴阴影部分的面积＝（a﹣x）（b﹣x）， 图2中，阴影部分＝大长方形面积﹣长a宽x长方形面积﹣长b宽x长方形面积+边长x的正方形面积， ∴阴影部分的面积＝ab﹣ax﹣bx+x2， ∴（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx+x2． 故选：D． 【点评】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式运算，需要利用图形的一些性质得出式子，考查学生观察图形的能力． 4．（2023春•新田县期末）如图是“L”形的纸板，5位同学分别列出了计算它面积的算式， 甲：ac+c（b﹣c）；乙：bc+c（a﹣c）；丙：ac+bc﹣c2； 丁：ab﹣（b﹣c）（a﹣c）；戊：c（b﹣c）+c（a﹣c）． 他们之中正确的是（　　） A．甲、乙 B．丙、丁 C．甲、乙、丙、丁 D．甲、乙、丙、丁、戊 【分析】结合图形把“L”形纸板的面积表示出来即可判断． 【解答】解：“L”形的纸板的面积为： ac+c（b﹣c），故甲正确； bc+c（a﹣c），故乙正确； ac+bc﹣c2，故丙正确； ab﹣（b﹣c）（a﹣c），故丁正确； c（b﹣c）+c（a﹣c）+c2．故戊错误． 故正确的有：甲、乙、丙、丁． 故选：C． 【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 5．（2023秋•卫滨区校级期中）如图是一所楼房的平面图，下列式子中不能表示它的面积的是（　　） A．x2+3x+6 B．（x+3）（x+2）﹣2x C．x（x+3）+6 D．x（x+2）+x2 【分析】把楼房的平面图转化为三个矩形，求出三个矩形的面积和即可． 【解答】解：S楼房的面积＝S矩形ABCD+S矩形DEFC+S矩形CFHG ＝AD•AB+DC•DE+CF•FH． ∵AB＝DC＝AD＝x，DE＝CF＝3，FH＝2， ∴S楼房的面积＝x2+3x+6． 故选：D． 【点评】本题考查了整式的乘法等知识点，解决本题亦可把楼房的面积转化为求矩形AEFB的面积和矩形CFHG的面积和． 6．（2024秋•西湖区校级期末）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． （1）由图2可得等式：　 ． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知 a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值； （3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）． 【分析】（1）根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式； （2）根据（1）中结果，求出所求式子的值即可； （3）根据已知等式，做出相应图形，如图所示． 【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38， ∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝121﹣76＝45； （3）如图所示： 故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． 【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型十二 整式乘法的实际应用问题 解题技巧提炼 整式的乘法在实际问题中的应用主要是先根据实际问题中的数量关系列出整式，然后再进行整式的混合运算即可. 1．（2024秋•铁西区期中）某学校计划利用一片空地为学生建一个矩形车棚，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，其余部分停放自行车，已知矩形车棚的宽为x米，长为米，小路的宽为2米，求停放自行车的面积． 【分析】根据题意列式化简即可． 【解答】解：根据题意，（平方米）． 故停放自行车的面积为平方米． 【点评】该题主要考查了列代数式，解题的关键是读懂题意． 2．（2024•雁塔区校级开学）某种植基地有一块长方形实验田和一块正方形实验田，长方形实验田每排种植（4a﹣3b）株豌豆幼苗，种植了（4a+3b）排，正方形实验田每排种植（2a+b）株豌豆幼苗，种植了（2a+b）排，其中a＞b＞0． （1）长方形实验田比正方形实验田多种植多少株豌豆幼苗？ （2）当a＝6，b＝5时，长方形实验田比正方形实验田多种植多少株豌豆幼苗？ 【分析】（1）利用正方形的面积与长方形的面积，列式计算即可． （2）把a＝6，b＝5代入（1）的结论即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：（4a﹣3b）（4a+3b）﹣（2a+b）2＝16a2﹣9b2﹣4a2﹣4ab﹣b2＝12a2﹣4ab﹣10b2， 答：长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗（12a2﹣4ab﹣10b2）株； （2）当a＝6，b＝5时， 原式＝12×62﹣4×6×5﹣10×52＝128﹣24﹣18＝86（株）， 答：长方形实验田比正方形实验田多种植86株豌豆幼苗． 【点评】本题主要考查整式的乘法公式的应用，能够利用整式表示实际意义并列式计算是解题关键． 3．（2023春•横山区期末）某中学八年级的学生人数比七年级学生多．某天做广播操时（七、八年级学生均无缺席），八年级排成的是一个规范的长方形方阵，每排（3a+b）人，站有（2a+2b）排；七年级站的正方形方阵，排数和每排人数都是2（a+b），其中a＞b． （1）求该学校八年级比七年级多多少名学生？（用a与b的代数式表示） （2）当a＝10，b＝2时，求该学校八年级比七年级多多少名学生． 【分析】（1）求出各年级的人数相减即可； （2）把相应的值代入（1）运算即可． 【解答】解：（1）（3a+b）（2a+2b）﹣[2（a+b）]2 ＝6a2+8ab+2b2﹣4a2﹣8ab﹣4b2 ＝2a2﹣2b2； 答：八年级比七年级多（2a2﹣2b2）名学生； （2）当a＝10，b＝2时， 原式＝2×102﹣2×22 ＝200﹣8 ＝192． 答：八年级比七年级多192名学生． 【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 4．（2023春•宝鸡期中）如图所示，吉安市青原区有一块长为（2a+3b）米，宽为（2a﹣b）米的长方形地块，角上有四个边长均为（a﹣b）米的小正方形空地，政府计划将阴影部分进行绿化． （1）用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？（结果写成最简形式） （2）若a＝20，b＝10，预计每平方米绿化成本80元，请你计算绿化这块空地所需成本． 【分析】（1）直接利用多项式乘以多项式运算法则以及整式的混合运算法则计算进而得出答案； （2）根据面积乘单价进而得出答案． 【解答】解：（1）绿化的面积是：（2a﹣b）（2a+3b）﹣4（a﹣b）2 ＝4a2+6ab﹣2ab﹣3b2﹣4（a2﹣2ab+b2） ＝4a2+4ab﹣3b2﹣4a2+8ab﹣4b2 ＝（12ab﹣7b2）平方米， 答：绿化的面积是（12ab﹣7b2）平方米； （2）当a＝20，b＝10时， （12×20×10﹣7×102）×80 ＝136000（元）， 答：绿化这块空地所需成本136000元． 【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 5．（2024春•西安期末）如图，某小区有一块长为4a米（a＞1），宽为（4a﹣2）米的长方形地块．该长方形地块正中间是一个长为（2a+1）米的长方形，四个角是大小相同的正方形，该小区计划将阴影部分进行绿化，对四个角的正方形采用A型绿化方案，对正中间的长方形采用B型绿化方案． （1）用含a的代数式表示采用A型绿化方案的四个正方形的边长是 　 　米，采用B型绿化方案的长方形的另一边长是 　 米； （2）已知采用B型绿化方案比A型绿化方案的面积大，求B型绿化方案比A型绿化方案的面积大了多少平方米？ 【分析】（1）四个正方形边长是[4a﹣（2a+1）]米的一半； （2）SA与SB中都含有4a2，考虑用作差的方法比较大小． 【解答】解：（1）用含a的代数式表示采用A型绿化方案的四个正方形的边长是[4a﹣（2a+1）]÷2＝（a）（米）， 采用B型绿化方案的长方形的另一边长是是4a﹣2﹣2（a）＝（2a﹣1）（米）， 故答案为：（a），（2a﹣1）； （2）记A型面积SA，B型面积SB． SA＝4（a）2＝（4a2﹣4a+1）平方米， SB＝（2a+1）（2a﹣1）＝（4a2﹣1）平方米， SB﹣SA＝（4a2﹣1）﹣（4a2﹣4a+1）＝（4a﹣2）平方米． 【点评】本题考查单项式乘多项式，多项式乘多项式，正确进行计算是解题关键． 6．（2023秋•白河县期末）如图，某小区有一块长为（2a+3b）米，宽为（2a﹣b）米的长方形地块，管理部门规划了4块边长均为b米的正方形空地用于栽种梅、兰、竹、菊，剩余地块将铺设草坪． （1）用含a，b的代数式表示铺设的草坪的面积；（结果化为最简形式） （2）若a＝10，b＝5，预计每平方米铺设草坪的费用为30元，请预计铺设草坪所需要的费用． 【分析】（1）用长方形面积减去4个正方形面积即可得到答案； （2）根据（1）所求代入a＝10，b＝5求出草坪的面积，进而求出对应的费用即可． 【解答】解：（1）（2a+3b）（2a﹣b）﹣4b2 ＝4a2+6ab﹣2ab﹣3b2﹣4b2 ＝（4a2+4ab﹣7b2）平方米， ∴铺设的草坪的面积为（4a2+4ab﹣7b2）平方米； （2）当a＝10，b＝5时，4a2+4ab﹣7b2＝4×102+4×10×5﹣7×52＝425平方米， ∴铺设草坪所需要的费用为425×30＝12750元． 【点评】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，代数式求值，熟练掌握多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． 7．（2023秋•右玉县期末）综合与实践 如图1，长方形的两边长分别为m+1，m+7；如图2．长方形的两边长分别为m+2，m+4．（其中m为正整数） （1）图1中长方形的面积S1＝　 　；图2中长方形的面积S2＝　　 ；比较S1　　S2（选填“＜”、“＝”或“＞”）； （2）现有一正方形，其周长与图1中的长方形周长相等． ①求正方形的边长；（用含m的代数式表示） ②试探究：该正方形的面积S与图1中长方形的面积S1的差（即S﹣S1）是一个常数，并求出这个常数． 【分析】（1）根据长方形的面积＝长×宽，求出图1和图2中长方形的面积，再求出它们的面积差，通过比较，求出答案即可； （2）①先求出图1中长方形的周长，然后根据正方形的周长与图1中的长方形周长相等，求出正方形周长，从而求出正方形边长即可； ②由①中所求正方形的边长，从而求出正方形的面积，再求出该正方形的面积S与图1中长方形的面积S1的差即可． 【解答】解：（1）由题意可知：S1＝（m+1）（m+7） ＝m2+7m+m+7 ＝m2+8m+7， S2＝（m+2）（m+4） ＝m2+4m+2m+8 ＝m2+6m+8， ∴S1﹣S2 ＝（m2+8m+7）﹣（m2+6m+8） ＝m2+8m+7﹣m2﹣6m﹣8 ＝2m﹣1， ∵m为正整数， ∴m最小为1， ∴2m﹣1＞0， ∴S1＞S2， 故答案为：m2+8m+7，m2+6m+8，＞； （2）①图1中长方形的周长为： 2（m+7+m+1） ＝2（2m+8） ＝4m+16， ∵正方形的周长与图1中的长方形周长相等， ∴正方形的周长为4m+16， ∴正方形的边长为 ； ②∵正方形的面积S＝（m+4）2， ∴S﹣S1 ＝（m+4）2﹣（m2+8m+7） ＝m2+8m+16﹣m2﹣8m﹣7 ＝m2﹣m2+8m﹣8m+16﹣7 ＝9， ∴该正方形的面积S与图1中长方形的面积S1的差（即S﹣S1）是一个常数，这个常数为9． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则、长方形和正方形的面积公式与周长公式． 44 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）七年级下册数学《第1章 整式的乘除》 1.2 整式的乘法 知识点一 单项式乘单项式 ◆1、单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式. 【注意】①系数：积的系数等于系数的积； ②相同字母：相同字母的幂相乘； ③单独字母：连同它的指数作为积的一个因式． 知识点二 单项式乘多项式 ◆1、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加. ◆2、用式子表示：p(a + b + c)=pa + p b + p c． ◆3、法则逆用：幂的乘方性质可以逆用，即am n ＝ (am )n ＝ (an )m（m，n是正整数）． 【注意】（1）依据是乘法分配律； （2）积的项数与多项式的项数相同. 知识点三 多项式乘多项式 ◆1、多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. ◆2、用式子表示：(a+b)(m+n)=am+an+b m+bn． ◆3、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 【注意】多项式与多项式相乘的结果仍为多项式，若有同类项一定要及时合并同类项，在合并同类项之前，积的项数应该是两个多项式的项数之积． 题型一 单项式与单项式相乘 解题技巧提炼 (1)单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式. (2)不要漏掉只在一个单项式里含有的字母因式； (3) 此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 1．（2024春•西安期中）计算：（　　） A．﹣3x3y5 B．﹣3xy C．﹣3x3y D．﹣3x2y6 2．（2024•碑林区校级二模）计算：3x2y•（﹣2xy）2的结果是（　　） A．﹣6x3y3 B．6x3y3 C．﹣12x4y3 D．12x4y3 3．（2024秋•通许县期中）下列计算正确的是（　　） A．6x2•3xy＝9x3y3 B．（2ab2）•（﹣3ab）＝﹣6a2b3 C．m2n•（﹣m2n）＝﹣m3n3 D．（﹣3x3y）•（﹣3xy）＝9x3y2 4．（2023秋•浦东新区期末）（4×105）×（25×103）的计算结果是（　　） A．100×108 B．1×1017 C．1×1010 D．100×1015 5．（2023秋•商水县月考）若单项式﹣4xay和x2yb的积为﹣2x7y6，则ab的算术平方根为（　　） A． B． C．5 D．10 6．（2024秋•龙海区期中）单项式3x2y3与﹣5x2y2的积为 　 　． 7．（2024秋•北碚区校级月考）若单项式与﹣xb+6y2a是同类项，则这两个单项式的积是 　 　． 8．（2023春•阜宁县校级月考）计算： （1）（﹣2ab）2•（a3c2）•2a2b； （2）（a﹣b）3[﹣3（a﹣b）]2[（a﹣b）]； （3）（﹣3a2b3）2×（﹣a3b2）； （4）（﹣4xy3）（xy）3﹣（x2y3）2． （5）9（xy）3•（）2+（﹣x2y）2+（﹣x2y）3•xy2． 题型二 单项式与多项式相乘 解题技巧提炼 1、单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 2、在做乘法运算时，一定要注意单项式和多项式中每一项的符号，不要乘错． 1．（2024秋•武都区期末）计算﹣2x（x2﹣y）正确的是（　　） A．﹣2x3﹣y B．﹣2x3﹣2xy C．2x3﹣2xy D．﹣2x3+2xy 2．（2023秋•西青区期末）计算的结果是（　　） A．﹣6x3﹣2x2+12x B．6x3﹣2x2+12 C．6x3+2x2﹣12x D．6x3﹣2x2+12x 3．（2023秋•朝阳区校级月考）计算（x2﹣2）•（﹣2x）2的结果是（　　） A． B．﹣x4+4x2 C．x4﹣8x2 D．x4+4x2 4．（2024•河南模拟）下列式子运算正确的是（　　） A．（﹣a）2＝﹣a2 B．2a（a﹣2b）＝2a2﹣2ab C．a2•a5＝a7 D．2a2+3ab3＝5a3b3 5．（2024秋•天河区校级期中）李老师做了个长方形教具，其中一边长为a+2b，另一边长为b，则该长方形的面积为（　　） A．a+3b B．2a+6b C．ab+2b D．ab+2b2 6．（2023秋•渝中区校级期中）若x（x2﹣a）+3x﹣2b＝x3+5x﹣6对任意x都成立，则a+b＝　 　． 7．（2023秋•晋江市校级月考）计算： （1）（4a﹣b2）（﹣2b）； （2）2x2（x）； （3）5ab（2a﹣b+0.2）﹣（b+2a）ab； （4）（a）（﹣9a）﹣a（﹣6a+4）． 题型三 多项式与多项式相乘 解题技巧提炼 1、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 2、注意：(1) 不要漏乘；(2) 符号问题；(3) 最后结果应化成最简形式 (是同类项的要合并). 1．（2023秋•海口期末）下列多项式相乘的结果为x2﹣4x﹣12的是（　　） A．（x+3）（x﹣4） B．（x+2）（x﹣6） C．（x﹣3）（x+4） D．（x+6）（x﹣2） 2．（2024秋•南阳期末）在展开多项式（x2+x﹣3）（x2﹣2x+2a）中，常数项为﹣30，则a等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2024秋•东山县期中）利用多项式相乘的知识我们易得公式（ax+b）（cx+d）＝acx2+（bc+ad）x+bd，我们直接套用公式可求得（3x﹣2）（5x+3）＝15x2+（﹣10+9）x﹣6＝15x2﹣x﹣6，我们可以逆向运用这个公式，如果2x2﹣13x+6＝（x﹣6）（　　），那么括号里应该填（　　） A．x+1 B．2x﹣1 C．2x+1 D．x﹣1 4．（2023秋•翠屏区期末）若M＝x（2x﹣7），N＝（x+1）（x﹣8），则M与N的大小关系是（　　） A．M＜N B．M＝N C．M＞N D．M与N的大小由x的取值而定 5．（2023秋•台州期末）若（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣5对任意x恒成立，其中a，b，m均为整数，则m的值为 　 　． 6．计算： （1）（3x﹣1）（x+5）； （2）（3x+4）（4x﹣9）； （3）（5a﹣6b）（3a﹣2b）； （4）（x﹣4）（2y）． 题型四 整式乘法与求字母的值 解题技巧提炼 先根据整式乘法的运算法则计算，然后观察等式左右两边，得到关于含代求字母的方程，解方程求解即可解决问题. 1．（2024春•龙子湖区期中）要使x（x+2a）+2x﹣2b＝x2+6x+8成立，则a，b的值分别为（　　） A．a＝﹣2，b＝﹣4 B．a＝2，b＝4 C．a＝2，b＝﹣4 D．a＝﹣2，b＝4 2．（2024秋•儋州期中）若（x﹣1）（x+6）＝x2+px+q，则p+q的值为（　　） A．11 B．﹣11 C．﹣1 D．1 3．（2023秋•秦皇岛期末）若（x+3）（x+n）＝x2+mx+6，（m，n均为实数），则（　　） A．m＝1，n＝2 B．m＝1，n＝﹣2 C．m＝5，n＝﹣2 D．m＝5，n＝2 4．（2023秋•郯城县期末）若（x﹣3）（2x2+mx﹣5）的计算结果中x2项的系数为﹣3，则m为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣9 D． 5．（2024秋•船山区校级期末）设（xm﹣1yn+2）•（x5my2）＝x5y7，则（m）n的值为（　　） A． B． C．1 D． 6．（2023•铜仁市模拟）若﹣2x2m﹣1与yn﹣4与7x1﹣nym﹣1的积与x7y3是同类项，求m、n的值． 题型五 整式乘法与化简求值 解题技巧提炼 整式乘法的化简求值的题型，注意一般应先化简，再求值． 1．（2023春•富川县期中）已知a（a﹣2）＝8，则代数式a2﹣2a﹣6的值为（　　） A．8 B．14 C．﹣2 D．2 2．（2023秋•义乌市期中）已知x（x﹣3）＝2，那么多项式﹣2x2+6x+9的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（2024春•玄武区校级月考）若a+b＝4，b﹣c＝﹣3，则代数式ac+b（c﹣a﹣b）的值为 　 ． 4．先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2． 5．先化简，再求值：若（a﹣2）2+|b+1|＝0，求的值． 6．阅读：已知x2y＝3，求2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y＝3整体代入． 解：2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）＝2x6y3﹣6x4y2﹣8x2y ＝2（x2y）3﹣6（x2y）2﹣8x2y ＝2×33﹣6×32﹣8×3＝﹣24． 你能用上述方法解决以下问题吗？试一试! （1）已知ab＝3，求（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）的值； （2）已知a2+a﹣1＝0，求代数式a3+2a2+2018的值． 题型六 整式乘法与看错问题 解题技巧提炼 先根据多项式乘多项式展开，合并同类项，得出两个二元一次方程，组成方程组，求出方程组的解. 1．（2024秋•商水县月考）小轩计算一道整式乘法的题：（3x+2m）（5x﹣6），由于小轩将第一个多项式中的“+2m”抄成“﹣2m”，得到的结果为15x2﹣78x+72，则m的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2024春•青山区期中）某同学在计算﹣3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2﹣x+1，由此可以推断正确的计算结果是 ． 3．（2024春•神木市期末）小奇计算一道整式的混合运算的题：（x﹣a）（4x+3）﹣2x，由于小奇将第一个多项式中的“﹣a”抄成“+a”，得到的结果为4x2+13x+9． （1）求a的值． （2）请计算出这道题的正确结果． 4．（2024春•任丘市期末）欢欢与乐乐两人共同计算（2x+a）（3x+b），欢欢抄错为（2x﹣a）（3x+b），得到的结果为6x2﹣13x+6；乐乐抄错为（2x+a）（x+b），得到的结果为2x2﹣x﹣6． （1）式子中的a、b的值各是多少？ （2）请计算出原题的正确答案． 5．（2024秋•梁平区期中）芳芳计算一道整式乘法的题：（2x+m）（5x﹣4），由于芳芳抄错了第一个多项式中m前面的符号，把“+”写成“﹣”，得到的结果为10x2﹣33x+20． （1）求m的值； （2）计算这道整式乘法的正确结果． 6．（2023秋•简阳市期末）【阅读理解】 在计算机上可以设置程序，将二次多项式处理成一次多项式，设置程序为：将二次多项式A的二次项系数乘以2作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的一次项系数作为一次多项式B的常数项． 例如：A＝5x2﹣7x+2，A经过程序设置得到B＝2×5x﹣7＝10x﹣7． 【知识应用】 关于x的二次多项式A经过程序设置得到一次多项式B，已知A＝x2﹣x﹣m，根据上方阅读材料，解决下列问题： （1）若B＝3nx﹣m，求m，n的值； （2）若A﹣mB的结果中不含一次项，求关于x的方程B＝m的解； （3）某同学在计算A﹣2B时，把A﹣2B看成了2A﹣B，得到的结果是2x2﹣4x﹣3，求出A﹣2B的正确值． 题型七 整式乘法与遮挡问题 解题技巧提炼 整式乘法与遮挡问题主要是利用整式的运算求多项式中的未知项． 1．（2024秋•邓州市期中）数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣3xy（7y﹣5x﹣1）＝﹣21xy2+15x2y■，■的地方被钢笔水弄污了，你认为■内应填写（　　） A．3xy B．﹣3xy C．﹣1 D．1 2．（2023秋•河南月考）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（　　） A．+21xy B．﹣21xy C．﹣3 D．﹣10xy 3．（2023秋•曾都区期末）在“单项式乘多项式”的课堂上，有这样一道题的计算过程：（x﹣3y）•（﹣6x）＝x•（﹣6x）□（﹣3y）•（﹣6x），你认为“□”内应填的符号为（　　） A．+ B．﹣ C．• D．÷ 4．（2023春•冷水滩区期末）某人计算（x﹣2）（x+■）时，已正确得出结果中的一次项系数为﹣1，不小心将第二个括号中的常数染黑了，则被染黑的常数为 　 　． 5．（2023春•龙子湖区期中）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记本复习，发现一道题：﹣3xy（4y﹣2x﹣1）＝﹣12xy2+6x2y+□，□的地方被墨水弄污了，你认为□处应填写　 ． 6．（2024秋•青浦区校级月考）小红准备完成题目：计算（x2x﹣1）（x2﹣2x+1）时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：（x2+2x﹣1）（x2﹣2x+1）； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 题型八 整式乘法与不含某项问题 解题技巧提炼 在整式乘法的混合运算中，要注意运算顺序. 注意当多项式中不含有哪一项时，则表示这一项的系数为 0. 1．（2023秋•阜平县期末）要使﹣x3（x2+ax+1）+2x4中不含有x的四次项，则a等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023秋•海淀区校级期中）要使多项式（x﹣m）（x﹣n）不含x的一次项，则（　　） A．m＝n B．m+n＝0 C．mn＝1 D．m﹣n＝0 3．（2024秋•沙坪坝区校级期中）要使（x﹣1）（x2+mx﹣2）的展开式中不含x项，则m的值为 　 ． 4．（2024秋•浦东新区校级月考）已知关于x的多项式x2+mx+n与x2﹣2x+3的积不含二次项和三次项，则m+n＝　 　． 5．（2023秋•微山县期末）已知关于x的代数式的中不含x项与x2项． （1）求m，n的值； （2）求代数式m2023n2024的值． 6．（2024春•新津区校级月考）已知（2x2+mx﹣n）（x﹣1）展开的结果中，不含x2和x项．（m，n为常数） （1）求m，n的值； （2）在（1）的条件下，求（m﹣n）（m2+mn+n2）的值． 题型九 整式乘法与新定义运算问题 解题技巧提炼 先根据新定义运算，列出算式，利用整式乘法运算的法则进行计算即可解决问题. 1．（2024春•正定县期中）定义三角表示3abc，方框表示xz+wy，则×的结果为（　　） A．72m2n﹣45mn2 B．72m2n+45mn2 C．24m2n﹣15mn2 D．24m2n+15mn2 2．（2023秋•乐至县校级期中）对于任何数，我们规定：ad﹣bc．例如：1×4﹣2×3＝4﹣6＝﹣2． （1）按照这个规定，请你化简：； （2）按照这个规定，当a2﹣4a+2＝0时，求的值． 3．（2024春•玄武区校级月考）定义：L（A）是多项式A化简后的项数，例如多项式A＝x2+2x﹣3，则L（A）＝3．一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即C＝A×B），如果L（A）≤L（C）≤L（A）+1，则称B是A的“好多项式”，如果L（A）＝L（C），则称B是A的“极好多项式”． （1）若A＝x﹣2，B＝x+3均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项式”？请判断并说明理由； （2）若A＝x﹣2，B＝x2+ax+4均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则a＝　 　； （3）若A＝x2﹣x+3m，B＝x2+x+m均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，求m的值． 4．（2023秋•海淀区校级期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n＝0或px+q＝0时，多项式A＝（mx+n）（px+q）＝mpx2+（mq+np）x+nq的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． （1）已知多项式（3x+1）（x﹣2），则此多项式的零点为 　 　； （2）已知多项式B＝（x﹣1）（bx+c）＝ax2﹣（a﹣1）x有一个零点为1，求多项式B的另一个零点； （3）小聪继续研究（x﹣3）（x﹣1），x（x﹣4）及（x）（x）等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x＝2对称，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式M＝（2ax+b）（cx﹣5c）＝bx2﹣4cx﹣2a﹣4是“2系多项式”，求a与c的值． 5．（2024秋•海淀区校级期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n＝0或px+q＝0时，多项式A＝（mx+n）（px+q）＝mpx2+（mq+np）x+nq的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． （1）已知多项式（3x+2）（x﹣3），则此多项式的零点为　 　． （2）已知多项式B＝（x﹣2）（x+m）＝x2+（a﹣1）x﹣3a有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； （3）订正：小聪继续研究（x﹣4）（x﹣2），x（x﹣6）及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x＝3对称，他把这些多项式称为“3﹣系多项式”．若多项式M＝（2x﹣b）（cx﹣7c）＝ax2﹣（8a﹣4c）x+5b﹣4是“3﹣系多项式”，则a＝　　，b＝　 　，c＝　 　． 题型十 整式乘法与规律探究问题 解题技巧提炼 整式乘法中的规律探索问题主要是根据题中的等式探究出规律，然后再由规律解决问题. 1．（2024秋•门头沟区校级期中）计算： （x﹣1）（x+1）＝　 　． （x﹣1）（x2+x+1）＝　 　． （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝　 　． （x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝　 　． 从上面的计算中你发现的规律（用含n的一般形式表示）　 　． 2．观察以下等式： （x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1 （x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27 （x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216 … 按以上等式的规律，填空：（a+b）（ 　）＝a3+b3． 3．计算下列各式，然后回答问题． （a+4）（a+3）＝　　 ；（a+4）（a﹣3）＝　　 ； （a﹣4）（a+3）＝　　 ；（a﹣4）（a﹣3）＝　　 ． （1）从上面的计算中总结规律，写出下式结果． （x+a）（x+b）＝　 ． （2）运用上述结果，写出下列各题结果． ①（x+2008）（x﹣1000）＝　　 ； ②（x﹣2005）（x﹣2000）＝　 　． 4．（2023春•渠县校级期末）探究应用： （1）计算：（a﹣2）（a2+2a+4）＝　 　．（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝　 　． （2）上面的乘法计算结果很简洁，聪明的你又可以发现一个新的乘法公式，可以用含a，b的字母表示为　 　． （3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是　 　 A、（a﹣3）（a2﹣3a+9）B、（2m﹣n）（2m2+2mn+n2） C、（4﹣x）（16+4x+x2） D、（m﹣n）（m2+2mn+n2） （4）直接用公式计算：（3x﹣2y）（9x2+6xy+4y2）＝　 　． 5．（2024春•江都区校级期中）阅读： 在计算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察]①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； ②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； …… （1）[归纳]由此可得： （x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+．．．+x+1）＝　 　； （2）[应用]请运用上面的结论，解决下列问题： 计算：22024+22023+22022+22021+…+2+1＝　 ； （3）计算：220﹣219+218﹣217+…﹣23+22﹣2+1 题型十一 整式乘法与几何表示问题 解题技巧提炼 验证等式是否成立时，若是一个图形，则可以考虑用不同的方法表示图形的面积；若是两个图形，则分别表示图形的面积，再整理验证. 1．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，右图可表示的代数恒等式是（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．2a（a+b）＝2a2+2ab C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 2．（2024春•桥西区期末）小羽制作了如图所示的卡片A类，B类，C类各50张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，现要拼一个长为（5a+7b），宽为（7a+b）的大长方形，那么所准备的C类卡片的张数（　　） A．够用，剩余4张 B．够用，剩余5张 C．不够用，还缺4张 D．不够用，还缺5张 3．（2023春•焦作期末）通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（　　） A．a（b﹣x）＝ab﹣ax B．b（a﹣x）＝ab﹣bx C．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx D．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx+x2 4．（2023春•新田县期末）如图是“L”形的纸板，5位同学分别列出了计算它面积的算式， 甲：ac+c（b﹣c）；乙：bc+c（a﹣c）；丙：ac+bc﹣c2； 丁：ab﹣（b﹣c）（a﹣c）；戊：c（b﹣c）+c（a﹣c）． 他们之中正确的是（　　） A．甲、乙 B．丙、丁 C．甲、乙、丙、丁 D．甲、乙、丙、丁、戊 5．（2023秋•卫滨区校级期中）如图是一所楼房的平面图，下列式子中不能表示它的面积的是（　　） A．x2+3x+6 B．（x+3）（x+2）﹣2x C．x（x+3）+6 D．x（x+2）+x2 6．（2024秋•西湖区校级期末）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． （1）由图2可得等式：　 ． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知 a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值； （3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）． 题型十二 整式乘法的实际应用问题 解题技巧提炼 整式的乘法在实际问题中的应用主要是先根据实际问题中的数量关系列出整式，然后再进行整式的混合运算即可. 1．（2024秋•铁西区期中）某学校计划利用一片空地为学生建一个矩形车棚，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，其余部分停放自行车，已知矩形车棚的宽为x米，长为米，小路的宽为2米，求停放自行车的面积． 2．（2024•雁塔区校级开学）某种植基地有一块长方形实验田和一块正方形实验田，长方形实验田每排种植（4a﹣3b）株豌豆幼苗，种植了（4a+3b）排，正方形实验田每排种植（2a+b）株豌豆幼苗，种植了（2a+b）排，其中a＞b＞0． （1）长方形实验田比正方形实验田多种植多少株豌豆幼苗？ （2）当a＝6，b＝5时，长方形实验田比正方形实验田多种植多少株豌豆幼苗？ 3．（2023春•横山区期末）某中学八年级的学生人数比七年级学生多．某天做广播操时（七、八年级学生均无缺席），八年级排成的是一个规范的长方形方阵，每排（3a+b）人，站有（2a+2b）排；七年级站的正方形方阵，排数和每排人数都是2（a+b），其中a＞b． （1）求该学校八年级比七年级多多少名学生？（用a与b的代数式表示） （2）当a＝10，b＝2时，求该学校八年级比七年级多多少名学生． 4．（2023春•宝鸡期中）如图所示，吉安市青原区有一块长为（2a+3b）米，宽为（2a﹣b）米的长方形地块，角上有四个边长均为（a﹣b）米的小正方形空地，政府计划将阴影部分进行绿化． （1）用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？（结果写成最简形式） （2）若a＝20，b＝10，预计每平方米绿化成本80元，请你计算绿化这块空地所需成本． 5．（2024春•西安期末）如图，某小区有一块长为4a米（a＞1），宽为（4a﹣2）米的长方形地块．该长方形地块正中间是一个长为（2a+1）米的长方形，四个角是大小相同的正方形，该小区计划将阴影部分进行绿化，对四个角的正方形采用A型绿化方案，对正中间的长方形采用B型绿化方案． （1）用含a的代数式表示采用A型绿化方案的四个正方形的边长是 　 　米，采用B型绿化方案的长方形的另一边长是 　 米； （2）已知采用B型绿化方案比A型绿化方案的面积大，求B型绿化方案比A型绿化方案的面积大了多少平方米？ 6．（2023秋•白河县期末）如图，某小区有一块长为（2a+3b）米，宽为（2a﹣b）米的长方形地块，管理部门规划了4块边长均为b米的正方形空地用于栽种梅、兰、竹、菊，剩余地块将铺设草坪． （1）用含a，b的代数式表示铺设的草坪的面积；（结果化为最简形式） （2）若a＝10，b＝5，预计每平方米铺设草坪的费用为30元，请预计铺设草坪所需要的费用． 7．（2023秋•右玉县期末）综合与实践 如图1，长方形的两边长分别为m+1，m+7；如图2．长方形的两边长分别为m+2，m+4．（其中m为正整数） （1）图1中长方形的面积S1＝　 　；图2中长方形的面积S2＝　　 ；比较S1　　S2（选填“＜”、“＝”或“＞”）； （2）现有一正方形，其周长与图1中的长方形周长相等． ①求正方形的边长；（用含m的代数式表示） ②试探究：该正方形的面积S与图1中长方形的面积S1的差（即S﹣S1）是一个常数，并求出这个常数． 17 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$