第06讲 正弦定理（知识点+6大题型+过关测试）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（沪教版2020）

第06讲 正弦定理 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明．能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题(难点) 2．能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题(重点) 3．能根据条件，判断三角形解的个数． 如图，在半径为的圆中，作直径，在圆周上任取异于、两点的一点点，连接、，在中将角、及所对边的边长分别记作、及，则，并且. 在中，， ，. 故可得（为外接圆半径） 以上是初三我们学习的直角三角形的求解问题，但在我们高中阶段所遇到的三（xiao）角（guai）形（shou）往往不再是直角三角形，而是“进化”为斜三（da）角（guai）形（shou）. 【Attention】斜三角形=锐角三角形+钝角三角形. 在三角形的三个角和三条边这6个元素中，经常会遇到已知其中三个元素（至少有一个元素为边长）求其他元素的问题，这称为解三角形. 为此，需要知道边和角之间的数量关系，从而有了今天我们要学习的正弦定理. 如图，在斜（钝角）中， 同理可得 由此可知，三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦值的乘积的一半，即三角形的面积公式为 . 将上式同时除以，就得到，即. 这样，我们就得到了正弦定理：在一个三角形中，各边与所对角的正弦的比值相等，即 （为外接圆半径） 换言之 ，，. 题型一：正弦定理及其辨析 1．（24-25高一上·上海·课前预习）正弦定理 在三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等，即 . 2．（24-25高一上·上海·课前预习）正弦定理 分类 内容 定理 （R是外接圆的半径） 变形公式 ①， ， ② ③， ， 解决的问题 ①已知两角和任一边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 3．（24-25高一上·上海·课前预习）（1）在中，，，斜边，则 ， ， . （2）上题中 ， ， . 题型二：正弦定理解三角形 1．（22-23高一下·上海徐汇·期中）有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：“在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，______，求角.”经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示.在同学的相互讨论中，甲同学认为应该填写的条件为：“”；乙同学认为应该填写条件为“”，则下列判断正确的是（    ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 2．（22-23高三上·上海徐汇·期中）在中，若，，，则 ． 3．（23-24高一下·上海黄浦·期末）某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A和B．某日两个观测点的林场人员都观测到C处出现火情．在A处观测到火情发生在北偏西方向，而在B处观测到火情在北偏西方向．已知B在A的正东方向处，那么火场C与A距离约为 ．（结果精确到） 4．（2024·上海金山·二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 m．(结果精确到1 m) 5．（23-24高一下·上海浦东新·期中）在中，若，，，则C的值为 . 6．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知，，．求BC． 7．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知，，．求B、C及c． 8．（23-24高一·上海·课堂例题）某货轮在A处看灯塔S在北偏东30°方向，它以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到B处，看灯塔S在北偏东75°方向，求此时货轮到灯塔S的距离． 9．（22-23高一下·上海普陀·期中）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示.已知，，路宽米，设. (1)求灯柱的高（用表示）； (2)此公司应该如何设置的值，才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小？并求出此最小值.（精确到0.01米） 10．（2024高一下·上海·专题练习）某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究． (1)小王获得了以下信息： ．教学楼和体育馆之间有一条笔直的步道； ．在步道上有一点，测得到教学楼顶的仰角是，到体育馆楼顶的仰角是； ．从体育馆楼顶测教学楼顶的仰角是； ．教学楼的高度是20米． 请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度． (2)小李获得了以下信息： ．体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米； ．大屏幕的高度是2米； ．当观众所站的位置到屏幕上下两端，所张的角最大时，观看屏幕的效果最佳． 请帮助小李完成任务二：求步道上观看屏幕效果最佳地点的位置． 题型三：正弦定理判断三角形解的个数 1．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，，，，则三角形（    ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．不确定 2．（2024高一·上海·专题练习）中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是 3．（22-23高一下·上海徐汇·期中）在中，，，，则的解的个数是 个. 4．（23-24高一下·上海·假期作业）下列条件判断三角形解的情况，正确的是 （填序号）； ①，，，有两解； ②，，，有一解； ③，，，无解； ④，，，有一解． 5．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，，，要使被唯一确定，那么的取值范围是 . 6．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知，，分别根据下列条件求B： (1)①，②，③，④，⑤； (2)根据上述计算结果，讨论使B有一解、两解或无解时a的取值情况． 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）在中，已知，，，求角的正弦值． 题型四：正弦定理求外接圆半径 1．（高一下·上海闵行·期中）在中，已知，设以下说法错误的是（    ） A．若有两解， B．若有唯一解， C．若无解， D．当，外接圆半径为10 2．（2023·上海普陀·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（22-23高一下·上海青浦·期中）在中，已知，，设，以下说法正确的是 ①若有两解，；②若有唯一解， ③若无解，；④当，外接圆半径为6 4．（22-23高一下·上海虹口·期末）在△中，，，为边的中点，则△的外接圆面积与的外接圆面积之比为 . 5．（高一下·上海普陀·期末）中，角、、所对的边分别为、、，已知. (1)求边、的长度； (2)求的面积及其外接圆半径. 题型五：正弦定理边角互化的应用及判断三角形形状 1．（24-25高一·上海·课堂例题）在中，“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 2．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（    ） ①； ②； ③； ④. A．1 B．2 C．3 D．4 3．（22-23高一下·上海青浦·阶段练习）已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列命题中，真命题的个数是（    ） （1）若，则是等腰三角形； （2）若，则是直角三角形； （3）若，则是钝角三角形； （4）若，则是等边三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24高一下·上海·期中）已知分别为三内角的对边，且，若，角B的平分线，则的面积为 . 5．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则的形状为 . 6．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，若，求． 7．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，如果，试判断该三角形的形状． 8．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知，，．求． 9．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，设角、及所对边的边长分别为、及．已知． (1)求角的大小； (2)当，时，求边长． 10．（23-24高一下·上海徐汇·期中）在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，满足． (1)求的值； (2)求的值． 11．（2024高一下·上海·专题练习）在中， (1)若与是方程的两个实根，求角的值； (2)若，判断的形状． 12．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，分别判断三角形ABC的形状： (1)； (2)． 题型六：三角形面积公式及其应用 1．（23-24高一下·上海·阶段练习）下列三角形面积公式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·上海青浦·阶段练习）在三角形ABC中，已知，则三角形面积 ． 3．（23-24高一下·上海·期中）在中，，，，则的面积为 . 4．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，在中，，，，，则 ， . 5．（24-25高一上·上海·课前预习）在中，已知，，，则 . 6．（23-24高一下·上海·期末）已知是大于3的正整数，平面直角坐标系中，正边形内接于单位圆.若集合，则集合表示的平面区域的面积为 .（结果用表示） 7．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知，，．求b、c和面积S．（结果精确到0.01） 8．（22-23高一下·上海静安·期中）在中，已知，，，求和. 9．（23-24高一下·上海·阶段练习）设分别是的三个内角所对的边，且， (1)求； (2)时，求的面积． 10．（23-24高一·上海·课堂例题）已知的面积为S，求证： (1)； (2)． 一、单选题 1．（22-23高一下·上海浦东新·期末）在三角形ABC中，，则B=（　　） A． B． C．或 D．或 2．设的内角、、的对边长分别为、、，且，则的值（    ） A．2 B．4 C．6 D．以上都不对 二、填空题 3．（高一下·上海闵行·期末）在中，若，则 ． 4．（23-24高一下·上海·期末）已知的周长为18，若，则此三角形中最大边的长为 ． 5．（高一下·上海普陀·期中）△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知，则三角形的面积为 （精确到0.01cm2） 6．（高一下·上海青浦·期中）在中，，，，则 ． 7．（高一下·上海虹口·期中）在中，设、、分别是三个内角、、所对的边，，，面积，则内角的大小为 ． 8．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，若，，，则 . 9．（高一下·上海宝山·期末）中，角所对的边分别为，若，且满足条件的有两解，设边的所有可能取值构成集合，则函数的值域为 ． 10．（高一下·上海嘉定·期末）锐角三角形ABC中，，且最长边与最短边之比为m，则m的取值范围是 ． 11．（高一下·上海黄浦·期末）判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是 . ①，，； ②，，； ③，，； ④，，. 12．（高一下·上海普陀·期末）中，角所对的边分别为.且满足，则此三角形的形状是 . 13．（高一下·上海静安·期中）中，，，则 ． 14．（高一下·上海徐汇·期中）在三角形ABC中，，，，则 ． 15．（高一下·上海长宁·期中）已知△ABC的外接圆半径，，，则△ABC的面积是 . 16．（高一下·上海奉贤·期中）已知中，角，，所对的边分别为，，，且，，则等于 17．（22-23高一下·上海·期中）在中，内角所对的边分别为 ，若 ，则的值为 . 18．（22-23高一下·上海徐汇·期中）若不等式对任意都成立，则实数的最小值为 ． 三、解答题 19．（23-24高一下·上海·期中）在中，角，，的对边分别为，，，，求的值 20．（高一下·上海普陀·期末）三角测量在三角学与几何学上是一种借由测量目标点与固定基准线的已知端点的角度，测量目标距离的方法.如图，为测量横截面为直角三角形的某模型的平面图，其中，由于实际情况，其它的边和角无法测量，以下为可测量数据：①；②；③.请根据以上数据求出的面积. 21．（高一下·上海嘉定·期中）（1）如图，在直径为的轮子上有一长为的弦，是弦的中点，轮子以4弧度/秒的速度旋转，求点经过所转过的弧长； （2）在中，已知，且最长边为1，求的面积. 22．（上海虹口·二模）如图某公园有一块直角三角形的空地，其中，，长千米，现要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中、、分别在、、上．设． （1）若，求的边长； （2）当多大时，的边长最小？并求出最小值． 23．（高一下·上海闵行·开学考试）某个公园有个池塘，其形状为直角三角形，，米，米. (1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在上取点D､E､F，并且，，（如图1），游客要在内喂鱼，希望面积越大越好.设（米），用x表示面积S，并求出S的最大值； (2)现在准备新建造一个走廊，方便游客通行，分别在上取点D､E､F，建造正走廊（不考虑宽度）（如图2），游客希望周长越小越好.设，用表示的周长L，并求出L的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 正弦定理 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明．能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题(难点) 2．能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题(重点) 3．能根据条件，判断三角形解的个数． 如图，在半径为的圆中，作直径，在圆周上任取异于、两点的一点点，连接、，在中将角、及所对边的边长分别记作、及，则，并且. 在中，， ，. 故可得（为外接圆半径） 以上是初三我们学习的直角三角形的求解问题，但在我们高中阶段所遇到的三（xiao）角（guai）形（shou）往往不再是直角三角形，而是“进化”为斜三（da）角（guai）形（shou）. 【Attention】斜三角形=锐角三角形+钝角三角形. 在三角形的三个角和三条边这6个元素中，经常会遇到已知其中三个元素（至少有一个元素为边长）求其他元素的问题，这称为解三角形. 为此，需要知道边和角之间的数量关系，从而有了今天我们要学习的正弦定理. 如图，在斜（钝角）中， 同理可得 由此可知，三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦值的乘积的一半，即三角形的面积公式为 . 将上式同时除以，就得到，即. 这样，我们就得到了正弦定理：在一个三角形中，各边与所对角的正弦的比值相等，即 （为外接圆半径） 换言之 ，，. 题型一：正弦定理及其辨析 1．（24-25高一上·上海·课前预习）正弦定理 在三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等，即 . 【答案】 2．（24-25高一上·上海·课前预习）正弦定理 分类 内容 定理 （R是外接圆的半径） 变形公式 ①， ， ② ③， ， 解决的问题 ①已知两角和任一边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 【答案】 3．（24-25高一上·上海·课前预习）（1）在中，，，斜边，则 ， ， . （2）上题中 ， ， . 【答案】 / 1 2 2 2 【知识点】正弦定理及辨析 【分析】根据锐角三角函数即可求解. 【详解】（1）在中，，，斜边，则，， （2）2，2，2 题型二：正弦定理解三角形 1．（22-23高一下·上海徐汇·期中）有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：“在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，______，求角.”经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示.在同学的相互讨论中，甲同学认为应该填写的条件为：“”；乙同学认为应该填写条件为“”，则下列判断正确的是（    ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形、求15°等特殊角的正弦 【分析】根据，，得到，再利用正弦定理求得边b，c，验证即可. 【详解】可得，， ， 又， 由正弦定理得， 则， 解得，. 若条件为， 则由正弦定理得：，解得， 或，答案不唯一，不符合题意， 若条件为， 则由正弦定理得：，解得， 或， ，，答案唯一，符合题意， 故答案为， 故选：B. 2．（22-23高三上·上海徐汇·期中）在中，若，，，则 ． 【答案】或 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】根据正弦定理可得：，解得 ，且，或 故答案为：或 3．（23-24高一下·上海黄浦·期末）某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A和B．某日两个观测点的林场人员都观测到C处出现火情．在A处观测到火情发生在北偏西方向，而在B处观测到火情在北偏西方向．已知B在A的正东方向处，那么火场C与A距离约为 ．（结果精确到） 【答案】14.6 【知识点】距离测量问题、正弦定理解三角形 【分析】根据题意，由正弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，，，则， 在中，由正弦定理可得， 即， 所以， 故答案为：14.6. 4．（2024·上海金山·二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 m．(结果精确到1 m) 【答案】 【知识点】距离测量问题、正弦定理解三角形 【分析】先在中求出AC，再利用正弦定理，在中求出，进而转化到中求解即可. 【详解】解：作交于E，由题意可得如图： ， 所以， ， 在中，由正弦定理可得： ， 所以， 所以， ， 在直角中，， 故答案为：475. 5．（23-24高一下·上海浦东新·期中）在中，若，，，则C的值为 . 【答案】或 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理可求得或，再由三角形面内角和可得C的值. 【详解】利用正弦定理可求得， 又，可得或； 因为，可得或. 故答案为：或 6．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知，，．求BC． 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解即得. 【详解】在中，由正弦定理得， 因此. 7．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知，，．求B、C及c． 【答案】，， 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】由已知利用正弦定理求出的值，进而可以求出的值，再利用正弦定理求出的值即可． 【详解】因为，，， 则由正弦定理可得：， 所以， 又，所以为锐角，则，则， 由正弦定理可得． 8．（23-24高一·上海·课堂例题）某货轮在A处看灯塔S在北偏东30°方向，它以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到B处，看灯塔S在北偏东75°方向，求此时货轮到灯塔S的距离． 【答案】海里 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】画出图形，运用正弦定理解题. 【详解】如图所示：由题意可得，，海里， 则， 在三角形中，由正弦定理可得：， 即， 即此时货轮到灯塔的距离为海里． 9．（22-23高一下·上海普陀·期中）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示.已知，，路宽米，设. (1)求灯柱的高（用表示）； (2)此公司应该如何设置的值，才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小？并求出此最小值.（精确到0.01米） 【答案】(1), (2)当时，取得最小值米 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理解三角形、三角函数在生活中的应用、几何中的三角函数模型 【分析】（1）在中先用正弦定理表示出，然后在中利用正弦定理表示出； （2）在中利用正弦定理表示出，从而得到的表达式，再利用三角函数的性质求解最小值即可. 【详解】（1）由题意知，在中，， 由正弦定理，得. 在中，由正弦定理， 得，. （2）在中，由正弦定理，得， 故， 由于，故， 所以当时，取得最小值米. 10．（2024高一下·上海·专题练习）某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究． (1)小王获得了以下信息： ．教学楼和体育馆之间有一条笔直的步道； ．在步道上有一点，测得到教学楼顶的仰角是，到体育馆楼顶的仰角是； ．从体育馆楼顶测教学楼顶的仰角是； ．教学楼的高度是20米． 请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度． (2)小李获得了以下信息： ．体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米； ．大屏幕的高度是2米； ．当观众所站的位置到屏幕上下两端，所张的角最大时，观看屏幕的效果最佳． 请帮助小李完成任务二：求步道上观看屏幕效果最佳地点的位置． 【答案】(1)10米 (2)ND为米 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题、角度测量问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）先得到，，由正弦定理求出，求出； （2）设，则，，利用正切差角公式表达出，由基本不等式求出最值，得到答案. 【详解】（1）由题意知，⊥，由勾股定理得， 且可知， ， 由正弦定理可得， 则体育馆的高度为10米. （2）设，则，， ， 当且仅当时，取到最大值，即米时，观看效果最佳． 题型三：正弦定理判断三角形解的个数 1．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，，，，则三角形（    ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．不确定 【答案】B 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理判断三角形解的情况. 【详解】由正弦定理得：， 又，有，满足条件的有两个. 故选：B 2．（2024高一·上海·专题练习）中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是 【答案】 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据求解即可得答案. 【详解】因为这个三角形有两解，故满足， 即，解得. 故答案为： 3．（22-23高一下·上海徐汇·期中）在中，，，，则的解的个数是 个. 【答案】2 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理即可判断三角形有两解. 【详解】在中，，，， ，由则，如图： 所以此时有两解. 故答案为: 2. 4．（23-24高一下·上海·假期作业）下列条件判断三角形解的情况，正确的是 （填序号）； ①，，，有两解； ②，，，有一解； ③，，，无解； ④，，，有一解． 【答案】④ 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】对于①，由正弦定理求得，可判断三角形解的个数；对于②，由正弦定理求得，结合三角形中大边对大角性质，可判断三角形解的个数；对于③，由正弦定理，结合，可得解的个数；对于④，由正弦定理得 ，结合可得三角形的解有一个，由此可得答案. 【详解】对①：由正弦定理，所以， 又因为，所以有一解，故①错误； 对②：正弦定理，所以， 又因为，所以，则三角形的解有两解，故②错误； 对③：由正弦定理，所以， 又因为且，可得有一解，所以三角形的解有一个，故③错误； 对于④，由正弦定理，所以， 又因为且，可得有一解，所以三角形的解有一个，故④正确， 故答案为：④. 5．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，，，要使被唯一确定，那么的取值范围是 . 【答案】 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】根据利用正弦定理，结合三角形有1个解的条件即可求解. 【详解】根据题意，，， 由正弦定理得：，则， 三角形只有一个解，则或， 则或，即或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 6．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知，，分别根据下列条件求B： (1)①，②，③，④，⑤； (2)根据上述计算结果，讨论使B有一解、两解或无解时a的取值情况． 【答案】(1)答案见解析； (2)当时，无解；当或时，有一个解；当时，有两个解 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、正弦定理解三角形 【分析】（1）由条件利用正弦定理求得，再结合大边对大角，判断角的个数； （2）结合（1）的结果，讨论使有一解、两解、无解时的取值情况. 【详解】（1）根据正弦定理，得， ①当，时，，无解； ②当，时，， 而，所以； ③当，时，， 而，所以或； ④当，时，， 而，所以； ⑤当，时，， 而，由，得，. （2）由（1）得，， 当，即时，无解； 当或且，即或时，有唯一解； 当且，即时，有两解， 所以当时，无解；当或时，有唯一解；当时，有两解. 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）在中，已知，，，求角的正弦值． 【答案】或 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、正弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据条件，利用正弦定理得到，再利用平方关系得到，由正弦的和角公式，即可求出结果. 【详解】由， 得， 又，得或， 当时，， 当时，. 题型四：正弦定理求外接圆半径 1．（高一下·上海闵行·期中）在中，已知，设以下说法错误的是（    ） A．若有两解， B．若有唯一解， C．若无解， D．当，外接圆半径为10 【答案】B 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、正弦定理求外接圆半径 【分析】首先计算，再根据正弦定理判断三角形解的个数的公式，即可判断选项. 【详解】， 若有两解，则，即，故A正确； 若有唯一解，则，或，即或，故B错误； 若无解，则，即，故C正确； 当时，根据正弦定理，得，故D正确. 故选：B 2．（2023·上海普陀·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理求外接圆半径、正弦定理边角互化的应用 【分析】先应用正弦定理及两角和的正弦公式化简求出角A,再根据正弦定理求出外接圆半径即可. 【详解】. , 设该三角形外接圆的半径为 由正弦定理得 故选：A. 3．（22-23高一下·上海青浦·期中）在中，已知，，设，以下说法正确的是 ①若有两解，；②若有唯一解， ③若无解，；④当，外接圆半径为6 【答案】①③④ 【知识点】正弦定理求外接圆半径、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】由题设可得到上的高为，根据各项三角形解的个数及三角形性质判断的范围，应用正弦定理求外接圆半径. 【详解】 由，即到上的距离为， 若有两解，则，即，①对； 若有唯一解，则或，即，②错； 若无解，则，即，③对； 当时，△ABC外接圆半径，④对. 故答案为：①③④ 4．（22-23高一下·上海虹口·期末）在△中，，，为边的中点，则△的外接圆面积与的外接圆面积之比为 . 【答案】 【知识点】正弦定理求外接圆半径 【分析】利用正弦定理以及图形的几何关系求解. 【详解】设△的外接圆为,的外接圆半径为, 在△由正弦定理得,在中由正弦定理得, 又∵,∴， ∴, 故答案为：. 5．（高一下·上海普陀·期末）中，角、、所对的边分别为、、，已知. (1)求边、的长度； (2)求的面积及其外接圆半径. 【答案】(1) (2)；4 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理求外接圆半径、三角形面积公式及其应用 【分析】(1)根据三角形内角和定理得出，然后利用正弦定理即可求解； (2)利用三角形面积公式和正弦定理即可求解. 【详解】（1）因为，所以在中，， 由正弦定理得：，也即， 所以； （2）由三角形的面积公式可得：的面积， 由正弦定理可得：外接圆半径. 题型五：正弦定理边角互化的应用及判断三角形形状 1．（24-25高一·上海·课堂例题）在中，“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【知识点】充要条件的证明、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】在中，令角所对边分别为， 由正弦定理得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：B 2．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（    ） ①； ②； ③； ④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、充分条件的判定及性质、正弦定理边角互化的应用 【分析】分别对各选项化简，分析是否能得出△ABC为直角三角形即可. 【详解】①由正弦定理，，则，即， 故或，即或， 故不能推出△ABC为直角三角形，故①错误； ②，则， 即，故. 因为，故或， 即（舍）或，则不能推出△ABC为直角三角形，故②错误； ③，则， 即， 故， 即， 即，故. 因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故③正确； ④，则， 即， 故， 故， 即，故. 因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故④正确. 综上有③④是△ABC为直角三角形的充分条件. 故选：B 3．（22-23高一下·上海青浦·阶段练习）已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列命题中，真命题的个数是（    ） （1）若，则是等腰三角形； （2）若，则是直角三角形； （3）若，则是钝角三角形； （4）若，则是等边三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、正弦定理边角互化的应用、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角恒等变换的化简问题 【分析】利用三角形的性质、正弦定理、同角三角函数的基本关系进行计算求解. 【详解】中，，由正弦定理有： ，因为中， 所以，即，即， 所以或，故（1）错误； 中，因为，所以， 所以或，故（2）错误； 中，，当时， ，，，显然不满足； 当中有1为负，2个为正，不妨设， 则，，，所以是钝角三角形；故（3）正确； 中，，所以， 所以 因为， 所以，所以， 则是等边三角形，故（4）正确；故A，C，D错误. 故选：B. 4．（23-24高一下·上海·期中）已知分别为三内角的对边，且，若，角B的平分线，则的面积为 . 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用 【分析】根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，设，再利用正弦定理可得，分析可知，即可求三角形面积. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 又因为， 可得， 整理可得， 且，则，可得，整理可得， 且，则，可得，即， 如图，设，则， 在中，由正弦定理可得， 即，解得， 且为锐角，可得，即 可知，则， 所以的面积为. 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则的形状为 . 【答案】等腰或直角三角形 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简推理即得. 【详解】在中，及正弦定理得， 而，则， 于是，则或，而，因此或， 所以为等腰或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形 6．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，若，求． 【答案】或. 【知识点】正弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理化简已知等式，结合，可得，结合范围，可求的值. 【详解】，由正弦定理可得:， 可得， 或. 7．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，如果，试判断该三角形的形状． 【答案】直角三角形 【知识点】正弦定理边角互化的应用 【分析】根据正弦定理判断直角三角形. 【详解】因为 由正弦定理可得, 所以, 所以三角形是直角三角形. 8．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知，，．求． 【答案】. 【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及二倍角的正弦公式计算即得. 【详解】在中，由，得， 由正弦定理得，而，， 所以. 9．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，设角、及所对边的边长分别为、及．已知． (1)求角的大小； (2)当，时，求边长． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角，结合及两角和的正弦公式计算化简即可得； （2）根据正弦定理即可计算出，结合可求出，再使用正弦定理即可得到. 【详解】（1）由正弦定理得， 由于，则， 展开得， 即，因为， 化简得，则， 又，所以； （2）由正弦定理，得，即有， 因为，所以是锐角，即， 所以， ， 所以. 10．（23-24高一下·上海徐汇·期中）在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，满足． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)4. 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和差角的正余弦公式计算即得. （2）由（1）的信息，利用和差角的余弦公式、二倍角的余弦公式化简即得. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 即 则，而， 因此，， 则，所以. （2）由（1）知，， . 11．（2024高一下·上海·专题练习）在中， (1)若与是方程的两个实根，求角的值； (2)若，判断的形状． 【答案】(1)； (2)等腰三角形或直角三角形. 【知识点】正弦定理边角互化的应用、二倍角的正弦公式、正、余弦定理判定三角形形状、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）利用韦达定理，结合和角的正切公式及诱导公式求解即得. （2）利用正弦定理边化角，再结合二倍角公式及正弦函数性质推理判断即可. 【详解】（1）在中，与是方程的两个实根， 则，，， ，又， 所以. （2）在中，由正弦定理及，得，即， 则，即，而， 因此或，即或, 所以为等腰三角形或直角三角形． 12．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，分别判断三角形ABC的形状： (1)； (2)． 【答案】(1)等腰三角形或直角三角形； (2)等腰三角形或直角三角形. 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正、余弦定理判定三角形形状、二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用诱导公式及和差角的正弦公式化简即可得解. （2）利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦及诱导公式求解即得. 【详解】（1）在中，，由， 得，整理得， 则或，而，于是或， 所以是等腰三角形或直角三角形. （2）在中，由及正弦定理得，即， 而，因此，即， 由，得， 因此或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形. 题型六：三角形面积公式及其应用 1．（23-24高一下·上海·阶段练习）下列三角形面积公式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形面积公式及其应用 【分析】由三角形面积公式直接判断. 【详解】由三角形面积公式可知A、B、C错误，D正确. 故选：D. 2．（22-23高一下·上海青浦·阶段练习）在三角形ABC中，已知，则三角形面积 ． 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形、求15°等特殊角的正弦 【分析】先利用正弦定理求出，在利用求出，最后通过三角形的面积公式求解即可. 【详解】由正弦定理得， ， ， . 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海·期中）在中，，，，则的面积为 . 【答案】12 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角形面积公式及其应用 【分析】先由同角三角函数的关系求出，然后利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】因为，， 所以， 所以的面积为， 故答案为：12 4．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，在中，，，，，则 ， . 【答案】 / 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形、已知弦（切）求切（弦）、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据面积公式结合相似比例即可求出正弦值，再根据同角三角函数求出正切. 【详解】因为, 所以, 又因为， 所以. 故答案为：；. 5．（24-25高一上·上海·课前预习）在中，已知，，，则 . 【答案】/ 【知识点】三角形面积公式及其应用 【分析】由已知，利用三角形的面积公式，即可求得. 【详解】因为在中，已知，，， 所以， 解得. 故答案为: . 6．（23-24高一下·上海·期末）已知是大于3的正整数，平面直角坐标系中，正边形内接于单位圆.若集合，则集合表示的平面区域的面积为 .（结果用表示） 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用 【分析】根据给定信息，确定集合表示的平面区域，再结合三角形面积求解即得. 【详解】由，得点在线段的垂直平分线分平面含点一侧的区域， 线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点，线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点， 照此进行，线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点， 集合表示的平面区域是正边形及内部，其内切圆半径为， 显然，，， 所以集合表示的平面区域的面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由题设信息，确定集合表示的平面区域对应的图形是求解本题的关键. 7．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知，，．求b、c和面积S．（结果精确到0.01） 【答案】答案见解析 【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】根据正弦定理求出边长，再应用面积公式求出面积即可. 【详解】在中，,所以; ,所以; 8．（22-23高一下·上海静安·期中）在中，已知，，，求和. 【答案】或，或 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】与正弦定理可得，则或，即可求出，再由两角和与差的余弦公式结合三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】因为，所以，所以， 由正弦定理可得：，则，则， 则或. 若，，则， 则， 若，，则， 则. 故或，或. 9．（23-24高一下·上海·阶段练习）设分别是的三个内角所对的边，且， (1)求； (2)时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式求解； （2）由正弦定理及三角形面积公式求解. 【详解】（1）在中，，故， 因为，所以由正弦定理可知， 由大边对大角可得，故， 所以. （2）时，由正弦定理可得，， 所以. 10．（23-24高一·上海·课堂例题）已知的面积为S，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用三角形面积公式及正弦定理推理即得. （2）由（1）的结论，结合和角的正弦公式及同角公式推理即得. 【详解】（1）在中，， 由正弦定理得，则， 所以. （2）由（1）知，. 一、单选题 1．（22-23高一下·上海浦东新·期末）在三角形ABC中，，则B=（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】利用正弦定理求得，进而求得正确答案. 【详解】三角形ABC中，， 由正弦定理得， 因为，则B是锐角，所以 故选：A 2．设的内角、、的对边长分别为、、，且，则的值（    ） A．2 B．4 C．6 D．以上都不对 【答案】B 【分析】利用正弦定理及三角形内角和关系，化简得，从而； 【详解】解：在中，由正弦定理及可得 即，则； 故选：B 二、填空题 3．（高一下·上海闵行·期末）在中，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据正弦定理直接代入计算，即可得到结果. 【详解】由正弦定理可得，即 故答案为: 4．（23-24高一下·上海·期末）已知的周长为18，若，则此三角形中最大边的长为 ． 【答案】8 【分析】根据正弦定理，求出，再借助周长求出最大边长即可． 【详解】在中，由正弦定理及，得， 而的周长为18，则，解得， 所以最大的边长． 故答案为：8 5．（高一下·上海普陀·期中）△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知，则三角形的面积为 （精确到0.01cm2） 【答案】 【分析】根据三角形面积公式直接求解. 【详解】根据三角形面积公式. 故答案为： 6．（高一下·上海青浦·期中）在中，，，，则 ． 【答案】或 【分析】结合正弦定理求得正确答案. 【详解】由正弦定理得， 由于，所以或. 故答案为：或 7．（高一下·上海虹口·期中）在中，设、、分别是三个内角、、所对的边，，，面积，则内角的大小为 ． 【答案】或 【分析】由三角形面积公式进行求解即可. 【详解】∵的面积， ∴， ∵， ∴或． 故答案为：或. 8．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，若，，，则 . 【答案】 【分析】由正弦定理得到方程，求出答案. 【详解】由正弦定理得，故， 即，解得. 故答案为： 9．（高一下·上海宝山·期末）中，角所对的边分别为，若，且满足条件的有两解，设边的所有可能取值构成集合，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据题意判断满足条件的有两解时边的取值范围，再根据指数函数单调性直接求解函数值域即可. 【详解】由题意得，当有两解时，，即， 所以对于则有，所以，即在上的值域为. 故答案为: 10．（高一下·上海嘉定·期末）锐角三角形ABC中，，且最长边与最短边之比为m，则m的取值范围是 ． 【答案】． 【分析】由，得出最大角和最小值在中，从而最大边和最小边是中的一个，不妨设，得，，由正弦定理得，转化为的三角函数后，求出范围． 【详解】，则，因此角是中间的角， 不妨设，即，，， ， ，，，所以． 故答案为：． 11．（高一下·上海黄浦·期末）判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是 . ①，，； ②，，； ③，，； ④，，. 【答案】①④ 【分析】利用正弦定理解三角形即可确定①②③中的三角形的个数；根据三角形全等的判定可知④正确. 【详解】对于①，由正弦定理得：， ，，即，，则三角形有唯一解，①正确； 对于②，由正弦定理得：， ，，即，或，则三角形有两解，②错误； 对于③，由正弦定理得：，无解，③错误； 对于④，三角形两角和一边确定时，三角形有唯一确定解，④正确. 故答案为：①④. 12．（高一下·上海普陀·期末）中，角所对的边分别为.且满足，则此三角形的形状是 . 【答案】等腰三角形 【分析】利用正弦定理边角互化，由结合三角函数和差公式和角的范围即可得，即可得到结果. 【详解】因为，所以由正弦定理可得， 又在中, 所以， 所以即， 由，故，则此三角形的形状是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形 13．（高一下·上海静安·期中）中，，，则 ． 【答案】； 【分析】由正弦定理及比例性质计算． 【详解】由正弦定理得，所以． 故答案为：． 14．（高一下·上海徐汇·期中）在三角形ABC中，，，，则 ． 【答案】75°或15° 【分析】由正弦定理求得角后可得角大小． 【详解】由正弦定理，即，所以， 又，所以，是三角形内角， 所以或， 时，，时，． 故答案为：75°或15°． 15．（高一下·上海长宁·期中）已知△ABC的外接圆半径，，，则△ABC的面积是 . 【答案】 【分析】首先根据正弦定理求得边角，并判断三角形的形状，再求面积. 【详解】，， ，或（舍），， 所以角，. 故答案为： 16．（高一下·上海奉贤·期中）已知中，角，，所对的边分别为，，，且，，则等于 【答案】或 【分析】根据正弦定理求出即可得解. 【详解】由正弦定理，可得， , 或 故答案为：或 17．（22-23高一下·上海·期中）在中，内角所对的边分别为 ，若 ，则的值为 . 【答案】/ 【分析】利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式计算可得. 【详解】在中，∴， 由正弦定理可得， 即， 因为，，可得. 故答案为： 18．（22-23高一下·上海徐汇·期中）若不等式对任意都成立，则实数的最小值为 ． 【答案】144 【分析】利用正弦定理角化边，可得恒成立，化简为恒成立，将化为二次函数性形式，结合二次函数性质即可求得答案. 【详解】由对任意都成立，可得， 即恒成立， 又因为中，， 则 ， 当时，取得最大值144，即， 故，即实数的最小值为144， 故答案为：144 三、解答题 19．（23-24高一下·上海·期中）在中，角，，的对边分别为，，，，求的值 【答案】或 【分析】由正弦定理解三角形. 【详解】在中，由， 利用正弦定理得，由于，所以或． ①当时，利用三角形内角和定理， ②当时，利用三角形内角和定理. 20．（高一下·上海普陀·期末）三角测量在三角学与几何学上是一种借由测量目标点与固定基准线的已知端点的角度，测量目标距离的方法.如图，为测量横截面为直角三角形的某模型的平面图，其中，由于实际情况，其它的边和角无法测量，以下为可测量数据：①；②；③.请根据以上数据求出的面积. 【答案】 【分析】根据正弦定理可得，再根据两角和的正切公式求解，进而得到求出的面积即可． 【详解】解：在中，由正弦定理，可得 所以， 因为，， 所以， 故． 21．（高一下·上海嘉定·期中）（1）如图，在直径为的轮子上有一长为的弦，是弦的中点，轮子以4弧度/秒的速度旋转，求点经过所转过的弧长； （2）在中，已知，且最长边为1，求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用圆的性质求出的长，然后利用弦长公式可求得结果； （2）由已知条件求出，从而可判断出为最大角，再由的值求出的值，再利用正弦定理可求出，进而可求出三角形的面积 【详解】（1）因为是弦的中点，所以，因为，，所以，因为轮子以4弧度/秒的速度旋转，旋转了，所以所转过的弧长 （2）因为，，所以，所以，所以为最大角，所以 由，可得， 由正弦定理可得，所以， 所以的面积. 22．（上海虹口·二模）如图某公园有一块直角三角形的空地，其中，，长千米，现要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中、、分别在、、上．设． （1）若，求的边长； （2）当多大时，的边长最小？并求出最小值． 【答案】（1）千米；（2）当时，的边长取得最小值为千米. 【分析】（1）由题意易得为等边三角形，从而可求； （2）由已知结合正弦定理及辅助角公式进行化简即可求解． 【详解】解：（1）设的边长为千米，由得，， 中，，， 为等边三角形，， 故， 即的边长为； （2）设的边长为千米， 所以，， 中，，，， 由正弦定理得，， 故， 当时取得最小值，即的边长最小值． 【点睛】方法点睛：解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 23．（高一下·上海闵行·开学考试）某个公园有个池塘，其形状为直角三角形，，米，米. (1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在上取点D､E､F，并且，，（如图1），游客要在内喂鱼，希望面积越大越好.设（米），用x表示面积S，并求出S的最大值； (2)现在准备新建造一个走廊，方便游客通行，分别在上取点D､E､F，建造正走廊（不考虑宽度）（如图2），游客希望周长越小越好.设，用表示的周长L，并求出L的最小值. 【答案】(1)，平方米； (2)（其中是满足的锐角），米. 【分析】（1）因为，则可求CE，BE，DE，求得，利用基本不等式可求的面积的最大值； （2）设等边三角形边长为，在中，由正弦定理可得（其中是满足的锐角），即可求得的周长及其最小值． 【详解】（1）在中，，米，米， 所以，， 因为，，所以， 在中，因为，则，故， 所以在中，， 所以， 由基本不等式得，， 当且仅当，即时，等号成立，的面积有最大值平方米； （2）设正的边长为，因为， 则，， 在中，，， 因为为平角，所以， 所以， 所以在中，， 整理得（其中是满足的锐角）， 所以的周长， 当时，的周长有最小值米. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$