专题02一元二次方程压轴题（6大题型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（浙教版）

专题02 一元二次方程压轴题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、一元二次方程的解 3 类型二、换元法一元二次方程 3 类型三、配方法解一元二次方程 4 类型四、一元二次方程根与系数的关系 5 类型五、一元二次方程实际应用 8 类型六、一元二次方程创新题 11 压轴能力测评 13 1、 一元二次方程解法 1、 直接开平方法：形如的方程，可解，； 2、因式分解法：因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①若方程的右边不是0，则先移项，使方程的右边为0； ②将方程的左边分解因式； ③根据若,则或，将解一元二次方程转化为解一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 3、配方法：配方的步骤： （1）先把方程化成二次项系数为1，如： （2）然后移项，得． （3）方程的两边同加一次项系数的一半的平方，得 ，即 若，就可以用直接开平方法解出方程的根． 4、公式法：（1）把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值. （2）求出的值. （3）代入求根公式 : （4）写出方程的解 二、一元二次方程解的情况 （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根； （3）方程没有实数根。 三、根与系数的关系 如果方程（a≠0）的两个实数根是、， 那么 注意：使用条件：a≠0，。 四、一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题的一般步骤： 1、利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2、解决应用题的一般步骤： 　　　审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解(解方程，一般十字相乘法或者配方法)； 验（检验方程的解是否有意义）； 　　　 答(写出答案，是否是最终的答案)。 类型一、一元二次方程的解 例1．一元二次方程的解 1．若，为正实数，设，若是关于的方程的一个正实根． （1）求证：． （2）若，求的值． （3）用含的代数式表示． 变式1-1．已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根，，其中，则 　　，若，为常数，则的值为 　　． 变式1-2．已知：关于的方程 （1）求证：无论取何值，方程都有实根； （2）若是该方程的一个根，求的值； （3）若方程的两个实根均为正整数，求的值为整数）． 类型二、换元法一元二次方程 例2．已知为实数，若，则　　． 变式2-1．已知，则的值为 　　． 变式2-2．已知实数，满足，则　　． 类型三、配方法解一元二次方程 例3．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为所以5是“完美数”． 解决问题： （1）已知10是“完美数”，请将它写成、是整数）的形式 　　； （2）若可配方成、为常数），则　　； 探究问题： （3）已知，则　　； （4）已知、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 拓展结论： （5）已知实数、满足，求的最值． 变式3-1．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题：（1）若可配方成、为常数），求，的值； 探究问题：（2）已知，求的值； （3）已知、都是整数，是常数），要使的最小值为2，试求出的值． 变式3-2．我们已经学习了乘法公式的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式的最小值．解答如下： 解：， ，当时，的值最小，最小值是0， ，当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题． （1）知识再现：当　　时，代数式的最小值是 　　； （2）知识运用：若，当　　时，有最 　　值（填“大”或“小” ，这个值是 　　； （3）知识拓展：若，求的最小值． 类型四、一元二次方程根与系数的关系 例4 已知，，求　　． 变式4-1已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，满足，求的值． 变式4-2 关于的方程：有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）用含的代数式表示； （3）设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得？若存在，试求出的值；若不存在，说明理由． 例5．对于关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当，，时，方程一定没有实数根； ②当，，时，方程一定有实数根； ③当，时，方程一定没有实数根； ④当，，时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是　　 A．① B．② C．③ D．④ 变式5-1．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的　　 A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③ 变式5-2．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 ⑤存在实数、，使得； 其中正确的　　 A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③ 例6．已知关于的一元二次方程：． （1）求证：这个方程总有两个实数根； （2）若等腰△的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求△的周长． 变式6-1．关于的一元二次方程有两个实根，． （1）求实数的取值范围； （2）当时，若，恰好分别是一个直角三角形的两条直角边长，求这个直角三角形的斜边长； （3）若方程两实根，满足，求的值． 变式6-2． 已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； （3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 类型五、一元二次方程实际应用 例7．某农场要建一个饲养场（矩形，两面靠墙位置的墙最大可用长度为27米，位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米． （1）若饲养场（矩形的一边长为8米，则另一边　　米． （2）若饲养场（矩形的面积为180平方米，求边的长． （3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． 变式7-1． 根据以下素材，探索完成任务． 如何改造硬纸板制作无盖纸盒？ 背景 学校手工社团小组想把一张长，宽的矩形硬纸板，制作成一个高，容积的无盖长方体纸盒，且纸盒的长不小于（纸板的厚度忽略不计）． 方案 初始方案：将矩形硬纸板竖着裁剪 （阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形． 改进方案：将矩形硬纸板竖着裁剪 ，横着裁剪 （阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形． 问题解决 任务1 判断方案 请通过计算判断初始方案是否可行？ 任务2 改进方案 改进方案中，当时，求的值． 任务3 探究方案 当裁剪后能制作成符合要求的纸盒时，写出关于的函数关系式． 变式7-2 ． 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体底面尺寸如图2所示． 素材2 如图是利用闲置纸板箱拆解出的以下两种纸板：长方形纸板①和长方形纸板②，其中两种纸板的宽度均为 长方形纸板① 长方形纸板② 小琴将分别利用长方形纸板①和长方形纸板②进行制作无盖和有盖的储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②的制作方式 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 任务1 熟悉材料 若要求按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够刚好放入图2储物区域，则裁去小正方形的边长为 　　，长方形纸板宽的值为 　　． 任务2 利用任务1计算所得的数据，进行进一步探究． 初步应用 按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积． 储物收纳 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断下列玩具①机械狗；②玩具车能否分别完全放入该储物盒并合上盖子．（不考虑倾斜放入） 类型六、一元二次方程创新题 例8．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为，则另一个根为，因此，所以有；我们记“”即时，方程为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题： （1）方程①；方程②这两个方程中，是倍根方程的是 　　（填序号即可）； （2）若是倍根方程，求的值； （3）关于的一元二次方程是倍根方程，且点在一次函数的图象上，求此倍根方程的表达式． 变式8-1．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　②③④　（填序号） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若，满足，则关于的方程是倍根方程； ④若方程以是倍根方程，则必有． 变式8-2．阅读材料：若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式△一定为完全平方数．现规定，，为该“快乐方程”的“快乐数“．例如“快乐方程” ，的两根均为整数，其“快乐数” ，，，若有另一个“快乐方程” 的“快乐数” ，，，且满足，，，，，则称，，与，，互为“开心数”． （1）“快乐方程” 的“快乐数”为 　　； （2）若关于的一元二次方程为整数，且是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； （3）若关于的一元二次方程与、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 1．已知实数满足，则的值为　　． 2．已知实数，满足等式，，则的值是　　． 3．设关于的方程是常数）的三个解是三条边的边长，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 4．已知关于的一元二次方程：，有下列结论： ①当时，方程有两个不相等的实根； ②当时，方程不可能有两个异号的实根； ③当时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 以上4个结论中，正确的个数为　　． 5．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有一根，则； ②若，则； ③若方程的两个根是，，那么方程的两个根为，； ④若是方程的一个根，则一定有成立． 其中正确的是 　　．（填序号） 6．已知关于的一元二次方程． （1）判断这个一元二次方程的根的情况； （2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积． 7．已知关于的一元二次方程． （1）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）设这个一元二次方程的两根为、，且2、、分别是一个直角三角形的三边长，求的值． 8．已知关于的一元二次方程． （1）当时，解这个方程； （2）试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由； （3），是这个方程的两个实数根，若、为正整数，且，求的值． 9．已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两实数根、满足，求的值 10．小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值．于是小慧给出一个定义：关于的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称． 例如关于对称．请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式关于　　对称； （2）若关于的多项式关于对称，则　　； （3）关于的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解． 11．已知如图所示，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形的自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的增长为，另外的边利用学校现有总长的铁栏围成，开有两个长为1米的木质门． （1）求线段的取值范围； （2）若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽． （3）能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 12．根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是50元；出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由． 13．十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理．韦达定理：有一元二次方程形如的两根分别为，，则有，． （1），是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值． （2）已知：，是一元二次方程的两个实数根，设，，，．根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得． 根据以上信息，解答下列问题： ①直接写出，的值． ②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程压轴题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、一元二次方程的解 3 类型二、换元法一元二次方程 5 类型三、配方法解一元二次方程 5 类型四、一元二次方程根与系数的关系 8 类型五、一元二次方程实际应用 14 类型六、一元二次方程创新题 18 压轴能力测评 21 1、 一元二次方程解法 1、 直接开平方法：形如的方程，可解，； 2、因式分解法：因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①若方程的右边不是0，则先移项，使方程的右边为0； ②将方程的左边分解因式； ③根据若,则或，将解一元二次方程转化为解一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 3、配方法：配方的步骤： （1）先把方程化成二次项系数为1，如： （2）然后移项，得． （3）方程的两边同加一次项系数的一半的平方，得 ，即 若，就可以用直接开平方法解出方程的根． 4、公式法：（1）把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值. （2）求出的值. （3）代入求根公式 : （4）写出方程的解 二、一元二次方程解的情况 （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根； （3）方程没有实数根。 三、根与系数的关系 如果方程（a≠0）的两个实数根是、， 那么 注意：使用条件：a≠0，。 四、一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题的一般步骤： 1、利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2、解决应用题的一般步骤： 　　　审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解(解方程，一般十字相乘法或者配方法)； 验（检验方程的解是否有意义）； 　　　 答(写出答案，是否是最终的答案)。 类型一、一元二次方程的解 例1．若，为正实数，设，若是关于的方程的一个正实根． （1）求证：． （2）若，求的值． （3）用含的代数式表示． 【答案】：（1）见解析；（2）；（2）。 【解析】：（1）证明：解关于的方程 得，， 是关于的方程的一正实数根，； （2）解：，， ， 是关于的方程的一个正实根，， 解得（负值舍去）， 的值为； （3）解：，，， 是关于的方程的一个正实根， ， 解得（负值舍）， ． 变式1-1．已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根，，其中，则 　　，若，为常数，则的值为 　　． 【答案】：；16． 【解析】：解：， 方程可变为：， 或，解得：，， ，，，，； ，， ，，解得：， 答案：-2；16． 变式1-2．已知：关于的方程 （1）求证：无论取何值，方程都有实根； （2）若是该方程的一个根，求的值； （3）若方程的两个实根均为正整数，求的值为整数）． 【答案】：（1）见解析；（2）；（3），-1，3． 【解析】：（1）证明：当时， 方程， △， △， 当时，，解得． 无论取何值，方程都有实根； （2）把代入方程得，解得．的值； （3）解：，，，， 运用公式法解方程可知道此方程的根为， 此方程的两个根分别为，， 方程的两个实根均为正整数，，，． 类型二、换元法一元二次方程 例2．已知为实数，若，则　1　． 【答案】：（1）1． 【解析】：解：设，则， 整理，得，或．解得或． 当时，，此时该方程无解，故舍去． 综上所述，． 答案：1． 变式2-1．已知，则的值为 　8　． 【答案】：8． 【解析】：解：设，则：， 整理，得．所以或．或（舍去）． 答案：8． 变式2-2．已知实数，满足，则　8　． 【答案】：8． 【解析】：解：设，则原方程转化为，． 得 或．或（舍去）． 所以． 答案：8． 类型三、配方法解一元二次方程 例3．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为所以5是“完美数”． 解决问题： （1）已知10是“完美数”，请将它写成、是整数）的形式 　　； （2）若可配方成、为常数），则　　； 探究问题： （3）已知，则　　； （4）已知、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 拓展结论： （5）已知实数、满足，求的最值． 【答案】：（1）；（2）；（3）；（4）8；（5）6. 【解析】：解：（1）根据题意得：； 答案：； （2）根据题意得： ，；； （3）已知等式变形得：， 即， ，，，， 得：，则 答案：； （4）当，为“完美数”，理由如下： ， ，， ，是整数，，也是整数， 是一个“完美数”； （5）， ，即， ，， 当时，最大，最大值为：6． 变式3-1．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题：（1）若可配方成、为常数），求，的值； 探究问题：（2）已知，求的值； （3）已知、都是整数，是常数），要使的最小值为2，试求出的值． 【答案】：（1），；（2）-2；（3）9. 【解析】：解：（1） ， ，； （2）， ， ， ，，，， ，， 解得：，，； （3）， ， ，时，的最小值为2， ，解得：． 变式3-2．我们已经学习了乘法公式的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式的最小值．解答如下： 解：， ，当时，的值最小，最小值是0， ，当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题． （1）知识再现：当　2　时，代数式的最小值是 　　； （2）知识运用：若，当　　时，有最 　　值（填“大”或“小” ，这个值是 　　； （3）知识拓展：若，求的最小值． 【答案】：（1）2，11；（2）3，大，；（3）-14. 【解析】：解：（1）， 当时，有最小值11； 答案：2，11； （2）， 当时有最大值； 故答案为：3，大，； （3）， ， ， ， 当时，的最小值为． 类型四、一元二次方程根与系数的关系 例4 已知，，求　或或1　． 【答案】：（1）2，11；（2）3，大，；（3）-14. 【解析】：解：，， ，是方程的两个根， ，或，， 或， 当的时候，． 答案：或或1． 变式4-1已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，满足，求的值． 【答案】：（1）；（2）； 【解析】：解：（1）关于的一元二次方程有两个实数根， △，即 解得． 答：的求值范围为． （2）根据根与系数的关系： ，， ，满足， ①当时， 把代入，得解得， ，． ②当时， 解得，， ， ，（不符合题意，舍去） 的值为． 变式4-2 关于的方程：有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）用含的代数式表示； （3）设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得？若存在，试求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】：（1）；（2）；（3）; 【解析】：解：（1）原一元二次方程有两个不相等的实数根， △，得：，； （2）由一元二次方程的求根公式得：，， ，，， 又，， ； ，， ； （3）当时，有， 即，，， 存在实数，使得． 例5．对于关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当，，时，方程一定没有实数根； ②当，，时，方程一定有实数根； ③当，时，方程一定没有实数根； ④当，，时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是　　 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】： 【解析】：解：①当，，时，满足，，， 此时△，即方程有两个不相等的实数根，故①错误； ②，，， ，，△，即方程有两个不相等的实数根， 故②正确；③当，，时，满足，， 此时△，即方程有两个不相等的实数根，故③错误； ④，，，，， △，即方程有两个相等的实数根，故④错误； 综上，正确的是②， 选：． 变式5-1．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的　　 A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③ 【答案】： 【解析】：解：①若，则是方程的解， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△，故①正确； ②方程有两个不相等的实根，△，， 则方程的判别式△， 方程必有两个不相等的实根，故②正确； ③是方程的一个根， 则，， 若，等式仍然成立，但不一定成立，故③不正确； ④若是一元二次方程的根， 则由求根公式可得： 或， 或， ． 故④正确． 选：． 变式5-2．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 ⑤存在实数、，使得； 其中正确的　　 A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③ 【答案】： 【解析】：解：①若，则是方程的解， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△，故①正确； ②方程有两个不相等的实根△，， 则方程的判别式△， 方程必有两个不相等的实根，故②正确； ③是方程的一个根，则， ，若，等式仍然成立， 但不一定成立，故③不正确； ④若是一元二次方程的根， 则由求根公式可得： 或 或 故④正确． ⑤存在实数、，使得成立； 由，， ，即， ，， 当时，存在实数、，使得成立； 故⑤正确． 选：． 例6．已知关于的一元二次方程：． （1）求证：这个方程总有两个实数根； （2）若等腰△的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求△的周长． 【答案】：(1)见解析； (2)10 【解析】：（1）证明：△ ， 无论取什么实数值，，△， 无论取什么实数值，方程总有实数根； （2）解：， ，， ，恰好是这个方程的两个实数根，设，， 当、为腰，则，即，解得，此时三角形的周长； 当、为腰时，，此时，故此种情况不存在． 综上所述，△的周长为10． 变式6-1．关于的一元二次方程有两个实根，． （1）求实数的取值范围； （2）当时，若，恰好分别是一个直角三角形的两条直角边长，求这个直角三角形的斜边长； （3）若方程两实根，满足，求的值． 【答案】：(1)； (2)6；（3）m=2. 【解析】：解：（1）一元二次方程有两个实根，， △， 解得：； （2）当时，方程可化为， ，，， 所以斜边长6； （3），， ，，又，． 变式6-2． 已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； （3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】：(1)等腰三角形； (2)直角三角形；（3），． 【解析】：解：（1）是等腰三角形； 理由：把代入方程得，则，所以为等腰三角形； （2）为直角三角形； 理由：根据题意得△，即，所以为直角三角形； （3）为等边三角形，， 方程化为，解得，． 类型五、一元二次方程实际应用 例7．某农场要建一个饲养场（矩形，两面靠墙位置的墙最大可用长度为27米，位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米． （1）若饲养场（矩形的一边长为8米，则另一边　24　米． （2）若饲养场（矩形的面积为180平方米，求边的长． （3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． 【答案】：(1)24； (2)10；（3）不能． 【解析】：解：（1）（米． 答案：24． （2）设米，则米， 依题意得：，整理得：， 解得：，． 当时，（米，，不合题意，舍去； 当时，（米，符合题意． 答：边的长为10米． （3）不能，理由如下： 设米，则米， 依题意得：，整理得：． △， 该方程没有实数根， 饲养场的面积不能达到210平方米． 变式7-1 根据以下素材，探索完成任务． 如何改造硬纸板制作无盖纸盒？ 背景 学校手工社团小组想把一张长，宽的矩形硬纸板，制作成一个高，容积的无盖长方体纸盒，且纸盒的长不小于（纸板的厚度忽略不计）． 方案 初始方案：将矩形硬纸板竖着裁剪 （阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形． 改进方案：将矩形硬纸板竖着裁剪 ，横着裁剪 （阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形． 问题解决 任务1 判断方案 请通过计算判断初始方案是否可行？ 任务2 改进方案 改进方案中，当时，求的值． 任务3 探究方案 当裁剪后能制作成符合要求的纸盒时，写出关于的函数关系式． 【答案】：任务1不可行；任务2：x-4；任务3： 【解析】：解：任务1：根据题意得： ，解得：， 此时长方体盒子的长为：， ，初始方案是不可行． 任务2：当时，根据题意得： ，解得：或， 当时，盒子的长为，符合题意； 当时，盒子的长为，不符合题意； 的值为4； 任务3：根据题意得：， 整理得：， 纸盒的长不小于，， 解得：，， 把代入，得， 把代入，得， ． 变式7-2 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体底面尺寸如图2所示． 素材2 如图是利用闲置纸板箱拆解出的以下两种纸板：长方形纸板①和长方形纸板②，其中两种纸板的宽度均为 长方形纸板① 长方形纸板② 小琴将分别利用长方形纸板①和长方形纸板②进行制作无盖和有盖的储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②的制作方式 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 任务1 熟悉材料 若要求按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够刚好放入图2储物区域，则裁去小正方形的边长为 　　，长方形纸板宽的值为 　　． 任务2 利用任务1计算所得的数据，进行进一步探究． 初步应用 按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积． 储物收纳 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断下列玩具①机械狗；②玩具车能否分别完全放入该储物盒并合上盖子．（不考虑倾斜放入） 【答案】：任务：，；；任务2：12000；任务3：机械狗能够完全进入，玩具车不能进入； 【解析】：解：（1）图2储物区域长为，储物盒能够刚好放入图2储物区域， ，收纳盒的宽小正方形边长， ， 答案：，； （2）设裁去小正方形边长为 ， ，解得：，（舍去）， 储物盒的容积； （3）设裁去小长方形长为 ，宽为 ， ，则：， ， ， 解得：，（舍去），， 则：，即裁去小长方形长为，宽为， 制作储物盒长为，高为，宽为， ①，，，机械狗能完全放入； ②，玩具车不能完全放入． 类型六、一元二次方程创新题 例8 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为，则另一个根为，因此，所以有；我们记“”即时，方程为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题： （1）方程①；方程②这两个方程中，是倍根方程的是 　②　（填序号即可）； （2）若是倍根方程，求的值； （3）关于的一元二次方程是倍根方程，且点在一次函数的图象上，求此倍根方程的表达式． 【答案】：（1）②；（2）0；（3）：； 【解析】：解：（1）在方程①中，； 在方程②中，． 是倍根方程的是②． 答案：②． （2）整理得：， 是倍根方程，， ． （3）是倍根方程， ，整理得：． 在一次函数的图象上， ，，， 此方程的表达式为． 变式8-1如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　②③④　（填序号） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若，满足，则关于的方程是倍根方程； ④若方程以是倍根方程，则必有． 【答案】：②③④； 【解析】：解：①解方程得，，，得，， 方程不是倍根方程；故①不正确； ②若是倍根方程，， 因此或，当时，， 当时，，， 故②正确； ③，则：， ，， ， 因此是倍根方程，故③正确； ④方程的根为：，， 若，则，， 即，，， ， ，． 若时，则，， 即，则，，， ，， ，．故④正确， 答案：②③④ 变式8-2阅读材料：若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式△一定为完全平方数．现规定，，为该“快乐方程”的“快乐数“．例如“快乐方程” ，的两根均为整数，其“快乐数” ，，，若有另一个“快乐方程” 的“快乐数” ，，，且满足，，，，，则称，，与，，互为“开心数”． （1）“快乐方程” 的“快乐数”为 　　； （2）若关于的一元二次方程为整数，且是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； （3）若关于的一元二次方程与、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 【答案】：（1）-4；（2）；（3）或3； 【解析】：解：（1）方程：的“快乐数，，； 答案：； （2）程，△， ，即：，或36， ，（舍去），方程变为：，则，，， 故其“快乐数”数是； （3）， △，设△， 则，或2或或， 或4或或，解得或，方程变为：或； ，△，，，， 当时，， 解得：或（不合题意），当时，， 解得，故：或3． 1．已知实数满足，则的值为　　． 【答案】：-1； 【解析】：解：设，则，即．解得或． 当综上所述，的值为或， ，， 答案：． 2．已知实数，满足等式，，则的值是　或或　． 【答案】：或或．； 【解析】：解：因为实数，满足等式，， （1）当或时，原式或； （2）当时，可以把，看作是方程的两个根． 由根与系数的关系，得，． 则原式． 答案：或或． 3．设关于的方程是常数）的三个解是三条边的边长，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】：B； 【解析】：解：， ．．或． 方程的三个解是三条边的边长， 方程两根与满足．又，， ．，．． 选：． 4．已知关于的一元二次方程：，有下列结论： ①当时，方程有两个不相等的实根； ②当时，方程不可能有两个异号的实根； ③当时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 以上4个结论中，正确的个数为　3　． 【答案】：B； 【解析】：解：， △， ①当时，△，方程有两个不相等的实根，故①正确， ②当时，两根之积，方程的两根异号，故②错误， ③方程的根为， ， 方程的两个实根不可能都小于1，故③正确， ④当时，由（3）可知，两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确， 答案3． 5．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有一根，则； ②若，则； ③若方程的两个根是，，那么方程的两个根为，； ④若是方程的一个根，则一定有成立． 其中正确的是 　①②③　．（填序号） 【答案】：①②③． 【解析】：解：①若方程有一根，则，故正确； ②若，则可知方程有一个根为，则，故正确； ③若方程的两个根是，，则或4， 所以方程的两个根为，，故正确； ④若是方程的一个根，则， 当时，则一定有成立，故错误． 所以其中正确的是①②③． 答案：①②③． 6．已知关于的一元二次方程． （1）判断这个一元二次方程的根的情况； （2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积． 【答案】：（1）； （2）等腰三角形的周长为7或8，面积为或． 【解析】：解：（1）△， 该方程有两个实数根； （2）①当3为底边长时，△，， 此时原方程为，解得：． 、2、3能组成三角形，三角形的周长为，三角形的面积为； ②当3为腰长时，将代入原方程，得：， 解得：，此时原方程为， 解得：，． 、3、3能组成三角形， 三角形的周长为，三角形的面积为． 综上所述：等腰三角形的周长为7或8，面积为或． 7．已知关于的一元二次方程． （1）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）设这个一元二次方程的两根为、，且2、、分别是一个直角三角形的三边长，求的值． 【答案】：（1）见解析；（2）或． 【解析】：（1）证明： ；又，， 原方程有两个实数根； （2）解：原方程可变为， 则方程的两根为，，直角三角形三边为2，3，；， ①若为直角三角形的斜边时，则：， ； ②若3为直角三角形的斜边时，则： ． 综上，或． 8．已知关于的一元二次方程． （1）当时，解这个方程； （2）试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由； （3），是这个方程的两个实数根，若、为正整数，且，求的值． 【答案】：（1），；（2）方程两个实数根；（3）的值为1或2． 【解析】：解：（1）当时，原方程化为， ，或， 所以，； （2）方程有两个实数解．理由如下： △， 当时，△，方程有两个相等的实数解； 当时，△，方程有两个不相等的实数解； 综上所述，方程有两个实数解； （3）解方程得或， ，或， 当时，， 、为正整数，当时，；当时，； 当时，，不满足条件舍去， 综上所述，的值为1或2． 9．已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两实数根、满足，求的值 【答案】：（1）；（2）． 【解析】：解：（1）方程有两个实数根，， △，解得； （2）由根与系数关系知：，， ，， 又，代入得，，可化简为：． 解得（不合题意，舍去）或， ． 10．小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值．于是小慧给出一个定义：关于的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称． 例如关于对称．请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式关于　　对称； （2）若关于的多项式关于对称，则　　； （3）关于的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解． 【答案】：（1）-3；（2）4；（3）或． 【解析】：解：（1）， 多项式关于对称， （2）， 又关于的多项式关于对称，， 答案：4． （3）， 又的多项式关于对称，，解得：； 的多项式的最小值为3， 当时，有最小值，即， 解得：， 当，时，方程为， 解得：或． 11．已知如图所示，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形的自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的增长为，另外的边利用学校现有总长的铁栏围成，开有两个长为1米的木质门． （1）求线段的取值范围； （2）若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽． （3）能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】：（1）；（2）27米，10米；（3）不能. 【解析】：解：（1）设线段的长为 ，则的长为， 根据题意得，解得， 线段的取值范围为； （2）根据题意列方程，得，解得，； 当时，（米， 当时，（米，而墙长，不合题意舍去， 答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为27米，10米； （3）不能围成面积为的自行车车棚．理由如下： 根据题意得，整理得：， △，方程无实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 12．根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是50元；出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由． 【答案】：（1）；（2）路面设置的宽度符合要求；（3)可以。 【解析】：解：（1）道路宽度不超过12米，且不小于5米， 纵向道路宽度的取值范围为； （2）根据题意得：， 整理得：，解得：，， ，符合题意， 路面设置的宽度符合要求； （3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，理由如下： 假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元， 根据题意得：， 整理得：，解得：，， 又，符合题意， 假设成立，即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元． 13．十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理．韦达定理：有一元二次方程形如的两根分别为，，则有，． （1），是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值． （2）已知：，是一元二次方程的两个实数根，设，，，．根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得． 根据以上信息，解答下列问题： ①直接写出，的值． ②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明． 【答案】：（1）1；（2）①；②（3)当时，； 【解析】：解：（1）一元二次方程有两个实数根， △，解得， ，是关于的一元二次方程的两实根， ，， ，， ，解得或，（舍去）， 的值为1； （2），是一元二次方程的两个实数根， ，①， ； ②猜想，当时，， 证明：是一元二次方程的实数根，， 两边同时乘以，得， 同理可得：， 两式相加得：， 根据题意，，， ，且根据题意，故， 当时，． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$