第1部分 第3单元 第5节 二次函数的图象与性质(课件PPT)-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（广西专用）

2025广西 数 学 课堂精讲册 1 第一部分 追本溯源夯基础 第三单元 函数 第五节 二次函数的图象与性质 2 【版本导航】人教：九上P27~P57； 湘教：九下P2~P41； 沪科：九上P2~P35. 3 一阶 教材知识全梳理 4 考点1 二次函数的概念及表达式的三种形式 1. 概念 一般地，形如，，是常数， 的函数，叫做二 次函数.其中，是自变量，，， 分别是函数解析式的二次项系数、一 次项系数和①________. 常数项 5 2. 表达式的三种形式： （1）一般式：,,为常数且 ； （2）顶点式： ； （3）交点式：，,为抛物线与 轴交点的 ②____坐标. 【链接】二次函数解析式的确定见本册P53小专题培优. 横 6 考点2 二次函数的图象与性质（重点） 解析式 的符号 大致图象 开口方向 开口向③____ 开口向④____ 对称轴 直线⑤_________ 顶点坐标 ⑥_ _____________ 上 下 ， 7 的符号 增减性 在对称轴左侧，随 的增大而 ⑦______； 在对称轴右侧，随 的增大而 ⑧______ 在对称轴左侧，随 的增大而 ⑨______； 在对称轴右侧，随 的增大而 ⑩______ 最值 当⑪_____时， 取得最小 值，最小值为 当时， 取得最大值， 最大值为 减小 增大 增大 减小 续表 8 【特别提醒】（1）二次函数的图象为抛物线；（2） 相同，说明抛物线 的开口大小相同； 越大，开口越小；（3）在利用二次函数的图象与性 质比较二次函数图象上点的横坐标或纵坐标的大小时，要综合运用其增减 性与对称性：首先利用对称性将点均转化至对称轴的同一侧，再利用增减 性进行判断. 9 考点3 二次函数的图象与系数的关系 问题导入 已知二次函数 ，求对应系数的符号： （1）当二次函数图象为图1时，⑫___0，⑬___0， ⑭___0， ⑮___0，⑯___0， ⑰___0. （2）当二次函数图象为图2时，⑱___0，⑲___0， ⑳___0. 图2 图1 10 系数 ， 符号 图象 特征 开口 向上 开口 向下 对称 轴为 轴 对称轴在 轴左侧 对称轴 在 轴 右侧 经过原 点 与 轴 正半轴 相交 与 轴 负半轴 相交 特殊 关系 先把含，， 的项移到等式（或不等式）的一边 ，图象与 轴有交 点 ，图象与 轴没有交点 11 特殊 关系 看到，比较 和1的大 小 看到，比较 和㉑____的 大小 看到，找当时 的值 看到，找当 ㉒____时 的值 看到，找当 时 的值 看到，找当 ㉓____ 时 的值 续表 12 考点4 二次函数图象的几何变换（重点） 1. 二次函数（一般式）图象的平移 平移前的 解析式 平移方式 平移后的解析式 口诀 向左平移 个单位长度 ㉔___ ㉕___ 左加右减 自变量 向右平移 个单位长度 ㉖___ ㉗___ 13 平移前的 解析式 平移方式 平移后的解析式 口诀 向上平移 个单位 长度 ㉘___ 上加下减 常数项 向下平移 个单位 长度 ㉙___ 【特别提醒】点平移的坐标变化规律是“左减右加，上加下减”，函数图象 平移的变化规律“左加右减，上加下减”，切勿搞混！ 续表 14 2. 二次函数（顶点式）图象的平移、翻折（对称）与旋转 变换前图象的解 析式及顶点坐标 变换方式 变换 后 值 变换后的顶 点坐标 变换后图象的解 析式 ， 向左平移 个单位长度 ㉚__________ 向右平移 个单位长度 15 变换前图象的解 析式及顶点坐标 变换方式 变换 后 值 变换后的顶 点坐标 变换后图象的解 析式 ， 向上平移 个单位 长度 ㉛____________ __________ 向下平移 个单位 长度 沿 轴翻折 （关于 轴对称） ㉜________ 续表 16 变换前图象的解 析式及顶点坐标 变换方式 变换 后 值 变换后的顶 点坐标 变换后图象的解 析式 ， 沿 轴翻折 （关于 轴对称） ㉝____________ _______ 绕顶点旋转 绕原点旋转 ㉞________ 续表 17 考点5 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1. 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的根是抛物线与 轴交点 的横坐标 方程 的根 抛物线与 轴的交点 两个㉟__________实数根 ㊱__________ ㊲__________________ 一个交点 没有实数根 没有交点 不相等的 两个交点 两个相等的实数根 18 2. 二次函数与不等式的关系 （1）<m></m> 二次函数<m></m>的图象位于<m></m>轴上方 对应的点的横坐标的取值范围； （2）<m></m> 二次函数<m></m>的图象位于<m></m>轴下方 对应的点的横坐标的取值范围. 19 二阶 追本溯源练考点 20 考点1 二次函数的概念及表达式的三种形式 1. （湘教九下P4T1改编）下列函数中，是二次函数的是( ) B A. B. C. D. 21 2. （人教九上P47T4改编） （1）已知抛物线与轴交于点， ，则 抛物线的对称轴是直线______； （2）已知抛物线的顶点坐标为 ，则抛物线的解 析式是_________________； （3）已知抛物线经过点， ，则该抛物 线的解析式是_________________. 22 考点2 二次函数的图象与性质 （必考，常在解答题中涉及，2024.25，2023.24） 3. （人教九上P41T7改编）已知二次函数 . （1）该二次函数的图象开口向____，与 轴交于点________，对称轴为 直线________； （2）当______时，随的增大而减小；当______时，随 的增大而增大； 上 23 （3）该函数值的取值范围是_______；当时，函数值 的取值 范围是__________；当时，函数值 的取值范围是__________； （4）若该二次函数的图象经过点，，则___ ；若该二次 函数的图象经过点，，则___；（填“ ”“ ”或“ ”） （5）若点，， 均在该二次函数的图象上， 则，，的大小关系为_____________.（用“ ”连接） 24 考点3 二次函数的图象与系数的关系（北部湾5年1考） 4. （2022北部湾12题3分）已知反比例函数 的图象如图所示，则一次函数 和二次函数 在同一平面直角坐标系 中的图象可能是( ) D A. B. C. D. 25 5. （2022梧州）如图，已知抛物线的对称轴是 直线，直线 轴，且交抛物线于点， ， 下列结论错误的是( ) C A. B. 若实数，则 C. D. 当时， 26 【解析】根据函数图象可知， .对称轴为直线， ， ，.故A正确，不符合题意； 函数的最小值在处取到，若实数 ，则 ，即若实数，则 .故B正确， 不符合题意；直线轴，，令，则 ，即抛物线 与轴交于点， 当时，，， 当时，.故D正确，不符合题意； 当 时，，，. 由题图可知，当时， ， .故C错误，符合题意. 27 考点4 二次函数图象的几何变换（2023.9，北部湾5年2考） 6. （2023广西9题3分）将抛物线 先向右平移3个单位长度， 再向上平移4个单位长度，得到的抛物线是( ) A A. B. C. D. 【解析】把向右平移3个单位长度，得 ，再向上平移4 个单位长度，得 . 28 考点5 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 7. （2021贺州）如图，已知抛物线 与 直线交于，两点，则关于 的不等式 的解集是( ) D A. 或 B. 或 C. D. 29 【解析】与的图象关于 轴 对称， 直线与抛物线 的交点 ，与点A，B也关于轴对称，如解图. ， ，， .根据函数图象得 不等式的解集是 . 30 三阶 分层设问攻重难 31 重难点 二次函数的最值问题 8. （2024广西25题10分）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于 的二次函数 的最值问题展开探究. 【经典回顾】二次函数求最值的方法. （1）老师给出，求二次函数 的最小值. ①请你写出对应的函数解析式； 解：当时， ； ②求当取何值时，函数有最小值，并写出此时的 值； 解：当时，取得最小值，最小值为 ； 32 【举一反三】老师给出更多的值，同学们即求出对应的函数在 取何值 时， 的最小值.记录结果，并整理成下表： … 0 2 4 … … * 2 0 … 的最小值 … * … 注：*为②的计算结果. 33 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你 的发现.” 甲同学：“我发现，老师给了值后，我们只要取，就能得到 的最 小值.” 乙同学：“我发现，的最小值随值的变化而变化，当由小变大时， 的 最小值先增大后减小，所以我猜想 的最小值中存在最大值.” 34 （2）请结合函数解析式 ，解释甲同学的说法是否合理？ 解：合理. ， 函数有最小值. 当时， 取得最小值， 故甲同学的说法合理； 35 （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正 确，说明理由. 解：正确. 当时， . ，当时， 取得最大值，最大值为 . 36 温馨提示 请完成分层进阶练习册P28~P30习题 37 38 $$